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一元函数微分公式
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常微分方程（一阶常微分）教学例题和习题解析.doc 23页
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常微分方程（一阶常微分）教学例题和习题解析
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常微分方程（一阶常微分）教学例题和习题解析本章主要知识点可分离变量的ODE一阶线性非齐次常微分方程及推广二阶常系数线性齐次与非齐次常微分方程一些特殊类方程一、可分离变量的ODE1．基本型的解法基本型：基本解法：例5.1．解：通解为：将得：得例5.2．解：，得：例5.3．解：，得：例5.4．已知满足，求。解：由知。方程两边对求导得，分离变量求得，将代入得，。2．可转化的可分离变量的齐次方程方法：令。例5.5．解：令，将代入即可。例5.6．解：，令即，，将代入即可。二、一阶线性齐次方程（ODE）1．基本型公式公式：注：应用此公式要注意：不定积分不带C；基本型又称标准型。例5.7．解：，其中。，由公式得，。例5.8．解：，将代入得，，。2．Bernoulli方程方法：令，方程可简化为例5.9．解：令，则，得，故，例5.10．解：令，代入即得：即三、二阶常系数线性ODE1．齐次方程，其中为常数。求解步骤：1）特征方程，求根。2）互异实根，，，；，。其中为任意实数。例5.11．解：得=4，-1，（其中为任意实数）例5.12．解：，例5.13．解：，。例5.14．解：，，。2．非齐次方程其中，表示次多项式。解结构：齐次方程通解特解。特解形式设定如下：（1）识别；（2）计算，和特征根相等个数，。（3）特解可设为，其中为次多项式。注：这一公式是将通常教科书上若干公式统一而成。例5.15．解：（１），，，齐次通解（２），，，又设，代入原方程得，。例5.16．解：（１），（２），，，可设计算得：代入原方程得，，。例5.17．解：（１），（２）的特解，，，，。又设代入原方程得解得；（3）的特解可设，代入得，D＝，。综合得。例5.18．设其中为连续函数，求的具体表达式。解：原式两边求导得：再求导得：，即且（1）（2）设特解为代入原方程得。。由条件得，四、特殊类方程（1）,等方法：直接积分例5.19．解：积分，再积分，（2）不显含方法：令，则，则得到，降为一阶方程例5.20．解：令，， 如果，则，或分离积分法如果，那么（其包含在上述解之中）方程通解（其中,为任意实数）。单元练习题51．下列微分方程哪一个是线性的（　　）(A)(B)(C)(D)2．方程，它是阶微分方程。3．方程的通解是。4．方程的特解可设为。5．求解下列常微分方程：6．求一曲线方程，此曲线在任一点处的切线斜率等于，并且曲线通过原点。7．设曲线上任一点处切线与直线垂直，求这个曲线的方程8．一链条挂在一个无摩擦的钉上，假定运动开始时，链条一边垂下8m，另一边垂下10m，试问整个链条滑过钉子需要多少时间？9．设，为连续函数。求。10．设处处可导，且并对任意实数x和y有求.11．有连结A(0,1)，B(1,0)两点的一条凸曲线，它位于AB弦的上方。P(x,y)为该曲线上的任一点。已知该曲线弧与AP之间的面积为。求该曲线方程。历年真考题1．（2001）微分方程的通解为：。2．（2001）求微分方程，满足初始条件的特解。3．（2002）微分方程的通解是（）A.B. C.D.4．（2002）设满足微分方程，且，则。5．（2002）求，满足的解。6．（2003）满足的解是（）A.B.C.D.7．（2003）解微分方程的通解。8．（2004）微分方程的特解的形式应为A.B.C.D.9．（2004）设函数可导，且满足方程，求。10．（2005）求微分方程满足初始条件的特解。本章测试题1．微分方程的阶数。2．的通解是。3．的特解形如。4．微分方程的通解是（）Ａ．　Ｂ．　Ｃ．　Ｄ．　　5．6．7．（1）（2）8．设为连续函数且满足。求。9．已知是的解。（1）求p,q（2）写出该方程的通解；并求满足条件的特解。单元练习题5答案1．C2．二阶　　3．4．5.(1)解：。(2) 。(3)令，即。(4)。(5)，将代入，（6）令，，。即，为任意常数（7）令若，即（不合定解条件）若，，将，，代入，代入，得，即（8）解：（1）齐次方程通解，，又设 代入原方程得得到：。（9）解：（1）齐次方程通解。（2），可设，得到，6．解：且，即，，，由得所以7．设原曲线的方程为则即8．设左边绳x处在t时刻滑过钉子，此时，且满足定解条件，解得：令得到解得：。9．10．令得f(0)=0＝即，解得。11．设曲线方程为，则梯形OAPQ的面积，依题意得：，两边对x求导得，解得。本章测试答案1.一阶　2.　　3.4.A5.，，，设，，原方程解为6．（1）（2）设，代入得，，，7．(1)令则，，（2）令，。积分得，，，积分，或，其中为任何实数。8．求导得：，解得。9．特征根，则特征方程为，方程为故有。通解；特解。一阶常微分方程习题1．=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：=2xdx两边积分有：ln|y|=x+cy=e+e=cex另外y
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求微分方程xy'-y^2+1=0的通解
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分离变量，两边积分
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