概率论标准正态分布积分过程选择题，要解答过程
点击联系发帖人
时间：2017-06-21 11:23
概率论与数理统计教程（第4版）习题全解指南(沈恒范)【电子书籍下载 epub txt pdf doc 】
书籍作者：
书籍出版：
高等教育出版社
书籍页数：
书籍ISBN：
书籍人气：
推荐指数：
概率论与数理统计教程（第4版）习题全解指南《概率论与数理统计教程习题全解指南(第4版)》是普通高等教育“十五”国家级规划教材——《概率论与数理统计教程（第四版）》的配套辅助用书，内容包括概率论与数理统计的基本内容。与主教材相对应，全书共分九章，各章的顺序和内容与主教材保持一致，给出习题全解。部分题目在解答之后对该类题目的解法进行了总结和归纳，部分题目提供了多种解法。此外，书后还附了自年以来全国硕士研究生入学统一考试数学试题中有关概率论与数理统计部分的试题，并做出详细解答。 《概率论与数理统计教程习题全解指南(第4版)》内容切合学生实际、针对性强，通过解题过程，帮助学生掌握概率统计的基本知识、基本理论和基本技能，可供高等学校工科和其他非数学类专业学生选用，也为准备考研的学生提供了一本很好的参考书，还可供使用主教材的教师参考。第一章 随机事件及其概率习题一解答历届硕士研究生入学试题解答（一）第二章 随机变量及其分布习题二解答历届硕士研究生入学试题解答（二）第三章 随机变量的数学特征习题三解答历届硕士研究生入学试题解答（三）第四章 正态分布习题四解答历届硕士研究生入学试题解答（四）第五章 数理统计的基本知识习题五解答历届硕士研究生入学试题解答（五）第六章 参数估计习题六解答历届硕士研究生入学试题解答（六）第七章 假设检验习题七解答历届硕士研究生入学试题解答（七）第八章 方差分析习题八解答第九章 回归分析习题九解答附录扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
下载作业帮安装包
扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
关于概率论正态分布的问题,&
扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
这是一个基本结论,样本平均值服从正态分布N(μ,(σ^2)/n).经济数学团队帮你解答,请及时评价.
为您推荐：
其他类似问题
扫描下载二维码扫二维码下载作业帮
1.75亿学生的选择
下载作业帮安装包
扫二维码下载作业帮
1.75亿学生的选择
一道概率论的题目,关于正态分布答案为什么选B怎么算到的?
平安夜快乐b1鹽
扫二维码下载作业帮
1.75亿学生的选择
此题有问题.当有(B)时,即,有η=a+σζ时,可以从ζ～N(0,1)得到η～N(a,σ²).但反之不必然.试想:已知 N(0,1)和 N(a,σ²) 并不意味这两个随机变量有什么关系.可能独立,也可能不独立.而η=a+σζ 意味着这两个随机变量是线性相关的.题要改成:..."则 η 与 ζ 之间的关系可以是( )",那题就可做了.答案是B.
为您推荐：
其他类似问题
看书，最基本的定理。
扫描下载二维码《概率论与随机过程答案》_优秀范文十篇
范文一：《概率论与随机过程》第一章习题答案1. 写出下列随机试验的样本空间。（1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。
解：n?100?01?S??,,?,?n?nn?，其中n为小班人数。（2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。
解：S??3,4,?,18?。（3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数。
解： S??3,4,?,10?。 （4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。
解： S??10,11,??。（5） 一个小组有A，B，C，D，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选举的结果。解： S??AB,AC,AD,AE,BA,BC,BD,BE,CA,CB,CD,CE,DA,DB,DC,DE,EA,EB,EC,ED?其中，AB表示A为正组长，B为副组长，余类推。（6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。解： S??e0,e1,e2?其中，e0为和棋，e1为甲胜，e2为乙胜。（7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。
解： S??r,w,b,rw,rb,wb,rwb?其中，r,w,b,分别表示红色、白色、蓝色。（8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。解： S??00,100,10,11,10,1111?其中，0为次品，1为正品。（9） 有A，B，C三只盒子，a，b，c三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。解： S??Aa,Bb,Cc;Ab,Bc,Ca;Ac,Ba,Cb;Aa,Bc,Cb;Ab,Ba,Cc;Ac,Bb,Ca?其中，Aa表示球a放在盒子A中，余者类推。（10） 测量一汽车通过给定点的速度。
解：S??vv?0?（11） 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。解： S???x,y,z?x?0,y?0,z?0,x?y?z?1?其中，x,y,z分别表示第一段，第二段，第三段的长度。#2. 设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。（1） （2） （3） （4）A发生，B与C不发生。
解：ABC A与B都发生，而C不发生。
解： ABC A，B，C都发生。
解： ABCA，B，C中至少有一个发生。
解： A?B?C（5） A，B，C都不发生。
解： ABC（6） A，B，C中至多有一个发生。
解： AB?BC?CA （7） A，B，C中至多有二个发生。
解： A?B?C（8） A，B，C中至少有二个发生。
解： AB?BC?CA. #3. 设S??1,2,?,10?,A??2,3,4?，B??3,4,5?，C??5,6,7?，具体写出下列各等式（1）AB。
解： AB??5?；（2）A?B。
解： A?B??1,3,4,5,6,7,8,9,10?；（3）AB。
解：AB??2,3,4,5?；（4） ABC。
解： ABC??1,5,6,7,8,9,10?（5）A(B?C)。
解： A(B?C)??1,2,5,6,7,8,9,10?. #4. 设S??x0?x?2?，A3??1??1??x?x?1?，B??x?x??，具体写出下列各式。2??2??41??3??A?B??x0?x????x?x?2?4??2??（1）A?B。
解： （2）A?B。
解： （3）AB。
解：1??13????A?B??x0?x????x?x?1???x?x?2?4??22????AB????11??3????x?x????x1?x??42??2??（4）AB。
解：AB. #5. 设A，B，C是三事件，且P(A)?P(B)?P(C)?14，P(AB)?P(CB)?0，P(AC)?8，求A，B，C至少有一个发生的概率。 解：由题意可知：P(ABC)?0，故P?A?B?C??P?A??P?B??P?C??P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC或 ?(A?C)?B??，?P?A?B?C??P((A?C)?B)?P?A?C??P?B??P(A)?P?C??P(AC)?P(B)?58)?58。。#6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。（1） 求恰有90个次品的概率。 （2） 至少有2个次品的概率。解：（1）?????400??1100????11090?????200?????????1500??200???； ??（2） 设P(k)表示有k个次品的概率，故至少有2个次品的概率为：?k?2?1100P(k)?1?P(0)?P(1)?1???200??????????????400??????1??1100????199???????????1500??200?????. #7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算）？
（2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少？
解：（1） 属“分房问题”，即有n个人，每个人都以1N的概率被分在N间房中的每一间中，某指定房间中至少有一人的概率。设某指定房间中恰有k个人的概率为P(k)，则有??n?n?k???N?1?P(k)????????k????nNn?n??1??N?1?????k??N??N???????nkn?k。故，某指定房间中至少有一人的概率为：?k?1?N?1?P(k)?1?P(0)?1????N?。所以，500个人中至少有一个人的生日是10月1日的概率为：?364?1????365?500?1?0.34（2） 属“分房问题”，即有n个人，每个人都以N的概率被分在N间房中的每一间中，至少有二个人在同一间房中的概率。设A为“每一间房中至多有一个人” 基本事件个数：Nn。“每一间房中至多有一个人”事件的个数为：N!(N?n)!。所以，“至少有二个人在同一间房中的概率”等于“至少有二个人的生日在同一个月的概率”。1?N!?n)!Nn?1?12!(12-4）！?1?0.1412。 #8. 甲、乙位于二个城市，考察这二个城市六月份下雨的情况。以A，B分别表示甲，乙二城市出现雨天这一事件。根据以往的气象记录已知P(A)?P(B)?0.4，求P(A/B)，P(AB)?0.28，P(B/A)及P(A?B)。 解： P(A/B)?P(AB)P(B)?0.280.4?0.7P(AB)P(A)0.280.4；P(B/A)??0.7P(A?B?P(A)?P(B)?P(AB)?0.4?0.4?0.28?0.52。 #9. 已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。（1） 二只都是正品。 （2） 二只都是次品。（3） 一只是正品，一只是次品。 （4） 第二次取出的是次品。解：
??(2) (3) (4)?8????2??2????2????10?8!?8!?2!28?????2?2!?6！?10！45???10?8!?2!1?????2?10！45??；；；或810?29?210?89?1645?8??2??????1??1??????10?8?2?8!?2!16?????2?10！45??；810?29?210?19?945。 #10. 某工厂中，机器B1,B2,B3分别生产产品总数的25%，35%和40%。它们生产的产品中分别有5%，4%，2%的次品，将这些产品混在一起，今随机地取一只产品，发现是次品。问这一次品是机器B1,B2,B3生产的概率分别是多少？解：设A为“次品”，已知：P(B1)?0.25，P(B2)?0.35，P(B3)?0.40；P(A/B1)?0.053，P(A/B2)?0.04，P(A/B3)?0.02，。故由，P(A)??P(A/Bj?1j)P(Bj)?0.05?0.25?0.04?0.35?0.02?0.40?0.0345P(A/Bi)P(Bi)P(A)P(Bi/A)?可得：0.05?0.250.0345??2569??0.36232； 2869?0.40580P(B1/A)?P(A/B1)P(B1)P(A)?P(B2/A)?P(A/B2)P(B2)P(A)0.04?0.350.0345；P(B3/A)?P(A/B3)P(B3)P(A)?0.02?0.400.0345?1669?0.23188。 #11. 将二信息分别编码为A和B传送出去，接收站接收时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01。信息A与信息B传送的频繁程度为2:1。若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？解：设：A?,B?分别表示收到信息是A 和B。由已知条件可知:，P(A?/B)?0.01，P(A?/A)?0.98，P(B?/B)?0.99P(A)?2/3，P(B)?1/3。?P(A?)?P(B)P(A?/B）?P(A)P(A?/A)?197/300P(B?/A)?0.02?P(A/A?)?P(A)P(A?/A)P(A?)?196197?0.9949。 #12. 如图所示1，2，3，4，5，6表示继电器接点。假设每一继电器接点闭合的概率为p，且设各继电器接点闭合与否相互独立。求L至R连通的概率是多少？LR解:
P[(1?3)?(2?3)?4?(5?6)]?P(1?3)?P(2?3)?P(4)?P(5?6)?P(1?3?2)?P(1?3?4)?P(1?3?5?6)?P(2?3?4)?P(2?3?5?6)?P(4?5?6)?P(1?3?2?4)?P(1?3?2?5?6)?P(1?3?4?5?6)?P(2?3?4?5?6)?P(1?3?2?4?5?6)2456?p?3p?4p?3p?p。 #13. 对飞机进行三次独立的射击，第一次射击的命中率为0.4，第二次为0.5，第三次为0.7。飞机击中一次而被击落的概率为0.2，击中二次而被击落的概率为0.6，若被击中三次则飞机必然被击落，求射击三次而击落飞机的概率。解:
设Ai：为第i次射击命中飞机；Bi：飞机击中i次而被击落。C：射击三次而击落飞机P(C)?P(B1)P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)???P(B2)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)??P(B3)P(A1A2A3)。 #?0.2(0.06?0.09?0.21)?0.6(0.06?0.14?0.21)?0.14?0.072?0.246?0.14?0.45814. 一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取三只。以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的概率密度。解： ? px???2?????x?1??5???3????15.
设随机变量X的概率密度为P{X?k}?a（2）设随机变量X的概率密度为P{X???kk!，k?0,1,2,?,??0为常数，试确定常数a。?k}??aN，k?0,1,2,?,N?1，试确定常数a。?解： （1）??k?0?P{X?k}??ak?0?kk!?a?k?0?kk!?ae?1， ?a?e??N?1(2)
??P{X?k}??k?0k?0aN?N*aN?1，
?a?1。 #16. 设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号。（1）进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率。（2）进行了7次独立试验，求指示灯发出信号的概率。?n?k5?k??K}???k??0.3?0.7??设：Y?X1?X2???Xn，则P{Y5。（1）n（2）n?5时，P(Y?3)??7?5????0.3k?0.75?k?0.16308?k?k?3???7????0.3k?0.77?k?0.353?k?k?3???7时，P(Y?3)??。 #17. 一电话交换机每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：（1）每分钟恰有8次呼唤的概率。（2）每分钟的呼唤次数大于10的概率。解:
? 参数为4的泊松分布为：P{X4*e8!8?4?k}?4?ek!k?4， k?0,1,2,?。 故，10(1)P{X?8}??0.02977； (2)P{X?10}?1??P{Xk?0?k}?0.。 #18. 设随机变量X的分布函数为?x??1?e,x?0,F(x)???0,x?0.?求P{X?2},P{X?3}， （2）求概率密度f(x)。解：（1）P{X?2}?F(2)?1?e?2?0.8647 （2）P{X?3}?1?F(3)?0.04979
(3)?x??e,f(x)?F?(x)????0,x?0x?0。 #19. 一工厂生产的电子管的寿命X（以小时计）服从参数为?P{120?X?200}?0.80,允许?最大为多少？ 解： ?f(x)?12??2?160，?的正态分布，若要求exp[?(x?160)2?22]2001(x?160)2?P{120?x?200}??1202??2exp[?2?2]dx40/?1y240/?1y2??2?exp[?2]dy?2??exp[??40/?????2]dy?0.5?2???0.80?40/?2即，?1exp[?y9,
查表可得：40??2?2]dy?0.??1.28??max?31.25。 #20.求Y?X2的概率密度。解：由Y?X2可知：SY?{0,1,4,9}。故有21. 设X的概率密度为?2xf(x)???,0?x??，求Y?sinX的概率密度。??2?0,其它解：?0?x??,0?y?sinx?1，故X??arcsinY?。???arcsinY又?FY(y)?P{Y?sinX?y}?P{0?X?arcsiny}?P{??arcsiny?X??}arcsiny??2x?2x?2?y?1?2dx????arcsiny?2dx?arcsiny， 0?21,0?y?1?fy)?F?Y(Y?(y)???2。 #??y?0,其它22. 设随机变量（X，Y）的概率密度为?2xyf(x,y)???x?3,0?x?1,0?y?2,??0,其它.求P{X?Y?1}。 解：12P{X?Y?1}???f(x,y)dydx??[?f(x,y)dy]dx?1?x1212??[(x2?xy2?3)dy]dx?(xy?xy2)dx1?x?061?x??1(56x?343x2?12x)dx?524x4?49x?3141x20?6572。 #23. 设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N(160,202)分布，随机地选取4只，求其中没有一只寿命小于180 小时的概率。解： 设Xk为取出的第k只管子的寿命，故，2F12Xk(180)??180exp(?(x?160)dx令y?(x?160)201exp(?y??202?2?202)?1??2?2)dy?0.8413令N4?min(X1,X2,X3,X4)。因为{Xk}相互独立，且同分布，所以，P{N44?180}?1?P{N4?180}?1?Fmin(180)?1??1??1?FXk(180)????1?FXk(180)?4?(0.1597)4。24. 设随机变量X的概率密度为求E(X),E(X2),E(3X2?5)。解：E(X)??2?0.4?0?0.3?2?0.3??0.2，E(X2)?(?2)2?0.4?02?0.3?22?0.3?2.8，E(3X2?5)?3E(X2)?5?3?2.8?5?13.4。 #25. 设X服从二项分布，其概率密度为P?X?k????n??k?kn?k?p(1?p),k?0,1,2,?,n.0?p?1. 求E(X)和D(X)。??nn解：E(X)??kP{X?k}??k??n??k?0?k?kn?k?p(1?p)k?0?n??kn(n?1)(n?2)?[n?(k?1)]pk(1?p)n?kk?0k!n?np?(n?1)(n?2)?[(n?1)?(k?2)]pk?1(1?p)(n?1)?(k?1)k?0(k?1)!?np(p?1?p)n?1?npE(X2)?E[X(X?1)?X]?E[X(X?1)]?E(X)n??k(k?1)??n??kn?k?k?0?k?p(1?p)?np?n?n(n?1)p2?(n?2)(n?3)?[(n?2)?(k?3)]?2)?(k?2)?npk?0(k?2)!pk?2(1?p)(n?n(n?1)p2(p?1?p)n?2?np?n(n?1)p2?npD(X)?E(X2)??E(X)?2?n(n?1)p2?np?n2p2?np(1?p)。 #26. 设X服从泊松分布，其分布律为##k??P?X?k???ek!,k?0,1,2,?,??0. 求E(X)和D(X)。?k解：E(X)??k?e?????e????k?1?e???e???，k?0k!k?1(k?1)!?E(X2)?E[X(X?1)?X]?E[X(X?1)]?E(X)????k?2??k(k?1)?ke????????2??k?0k!????2ek?2(k?2)!D(X)?E(X2)??E(X)?2??2????2??。 #27. 设X服从均匀分布，其概率密度函数为?f(x)??1?b?a,a?x?b,
求E(X)和D(X)。??0，其它，解：E(X)??bx1b，ab?adx?a?2E(X2)??E(X)?2bD(X)???x21?a?22ab?adx??b????b?a??2?12。 #28. 设X服从正态分布，其概率密度函数为f(x)?1??x-??2exp???0,???x???。 求E(X)和D(X)。2????2?2?，????解：??E(X)??x1??x-??2exp?， 令x??，则??2?????dx??2?2????t??E(X)?1(?t??)exp???t2?1???t??)exp??2??????dx?2??t2(??2???????2?dt???????exp?t2/22???2?????dt??2?其中，2??f(t)?texp(?t/2)为奇函数，故?texp(?t2/2)dt?0；??而???exp??t2/2????1?1dt?2exp??t2/2?dty?t2/22y2exp??y?dy?2Γ(1????0?2)?2??(?)????x??1exp??x?dx,?(1。2)???D(X)?1(x??)2exp????x-??2?
（令x??2??????dx??2?2????t）2??222????exp?t/2?dt????t2/2?exp??t2/2dt??2???2。 #2????t???2???te?????????2?2?29. 对于任意两个随机变量X，Y，证明下式成立：（1） D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)；（2） Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)。证： ?D(X?Y)?E?X?E(X)?Y?E(Y)?2???E??X?E(X)???Y?E(Y)??2?X?E(X)??Y?E(Y)?? ?X?E(X)???E??Y?E(Y)???2E??X?E(X)??Y?E(Y)?? ?E?2222?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)? D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)；? Cov(X,Y)?E??X?E(X)??Y?E(Y)???E?XY?E(X)Y?XE(Y)?E(X)E(X)?? Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)。 #?E(XY)?E(X)E(Y)?x??e,f(x)????0,30. 设随机变量X的概率密度函数为解：E?Y?2X???2Xx?0x?0。求（1）Y=2X，（2）Y?e?2x的数学期望。???2xe???xdx??2ee?x?x??0?2；??EY?e????e?2xdx??13e?3x?1/3。 #31. 设随机变量（X，Y）的概率密度函数为?K,0?x?1,0?y?x,f(x,y)??0,其它，?试确定出常数K，并求E(XY)。???解： ???????????f(x,y)dxdy?1，故?1???Kdy?dx?0?1x?1Kxdx?1K23?1，? K?2 14E(XY)?????????xyf(x,y)dxdy???0?xx?2ydy?0???dx???xdx?。 #32. 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700。 利用契契比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在之间的概率。解： 已知：??7300，??700。? ??/2?7300??P?X?????2100??1?故令???22?22?1??8/9?0.8889?0?8/9?0.8889 PX???210?。 #33. 设随机变量X的概率密度函数为 解：E(X)????x?,??ef(x)????0,x?0x?0，其中??0为常数。求E(X)和D(X)。???xe2??xdx?1?2???ye?ydy?21??(2)?1??，
（? ?(n?1)?n?(n)?n!）1D(X)?E(X)??E(X)??????xe??xdx?1?2?2???ye2?ydy?1?2?1?2?(3)?1?2?1?2。 #34. 设随机变量X的概率密度函数为D(X)。2?xx?exp(?),2f(x)??2?2??0,?x?0x?0，其中??0为常数。求E(X)和解：E(X)????x22?exp(?x222?)dx?2????1t2e?tdt?2??(1?1)?22?2?/2?，（?D(X)?E(X?(n?1)?22(2n?1)!!22n???）32)??E(X)???x?exp(?x2?22)dx???22?2?2???texp(?t)dt?2?2???22?4??2?2。#35. 设随机变量X的概率密度函数为P?X?k??pqk?1，k?1,2,?。其中0?则称 X服从参数为p的几何分布。试求E(X)和D(X)。?p?1,q?1?p为常数，解：E(X)??kpqk?1k?1??p?????k?1???1kq??p??1?q??????1??p????1?q?2???1???p??2，k?1D(X)?E(X?2)??E(X)??E[X(X?1)]?E(X)??E(X)??2?k(k?1)pqk?1?1p?1p2=?pq????k?1???1qkq???pq??1?q2?p?????q2????pq?2??1?q?3p???qq???2?p2p?。 #36. 设随机变量(X，Y)的概率密度函数为.Cov(X,Y)。f(x,y)?18(x?y),0?x?2,0?y?2。求E(X)、E(Y)、解： E(X)???????????xf(x,y)dxdy?18????[02222(x2?xy)dy]dx?18?202(xy?2xy2222)dx?0214?202(x2?x)dy?76，E(Y)???????????yf(x,y)dxdy?18????[(y2?xy)dx]dy?18?(yx?2xy23)dy?022142?(y2?y)dy?276，43E(XY)?????xyf(x,y)dxdy?18????[22(xy?xy)dx]dy?761362218?2(xy3?xy2)dy??2(y3?y4)dy?，Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?43?76???。#37. 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为接近于它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在（-0.5，0.5）上服从均匀分布。（1） 若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？ （2） 几个数可加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率为0.90？解： 设X为取整误差，则E(X)?0,D(X)?σ2?1/12。（1）?P???1500k?1Xk?1??15??P???/?1500k?11500k?1Xk??15/?1.34?????1?P???1???Xk?1.34???Xk?1?1?[P???1??e1500k?12??1?1.34??P????dt1500k?1Xk???1.34?]??1.3412??t/2dt?????1.3412?e?t/22???1?0.1?0.1802k?1或：P????1500k?1Xk?1??15??P???/?1?2[1?P???2[1??1500Xk??15/?1.34??12?e?t/22?enk?11500k?12Xk??1.34?]??1.3412??t/2dt]?2?[1?0.210/n??（2） ??P???nk?1X1k???10??P???e?t/221n/?Xk??10/n??1?2[1???dt]?0.90????10/ndt]?0.95，10/n?1.645，??2?n?443。 #38. （1）一个复杂的系统，由100个相互独立起作用的部件所组成。在整个运行期间每个部件损坏的概率0.10。为了使整个系统起作用，至少必需有85个部件工作，求整个系统工作的概率。（2）一个复杂的系统，由n个相互独立起作用的部件所组成。每个部件的可靠性（即部件工作的概率）为0.90。且必须至少有80%部件工作才能使整个系统工作，问n至少为多少才能使系统的可靠性为0.95。解： 设每个部件损坏的概率P{Xk?0}?0.10，则每个部件未损坏的概率P{Xk?1}?0.90。100令?100率为：??k?1Xk，由此可知?100具有参数为n?100，p?0.90的二项分布， 故整个系统工作的概(1) P{85??100?100}?P{?85?90312?e2??np?100?903?P{?53??np?103?10/3?t/2dt?0.5?0.9520?5/3n3?(2) ?P{0.8n??n?n}?P{0.8n?0.9n0.09n12?e?2?n?npnp(1?p)?100?n?0.9n0.09n12?e?P{?2?n?npnp(1?p)?100?n3}?n/3?n/3n/3?t/2dt?1?2[1???n/3?t/2dt]?0.95???12?e?t/22??dt?0.975?n3?1.96,
?n?35。 #39. 某个单位设置一电话总机，共有200架电话分机。设每个电话分机有5%的时间要使用外线通话，假定每个分机是否使用外线通话是相互独立的。问总机要多少外线才能以90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用。解：设要m条外线才能以90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用。已知：P{Xk?1}?0.05，P{Xk?0}?0.95令?n??200k?1Xk, 则?n具有参数为n?n?npnp(1?p)12?e?t/22?200，p?0.05的二项分布。9.5???10P{0??n?m}?P????9.5??m?10????9.5??dt??(m?10)/9.512?e?t/22dt10/?(m?10)/9.5????10/9.512?e?t/22dt?0.90??11?(m?10)/.512?e?t/22dt?????10/9.512?e?t/22dt?0.90?0.?0.9007??m?109.5?1.32?m?14。 #12
范文二：05-06概率论与随机过程试题参考答案（A）1. (1) 由于且ABC?AC，那么0?P(ABC)?P(AC)。又P?AC??0，所以A,B,C都发生的概率为:P?ABC??0;(2)
A,B,C至少有一个发生的概率为：P?A?B?C??P?A??P?B??P?C??P?AB??P?BC??P?AC??P?ABC?1?; 2(3)
A,B,C都不发生的概率为1P???PA?B?C?1?P?A?B?C??..2?2.（1）因为+?1a. f(x)dx?axdx??-??02??由密度函数的性质?f(x)dx=1. 因此-?（2）X的分布函数F(x)为?0x?F(x)??f(t)dt??x2-??1?a?2,x?0,,0?x?1, ,x?1.3. 由题意及乘法公式容易求得(X,Y)的分布律．11P?X?i,Y?j??P?Y?jX?i??P?X?i???，i?1,2,3,4.j?i．i4(X,Y)的分布律为：由公式pi??1，同理，p2??p3??p4??；44ijj?14137325，同理得p?2?，p?3?，p?4?． p?1??pi1??pij，p?j??pij，可得p1???p1j?列表得：4．???1?2?x2,?2?x?2,fX(x)??f(x,y)dy??????0,其它，??1???2?y2,?2?y?2,fY(y)??f(x,y)dx??????0,其它，?显然f(x,y)?fX(x)?fY(y)，所以X和Y不是相互独立的．??21E(X)??xfX(x)dx??x?2?x2dx?0,???2?同理E(Y)?0. 而E(XY)??dx?xyf(x,y)dy???xy????D????1dxdy2?1?2?于是?2?0d??r2sin?cos?rdr?0，Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0,所以X和Y是不相关的.。第k部分机使用外线,(k?1,2,?,260)，X1,X2,?,X260第k部分机不使用外线.是260个相互独立的随机变量，且E(Xk)?p?0.04．m?X1?X2???X260表示同时使用外线的分机数，根据题意应确定最小的x使P{m?x}?95%成立．5. 令Xk???1,?0,由中心极限定理有t?x?260p??m?260p?b1?2P{m?x}?P??edt， ?????p(1?p)????260p(1?p)?查得?(1.65)?0.，故取b?1.65．于是2x?b260p(1?p)?260p?1.65?260?0.04?0.96?260?0.04?15.61．也就是说，至少需要16条外线才能95%满足每部分机在使用外线时不用等候6.（1）依题意，这一装置的寿命为W100，即100次“震动”的等待时间，它服从参数为100，5的Γ分布. 所以寿命W100的概率密度为?5(5t)99?5t?,t?0,fW100(t)??99!e?0,t?0.?100?20. （2）装置的平均寿命为E[W100]?5（3）相继两次“震动”时间间隔Ti?Wi?Wi?1服从参数为5的指数分布，其密度函数为,t?0,,t?0.1（4）相继两次“震动”的平均时间为E[Ti]?（h）．57.
（１） P{X(0)?1,X(1)?0,X(2)?2}＝P{X(0)?1}P{X(1)?0|X(0)?1}P{X(2)?2|X(1)?0} 2111＝???． 33627（２）因为?5e?5tfTi(t)???0?13171?????P(2)?P2???1????6124?无零元，由遍历性定理知此齐次马氏链是遍历的，具有极限分布??（?1，满足 ?2?3）11????2??11?23?121??1??2??3??2?332?11???3??31?2?6??1??2??3?1解之得?1?692,?2?,?3?．. 171717,0???2?,,其它.2?8.
由假设?的密度函数为?1f(?)???0于是，由定义所求均值函数?X(t)?E[acos(?t??)]??0acos(?t??)?而自相关函数1d??0, 2?RX(t1,t2)?E[a2cos(?t1??)cos(?t2??)]?a又因为2?2?1a2cos(?t1??)cos(?t2??)?d??cos??，2?2?X(t)??lim1acos?sin?T??0， ??TT???2T?T1T2a2?X(t)X(t??)??limacos(?t??)cos[?(t??)??]dt?cos??.T???2T??T21T???2TTacos(?t??)dt?lim所以?X(t)???X(t),?X(t)X(t????RX(?).因此随机过程X(t)?acos(?t??)是各态历经的9．
设事件Ai表示“任挑一箱是第i条箱”，Bi表示“第i次取到的零件是一等品”，其中i?1,2。因为“第一次取得零件是一等品”发生的原因有：此一等品可能是第一箱的零件，也可能是第二箱的零件，因此A1,A2是B1发生的原因，故A1,A2是样本空间S的一个划分，且P(A1)?P(A2)?2。由题设有11C10C1813P(B1|A1)?1?，P(B1|A2)?1?C305C505(1) 由全概率公式得第一次取得零件是一等品的概率为11132P?B1??P?A1??P?B1|A1??P?A2??P?B1|A2??????25255(2) 由条件概率及全概率公式有P(B2|B1)?P(B1B2)P(A1)P(B1B2|A1)?P(A1)P(B1B2|A1)?P(B1)P(B1)22?C18. ???2??2??2?2C502C30?1421
范文三：《概率论与随机过程》第一章习题答案1. 写出下列随机试验的样本空间。（1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。
解：n?100??01S??,,?,?n??nn，其中n为小班人数。（2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。
解：S??3,4,?,18?。
（3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数。
解：S??3,4,?,10?。（4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。
解：S??10,11,??。（5） 一个小组有A，B，C，D，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选举的结果。解：S??AB,AC,AD,AE,BA,BC,BD,BE,CA,CB,CD,CE,DA,DB,DC,DE,EA,EB,EC,ED?其中，AB表示A为正组长，B为副组长，余类推。（6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。解：S??e0,e1,e2?其中，e0为和棋，e1为甲胜，e2为乙胜。（7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。解： 色。（8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。S??r,w,b,rw,rb,wb,rwb?其中，r,w,b,分别表示红色、白色、蓝解： S??00,100,10,11,10,11110为次品，?其中，1为正品。（9） 有A，B，C三只盒子，a，b，c三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。
解：S??Aa,Bb,Cc;Ab,Bc,Ca;Ac,Ba,Cb;Aa,Bc,Cb;Ab,Ba,Cc;Ac,Bb,Ca?其中，Aa表示球a放在盒子A中，余者类推。（10） 测量一汽车通过给定点的速度。
解：S??vv?0? （11） 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。解： S???x,y,z?x?0,y?0,z?0,x?y?z?1?其中，x,y,z分别表示第一段，第二段，第三段的长度。#2. 设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。 （1） A发生，B与C不发生。
解：ABC （2） A与B都发生，而C不发生。
解： （3） A，B，C都发生。
解：ABCA?B?C AB（4） A，B，C中至少有一个发生。
解： （5） A，B，C都不发生。
解：AA??CA（6） A，B，C中至多于一个发生。
解： （7） A，B，C中至多于二个发生。
解： （8） A，B，C中至少有二个发生。
解：??AB?BC?CA. #3. 设S??1,2,?,10?,A??2,3,4?，B??3,4,5?，C??5,6,7?，具体写出下列各等式 （1）B。
解： AB??5?；（2）?B。
解： ?B??1,3,4,5,6,7,8,9,10?；（3）。
解：A??2,3,4,5?； （4） ABC。
解： ABC??1,5,6,7,8,9,10?（5）A(B?C)。
解： A(B?C)??1,2,5,6,7,8,9,10?. #13???14. 设S??x0?x?2?，A???x?x?1?，B??x?x??，具体写出下列各式。?2（1）A?B。
解： （2）A?。
解：???A?B??x0?x??42?1??3????x?x?2?4??2?1??1???3?A???x0?x????x?x?1???x?x?2?4??2???2?（3）A。
解： A???? 11??3?（4）B。
解：B???x?x????x1?x??. # 422????5. 设A，B，C是三事件，且P(A)?P(B)?P(C)?4，P(AC)?8，P(AB)?P(CB)?0，求A，B，C至少有一个发生的概率。 解：由题意可知：，故P(ABC)?05P?A?B?C??P?A??P?B??P?C??P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC)?。85或 ?(A?C)?B??，?P?A?B?C??P((A?C)?B)?P?A?C??P?B??P(A)?P?C??P(AC)?P(B)?。8#6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1） 求恰有90个次品的概率。 （2） 至少有2个次品的概率。?400??1100???1500?解：（1）????90????110?????200??；??????????（2） 设P(k)表示有k个次品的概率，故至少有2个次品的概率为：1100??
?P(k)?1?P(0)?P(1)?1???200????k?2200?1500???400??1100????200??????1????199??????????????1500???200????. #7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算）？（2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少？
解：（1） 属“分房问题”，即有n个人，每个人都以N的概率被分在N间房中的每一间中，某指定房间中至少有一人的概率。设某指定房间中恰有k个人的概率为P(k)，则有kn?k??n??n??1??N?1?n?k?nP(k)????k???N?1??N???k???N??N?????????????。故，某指定房间中至少有一人的概率为：??N?1?P(k)?1?P(0)?1???N??k?1500nn。所以，500个人中至少有一个人的生日是10月1日的概率为：?364?1????365??1?0.34（2） 属“分房问题”，即有n个人，每个人都以N的概率被分在N间房中的每一间中，至少有二个人在同一间房中的概率。 设A为“每一间房中至多有一个人” 基本事件个数：Nn。“每一间房中至多有一个人”事件的个数为：N!。(N?n)!所以，“至少有二个人在同一间房中的概率”等于“至少有二个人的生日在同一个月的概率”。 N!?n)!12-4）！1??1??1?0.1 。 #
n4N128. 一盒子中有4只次品晶体管，6只正品晶体管，随机地抽取一只测试，直到4只次品管子都找到为止。求第4只次品管子在下列情况发现的概率。 （1） 在第5次测试发现。 （2） 在第10次测试发现。4?6?4?3?2?1?4??10??4!??10!?22??????
?；或； ????????3?10?9?8?7??3!4!?6!105
（2）???4??6???3????6???????????????10?2??9???5??。 #9. 甲、乙位于二个城市，考察这二个城市六月份下雨的情况。以A，B分别表示甲，乙二城市出现雨天这一事件。根据以往的气象记录已知P(A)?P(B)?0.4，P(AB)?0.28，求P(A/B)，P(B/A)及P(A?B)。0.28P(AB)0.28解： P(A/B)?P(AB)??0.7；??0.7 P(B)0.4P(A)0.4P(A?B?P(A)?P(B)?P(AB)?0.4?0.4?0.28?0.52。 #10. 已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。（1） 二只都是正品。 （2） 二只都是次品。 （3） 一只是正品，一只是次品。 （4） 第二次取出的是次品。8??10?8!?8!?2!28????解：
?； ???2??2?2!?6！?10！45(2) (3) (4)?????2??10?8!?2!1???2????2???10！45?????8??2?10?8?2?8!?2!16???1????1????2???10！45??????；；或8?2?2?8?16；1091094582219。 ????#11. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？9??10?9!3!?7!????解：(1) ????0.3; ?2??3?2!?7!10！(2)12. 某工厂中，机器B1,B2,B3分别生产产品总数的25%，35%和40%。它们生产的产品中分别有5%，4%，2%的次品，将这些产品混在一起，今随机地取一只产品，发现是次品。问这一次品是机器B1,B2,B3生产的概率分别是多少？ 解：设A为“次品”，已知：P(B1)?0.25，P(B2)?0.35，P(B3)?0.40；P(A/B1)?0.05，P(A/B2)?0.04，P(A/B3)?0.02，P(A)????4???2???????5?4!3!?2!???0.6?3???2!?2!5！??。 #?P(A/B)P(B)?0.05?0.25?0.04?0.35?0.02?0.40?0.0345。故由，jjj?13P(Bi/A)?P(A/Bi)P(Bi)可得： P(A)P(A/B1)P(B1)0.05?0.2525???0.36232； P(A)0.034569P(A/B2)P(B2)0.04?0.3528???0.40580； P(A)0.034569P(A/B3)P(B3)0.02?0.4016???0.23188。 # P(A)0.034569P(B1/A)?P(B2/A)?P(B3/A)?13. 将二信息分别编码为A和B传送出去，接收站接收时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01。信息A与信息B传送的频繁程度为2:1。若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？解：设：A?,B?分别表示收到信息是A 和B。由已知条件可知:P(B?/A)?0.02，P(A?/B)?0.01，P(A?/A)?0.98，P(B?/B)?0.99P(A)?2/3，P(B)?1/3。
?P(A?)?P(B)P(A?/B）?P(A)P(A?/A)?197/300?/A)196?P(A/A?)?P(A)P(A??0.9949。 # ?P(A)19714. 如图所示1，2，3，4，5，6表示继电器接点。假设每一继电器接点闭合的概率为p，且设各继电器接点闭合与否相互独立。求L至R连通的概率是多少？LR解:P[(1?3)?(2?3)?4?(5?6)]?P(1?3)?P(2?3)?P(4)?P(5?6)?P(1?3?2)?P(1?3?4)?P(1?3?5?6)?P(2?3?4)?P(2?3?5?6)?P(4?5?6)?P(1?3?2?4)?P(1?3?2?5?6)?P(1?3?4?5?6)?P(2?3?4?5?6)?P(1?3?2?4?5?6)?p?3p2?4p4?3p5?p6。#15. 对飞机进行三次独立的射击，第一次射击的命中率为0.4，第二次为0.5，第三次为0.7。飞机击中一次而被击落的概率为0.2，击中二次而被击落的概率为0.6，若被击中三次则飞机必然被击落，求射击三次而击落飞机的概率。解:
设Ai：为第i次射击命中飞机；Bi：飞机击中i次而被击落。C：射击三次而击落飞机P(C)?P(B1)?P(A123)?P(1A23)?P(12A3)??P(B2)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)??P(B3)P(A1A2A3)?0.2(0.06?0.09?0.21)?0.6(0.06?0.14?0.21)?0.14?0.072?0.246?0.14?0.458。 #16. 一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取三只。以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的概率质函数。 解： ??x?1?px???2?????5???3????17. (1)
设随机变量X的概率质函数为P{X?k}?ak!，k?0,1,2,?,?k??0为常数，试确定常数a。（2）设随机变量X的概率质函数为P{X?k}?a，k?0,1,2,?,N?1，试N确定常数a。解： （1）??P{X?k}??ak?0k?0???kk!?a?k!?ae??1， ?a?e??k?0??k(2)
??P{Xk?0??k}??k?0N?1aa?N*?1， NN?a?1。 #18. 设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号。（1）进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率。（2）进行了7次独立试验，求指示灯发出信号的概率。n?k5?k?设：Y?X1?X2???Xn，则P{Y?K}???k???0.3?0.7。??5?k5?k??0.16308 （1）n?5时，P(Y?3)????k???0.3?0.7k?3?75?7?k7?k???0.3?0.7?0.353。 # （2）n?7时，P(Y?3)????k?k?3??19. 一电话交换机每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：（1）每分钟恰有8次呼唤的概率。（2）每分钟的呼唤次数大于10的概率。解:
? 参数为4(1)20. 设随机变量X的分布函数为?x??1?e,x?0,F(x)???x?0.?0,4k?e?4的泊松分布为：P{X?k}?k!， k?0,1,2,?。 故，48*e?4P{X?8}??0.02977； 8!(2)P{X?10}?1??P{X?k}?0.。 #k?010求P{X?2},P{X?3}， （2）求概率密度f(x)。解：（1）P{X?2}?F(2)?1?e?2?0.8647（2）P{X?3}?1?F(3)?0.04979
(3)21. 一工厂生产的电子管的寿命X（以小时计）服从参数为??160，?的正态分布，若要求P{120?X?200}?0.80,允许?最大为多少？ 解： ?f(x)?12??2?x??e,f(x)?F?(x)????0,x?0x?0。 #(x?160)2exp[?] 22?200?P{120?x?200}?40/?120?12??2(x?160)2exp[?]dx22?2??40/???40/?1yexp[?]dy?2??22????1yexp[?]dy?0.5??0.8022?2即，40/??1?exp[?y2]dy?0.9,
查表可得：40??2??1.28??max?31.25。 #22．设随机变量X的概率质函数为求Y?X2的概率质函数。 解：由Y?X2可知：SY?{0,1,4,9}。故有23.
设X的概率密度为?2xf(x)????2,0?x???，求Y?sinX的概率密度。 ?0,其它解：?0?x??,0?y?sinx?1，故X???arcsinY。???arcsinY又?FY(y)?P{Y?sinX?y}?P{0?X?arcsiny}?P{??arcsiny?X??}arcsiny??2x?2dx?0???arcsin?2xy??22?arcsiny， 0?y?1?1?f?F?20?y?1Y(y)Y?(y)?????y2, 。 #?0,其它24. 设概率变量（X，Y）的概率密度为?f(x,y)???x2?xy,0?x?1,0?y?2,?3?0,其它.求P{X?Y?1}。 解：P{X?Y?1}???f(x,y)dydx?2??1[?1?xf(x,y)dy]dx22??120[?xy1?x(x?3)dy]dx??1(x2y?xy206)dx1?x??1(5x3?4x215144312063?2x)dx?24x?9x?4x?65。 #7225.
设X和Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为f)???1,0?x?1,X(x?0,其它.f(y)????e?y,y?0,Y??0,y?0.试求随机变量Z=X+Y的概率密度。???f(x,y)dxdy,0?z?1,?(0?x?z,0?y?z??1?解：?F??1z(z)??f(x,y)dxdy,z?1,?2(0?x?1,0?y?z?x?????2??,z?0,
?z????z?x0???0e?ydy???dx?z?1?e?z,0?z?1,????1?z?xe?ydy?dx?1?e?z0???0??0,?(e?1),z?1,z?0,??1?e?z,0?z?1,?fz)??z(z)?Fz?(?(e?1)e?z,z?1,。 #??0,z?0.26. 设概率变量（X，Y）的概率密度为2f(x,y)?1?y22??2exp(?x2?2),???x???,???y???。求Z?X2?Y2的概率密度。解：?FZ(z)?x2?y2?z??f(x,y)dxdy?2??12x2?y2?z??exp(?x2?y22?2)dxdyx2?y2?z是以原点为中心，z为半径的圆域。且z?0，故z?0时，FZ(z)?0。令x?rcos?,FZ(z)?12??2y?rsin?r2，则??2?????z?exp(?)rdr?d??22????zr2zexp(?)d()??exp(?)?1?exp(?)?0r2r2z?fZ(z)?'FZz?1),z?0?2exp(?2。 (z)??2?2??0,z?0?#27. 设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N(160,202)分布，随机地选取4只，求其中没有一只寿命小于180 小时的概率。解： 设Xk为取出的第k只管子的寿命，故，FXk(180)??1801??202?exp(?(x?160)22?202)dx令y?(x?160)20?1??y2exp(?)dy?0.84132?1令N4?min(X1,X2,X3,X4)。因为{Xk}相互独立，且同分布，所以，P{N4?180}?1?P{N4?180}?1?Fmin(180)?1?1?1?FXk(180)??????1?F4Xk(180)?4?(0.1597)4。 ##28. 设随机变量X的概率质函数为求E(X),E(X2),E(3X2?5)解：E(X)??2?0.4?0?0.3?2?0.3??0.2， E(X2)?(?2)2?0.4?02?0.3?22?0.3?2.8，E(3X2?5)?3E(X2)?5?3?2.8?5?13.4。 #29. 设X服从二项分布，其概率质函数为P?X?k????n??kn?k?k???p(1?p),k?0,1,2,?,n.0?p?1. 求E(X)和D(X)。解：nnE(X)??kP{X?k}??k??n??kn?k?k??p(1?p)?k?0k?0n??kn(n?1)(n?2)?[n?(k?1)]pk(1?p)n?kk?0k!n?np?n(n?1)(n?2)?[(n?1)?(k?2)]pk?1(1?p)(n?1)?(k?1)(k?1)!k?0?np(p?1?p)n?1?npE(X2)?E[X(X?1)?X]?E[X(X?1)]?E(X)n??k(k?1)??n???pk(n?kk?0?k??1?p)?np?n(n?1)p2?n(n?2)(n?3)?[(n?2)?(k?3)]pk?2(1?p)(n?2)?(k?2)k?0(k?2)!?np?n(n?1)p2(p?1?p)n?2?np?n(n?1)p2?npD(X)?E(X2)??E(X)?2?n(n?1)p2?np?n2p2?np(1?p)。 #30. 设X服从泊松分布，其概率质函数为P?X?k???ke??k!,k?0,1,2,?,??0. 求E(X)和D(X)。解：?k??1E(X)??k?e???k??k?0k!??e???(k?1)!??e??e??，k?1E(X2)?E[X(X?1)?X]?E[X(X?1)]?E(X)k???k(k?1)?e??2????k?2k?0k!????e?????2??k?2(k?2)!D(X)?E(X2)??E(X)?2??2????2??。 #31. 设X服从均匀分布，其概率密度函数为?f(x)??1?b?,a?x?b,(X)?a求E和D(X)。?0，其它，解：E(X)??bax1b?adx?a?b2，D(X)?E(X)??E(X)??22?ba?b?a?21?a?b?xdx????b?a212??22。 #32. 设X服从正态分布，其概率密度函数为f(x)???x-??2?exp???，??0,???x???22?????2??1。 求E(X)和D(X)。解：??x-??2?E(X)?xexp???dx2??2?????2?????1， 令x???t，则?E(X)???t2?1(?t??)exp???dx?2???2???2??1?????t2?(?t??)exp???dt????2?????2??????exp?t2/2dt????2?2?????其中，f(t)?texp(?t2/2)为奇函数，故???texp(?t2/2)dt?0；而???exp??t??2/2dt?2????exp?t/2dty?t/2?2?22???1?1y2exp??y?dy?2Γ(1)?2?2?(?)?D(X)?1x??1exp??x?dx,?()?。 02????x-??2?1x??2(x??)exp??dx
（令?t） ?2?2?2??????????????22??????texp?t/2dt?2?2??2???te2???t2/2??????2?exp?t/2dt????2??????2?2???2。 #33. 有3只球，4只盒子，盒子的编号为1，2，3，4。将球独立地，随机地放入4只盒子中去。以X表示其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X=3表示第1号，第二号盒子是空的，第三只盒子至少有一只球），试求E[X]，D[X]。解：因为3球独立放入4盒的总放法有43=64种。
按题意，X=4时的放法有C33?1种，故P(X?4)?1/64；X=3时，放入3#盒后，余下的球必放入4#盒。其的放法有123C3?C3?C3?3?3?1?7，故P(X?3)?7/64；X=2时，放入2#盒后，余下的球必放入3#和4#盒。其的放法有[C2?C2?C2]?C3[C1?C1]?C3?3[1?2?1]?3[1?1]?1?19种，故P(X?4)?19/64；X=1时，放入1#盒后，余下的球必放入2#，3#和4#盒。其的放法有C13[C20(C20?C12?C22)?C12(C20?C12)?C22]?C32[C10(C10?C11)?C11]?C33?3[(1?2?1)?2(1?1)?1]?3[(1?1)?1]?1?37种，故P(X?4)?37/64；4?E[X]??iP(X?i)?64?2?64?3?64?4?64?16。i?1?E[X24]??i2P(X?i)?37i?164?4??16?164?4816，?D[X]?E[X2]?E2[X]?16?162?162?0.5586。 #34. 对于任意两个随机变量X，Y，证明下式成立：（1） D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)； （2） Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)。证： ? D(X?Y)?E??X?E(X)?Y?E(Y)?2??E??X?E(X)?2??Y?E(Y)?2?2?X?E(X)??Y?E(Y)???E??X?E(X)?2??E??Y?E(Y)?2??2E??X?E(X)??Y?E(Y)?? ?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)? D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)；? Cov(X,Y)?E??X?E(X)??Y?E(Y)???E?XY?E(X)Y?XE(Y)?E(X)E(X)??E(XY)?E(X)E(Y)? Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)。 # 35. 设随机变量X的概率密度函数为f(x)????e?x,x?0??0,x?0。求（1）Y=2X，Y?e?2x的数学期望。解：E?Y?2X?????2xe?xdx??2e?x??0?2；E???Y?e?2X?????e?2x?x?3xedx??13e?1/3。 #36. 设随机变量（X，Y）的概率密度函数为2）（?K,0?x?1,0?y?x,f(x,y)??其它，?0,????试确定出常数K，并求E(XY)。1x1K?解： ? ??????f(x,y)dxdy?1， 故?0?Kdydx?Kxdx??1，? ??0??02??K?2E(XY)???????????xyf(x,y)dxdy????x?x?2ydy?dx?0?0?1?1x3dx?14。 #37. 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700。 利用契契比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在之间的概率。解： 已知：??7300，??700。? ??/2?7300?? 故令??00?27002??1?2?1?2?8/9?0.8889 PX?????2100?2100?PX????0.8889。 #??x???e,x?0f(x)???x?0?0,38. 设随机变量X的概率密度函数为E(X)和D(X)。，其中??0为常数。求解：E(X)?????xe??xdx?1????ye?ydy?1??(2)?121??，
（?1?(n?1)?n?(n)?n!）D(X)?E(X2)??E(X)?2?????x2e??xdx???2???y2e?ydy?1?2?1?2?(3)?1?2?1?2。 #39. 设随机变量X的概率密度函数为数。求E(X)和D(X)。解：E(X)??xx2?f(x)???2exp(?2?2),x?0，其中??0为常?0,x?0????x2?2exp(?x22?)dx?2?2???t2e?tdt?2??(?1)?2?12?/2?，(2n?1)!!（??(n?1)?n2D(X)?E(X)??E(X)??22）x2)dx?2???x3?2exp(???222??2?2???texp(?t)dt?2??2??22?4??2?2。 #40. 设随机变量X的概率质函数为P?X?k??pqk?1，k?1,2,?。其中0?p?1,q?1?p为常数，则称 X服从参数为p的几何分布。试求E(X)和D(X)。解：E(X)??kpqk?1k?12?????k??1??1???p?q??p??p?1?q??1?q2??????k?1??2?1??， ?p?2D(X)?E(X)??E(X)??E[X(X?1)]?E(X)??E(X)???k?1?k(k?1)pqk?1?11?2pp=????k??2??qq1??pq?q??2?pq???pq?1?q?2?1?q3??pp????k?1???qq????p2p2?。 #0?x?2,0?y?2。求41. 设随机变量(X，Y)的概率密度函数为.f(x,y)?1(x?y),8E(X)、E(Y)、 Cov(X,Y)。解：E(X)?????????1xf(x,y)dxdy???8??2[21(x2?xy)dy]dx?8?2xy212(xy?)dx?24022?2(x2?x)dy?7676，E(Y)?????????1yf(x,y)dxdy???8??2[21(y2?xy)dx]dy?8?2x2y12(yx?)dy?24?2(y2?y)dy?，Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?E(XY)?4771????， 36636????????1xyf(x,y)dxdy???8?[?221(x2y?xy2)dx]dy?8?2x3yx2y2(?)dy?322?2yy24(?)dy?343。#42. 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为接近于它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在（-0.5，0.5）上服从均匀分布。 （1） 若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？ （2） 几个数可加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率为0.90？解： 设X为取整误差，则E(X)?0,D(X)?σ2?1/12。（1）?P???1500k?1?1?Xk?15??P???/????1?P????Xk?15/?1.34?k?1??15001?Xk?1.34??k?1?1500?1500或：P???k?1Xk??1??1??1?[P?Xk?1.34??P?Xk??1.34?]k?1k?1????1.341?1.3412?t2/2?1?edt?e?t/2dt????2?2??1?0.1?0.1802??15001??15??P?Xk?15/?1.34?k?1??/??????n（2） ?P???k?1Xk???10/n???1?1500?2[1?P?Xk?1.34?]k?1??1.3412?2[1?e?t/2dt]?2?[1?0.2??2?10/n??n1??10??P?X?/n??1?2[1?k?1k???n/??2110/n?1.645e?t/2dt]?0.952?????12?e?t2/2dt]?0.90，，n?44。3 #43. （1）一个复杂的系统，由100个相互独立起作用的部件所组成。在整个运行期间每个部件损坏的概率0.10。为了使整个系统起作用，至少必需有85个部件工作，求整个系统工作的概率。（2）一个复杂的系统，由n个相互独立起作用的部件所组成。每个部件的可靠性（即部件工作的概率）为0.90。且必须至少有80%部件工作才能使整个系统工作，问n至少为多少才能使系统的可靠性为0.95。解： 设每个部件损坏的概率P{Xk?0}?0.10，则每个部件未损坏的概率P{Xk?1}?0.90。令?100??Xk，由此可知?100具有参数为n?100，p?0.90的二项分布， 故k?1100整个系统工作的概率为：90(1) P{85??100?100}?P85??3??100?npnp(1?p)?100?2100?905??np10?P{??100?100?333np(1?p)?10/312??5/3e?t/2dt?0.5?0.9520(2) ?P{0.8n??n?n}?P{0.8n?0.9n?0.09n?n?npnp(1?p)?100?n?0.9n0.09n?P{??n?npn??100?33np(1?p)e?t2??n/312??n/3e?t2/2dt?1?2[1??n/312?/2??dt]?0.95?n/312???e?t2/2dt?0.975??1.96, 3?n?35。 #44. 某个单位设置一电话总机，共有200架电话分机。设每个电话分机有5%的时间要使用外线通话，假定每个分机是否使用外线通话是相互独立的。问总机要多少外线才能以90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用。解：设要m条外线才能以90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用。已知：P{Xk?1}?0.05，P{Xk?0}?0.95令?n??200k?1Xk, 则?n具有参数为n?200，p?0.05的二项分布。 P{0?????10?n?npm?10??10)/9.51n?m}?P?t2/2?.5??np(1?p)?.5?????(m?10/9.52?e?dt??(m?10)/.51?t2/2.51?t2/2???edt???10/??2?edt?0.90?(m?10)/9.51t2/251?t2/2??2?e?dt???10/.??2?edt?0.90?0.?0.9007m?109.5?1.32 ? m?14。 #
范文四：第 1 页 共 2 页西安邮电学院 2009 ---2010 学年第一学期试题卷(A) 《 概率论与随机过程》参考答案及评分标准一、选择题(每小题 2 分，共 10 分. 每小题只有一个选项符合要求，并将其代号填在题后 的括号内)1. C 2. A 3. D 4. B. 5. C 6. B【注】 正确代号未填在相应括号内或者将错误代号填入括号内一律得 0 分.填写代号不清楚按 0 记. 本题选对 5 或者 6 个小题军的 10 分.【注】 也可根据分布函数法计算密度函数，但主要考察概率的概念，计算结果的正确与否不要作为主要的分点.评阅人员 可以给出合理的评分标准.4.根据已知条件1 - x2 1 - y2 f X ( x) = e ， fY ( y ) = e 2π 2π所求密度函数为22…………………………………………………… 2 分fZ ( z) = ∫+∞-∞f X ( x) fY ( z - x)dx…………………………………………………… 8 分2二、计算题(本大题共 8 小题，满分 90 分，其中第 2，9 小题满分 15 分，其余各小题满分 均为 10 分) 1. 设 B 表示“发出信息 A ” A 表示“收到信息 A ”.由已知条件 ， 2 1 P ( A | B ) = 1 - 0.02 = 0.98 ， P ( A | B ) = 0.01 ， P ( B) = ， P ( B ) = . ……………… 4 分 3 3由贝叶斯公式得所求概率=∫+∞-∞1 - x2 1 - ( z -2x ) e ? e dx 2π 2π21 = 2π 即 Z ~ N (0, 2) .∫+∞-∞e-[z2 z + ( x - )2 ] 4 2dx =1 2π 2e-z2 4…………………………………………………… 10 分P ( B | A) =【注】 本题主要考察贝叶斯公式得运用，因此未能正确写出贝叶斯公式最多得 5 分.P( B) P( A | B) ……………………………………………………… 9 分 P( B) P( A | B) + P( B ) P( A | B ) 5.因为 +∞ 1 A 2 …………………………………………………… 3 分 × 0.98 ∫-∞ f ( x)dx = ∫0 Axdx = 2 196 3 = = ………………………………………………………10 分 +∞ 2 1 A × 0.98 + × 0.01 197 ………………………………………… 5 分 由密度函数的性质： ∫ f ( x )dx = 1 得 = 1 ，即 A = 2 . -∞ 3 3 2又 …………………………………………………… 6 分【注】本题主要考察两个随机变量和的分布问题，计算结果的正确与否不要作为主要的分点.如果仅有结果没有计算过程 只给 2 分. 本题按正态分布性质作也可得满分.+∞ 1 2 E ( X ) = ∫ xf ( x)dx = ∫ x ? 2 xdx = P ( X = 1) + P( X = 2) + P( X = 3) = 1 ………………………………………………………5 分 -∞ 0 3 1 2 +∞ 1 1 再由已知条件得 3c = 1 ，即 c = . 那么 Y = X 的分布律为 E ( X 2 ) = ∫ x 2 f ( x)dx = ∫ x 2 ? 2 xdx = 3 -∞ 0 2 1 2 +∞ 1 1 ………………………………………………………12 分 P(Y = i ) = E ( X 4 ) = ∫ x 4 f ( x)dx = ∫ x 4 ? 2 xdx = 3 -∞ 0 3 2 于是 Y = X 的分布函数为 所以 y2. 由分布律性质，得……………………………………………………7 分 …………………………………………………… 8 分…………………………………………………… 9 分 …………………………………………………… 10 分?1 ?y ≥ 9.【注】 本题主要考察离散型随机变量的分布律性质、随机变量的函数的分布及分布函数的概念，仅写出分布函数得 8 分.【注】本题主要考查随机变量密度函数限额性质及数字特征，关键考核能否正确写出相关表达式，所有结果出现错误，只 扣分.?1, 0
0 . 那么所求密度函数为 0, 其他. ?6. 由于P (U = 0) = P ( X ≤ Y ) = P (V = 0) = P( X ≤ 2Y ) =? f (ln y )(ln y )′, 0x≤ y∫∫ f ( x, y)dxdy = 2 ， P(U = 1) = 1 - P(U = 0) = 2x≤2 y11……………… 1 分 ……………… 2 分∫∫f ( x, y )dxdy =3 1 ， P (V = 1) = 1 - P (V = 0) = 4 41 3 ， P (UV = 0) = 1 - P (UV = 1) = ……………… 3 分 4 4 1 1 1 3 E (U ) = ， E (V ) = ， D(U ) = ， D(V ) = ……………… 6 分 2 4 4 16P (UV = 1) = P ( X > Y , X > 2Y ) = P (V = 1) =第 2 页 共 2 页Cov(U ,V ) = E (UV ) - E (U ) E (V ) =1 8……………………………………………… 8 分 ……………………………………………… 10 分ρUV =Cov(U , V ) 3 = 3 D(U ) D(V )【注】本题得分点较多，主要考察概率论中的基本表达式，总体得分阅卷人员根据自己的理解给出客观合理的分数.7. 设 X 表示 100 部电话分机同时使用外线通话的分机数， 那么 X ~ B (100, 0.05) . 总机需要备 m 条外 线才能以 95%确保每部分机在使用外线通话时不必等候.由已知条件及拉普拉斯中心极限定理，有X - np m - np X - 100 × 0.05 m - 100 × 0.05 } = P{ } ≤ ≤ 100 × 0.05 × 0.95 100 × 0.05 × 0.95 np (1 - p ) np (1 - p ) m - 100 × 0.05 = Φ( ) ≥ 0.95 ……………………………………………… 6 分 100 × 0.05 × 0.95 m - 100 × 0.05 ≥ 1.65 ，即 m ≥ 8.5961 . ……… 8 分 又 Φ (1.64) = 0.9495 ， Φ (1.65) = 0.9505 . 从而 100 × 0.05 × 0.95 P{ X ≤ m} = P{这就是说， 总机需配备 9 条外线才能以 95%确保每部分机在使用外线通话时不必等候.【注】本题主要考察中心极限定理，正确理解“确保”一词的含义,……… 10 分其中 a ，ω 为非零常数，Θ 服从区间 (0, 2π ) 8. 随机相位正弦波 X (t ) = a cos(ωt + Θ) ，t ∈ (-∞, +∞) ， ……………… 3 分内的均匀分布. 其状态空间为 [- | a |,| a |] ，一条样本曲线为 X (t ) = a cos(ωt + π ) . 由定义所求均值函数μ X (t ) = E[ X (t )] = E[a cos(ω t + Θ)] = ∫ a cos(ωt + θ ) ?02π1 dθ = 0 2π……………… 7 分而自相关函数RX (t1 , t2 ) = E[ X 2 (t )] = E[a 2 cos(ωt1 + Θ) cos(ωt2 + Θ)] = a 2 ∫ cos(ωt1 + θ ) cos(ωt 2 + θ ) ?0 2π………………………… 10 分1 a2 dθ = cos ωτ 2π 2………………… 11 分式中 τ = t 2 - t1 ．特别，令 t 2 = t1 = t 时，即得方差函数为2 2 σ X (t ) = RX (t , t ) - μ X (t ) = RX (t , t ) =a2 2………………………………………… 15 分【注】本题主要考察随机过程基本概念及数字特征，总体得分阅卷人员根据自己的理解给出客观合理的分数. 随机相位 正弦波表达式中未写出振幅 a ， ω 均应适当扣分.
范文五：05-06概率论与随机过程试题参考答案（B）二、计算题（共9小题，每小题满分10分，共10分）1.
设A、B、C分别表示甲、乙、丙破译出密码， 则（1）恰有一人能破译出密码为事件：A?B?C，又由题意知甲乙丙三人是否能破译出密码是相互独立的，且P?1?P?A????234，P???，P??? 〉， 所以所求概率为 345P?????P???P???P???P?A?P??P???P??P?B?P???P??P??P?C??（2）密码能被破译的概率P(A?B?C)?1?P(ABC)?2. （1）由密度函数的性质得13303 51??即所求a?2.??12f(x)dx??xdx??(a?x)dx?a?1 ??01(2)
当x?0时，F(x)?xxf(t)dt???????0dt?0；xx2当0?x?1时，F(x)??f(t)dt??0dt??tdt?；????02当x?2时，F(x)?1. 随机变量X的分布函数为x0?0,
0?x?1,?2F(x)??2?2x?x?1,
1?x?2,?2??1,
显然随机变量Z?X?Y的所有可能去值为3，5，7，且P?Z?1?2?3??P?X?1,Y?2??P?X?1?P?Y?2??0.3?0.6?0.18; P?Z?1?4?5??P?X?1,Y?4??P?X?1?P?Y?4??0.3?0.4?0.12;P?Z?3?2?5??P?X?3,Y?2??P?X?3?P?Y?2??0.7?0.6?0.42; P?Z?3?4?7??P?X?3,Y?4??P?X?3?P?Y?4??0.7?0.4?0.28.所以随机变量Z?X?Y的分布律为：pz
0.28????4．
fX(x)???1?2?x2,?2?x?2,f(x,y)dy????0,其它，?fY(y)???????1?2?y2,?2?y?2,f(x,y)dx????0,其它，?显然f(x,y)?fX(x)?fY(y)，所以X和Y不是相互独立的．E(X)??xfX(x)dx??????2?2x?1?2?x2dx?0,同理E(Y)?0. 而E(XY)??dx?xyf(x,y)dy???xy????D????1dxdy 2?1?2?于是?2?0d??20r2sin?cos?rdr?0，Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0,所以X和Y是不相关的.5. 设最少共给电力为NkW，才能以95%的把握满足该车间生产. 把对每台车床的观察作为一次试验，开动的概率为0.7，因此可以看成是n?200的Bernoulli试验. 设某时刻开动的车床的台数记为X, 则X~b(200,0.7)，np?140?，由中心极限定理P{0?15X?N}?P???????1 ???0.95.即?1.65，N?15(14?0。42 )N?15(140??2260.4因而最少需耗电2260.4KW，才能以95%的把握满足该车间生产.6．（1）依题意，这一装置的寿命为W100，即100次“震动”的等待时间，它服从参数为100，5的Γ分布. 所以寿命W100的概率密度为?5(5t)99?5t?fW100(t)??99!e?0?（2）装置的平均寿命为E[W100]?,t?0, ,t?0.100?20. 5（3）相继两次“震动”时间间隔Ti?Wi?Wi?1服从参数为5的指数分布，其密度函数为?5e?5tfTi(t)???0（4）相继两次“震动”的平均时间为E[Ti]?7．根据已知条件,t?0,,t?0.1（h）．. 52?qp0??qp0??q?pq??q0p???q2P(2)?P2??q0p?????2?q?0qp????0qp????pqpqpq??p2?， pq?p2??p2因为pij(2)?0,i,j?1,2,3．所以由遍历性定理知此齐次马氏链是遍历的，具有极限分布??（?1，满足 ?2?3）?q?1?q?2??1?p??q????132?p??p???33?2???1??2??3?1解之得q2pqp2． ?1?2,?2?2,?3?2p?qp?qp?q8. 由于， ?X(t)?E[X(t)]?E[X]?2，RX(t,t??)?E[X(t)X(t??)]?E[X2]?14因此，{X(t),???t???}是平稳随机过程．又因为时间平均1?X(t)??limT???2T时间相关函数1X(t)dt?lim??TT???2TTT?T?T?TXdt?X，T?T?X(t)X(t??)??lim1T???2T?X(t)X(t??)dt?lim1T???2T?X2dt?X2，由于P{X?2}?1和P{X2?不成立，故{X(t),???t???}不具有均值和相关3?1函数的各态历经性．．9．设每周产量为N，则每周的利润(C2?C1)N,Q?N?T???C2Q?C1N?C3(N?Q),Q?N6N,Q?N???10Q?4N,Q?N?利润的期望值E(T)?6NP(Q?N)?(10Q?4N)P(Q?N)?7N?N2即当N?3.5时，所期望的利润达到最大值，由于需求量Q与生产量N应取整数，所以取N?3或N?4。此时利润的最大期望值为12元。
范文六：共页第页总印份（附卷纸页）西安邮电学院 2010---- 2011 学年第二学期试题（A 卷） 标准答案课程：概率论与随机过程 类型： A题号 得分 一 二 三 四?6, x 2…… …… 2 分 …… …… 2 分f x ( x) = ∫八 九 总分+∞-∞f ( x, y )dy卷五专业、年级：通信工程 09 级,信息工程 09 级六 七? x 6dy = 6( x - x 2 ), 0 ≤ x ≤ 1 ? = ? ∫x2 ? 0 其它 ?f y ( y) = ∫+∞ -∞线线…… …… 3 分 …… …… 2 分 …… ……3 分f ( x, y )dx一、填空题（每小题 3 分，共 30 分）? 1 1 15 20 1、 ； 、 ； 、 ； 、 ； 、FZ ( z ) = ? 2 3 4 5 ；6、29； 、Φ (2.5) + Φ (1.5) - 1 ； 7 -z -z 12 3 26 27 ?1 - e - ze , z > 0. 0 ,西安邮电学院试题卷标准答案专用纸z ≤ 0,? y 6dx = 6( y - y ), 0 ≤ y ≤ 1 ? = ? ∫y ? 0 其它 ?4、解(1)x ?1 - e -2 ( x -θ ) , x > θ , F ( x) = ∫ f (t )dt = ? -∞ x ≤ θ. 0, ?11 2 1 8、 2 ；9、 ；10、 { , } 24 3 3 λ 二、计算题（共 48 分）（1）由于 F ( x) 的连续性，有 lim F ( x ) = F (1) = 1, 故 A = 1 ；…… ……3 分 1、解：x →11…… ……4 分 , X n ) ≤ x}(2)Fθ^ ( x) = P{θ^ ≤ x} = P{min( X 1 , X 2 ,= 1 - P{min( X 1 , X 2 ,（2）由概率密度函数与分布函数的关系可知?2 x , f ( x) = ? ?0,0 ≤ x ≤ 1,, X n ) > x} , X n > x}其它.2 2…… ……3 分订订= 1 - P{ X 1 > x, X 2 > x, = 1 - [1 - F ( x)] =?n（3） P {0.12、解： X 的所有可能取值为 1，2，3，41 1 3 C 3 × 2 2 + C 32 C 2 + C 3 19 33 37 P{X = 1} = 1 - P{X ≠ 1} = 1 - 3 = ， P{X = 2} = = 64 64 4 43?1 - e -2 n ( x -θ ) , x > θ , x ≤ θ. 0, ?…… ……5 分P{X = 3} =C +C +C 7 = 64 ， 41 3 2 3 3 3 3^ (3) θ 概率密度为P{X = 4} =1 1 = 3 64 4fθ^ ( x) =dFθ^ ( x) dx即有 X 的分布律为?2ne -2 n ( x -θ ) , x > θ , =? x ≤ θ. 0, ?? 1 X ~ ? 37 ? ? ? 64E ( X ) = ∑ i × P( X = i) =i =1 42 19 643 7 644 ? ? 1 ? ? 64 ?…… …… 8 分+∞ +∞ 1 Eθ^ = ∫ xfθ^ ( x)dx = ∫ 2nxe - 2 n ( x -θ ) dx = θ + ，…… ……5 分 -∞ θ 2n装装25 16…… ……4 分说明：1．标准答案务必要正确无误。2．将每道大题得分和总分填入得分栏中。共页第页总印份（附卷纸页）三、证明题（共 22 分）n n 2 2 1、证明：令 Yn = ∑ kX k ，则 EYn = n(n + 1) ∑ ka = a. …… …… 2 分 n(n + 1) k =1 k =14 DYn = 2 n (n + 1) 2线 线4σ 2 ∑ k σ = (n + 1)2 k =1n 2 24σ 2 ?k? ∑ ? n ? ≤ n + 1 → 0 …… ……3 分 ? k =1 ?n 2对任意的ε >0， P Yn - a > ε ≤ 因此Yn → a .p()DYnε2→0…… ……3 分2、证明： （1）对任意的 n 及 t1 , t2 ,西安邮电学院试题卷标准答案专用纸, tn ≥ 0 ，有：sin ωt1 ? sin ωt2 ? ? A? ? ? ?B? ? ? ? sin ωtn ? ?? X (t1 ) ? ? cos ωt1 ? X (t ) ? ? cos ωt 2 ? 2 ? =? ? ? ? ? ? ? ? X (tn ) ? ?cos ωtn ? ? ?订订由于 A, B 为相互独立的正态随机变量，故 ( A, B) 为服从 N (0, σ 2 E ) 的二维正态随机变量，而( X (t1 ), X (t2 ),, X (tn )) 是二维正态随机变量 ( A, B) 的线性变换，故服从 n 维正态分布，从而…… ……7 分{Z (t ),-∞（2） mX (t ) = E[ X (t )] = 0, t ≥ 0RX (t , t + τ ) = E[ X (t ) X (t + τ )] = E[( A cos ωt + B sin ωt )( A cos ω (t + τ ) + B sin ω (t + τ ))] = σ 2 cos ωτ所以此过程是平稳过程装 装…… ……7 分说明：1．标准答案务必要正确无误。2．将每道大题得分和总分填入得分栏中。
范文七：共页第页总印份（附卷纸页）西安邮电学院试题卷标准答案专用纸1 ? ?a + b + 3c = 2 ? ?8a + 18b + 56c = 6 …… ……6 分 标准答案 ? 3 ?3a + 2b + 5c = 2 ? 课程:概率论与随机过程 类型: B 卷 专业、年级：通信工程 09 级,信息工程 09 级 1 1 b = 1， 得 a= ， c = - .…… ……1 分 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 4 4 +∞ 21 4 1 1 得分 （2） EY = E(eX ) = ∫ ex f ( x)dx = ∫ xex dx + ∫ (- x +1)exdx = (e2 -1)2 ， -∞ 0 4 2 4 4 +∞ 21 4 一、填空题（每小题 3 分，共 30 分） 1 EY 2 = E (e 2 X ) = ∫ e 2 x f ( x)dx = ∫ xe2 x dx + ∫ (- x + 1)e2 x dx -∞ 0 4 2 4 z ≤ 0, ? 0 , 1 2 1 2 1 1 1 ? = (e - 1)2 [e 2 + (e - 1) 2 ] ； 2 、 0.1 ； 3 、 ； 4 、 ； 5 、 f Z ( z ) = ?1 - e - z , 1 、 0
0; ?e , x > 0. ?∫ x 1、解：解 设 A = ‘下一代有 L 条’ BK = ‘产 k 个卵’ k = L, L + 1, , 则 ， ? ?0 , y ≤ 0, ?0 , ∞ ∞ +∞ y ≤ 0, ? ? λ k -λ L L k -L …… ……4 分 = ? -y fY ( y ) = ∫ f ( x, y )dx = ? y - y P ( A) = ∑ P ( Bk ) P ( A | Bk ) = ∑ e Ck p (1 - p) …… ……6 分 -∞ k =L k =L k ! ? ∫ 0 e dx, y > 0; ? ye , y > 0. ? ? 1 1 k -λ L L k -L ∞ ∞ 1- x λ e p (λ p ) - λ [λ (1 - p )] ? dx = 2 (e- x - e-1ex )dx -y k -L 2? P( X + Y ≤ 1) = ∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫ ? ∫ e dy ? =∑ (1 - p ) = e ∑ ∫0 0 ? x ? k! (k - L)! k = L L !( k - L )! k =L x + y ≤1西安邮电学院 2010---- 2011 学年第二学期试题（B 卷）线订订线(λ p) L - λ λ (1- p ) (λ p ) L - λ p = e e = e …… ……4 分 L! L! 2、解： （1） 1 = ∫+∞ -∞= 1 - 2e-1 2+ e -1 .…… ……4 分f ( x)dx = ∫ axdx + ∫ (cx + b)dx0 224=a 22 c 24 4 x + x + bx 2 = 2a + 2b + 6c, 2 0 2 2+∞ -∞? 0 ?1 3 ? 4、 （1） X (0) = A ，所以 F (0; x) = ? ?2 3 ? 1 ? ? 0 ?1 3 π ? (2) F (0, ; x1 , x2 ) = ? 2 ?2 3 ? 1 ? (3) 均方值函数x2=∫装 装xf ( x)dx = ∫ ax 2 dx + ∫ (cx + b) xdx0 2248 56 = a + c + 6b ， 3 32 3 3 3 5 = ∫ axdx + ∫ (cx + b)dx = a + c + b ， 1 2 4 2 2解方程组1 1 1 14 Φ 2 (t ) = E[ X 2 (t )] = E[ A2 cos 2 t ] = (1× + 4 × + 9 × ) cos 2 t = cos 2 t , -∞X 3 3 3 3说明：1．标准答案务必要正确无误。2．将每道大题得分和总分填入得分栏中。共页第页总印份（附卷纸页）三、证明题（共 22 分）E ( X n ) = 2n ?1 22 n +11 ? 1 ? ? ? - 2n ? ? 1 - 2 n ? + 0 ? ? 1 - 2 n ? = 0 ? 2 ? ? 2 ?…… ……2 分D ( X n ) = 22 n ?线 线1 1 1 ? ? + 22 n ? 2 n +1 + 0 ? ?1 - 2 n ? = 1 2n + 1 2 ? 2 ? , 则 E (Yn ) = 0, D (Yn ) = 1,…… ……3 分Yn =1 n ∑ X i , n = 1, 2, n i =1?ε > 0 ，由切比雪夫不等式知 1 P Yn - E (Yn ){}西安邮电学院试题卷标准答案专用纸lim P Yn - E (Yn )n →∞{}即 { X n } 服从大数定律。…… ……3 分2、证明：对任意 n 个时刻 t1 , t 2 ,订n i =1, t n ∈ T 和任意一组实数 u1 , u 2 ,n n i =1 i =1, u n ，和式n i =1订∑ ui X (t i ) = ∑ ui ( At i + B) = A∑ ui t i + B∑ ui是独立正态变量 A, B 的线性组合，故∑ u X (t ) 也是正态变量，根据 n 维正态分布的性质，随机变量i =1 i in( X (t1 ), X (t 2 ),而 X (t ) 的相关函数（协方差函数）为, X (t n ))服从 n 维正态分布，由定义 X (t ) 是正态过程。…… ……8 分R X (t1 , t 2 ) = C X (t1 , t 2 ) = E[( At1 + B)( At 2 + B)]= t1t 2 E ( A 2 ) + t1 E ( AB ) + t 2 E ( BA) + E ( B 2 ) = σ 2 (t1t 2 + 1)装 装…… ……6 分说明：1．标准答案务必要正确无误。2．将每道大题得分和总分填入得分栏中。
范文八：共 2 页第 1 页总印份（附卷纸页）西安邮电学院
学年第二学期试题（B 卷） 参考答案及评分标准课程：概率论与随机过程题号 得分 一 28 二 72 三 线 线Z = X +Y P3 0.185 0.547 0.28 ……………………4 分类型： B四 五卷专业、年级：广电、微电子、物理 10六 七 八 九 总分Z = XY P1/4 0.12 2 0.181/2 0.18 4 0.123/4 0.28 6 0.425000 k =13/2 0.42 ……………………7 分 12 0.28 ……………………10 分一、填空题（本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分） 1. 0.3 2.Z = X /Y PN (0,1)3.1 2 πex2 - 44. 55.1 - U 26.{1, 2, 3, 4,5, 6}量4. 5000 只零件的重量分别为 X i ， i = 1,,5000 ，记 X = ∑ X i ，由独立同分布中心极限定理，随机变二、计算题（本大题共 7 小题，第 1,2 小题各 13 分，其余每小题 10 分，共 76 分，解答应西安邮电学院试题卷标准答案专用纸5000写出推理，演算步骤）0.1 ? 5000 1. 设 B1 为 发 出 信 息 A ， B2 为 发 出 信 息 B ， A 为 收 到 信 息 A ， 则 B1 + B2 = S , B1 B2 = ? ， 且 近似服从正态分布 N (0,1) 2 1 P( A | B1 ) = 1 - 0.02 = 0.98 ， P( A | B2 ) = 0.01 ， P( B1 ) = ， P( B2 ) = . ………………………………6 分 ? X - 2500 10 ? ? X - 2500 ? > ≤ 2? P{ X > 2510} = P ? 3 3 ? = 1- P ? 50 50 ? 50 ? ? ? 由全概率公式得所求概率 2 1 197 = 1 - Φ ( 2) ≈ 0.0793 P( A) = P( A B1 ) ? P( B1 ) + P( A B2 ) ? P ( B2 ) = 0.98 × + 0.01 × = ……………………13 分 则总重量超过 2510kg 的概率为 0.0793。 3 3 300 2 2 5. 由题中条件,对任意 n 个时刻 t1 , t 2 , , t n ∈ T 和任意一组实数 u1 , u 2 , 2. 由方程 x + Xx + 1 = 0 有实根,可知 X - 4 ≥ 0 ,即 X ≥ 2 . 由 X 在区间 [1, 6] 上服从均匀分布,可?1 ? , 1≤ x ≤ 6, f ( x) = ? 5 ? 0, 其他. ?Z=∑Xk =1i- 0.5 × 5000 =X - 2500 50……………………4 分……………………10 分 , u n ,和式n订订知其概率密度为 ……………………6 分∑ u X (t ) = ∑ u ( Ati =1 i i i =1 i nnni+ B) = A∑ u i t i + B ∑ u ii =1 i =1n……………………3 分是独立正态变量 A, B 的线性组合,故2 -2∑ u X (t ) 也是正态变量,根据 n 维正态分布的重要性质,随机变量i =1 i i所以P (| X |≥ 2) = 1 - P(| X |= 1- ∫1 -2( X (t1 ), X (t 2 ),, X (t n ))……………………5 分f ( x)dx服从 n 维正态分布,由定义 X (t ) 是正态过程. 而 X (t ) 的相关函数(协方差函数) 为f ( x)dx - ∫ f ( x)dx12R X (t1 , t 2 ) = C X (t1 , t 2 ) = E[( At1 + B)( At 2 + B)]……………………13 分1 1 4 dx = 1 - = . 1 5 -2 5 5 3. 根据已知条件 ( X , Y ) 的联合分布律为 = 1 - ∫ 0dx - ∫Y X1 31 2= t1t2 E ( A2 ) +t1 E ( AB) + t2 E ( BA) + E ( B 2 ) = σ 2 (t1t2 + 1) .6. 先求出二步转移概率矩阵 ……………………10 分装装2 0.18 0.42 0.64 0.12 0.28 0.4pi?0.3 0.7012……………………4 分p? j于是所求分布律为0 ? 5 / 8 5 / 16 1 16 ? P(2) = PP = 1 ?5 / 16 1 / 2 3 / 16?, ? ? 3 / 4 1/ 4 ? 2? 0 ? ?于是说明：1．标准答案务必要正确无误。2．将每道大题得分和总分填入得分栏中。共 2 页第 2 页总印份（附卷纸页）5 P{ X 0 = 0, X 2 = 1} = P{ X 0 = 0}P{ X 2 = 1 | X 0 = 0} = p0 (0) P01 (2) = 1 ? 16 = 35 48，…………………8 分由全概率老公式，得p1 (2) = P{ X 2 = 1} = p0 (0) P01 (2) + p1 (0) P11 (2) + p2 (0) P21 (2)1 ? 5 1 9 ? 11 = ? + + ?= . 3 ?16 2 16 ? 247. 先考虑独立性. 当 | x |> 1 时, f X ( x) = 0 ; 当 | x |≤1 时, ……………10 分f X ( x) = ∫+∞ -∞f ( x, y )dy = ∫+∞ -∞1- x 2 - 1- x 21同理,当 | y |> 1 时, fY ( y ) = 0 ；当 | y |≤1 时,πdy =2π1- x2 .……………3 分fY ( y ) = ∫+∞ -∞f ( x, y )dx = ∫1显然 f X ( x) fY ( y ) ≠ f ( x, y ) ,即 X , Y 不相互独立. 再考虑相关性.πdx =2π1- y2 .……………5 分E(X ) = ∫+∞ -∞ 1∫+∞ -∞xf ( x, y ) dxdy =2x + y ≤12∫∫x?1πdxdy……………7 分= ∫ dx ∫-11- x2 2- 1- xx1πdy = 0 ,E (Y ) = ∫+∞ -∞∫+∞ -∞yf ( x, y )dxdy =x 2 + y 2 ≤1+∞ 1∫∫y?1πdxdy = 0 ,1- x 2E ( XY ) = ∫+∞ -∞∫-∞xyf ( x, y )dxdy = ∫ dx ∫-1- 1- x2xy1Cov( X , Y ) = E ( XY ) - E ( X ) E (Y ) = 0 , 所以 X , Y 是不相关的.πdy = 0 ,……………10 分说明：1．标准答案务必要正确无误。2．将每道大题得分和总分填入得分栏中。
范文九：共 2 页第 1 页总印份（附卷纸页）西安邮电学院
学年第二学期试题（A 卷） 参考答案及评分标准课程：概率论与随机过程题号 得分 一 28 二 72 三 线 线Y pk-1 3 8012 83 8………………8 分类型： A四 五卷专业、年级：广电、微电子、物理 10六 七 八 九 总分X ? Y 的分布律为一、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 1. 0.3 2. 1 3.XY pk-1 2 8014 82 81 2 πe-x2 44.4 35.2 cos(2t +π3所以)6.{1, 2, 3,, N}3 3 3 3 2 2 E ( X ) = -1 × + 1 × = 0 ， E (Y ) = -1 × + 1 × = 0 ， E ( XY ) = 1 × - 1 × = 0 ………………9 分 8 8 8 8 8 8E [( X - E ( X ) )(Y - E (Y ) )] D( X ) ? D(Y ) E ( XY )二、计算题（本大题共 7 小题，第 1、2 小题各 13 分，其余每小题 10 分，共 76 分，解答应 故西安邮电学院试题卷标准答案专用纸写出推理，演算步骤）1. 设 B1 为 男 性 ， B2 为 女 性 ， A 为 色 盲 患 者 。 因 B1 + B2 = S , B1 B2 = ?, 且 P ( A | B1 ) = 0.05 ，ρ XY =D( X ) ? D(Y )Cov( X , Y )==D( X ) ? D(Y )=0P ( A | B2 ) = 0.0025 ， P( B1 ) =由贝叶斯公式得所求概率1 1 ， P( B2 ) = . 2 2=即 X 和 Y 是不相关的。而显然………………………………………7 分pij ≠ pi ? p? j 即 X 和 Y 不是相互独立的。 ………………10 分 4. 设 X 表示 100 部电话分机同时使用外线通话的分机数，那么 X ~ B (100, 0.05) . 总机需要备 m 条外线P{ X ≤ m} = P{才能以 95%确保每部分机在使用外线通话时不必等候.由已知条件及拉普拉斯中心极限定理，有P( B1 A) =P ( A B1 ) ? P ( B1 ) P ( A B1 ) ? P( B1 ) + P( A B2 ) ? P( B2 )0.2 + 0.3 + a = 10.05 × 0.5 20 = 0.05 × 0.5 + 0.0025 × 0.5 21………………13 分2. 由分布律的性质，得 所求常数 a = 0.5 . 所求分布函数………………5 分x3. X 的分布律为X - np m - np X - 100 × 0.05 m - 100 × 0.05 ≤ } = P{ ≤ } np (1 - p ) np (1 - p ) 100 × 0.05 × 0.95 100 × 0.05 × 0.95 m - 100 × 0.05 = Φ( ……………………………………………… 6 分 ) ≥ 0.95 100 × 0.05 × 0.95 m - 100 × 0.05 ≥ 1.65 ，即 m ≥ 8.5961 . ……… 8 分 又 Φ (1.64) = 0.9495 ， Φ (1.65) = 0.9505 . 从而 100 × 0.05 × 0.95这就是说，总机需配备 9 条外线才能以 95%确保每部分机在使用外线通话时不必等候. ……… 10 分 5. 随机相位正弦波 X (t ) = a cos(ωt + Θ ) 的均值函数订订………………9 分u X (t ) = E[a cos(ωt + Θ)] =自相关函数 2 0.7 ………………13 分a 2π∫ π cos(ωt + θ )dθ = 0 .-π………………… 6 分RX ( s, t ) = E[ X ( s ) X (t )] = E[a cos(ωs + Θ )a cos(ωt + Θ )]a2 = 2π6. 因为a2 ∫ -π cos(ω s + θ ) cos(ωt + θ )dθ = 2π cos ω (t - s).π…………………10 分X pk-1 3 8装装012 83 8………………4 分Y 的分布律为? 0 0 1 1 ? ? 0 0 1 1 ? ? 1 1 0 0? 2 2 2 2 2 2 ? ?? ? ? ? 0 0 1 1 ? ? 0 0 1 1 ? ? 1 1 0 0? 2 2 2 2 2 2 2 ? , = P = 1 1 ? 2 2 0 0? ? 1 1 0 0? ? 0 0 1 1 ? 2 2 2 2 ?1 1 ??1 1 ? ? ? 1 1 ? 2 2 0 0? ? 2 2 0 0? ? 0 0 2 2 ?………………… 4 分说明：1．标准答案务必要正确无误。2．将每道大题得分和总分填入得分栏中。共 2 页第 2 页总印份（附卷纸页）?0 0 1 1 ? ? 1 1 0 0? ? 0 0 1 1 ? 2 2 2 2 2 2 ? ?? ? ? ? 0 0 1 1 ? ? 1 1 0 0? ? 0 0 1 1 ? 2 2 2 2 2 2 3 ? = =P. P = 1 1 ? 2 2 0 0? ?0 0 1 1 ? ? 1 1 0 0? 2 2 2 2 ?1 1 ?? ? ?1 1 ? 1 1 ? 2 2 0 0? ?0 0 2 2 ? ? 2 2 0 0?于 是 可 得 P = P ,P = P . 以 此 类 推 可 得 Pn→∞4 2 32n………………… 8 分= P 2 , P 2 n+1 = P , 因 此 对 任 意 固 定 的………………… 10 分j ( j = 1,2,3,4) , lim Pij (n) 不存在,按定义得此马氏链不具有遍历性.7. 因为∫ ∫-∞+∞+∞ -∞h(2 x + y ) f ( x, y )dxdy = ∫1 0∫+∞ 0h(2 x + y )e - y dxdy………………… 3 分 ………………… 6 分1 ? 2+ y ? h( z ) ? e - y dz ? dy 0 ?∫y 2 ? ? 交换积分次序 2 z1 +∞ ? ? ? z 1 ? ====== ∫ ? h( z ) ∫ e - y dy ?dz + ∫ h( z ) ? ∫ ? e - y dy ? dz 0 0 2 2 ? ? ? z -2 2 ? 2 +∞ 1 1 2 = ∫ h( z ) ? (1 - e - z )dz + ∫ h( z ) ? (e - 1)e- z dz, 0 2 2 2 ===== ∫令z = 2 x + y +∞………………… 8 分所以? ? 0, z ≤ 0, ? ? 1 f Z ( z ) = ? (1 - e - z ), 0
2. ? 2 (e - 1)e , ?…………………10 分说明：1．标准答案务必要正确无误。2．将每道大题得分和总分填入得分栏中。
范文十：北京邮电大学2011——2012学年第2 学期3学时《概率论与随机过程》期末考试（B）考试注意事项：学生必须将答题内容做在试题答题纸上，做在试题纸上一律无效。一． 填空题（45分，每空3分）1.设随机事件A,B,C相互独立且满足0?件中一定不相互独立的是
. (1) A?BP(A),P(B),P(C)?1, 则下列四对事与C，(2)A C与C，(3)A-B与C，(4) AB与C2. 有编号为甲、乙两个袋子，甲袋子装有4只黑球，乙袋子装有4只白球，从甲袋子中取出两只球放入乙袋子，再从乙袋子中取出两只放入甲袋子，最后，从甲袋子中取出两球，问两球均为黑球的概率p=
2/5. 3. 统计资料表明，某地区每年交通事故次数X服从泊松分布,每年发生8次交通事故的概率是发生10次交通事故的概率的2.5倍，则P{X=2}=18e?6.f(x)4. 设随机变量X的分布函数为F(x)，概率密度函数为数，且满足?c0。如果f(x)是偶函f(x)dx=0.25，则F(-c)=
0.25.?4y?X?05. 已知随机变量X服从正态分布N(?,?2)，且二次方程y2的概率为1/2,则?=
４.无实根6. 设甲打电话所用时间X服从指数分布，打电话所花时间超过两分钟和不超过两分钟的概率相等。乙找甲有事情商量，因为甲正打电话就在旁边默默等候，则乙等待时间超过5?1}?P{Xi?-1}?1/4,7. 设离散型随机变量X1、X2的概率分布相同，P{XiP{Xi?0}?1/2,i=1,2, 且 P{X1X2?0}?1，则 P{X1?X2}?- 1 -8. 设随机变量X的概率密度函数为?1-x,f(x)???0,-1?x?1,otherwise,求随机变量Y?X+1的概率密度函数fY(y)2＝?1.
?0,otherwise??9. 设随机向量(X,Y)在区域D(X,Y)进行4?{(x,y)|0?x?1,0?y?2}上服从均匀分布，对次独立观察，Z表示4次独立观察中事件{X394?Y}发生的次数，则E(Z2)?X,Y??2X?1?,?Y3?2，且知道相关系数10. 设随机变量?,?和?XY?0.5满足??，则相关系数???X1,X2,?n11. 设连续型随机变量序列?2x,f(x)???0,0?x?1,独立同分布，密度函数为.0?e?,t?0，?t?1则limP?n??其他，?n2?k?1Xk??2???12. 设{W(t),t?0}是参数为?W的维纳过程，2(0)?0。定义X(t)?W?2则相关系数RX(1,2)??13. 设{N(t),t?0}eN(0)?0是参数为?(2N)?0的泊松过程，，则P{N(?1)N1,??2 ,?
. ?3e?3?式中U,V,W是均值14. 设随机过程X(t)?Usint?Vcost,Y(t)?Wsint?Vcost,为0，方差为6的两两不相关的随机变量，则随机过程X(t),Y(t)的互相关函数RXY(s,t)?
. 6cosscost 15. 设平稳过程{XQ?(t)t,?0}的功率谱密度SX(?)?11??2，则其平均功率- 2 -二. （１5分）设随机变量X和Y独立，Z=X+Y，试求Z在下面两种情况下的概率密度函数： （1）X~N(?,?), Y~U(-?,?),其中，正态分布的分布函数可以用?(x)表示。 （2）X~N(?,?)，Y为离散型随机变量，P?Y=1?=0.3,P?Y=2?=0.7. 解：设fX(x)和fY(y)分别是X,Y的概率密度函数1?(x??)2?2222（1）fX(x)?fZ(z)??1/2?,,???x???,fy(x)???0,???x??,其他。?????fX(x)fY(z?x)dx?12??z??z??fX(x)dx?12???(z??)-?(z??)?,（8）FZ(z)?P?Z?z??P?X?Y?z?（2）?P?X?z?1?P?Y?1??P?X?z?2?P?Y?2??0.3?(z?1)?0.7?(z?2).fZ(z)?0.3?(z?1)?0.7?(z?2).''（7）三．（１5分）设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数?k,f(x,y)???0,(x,y)?G,其他，其中区域G?{(x,y):|x?y|?1,|x|?1}，求（1）常数k；（2）X的边缘概率密度fX(x)；（3）当X?x时，Y的条件密度函数fY（4）概率P?|X?Y|?1?。解(1)
因为G?{(x,y):|x?y|?1,|x|?1}的面积为4，所以k?1/4
(3) (2) 当|x|?1时，fX(x)??1/2,f(x)?所以X??0,X(yx)；????f(x,y)dy??1?x?1?x14y?1/2，|x|?1,其他，（4）- 3 -(3) 当x?(?1,1)时，Y的条件密度函数?1?,??2fX(x)?0,?fYX(yx)?f(x,y)y?(?x?1,?x?1)，其他，（4）（4）概率P?|X?Y|?1??1/2。
（4）四．（１5分）设齐次马氏链{Xn,n?0}的状态空间为E?{0,1,2}，一步转移概率矩阵为?1/2?P?2/3???3/51/402/51/4??1/3， ?0??13初始分布为P{X0?0}?P{X0?1}?P{X0?2}?(1) 求 P{X1?1,X2?1,X4?2|X0=0};(2) 求X2,X3的联合概率函数; (3) 证明马氏链{Xn,n?0}具有遍历性，并求其平稳分布．?17/30??8/15???17/309/403/103/205/24??1/6，?17/60??解 (1) P2P{X1?1,X2?1,X4?2|X0=0}?p01p11p12(2)?0122（4）（2） P{X2?0,X3?0}?2?i?0pi0(2)P?X0?i??1?17817?5??? ??6?P{X2?0,X3?1}?1?41422pi0(2)P?X0?i??i?01?17817?5??? ??12??17817?5??? ??12?P{X2?0,X3?2}??i?02pi0(2)P?X0?i??P{X2?1,X3?0}??9pi1(2)?i?02?933?3??? ??9?- 4 -P{X2?1,X3?1}?019152152P{X2?1,X3?2}??i?02pi1(2)?1?933?3??? ??9??5117?79??? ??5??5117?79??? ??15?P{X2?2,X3?0}??i?02pi2(2)?P{X2?2,X3?1}??i?0pi2(2)?P{X2?2,X3?2}?0（6）（3）因为 P中所有元素均为正数，且马氏链的状态是有限个，所以遍历。平稳分布?满?122???1???足如下方程组： ???????1?141423?2?251335?3529321932093?2??3??1??1??3?2解得：?1?,?2?,?3?（5）?1??2??3?1五．（１0分）设随机过程X(t)?Acos(?0t??)，其中A,?0为常数，?为(0,2?)区间上均匀分布的2随机变量。证明X(t)是平稳的随机过程，并求平均功率，功率谱密度。A2A2解E?X(t)??E?cos(2?0t?2?)?1??,E?X(t)X(s)??A82cos?2?0?t?s???A24故随机过程平稳。 平均功率为RX(0)?功率谱密度为SX(?)?3A82（4） （2）??????AA??i?t?Acos2?t?dt??0???e4?8?8222?????2?0??????2?0??4?(?)?（4）- 5 -}
书籍作者：
书籍出版：
高等教育出版社
书籍页数：
书籍ISBN：
书籍人气：
推荐指数：
概率论与数理统计教程（第4版）习题全解指南《概率论与数理统计教程习题全解指南(第4版)》是普通高等教育“十五”国家级规划教材——《概率论与数理统计教程（第四版）》的配套辅助用书，内容包括概率论与数理统计的基本内容。与主教材相对应，全书共分九章，各章的顺序和内容与主教材保持一致，给出习题全解。部分题目在解答之后对该类题目的解法进行了总结和归纳，部分题目提供了多种解法。此外，书后还附了自年以来全国硕士研究生入学统一考试数学试题中有关概率论与数理统计部分的试题，并做出详细解答。 《概率论与数理统计教程习题全解指南(第4版)》内容切合学生实际、针对性强，通过解题过程，帮助学生掌握概率统计的基本知识、基本理论和基本技能，可供高等学校工科和其他非数学类专业学生选用，也为准备考研的学生提供了一本很好的参考书，还可供使用主教材的教师参考。第一章 随机事件及其概率习题一解答历届硕士研究生入学试题解答（一）第二章 随机变量及其分布习题二解答历届硕士研究生入学试题解答（二）第三章 随机变量的数学特征习题三解答历届硕士研究生入学试题解答（三）第四章 正态分布习题四解答历届硕士研究生入学试题解答（四）第五章 数理统计的基本知识习题五解答历届硕士研究生入学试题解答（五）第六章 参数估计习题六解答历届硕士研究生入学试题解答（六）第七章 假设检验习题七解答历届硕士研究生入学试题解答（七）第八章 方差分析习题八解答第九章 回归分析习题九解答附录扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
下载作业帮安装包
扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
关于概率论正态分布的问题,&
扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
这是一个基本结论,样本平均值服从正态分布N(μ,(σ^2)/n).经济数学团队帮你解答,请及时评价.
为您推荐：
其他类似问题
扫描下载二维码扫二维码下载作业帮
1.75亿学生的选择
下载作业帮安装包
扫二维码下载作业帮
1.75亿学生的选择
一道概率论的题目,关于正态分布答案为什么选B怎么算到的?
平安夜快乐b1鹽
扫二维码下载作业帮
1.75亿学生的选择
此题有问题.当有(B)时,即,有η=a+σζ时,可以从ζ～N(0,1)得到η～N(a,σ²).但反之不必然.试想:已知 N(0,1)和 N(a,σ²) 并不意味这两个随机变量有什么关系.可能独立,也可能不独立.而η=a+σζ 意味着这两个随机变量是线性相关的.题要改成:..."则 η 与 ζ 之间的关系可以是( )",那题就可做了.答案是B.
为您推荐：
其他类似问题
看书，最基本的定理。
扫描下载二维码《概率论与随机过程答案》_优秀范文十篇
范文一：《概率论与随机过程》第一章习题答案1. 写出下列随机试验的样本空间。（1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。
解：n?100?01?S??,,?,?n?nn?，其中n为小班人数。（2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。
解：S??3,4,?,18?。（3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数。
解： S??3,4,?,10?。 （4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。
解： S??10,11,??。（5） 一个小组有A，B，C，D，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选举的结果。解： S??AB,AC,AD,AE,BA,BC,BD,BE,CA,CB,CD,CE,DA,DB,DC,DE,EA,EB,EC,ED?其中，AB表示A为正组长，B为副组长，余类推。（6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。解： S??e0,e1,e2?其中，e0为和棋，e1为甲胜，e2为乙胜。（7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。
解： S??r,w,b,rw,rb,wb,rwb?其中，r,w,b,分别表示红色、白色、蓝色。（8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。解： S??00,100,10,11,10,1111?其中，0为次品，1为正品。（9） 有A，B，C三只盒子，a，b，c三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。解： S??Aa,Bb,Cc;Ab,Bc,Ca;Ac,Ba,Cb;Aa,Bc,Cb;Ab,Ba,Cc;Ac,Bb,Ca?其中，Aa表示球a放在盒子A中，余者类推。（10） 测量一汽车通过给定点的速度。
解：S??vv?0?（11） 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。解： S???x,y,z?x?0,y?0,z?0,x?y?z?1?其中，x,y,z分别表示第一段，第二段，第三段的长度。#2. 设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。（1） （2） （3） （4）A发生，B与C不发生。
解：ABC A与B都发生，而C不发生。
解： ABC A，B，C都发生。
解： ABCA，B，C中至少有一个发生。
解： A?B?C（5） A，B，C都不发生。
解： ABC（6） A，B，C中至多有一个发生。
解： AB?BC?CA （7） A，B，C中至多有二个发生。
解： A?B?C（8） A，B，C中至少有二个发生。
解： AB?BC?CA. #3. 设S??1,2,?,10?,A??2,3,4?，B??3,4,5?，C??5,6,7?，具体写出下列各等式（1）AB。
解： AB??5?；（2）A?B。
解： A?B??1,3,4,5,6,7,8,9,10?；（3）AB。
解：AB??2,3,4,5?；（4） ABC。
解： ABC??1,5,6,7,8,9,10?（5）A(B?C)。
解： A(B?C)??1,2,5,6,7,8,9,10?. #4. 设S??x0?x?2?，A3??1??1??x?x?1?，B??x?x??，具体写出下列各式。2??2??41??3??A?B??x0?x????x?x?2?4??2??（1）A?B。
解： （2）A?B。
解： （3）AB。
解：1??13????A?B??x0?x????x?x?1???x?x?2?4??22????AB????11??3????x?x????x1?x??42??2??（4）AB。
解：AB. #5. 设A，B，C是三事件，且P(A)?P(B)?P(C)?14，P(AB)?P(CB)?0，P(AC)?8，求A，B，C至少有一个发生的概率。 解：由题意可知：P(ABC)?0，故P?A?B?C??P?A??P?B??P?C??P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC或 ?(A?C)?B??，?P?A?B?C??P((A?C)?B)?P?A?C??P?B??P(A)?P?C??P(AC)?P(B)?58)?58。。#6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。（1） 求恰有90个次品的概率。 （2） 至少有2个次品的概率。解：（1）?????400??1100????11090?????200?????????1500??200???； ??（2） 设P(k)表示有k个次品的概率，故至少有2个次品的概率为：?k?2?1100P(k)?1?P(0)?P(1)?1???200??????????????400??????1??1100????199???????????1500??200?????. #7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算）？
（2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少？
解：（1） 属“分房问题”，即有n个人，每个人都以1N的概率被分在N间房中的每一间中，某指定房间中至少有一人的概率。设某指定房间中恰有k个人的概率为P(k)，则有??n?n?k???N?1?P(k)????????k????nNn?n??1??N?1?????k??N??N???????nkn?k。故，某指定房间中至少有一人的概率为：?k?1?N?1?P(k)?1?P(0)?1????N?。所以，500个人中至少有一个人的生日是10月1日的概率为：?364?1????365?500?1?0.34（2） 属“分房问题”，即有n个人，每个人都以N的概率被分在N间房中的每一间中，至少有二个人在同一间房中的概率。设A为“每一间房中至多有一个人” 基本事件个数：Nn。“每一间房中至多有一个人”事件的个数为：N!(N?n)!。所以，“至少有二个人在同一间房中的概率”等于“至少有二个人的生日在同一个月的概率”。1?N!?n)!Nn?1?12!(12-4）！?1?0.1412。 #8. 甲、乙位于二个城市，考察这二个城市六月份下雨的情况。以A，B分别表示甲，乙二城市出现雨天这一事件。根据以往的气象记录已知P(A)?P(B)?0.4，求P(A/B)，P(AB)?0.28，P(B/A)及P(A?B)。 解： P(A/B)?P(AB)P(B)?0.280.4?0.7P(AB)P(A)0.280.4；P(B/A)??0.7P(A?B?P(A)?P(B)?P(AB)?0.4?0.4?0.28?0.52。 #9. 已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。（1） 二只都是正品。 （2） 二只都是次品。（3） 一只是正品，一只是次品。 （4） 第二次取出的是次品。解：
??(2) (3) (4)?8????2??2????2????10?8!?8!?2!28?????2?2!?6！?10！45???10?8!?2!1?????2?10！45??；；；或810?29?210?89?1645?8??2??????1??1??????10?8?2?8!?2!16?????2?10！45??；810?29?210?19?945。 #10. 某工厂中，机器B1,B2,B3分别生产产品总数的25%，35%和40%。它们生产的产品中分别有5%，4%，2%的次品，将这些产品混在一起，今随机地取一只产品，发现是次品。问这一次品是机器B1,B2,B3生产的概率分别是多少？解：设A为“次品”，已知：P(B1)?0.25，P(B2)?0.35，P(B3)?0.40；P(A/B1)?0.053，P(A/B2)?0.04，P(A/B3)?0.02，。故由，P(A)??P(A/Bj?1j)P(Bj)?0.05?0.25?0.04?0.35?0.02?0.40?0.0345P(A/Bi)P(Bi)P(A)P(Bi/A)?可得：0.05?0.250.0345??2569??0.36232； 2869?0.40580P(B1/A)?P(A/B1)P(B1)P(A)?P(B2/A)?P(A/B2)P(B2)P(A)0.04?0.350.0345；P(B3/A)?P(A/B3)P(B3)P(A)?0.02?0.400.0345?1669?0.23188。 #11. 将二信息分别编码为A和B传送出去，接收站接收时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01。信息A与信息B传送的频繁程度为2:1。若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？解：设：A?,B?分别表示收到信息是A 和B。由已知条件可知:，P(A?/B)?0.01，P(A?/A)?0.98，P(B?/B)?0.99P(A)?2/3，P(B)?1/3。?P(A?)?P(B)P(A?/B）?P(A)P(A?/A)?197/300P(B?/A)?0.02?P(A/A?)?P(A)P(A?/A)P(A?)?196197?0.9949。 #12. 如图所示1，2，3，4，5，6表示继电器接点。假设每一继电器接点闭合的概率为p，且设各继电器接点闭合与否相互独立。求L至R连通的概率是多少？LR解:
P[(1?3)?(2?3)?4?(5?6)]?P(1?3)?P(2?3)?P(4)?P(5?6)?P(1?3?2)?P(1?3?4)?P(1?3?5?6)?P(2?3?4)?P(2?3?5?6)?P(4?5?6)?P(1?3?2?4)?P(1?3?2?5?6)?P(1?3?4?5?6)?P(2?3?4?5?6)?P(1?3?2?4?5?6)2456?p?3p?4p?3p?p。 #13. 对飞机进行三次独立的射击，第一次射击的命中率为0.4，第二次为0.5，第三次为0.7。飞机击中一次而被击落的概率为0.2，击中二次而被击落的概率为0.6，若被击中三次则飞机必然被击落，求射击三次而击落飞机的概率。解:
设Ai：为第i次射击命中飞机；Bi：飞机击中i次而被击落。C：射击三次而击落飞机P(C)?P(B1)P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)???P(B2)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)??P(B3)P(A1A2A3)。 #?0.2(0.06?0.09?0.21)?0.6(0.06?0.14?0.21)?0.14?0.072?0.246?0.14?0.45814. 一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取三只。以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的概率密度。解： ? px???2?????x?1??5???3????15.
设随机变量X的概率密度为P{X?k}?a（2）设随机变量X的概率密度为P{X???kk!，k?0,1,2,?,??0为常数，试确定常数a。?k}??aN，k?0,1,2,?,N?1，试确定常数a。?解： （1）??k?0?P{X?k}??ak?0?kk!?a?k?0?kk!?ae?1， ?a?e??N?1(2)
??P{X?k}??k?0k?0aN?N*aN?1，
?a?1。 #16. 设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号。（1）进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率。（2）进行了7次独立试验，求指示灯发出信号的概率。?n?k5?k??K}???k??0.3?0.7??设：Y?X1?X2???Xn，则P{Y5。（1）n（2）n?5时，P(Y?3)??7?5????0.3k?0.75?k?0.16308?k?k?3???7????0.3k?0.77?k?0.353?k?k?3???7时，P(Y?3)??。 #17. 一电话交换机每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：（1）每分钟恰有8次呼唤的概率。（2）每分钟的呼唤次数大于10的概率。解:
? 参数为4的泊松分布为：P{X4*e8!8?4?k}?4?ek!k?4， k?0,1,2,?。 故，10(1)P{X?8}??0.02977； (2)P{X?10}?1??P{Xk?0?k}?0.。 #18. 设随机变量X的分布函数为?x??1?e,x?0,F(x)???0,x?0.?求P{X?2},P{X?3}， （2）求概率密度f(x)。解：（1）P{X?2}?F(2)?1?e?2?0.8647 （2）P{X?3}?1?F(3)?0.04979
(3)?x??e,f(x)?F?(x)????0,x?0x?0。 #19. 一工厂生产的电子管的寿命X（以小时计）服从参数为?P{120?X?200}?0.80,允许?最大为多少？ 解： ?f(x)?12??2?160，?的正态分布，若要求exp[?(x?160)2?22]2001(x?160)2?P{120?x?200}??1202??2exp[?2?2]dx40/?1y240/?1y2??2?exp[?2]dy?2??exp[??40/?????2]dy?0.5?2???0.80?40/?2即，?1exp[?y9,
查表可得：40??2?2]dy?0.??1.28??max?31.25。 #20.求Y?X2的概率密度。解：由Y?X2可知：SY?{0,1,4,9}。故有21. 设X的概率密度为?2xf(x)???,0?x??，求Y?sinX的概率密度。??2?0,其它解：?0?x??,0?y?sinx?1，故X??arcsinY?。???arcsinY又?FY(y)?P{Y?sinX?y}?P{0?X?arcsiny}?P{??arcsiny?X??}arcsiny??2x?2x?2?y?1?2dx????arcsiny?2dx?arcsiny， 0?21,0?y?1?fy)?F?Y(Y?(y)???2。 #??y?0,其它22. 设随机变量（X，Y）的概率密度为?2xyf(x,y)???x?3,0?x?1,0?y?2,??0,其它.求P{X?Y?1}。 解：12P{X?Y?1}???f(x,y)dydx??[?f(x,y)dy]dx?1?x1212??[(x2?xy2?3)dy]dx?(xy?xy2)dx1?x?061?x??1(56x?343x2?12x)dx?524x4?49x?3141x20?6572。 #23. 设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N(160,202)分布，随机地选取4只，求其中没有一只寿命小于180 小时的概率。解： 设Xk为取出的第k只管子的寿命，故，2F12Xk(180)??180exp(?(x?160)dx令y?(x?160)201exp(?y??202?2?202)?1??2?2)dy?0.8413令N4?min(X1,X2,X3,X4)。因为{Xk}相互独立，且同分布，所以，P{N44?180}?1?P{N4?180}?1?Fmin(180)?1??1??1?FXk(180)????1?FXk(180)?4?(0.1597)4。24. 设随机变量X的概率密度为求E(X),E(X2),E(3X2?5)。解：E(X)??2?0.4?0?0.3?2?0.3??0.2，E(X2)?(?2)2?0.4?02?0.3?22?0.3?2.8，E(3X2?5)?3E(X2)?5?3?2.8?5?13.4。 #25. 设X服从二项分布，其概率密度为P?X?k????n??k?kn?k?p(1?p),k?0,1,2,?,n.0?p?1. 求E(X)和D(X)。??nn解：E(X)??kP{X?k}??k??n??k?0?k?kn?k?p(1?p)k?0?n??kn(n?1)(n?2)?[n?(k?1)]pk(1?p)n?kk?0k!n?np?(n?1)(n?2)?[(n?1)?(k?2)]pk?1(1?p)(n?1)?(k?1)k?0(k?1)!?np(p?1?p)n?1?npE(X2)?E[X(X?1)?X]?E[X(X?1)]?E(X)n??k(k?1)??n??kn?k?k?0?k?p(1?p)?np?n?n(n?1)p2?(n?2)(n?3)?[(n?2)?(k?3)]?2)?(k?2)?npk?0(k?2)!pk?2(1?p)(n?n(n?1)p2(p?1?p)n?2?np?n(n?1)p2?npD(X)?E(X2)??E(X)?2?n(n?1)p2?np?n2p2?np(1?p)。 #26. 设X服从泊松分布，其分布律为##k??P?X?k???ek!,k?0,1,2,?,??0. 求E(X)和D(X)。?k解：E(X)??k?e?????e????k?1?e???e???，k?0k!k?1(k?1)!?E(X2)?E[X(X?1)?X]?E[X(X?1)]?E(X)????k?2??k(k?1)?ke????????2??k?0k!????2ek?2(k?2)!D(X)?E(X2)??E(X)?2??2????2??。 #27. 设X服从均匀分布，其概率密度函数为?f(x)??1?b?a,a?x?b,
求E(X)和D(X)。??0，其它，解：E(X)??bx1b，ab?adx?a?2E(X2)??E(X)?2bD(X)???x21?a?22ab?adx??b????b?a??2?12。 #28. 设X服从正态分布，其概率密度函数为f(x)?1??x-??2exp???0,???x???。 求E(X)和D(X)。2????2?2?，????解：??E(X)??x1??x-??2exp?， 令x??，则??2?????dx??2?2????t??E(X)?1(?t??)exp???t2?1???t??)exp??2??????dx?2??t2(??2???????2?dt???????exp?t2/22???2?????dt??2?其中，2??f(t)?texp(?t/2)为奇函数，故?texp(?t2/2)dt?0；??而???exp??t2/2????1?1dt?2exp??t2/2?dty?t2/22y2exp??y?dy?2Γ(1????0?2)?2??(?)????x??1exp??x?dx,?(1。2)???D(X)?1(x??)2exp????x-??2?
（令x??2??????dx??2?2????t）2??222????exp?t/2?dt????t2/2?exp??t2/2dt??2???2。 #2????t???2???te?????????2?2?29. 对于任意两个随机变量X，Y，证明下式成立：（1） D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)；（2） Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)。证： ?D(X?Y)?E?X?E(X)?Y?E(Y)?2???E??X?E(X)???Y?E(Y)??2?X?E(X)??Y?E(Y)?? ?X?E(X)???E??Y?E(Y)???2E??X?E(X)??Y?E(Y)?? ?E?2222?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)? D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)；? Cov(X,Y)?E??X?E(X)??Y?E(Y)???E?XY?E(X)Y?XE(Y)?E(X)E(X)?? Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)。 #?E(XY)?E(X)E(Y)?x??e,f(x)????0,30. 设随机变量X的概率密度函数为解：E?Y?2X???2Xx?0x?0。求（1）Y=2X，（2）Y?e?2x的数学期望。???2xe???xdx??2ee?x?x??0?2；??EY?e????e?2xdx??13e?3x?1/3。 #31. 设随机变量（X，Y）的概率密度函数为?K,0?x?1,0?y?x,f(x,y)??0,其它，?试确定出常数K，并求E(XY)。???解： ???????????f(x,y)dxdy?1，故?1???Kdy?dx?0?1x?1Kxdx?1K23?1，? K?2 14E(XY)?????????xyf(x,y)dxdy???0?xx?2ydy?0???dx???xdx?。 #32. 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700。 利用契契比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在之间的概率。解： 已知：??7300，??700。? ??/2?7300??P?X?????2100??1?故令???22?22?1??8/9?0.8889?0?8/9?0.8889 PX???210?。 #33. 设随机变量X的概率密度函数为 解：E(X)????x?,??ef(x)????0,x?0x?0，其中??0为常数。求E(X)和D(X)。???xe2??xdx?1?2???ye?ydy?21??(2)?1??，
（? ?(n?1)?n?(n)?n!）1D(X)?E(X)??E(X)??????xe??xdx?1?2?2???ye2?ydy?1?2?1?2?(3)?1?2?1?2。 #34. 设随机变量X的概率密度函数为D(X)。2?xx?exp(?),2f(x)??2?2??0,?x?0x?0，其中??0为常数。求E(X)和解：E(X)????x22?exp(?x222?)dx?2????1t2e?tdt?2??(1?1)?22?2?/2?，（?D(X)?E(X?(n?1)?22(2n?1)!!22n???）32)??E(X)???x?exp(?x2?22)dx???22?2?2???texp(?t)dt?2?2???22?4??2?2。#35. 设随机变量X的概率密度函数为P?X?k??pqk?1，k?1,2,?。其中0?则称 X服从参数为p的几何分布。试求E(X)和D(X)。?p?1,q?1?p为常数，解：E(X)??kpqk?1k?1??p?????k?1???1kq??p??1?q??????1??p????1?q?2???1???p??2，k?1D(X)?E(X?2)??E(X)??E[X(X?1)]?E(X)??E(X)??2?k(k?1)pqk?1?1p?1p2=?pq????k?1???1qkq???pq??1?q2?p?????q2????pq?2??1?q?3p???qq???2?p2p?。 #36. 设随机变量(X，Y)的概率密度函数为.Cov(X,Y)。f(x,y)?18(x?y),0?x?2,0?y?2。求E(X)、E(Y)、解： E(X)???????????xf(x,y)dxdy?18????[02222(x2?xy)dy]dx?18?202(xy?2xy2222)dx?0214?202(x2?x)dy?76，E(Y)???????????yf(x,y)dxdy?18????[(y2?xy)dx]dy?18?(yx?2xy23)dy?022142?(y2?y)dy?276，43E(XY)?????xyf(x,y)dxdy?18????[22(xy?xy)dx]dy?761362218?2(xy3?xy2)dy??2(y3?y4)dy?，Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?43?76???。#37. 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为接近于它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在（-0.5，0.5）上服从均匀分布。（1） 若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？ （2） 几个数可加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率为0.90？解： 设X为取整误差，则E(X)?0,D(X)?σ2?1/12。（1）?P???1500k?1Xk?1??15??P???/?1500k?11500k?1Xk??15/?1.34?????1?P???1???Xk?1.34???Xk?1?1?[P???1??e1500k?12??1?1.34??P????dt1500k?1Xk???1.34?]??1.3412??t/2dt?????1.3412?e?t/22???1?0.1?0.1802k?1或：P????1500k?1Xk?1??15??P???/?1?2[1?P???2[1??1500Xk??15/?1.34??12?e?t/22?enk?11500k?12Xk??1.34?]??1.3412??t/2dt]?2?[1?0.210/n??（2） ??P???nk?1X1k???10??P???e?t/221n/?Xk??10/n??1?2[1???dt]?0.90????10/ndt]?0.95，10/n?1.645，??2?n?443。 #38. （1）一个复杂的系统，由100个相互独立起作用的部件所组成。在整个运行期间每个部件损坏的概率0.10。为了使整个系统起作用，至少必需有85个部件工作，求整个系统工作的概率。（2）一个复杂的系统，由n个相互独立起作用的部件所组成。每个部件的可靠性（即部件工作的概率）为0.90。且必须至少有80%部件工作才能使整个系统工作，问n至少为多少才能使系统的可靠性为0.95。解： 设每个部件损坏的概率P{Xk?0}?0.10，则每个部件未损坏的概率P{Xk?1}?0.90。100令?100率为：??k?1Xk，由此可知?100具有参数为n?100，p?0.90的二项分布， 故整个系统工作的概(1) P{85??100?100}?P{?85?90312?e2??np?100?903?P{?53??np?103?10/3?t/2dt?0.5?0.9520?5/3n3?(2) ?P{0.8n??n?n}?P{0.8n?0.9n0.09n12?e?2?n?npnp(1?p)?100?n?0.9n0.09n12?e?P{?2?n?npnp(1?p)?100?n3}?n/3?n/3n/3?t/2dt?1?2[1???n/3?t/2dt]?0.95???12?e?t/22??dt?0.975?n3?1.96,
?n?35。 #39. 某个单位设置一电话总机，共有200架电话分机。设每个电话分机有5%的时间要使用外线通话，假定每个分机是否使用外线通话是相互独立的。问总机要多少外线才能以90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用。解：设要m条外线才能以90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用。已知：P{Xk?1}?0.05，P{Xk?0}?0.95令?n??200k?1Xk, 则?n具有参数为n?n?npnp(1?p)12?e?t/22?200，p?0.05的二项分布。9.5???10P{0??n?m}?P????9.5??m?10????9.5??dt??(m?10)/9.512?e?t/22dt10/?(m?10)/9.5????10/9.512?e?t/22dt?0.90??11?(m?10)/.512?e?t/22dt?????10/9.512?e?t/22dt?0.90?0.?0.9007??m?109.5?1.32?m?14。 #12
范文二：05-06概率论与随机过程试题参考答案（A）1. (1) 由于且ABC?AC，那么0?P(ABC)?P(AC)。又P?AC??0，所以A,B,C都发生的概率为:P?ABC??0;(2)
A,B,C至少有一个发生的概率为：P?A?B?C??P?A??P?B??P?C??P?AB??P?BC??P?AC??P?ABC?1?; 2(3)
A,B,C都不发生的概率为1P???PA?B?C?1?P?A?B?C??..2?2.（1）因为+?1a. f(x)dx?axdx??-??02??由密度函数的性质?f(x)dx=1. 因此-?（2）X的分布函数F(x)为?0x?F(x)??f(t)dt??x2-??1?a?2,x?0,,0?x?1, ,x?1.3. 由题意及乘法公式容易求得(X,Y)的分布律．11P?X?i,Y?j??P?Y?jX?i??P?X?i???，i?1,2,3,4.j?i．i4(X,Y)的分布律为：由公式pi??1，同理，p2??p3??p4??；44ijj?14137325，同理得p?2?，p?3?，p?4?． p?1??pi1??pij，p?j??pij，可得p1???p1j?列表得：4．???1?2?x2,?2?x?2,fX(x)??f(x,y)dy??????0,其它，??1???2?y2,?2?y?2,fY(y)??f(x,y)dx??????0,其它，?显然f(x,y)?fX(x)?fY(y)，所以X和Y不是相互独立的．??21E(X)??xfX(x)dx??x?2?x2dx?0,???2?同理E(Y)?0. 而E(XY)??dx?xyf(x,y)dy???xy????D????1dxdy2?1?2?于是?2?0d??r2sin?cos?rdr?0，Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0,所以X和Y是不相关的.。第k部分机使用外线,(k?1,2,?,260)，X1,X2,?,X260第k部分机不使用外线.是260个相互独立的随机变量，且E(Xk)?p?0.04．m?X1?X2???X260表示同时使用外线的分机数，根据题意应确定最小的x使P{m?x}?95%成立．5. 令Xk???1,?0,由中心极限定理有t?x?260p??m?260p?b1?2P{m?x}?P??edt， ?????p(1?p)????260p(1?p)?查得?(1.65)?0.，故取b?1.65．于是2x?b260p(1?p)?260p?1.65?260?0.04?0.96?260?0.04?15.61．也就是说，至少需要16条外线才能95%满足每部分机在使用外线时不用等候6.（1）依题意，这一装置的寿命为W100，即100次“震动”的等待时间，它服从参数为100，5的Γ分布. 所以寿命W100的概率密度为?5(5t)99?5t?,t?0,fW100(t)??99!e?0,t?0.?100?20. （2）装置的平均寿命为E[W100]?5（3）相继两次“震动”时间间隔Ti?Wi?Wi?1服从参数为5的指数分布，其密度函数为,t?0,,t?0.1（4）相继两次“震动”的平均时间为E[Ti]?（h）．57.
（１） P{X(0)?1,X(1)?0,X(2)?2}＝P{X(0)?1}P{X(1)?0|X(0)?1}P{X(2)?2|X(1)?0} 2111＝???． 33627（２）因为?5e?5tfTi(t)???0?13171?????P(2)?P2???1????6124?无零元，由遍历性定理知此齐次马氏链是遍历的，具有极限分布??（?1，满足 ?2?3）11????2??11?23?121??1??2??3??2?332?11???3??31?2?6??1??2??3?1解之得?1?692,?2?,?3?．. 171717,0???2?,,其它.2?8.
由假设?的密度函数为?1f(?)???0于是，由定义所求均值函数?X(t)?E[acos(?t??)]??0acos(?t??)?而自相关函数1d??0, 2?RX(t1,t2)?E[a2cos(?t1??)cos(?t2??)]?a又因为2?2?1a2cos(?t1??)cos(?t2??)?d??cos??，2?2?X(t)??lim1acos?sin?T??0， ??TT???2T?T1T2a2?X(t)X(t??)??limacos(?t??)cos[?(t??)??]dt?cos??.T???2T??T21T???2TTacos(?t??)dt?lim所以?X(t)???X(t),?X(t)X(t????RX(?).因此随机过程X(t)?acos(?t??)是各态历经的9．
设事件Ai表示“任挑一箱是第i条箱”，Bi表示“第i次取到的零件是一等品”，其中i?1,2。因为“第一次取得零件是一等品”发生的原因有：此一等品可能是第一箱的零件，也可能是第二箱的零件，因此A1,A2是B1发生的原因，故A1,A2是样本空间S的一个划分，且P(A1)?P(A2)?2。由题设有11C10C1813P(B1|A1)?1?，P(B1|A2)?1?C305C505(1) 由全概率公式得第一次取得零件是一等品的概率为11132P?B1??P?A1??P?B1|A1??P?A2??P?B1|A2??????25255(2) 由条件概率及全概率公式有P(B2|B1)?P(B1B2)P(A1)P(B1B2|A1)?P(A1)P(B1B2|A1)?P(B1)P(B1)22?C18. ???2??2??2?2C502C30?1421
范文三：《概率论与随机过程》第一章习题答案1. 写出下列随机试验的样本空间。（1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。
解：n?100??01S??,,?,?n??nn，其中n为小班人数。（2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。
解：S??3,4,?,18?。
（3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数。
解：S??3,4,?,10?。（4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。
解：S??10,11,??。（5） 一个小组有A，B，C，D，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选举的结果。解：S??AB,AC,AD,AE,BA,BC,BD,BE,CA,CB,CD,CE,DA,DB,DC,DE,EA,EB,EC,ED?其中，AB表示A为正组长，B为副组长，余类推。（6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。解：S??e0,e1,e2?其中，e0为和棋，e1为甲胜，e2为乙胜。（7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。解： 色。（8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。S??r,w,b,rw,rb,wb,rwb?其中，r,w,b,分别表示红色、白色、蓝解： S??00,100,10,11,10,11110为次品，?其中，1为正品。（9） 有A，B，C三只盒子，a，b，c三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。
解：S??Aa,Bb,Cc;Ab,Bc,Ca;Ac,Ba,Cb;Aa,Bc,Cb;Ab,Ba,Cc;Ac,Bb,Ca?其中，Aa表示球a放在盒子A中，余者类推。（10） 测量一汽车通过给定点的速度。
解：S??vv?0? （11） 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。解： S???x,y,z?x?0,y?0,z?0,x?y?z?1?其中，x,y,z分别表示第一段，第二段，第三段的长度。#2. 设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。 （1） A发生，B与C不发生。
解：ABC （2） A与B都发生，而C不发生。
解： （3） A，B，C都发生。
解：ABCA?B?C AB（4） A，B，C中至少有一个发生。
解： （5） A，B，C都不发生。
解：AA??CA（6） A，B，C中至多于一个发生。
解： （7） A，B，C中至多于二个发生。
解： （8） A，B，C中至少有二个发生。
解：??AB?BC?CA. #3. 设S??1,2,?,10?,A??2,3,4?，B??3,4,5?，C??5,6,7?，具体写出下列各等式 （1）B。
解： AB??5?；（2）?B。
解： ?B??1,3,4,5,6,7,8,9,10?；（3）。
解：A??2,3,4,5?； （4） ABC。
解： ABC??1,5,6,7,8,9,10?（5）A(B?C)。
解： A(B?C)??1,2,5,6,7,8,9,10?. #13???14. 设S??x0?x?2?，A???x?x?1?，B??x?x??，具体写出下列各式。?2（1）A?B。
解： （2）A?。
解：???A?B??x0?x??42?1??3????x?x?2?4??2?1??1???3?A???x0?x????x?x?1???x?x?2?4??2???2?（3）A。
解： A???? 11??3?（4）B。
解：B???x?x????x1?x??. # 422????5. 设A，B，C是三事件，且P(A)?P(B)?P(C)?4，P(AC)?8，P(AB)?P(CB)?0，求A，B，C至少有一个发生的概率。 解：由题意可知：，故P(ABC)?05P?A?B?C??P?A??P?B??P?C??P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC)?。85或 ?(A?C)?B??，?P?A?B?C??P((A?C)?B)?P?A?C??P?B??P(A)?P?C??P(AC)?P(B)?。8#6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1） 求恰有90个次品的概率。 （2） 至少有2个次品的概率。?400??1100???1500?解：（1）????90????110?????200??；??????????（2） 设P(k)表示有k个次品的概率，故至少有2个次品的概率为：1100??
?P(k)?1?P(0)?P(1)?1???200????k?2200?1500???400??1100????200??????1????199??????????????1500???200????. #7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算）？（2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少？
解：（1） 属“分房问题”，即有n个人，每个人都以N的概率被分在N间房中的每一间中，某指定房间中至少有一人的概率。设某指定房间中恰有k个人的概率为P(k)，则有kn?k??n??n??1??N?1?n?k?nP(k)????k???N?1??N???k???N??N?????????????。故，某指定房间中至少有一人的概率为：??N?1?P(k)?1?P(0)?1???N??k?1500nn。所以，500个人中至少有一个人的生日是10月1日的概率为：?364?1????365??1?0.34（2） 属“分房问题”，即有n个人，每个人都以N的概率被分在N间房中的每一间中，至少有二个人在同一间房中的概率。 设A为“每一间房中至多有一个人” 基本事件个数：Nn。“每一间房中至多有一个人”事件的个数为：N!。(N?n)!所以，“至少有二个人在同一间房中的概率”等于“至少有二个人的生日在同一个月的概率”。 N!?n)!12-4）！1??1??1?0.1 。 #
n4N128. 一盒子中有4只次品晶体管，6只正品晶体管，随机地抽取一只测试，直到4只次品管子都找到为止。求第4只次品管子在下列情况发现的概率。 （1） 在第5次测试发现。 （2） 在第10次测试发现。4?6?4?3?2?1?4??10??4!??10!?22??????
?；或； ????????3?10?9?8?7??3!4!?6!105
（2）???4??6???3????6???????????????10?2??9???5??。 #9. 甲、乙位于二个城市，考察这二个城市六月份下雨的情况。以A，B分别表示甲，乙二城市出现雨天这一事件。根据以往的气象记录已知P(A)?P(B)?0.4，P(AB)?0.28，求P(A/B)，P(B/A)及P(A?B)。0.28P(AB)0.28解： P(A/B)?P(AB)??0.7；??0.7 P(B)0.4P(A)0.4P(A?B?P(A)?P(B)?P(AB)?0.4?0.4?0.28?0.52。 #10. 已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。（1） 二只都是正品。 （2） 二只都是次品。 （3） 一只是正品，一只是次品。 （4） 第二次取出的是次品。8??10?8!?8!?2!28????解：
?； ???2??2?2!?6！?10！45(2) (3) (4)?????2??10?8!?2!1???2????2???10！45?????8??2?10?8?2?8!?2!16???1????1????2???10！45??????；；或8?2?2?8?16；1091094582219。 ????#11. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？9??10?9!3!?7!????解：(1) ????0.3; ?2??3?2!?7!10！(2)12. 某工厂中，机器B1,B2,B3分别生产产品总数的25%，35%和40%。它们生产的产品中分别有5%，4%，2%的次品，将这些产品混在一起，今随机地取一只产品，发现是次品。问这一次品是机器B1,B2,B3生产的概率分别是多少？ 解：设A为“次品”，已知：P(B1)?0.25，P(B2)?0.35，P(B3)?0.40；P(A/B1)?0.05，P(A/B2)?0.04，P(A/B3)?0.02，P(A)????4???2???????5?4!3!?2!???0.6?3???2!?2!5！??。 #?P(A/B)P(B)?0.05?0.25?0.04?0.35?0.02?0.40?0.0345。故由，jjj?13P(Bi/A)?P(A/Bi)P(Bi)可得： P(A)P(A/B1)P(B1)0.05?0.2525???0.36232； P(A)0.034569P(A/B2)P(B2)0.04?0.3528???0.40580； P(A)0.034569P(A/B3)P(B3)0.02?0.4016???0.23188。 # P(A)0.034569P(B1/A)?P(B2/A)?P(B3/A)?13. 将二信息分别编码为A和B传送出去，接收站接收时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01。信息A与信息B传送的频繁程度为2:1。若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？解：设：A?,B?分别表示收到信息是A 和B。由已知条件可知:P(B?/A)?0.02，P(A?/B)?0.01，P(A?/A)?0.98，P(B?/B)?0.99P(A)?2/3，P(B)?1/3。
?P(A?)?P(B)P(A?/B）?P(A)P(A?/A)?197/300?/A)196?P(A/A?)?P(A)P(A??0.9949。 # ?P(A)19714. 如图所示1，2，3，4，5，6表示继电器接点。假设每一继电器接点闭合的概率为p，且设各继电器接点闭合与否相互独立。求L至R连通的概率是多少？LR解:P[(1?3)?(2?3)?4?(5?6)]?P(1?3)?P(2?3)?P(4)?P(5?6)?P(1?3?2)?P(1?3?4)?P(1?3?5?6)?P(2?3?4)?P(2?3?5?6)?P(4?5?6)?P(1?3?2?4)?P(1?3?2?5?6)?P(1?3?4?5?6)?P(2?3?4?5?6)?P(1?3?2?4?5?6)?p?3p2?4p4?3p5?p6。#15. 对飞机进行三次独立的射击，第一次射击的命中率为0.4，第二次为0.5，第三次为0.7。飞机击中一次而被击落的概率为0.2，击中二次而被击落的概率为0.6，若被击中三次则飞机必然被击落，求射击三次而击落飞机的概率。解:
设Ai：为第i次射击命中飞机；Bi：飞机击中i次而被击落。C：射击三次而击落飞机P(C)?P(B1)?P(A123)?P(1A23)?P(12A3)??P(B2)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)??P(B3)P(A1A2A3)?0.2(0.06?0.09?0.21)?0.6(0.06?0.14?0.21)?0.14?0.072?0.246?0.14?0.458。 #16. 一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取三只。以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的概率质函数。 解： ??x?1?px???2?????5???3????17. (1)
设随机变量X的概率质函数为P{X?k}?ak!，k?0,1,2,?,?k??0为常数，试确定常数a。（2）设随机变量X的概率质函数为P{X?k}?a，k?0,1,2,?,N?1，试N确定常数a。解： （1）??P{X?k}??ak?0k?0???kk!?a?k!?ae??1， ?a?e??k?0??k(2)
??P{Xk?0??k}??k?0N?1aa?N*?1， NN?a?1。 #18. 设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号。（1）进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率。（2）进行了7次独立试验，求指示灯发出信号的概率。n?k5?k?设：Y?X1?X2???Xn，则P{Y?K}???k???0.3?0.7。??5?k5?k??0.16308 （1）n?5时，P(Y?3)????k???0.3?0.7k?3?75?7?k7?k???0.3?0.7?0.353。 # （2）n?7时，P(Y?3)????k?k?3??19. 一电话交换机每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：（1）每分钟恰有8次呼唤的概率。（2）每分钟的呼唤次数大于10的概率。解:
? 参数为4(1)20. 设随机变量X的分布函数为?x??1?e,x?0,F(x)???x?0.?0,4k?e?4的泊松分布为：P{X?k}?k!， k?0,1,2,?。 故，48*e?4P{X?8}??0.02977； 8!(2)P{X?10}?1??P{X?k}?0.。 #k?010求P{X?2},P{X?3}， （2）求概率密度f(x)。解：（1）P{X?2}?F(2)?1?e?2?0.8647（2）P{X?3}?1?F(3)?0.04979
(3)21. 一工厂生产的电子管的寿命X（以小时计）服从参数为??160，?的正态分布，若要求P{120?X?200}?0.80,允许?最大为多少？ 解： ?f(x)?12??2?x??e,f(x)?F?(x)????0,x?0x?0。 #(x?160)2exp[?] 22?200?P{120?x?200}?40/?120?12??2(x?160)2exp[?]dx22?2??40/???40/?1yexp[?]dy?2??22????1yexp[?]dy?0.5??0.8022?2即，40/??1?exp[?y2]dy?0.9,
查表可得：40??2??1.28??max?31.25。 #22．设随机变量X的概率质函数为求Y?X2的概率质函数。 解：由Y?X2可知：SY?{0,1,4,9}。故有23.
设X的概率密度为?2xf(x)????2,0?x???，求Y?sinX的概率密度。 ?0,其它解：?0?x??,0?y?sinx?1，故X???arcsinY。???arcsinY又?FY(y)?P{Y?sinX?y}?P{0?X?arcsiny}?P{??arcsiny?X??}arcsiny??2x?2dx?0???arcsin?2xy??22?arcsiny， 0?y?1?1?f?F?20?y?1Y(y)Y?(y)?????y2, 。 #?0,其它24. 设概率变量（X，Y）的概率密度为?f(x,y)???x2?xy,0?x?1,0?y?2,?3?0,其它.求P{X?Y?1}。 解：P{X?Y?1}???f(x,y)dydx?2??1[?1?xf(x,y)dy]dx22??120[?xy1?x(x?3)dy]dx??1(x2y?xy206)dx1?x??1(5x3?4x215144312063?2x)dx?24x?9x?4x?65。 #7225.
设X和Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为f)???1,0?x?1,X(x?0,其它.f(y)????e?y,y?0,Y??0,y?0.试求随机变量Z=X+Y的概率密度。???f(x,y)dxdy,0?z?1,?(0?x?z,0?y?z??1?解：?F??1z(z)??f(x,y)dxdy,z?1,?2(0?x?1,0?y?z?x?????2??,z?0,
?z????z?x0???0e?ydy???dx?z?1?e?z,0?z?1,????1?z?xe?ydy?dx?1?e?z0???0??0,?(e?1),z?1,z?0,??1?e?z,0?z?1,?fz)??z(z)?Fz?(?(e?1)e?z,z?1,。 #??0,z?0.26. 设概率变量（X，Y）的概率密度为2f(x,y)?1?y22??2exp(?x2?2),???x???,???y???。求Z?X2?Y2的概率密度。解：?FZ(z)?x2?y2?z??f(x,y)dxdy?2??12x2?y2?z??exp(?x2?y22?2)dxdyx2?y2?z是以原点为中心，z为半径的圆域。且z?0，故z?0时，FZ(z)?0。令x?rcos?,FZ(z)?12??2y?rsin?r2，则??2?????z?exp(?)rdr?d??22????zr2zexp(?)d()??exp(?)?1?exp(?)?0r2r2z?fZ(z)?'FZz?1),z?0?2exp(?2。 (z)??2?2??0,z?0?#27. 设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N(160,202)分布，随机地选取4只，求其中没有一只寿命小于180 小时的概率。解： 设Xk为取出的第k只管子的寿命，故，FXk(180)??1801??202?exp(?(x?160)22?202)dx令y?(x?160)20?1??y2exp(?)dy?0.84132?1令N4?min(X1,X2,X3,X4)。因为{Xk}相互独立，且同分布，所以，P{N4?180}?1?P{N4?180}?1?Fmin(180)?1?1?1?FXk(180)??????1?F4Xk(180)?4?(0.1597)4。 ##28. 设随机变量X的概率质函数为求E(X),E(X2),E(3X2?5)解：E(X)??2?0.4?0?0.3?2?0.3??0.2， E(X2)?(?2)2?0.4?02?0.3?22?0.3?2.8，E(3X2?5)?3E(X2)?5?3?2.8?5?13.4。 #29. 设X服从二项分布，其概率质函数为P?X?k????n??kn?k?k???p(1?p),k?0,1,2,?,n.0?p?1. 求E(X)和D(X)。解：nnE(X)??kP{X?k}??k??n??kn?k?k??p(1?p)?k?0k?0n??kn(n?1)(n?2)?[n?(k?1)]pk(1?p)n?kk?0k!n?np?n(n?1)(n?2)?[(n?1)?(k?2)]pk?1(1?p)(n?1)?(k?1)(k?1)!k?0?np(p?1?p)n?1?npE(X2)?E[X(X?1)?X]?E[X(X?1)]?E(X)n??k(k?1)??n???pk(n?kk?0?k??1?p)?np?n(n?1)p2?n(n?2)(n?3)?[(n?2)?(k?3)]pk?2(1?p)(n?2)?(k?2)k?0(k?2)!?np?n(n?1)p2(p?1?p)n?2?np?n(n?1)p2?npD(X)?E(X2)??E(X)?2?n(n?1)p2?np?n2p2?np(1?p)。 #30. 设X服从泊松分布，其概率质函数为P?X?k???ke??k!,k?0,1,2,?,??0. 求E(X)和D(X)。解：?k??1E(X)??k?e???k??k?0k!??e???(k?1)!??e??e??，k?1E(X2)?E[X(X?1)?X]?E[X(X?1)]?E(X)k???k(k?1)?e??2????k?2k?0k!????e?????2??k?2(k?2)!D(X)?E(X2)??E(X)?2??2????2??。 #31. 设X服从均匀分布，其概率密度函数为?f(x)??1?b?,a?x?b,(X)?a求E和D(X)。?0，其它，解：E(X)??bax1b?adx?a?b2，D(X)?E(X)??E(X)??22?ba?b?a?21?a?b?xdx????b?a212??22。 #32. 设X服从正态分布，其概率密度函数为f(x)???x-??2?exp???，??0,???x???22?????2??1。 求E(X)和D(X)。解：??x-??2?E(X)?xexp???dx2??2?????2?????1， 令x???t，则?E(X)???t2?1(?t??)exp???dx?2???2???2??1?????t2?(?t??)exp???dt????2?????2??????exp?t2/2dt????2?2?????其中，f(t)?texp(?t2/2)为奇函数，故???texp(?t2/2)dt?0；而???exp??t??2/2dt?2????exp?t/2dty?t/2?2?22???1?1y2exp??y?dy?2Γ(1)?2?2?(?)?D(X)?1x??1exp??x?dx,?()?。 02????x-??2?1x??2(x??)exp??dx
（令?t） ?2?2?2??????????????22??????texp?t/2dt?2?2??2???te2???t2/2??????2?exp?t/2dt????2??????2?2???2。 #33. 有3只球，4只盒子，盒子的编号为1，2，3，4。将球独立地，随机地放入4只盒子中去。以X表示其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X=3表示第1号，第二号盒子是空的，第三只盒子至少有一只球），试求E[X]，D[X]。解：因为3球独立放入4盒的总放法有43=64种。
按题意，X=4时的放法有C33?1种，故P(X?4)?1/64；X=3时，放入3#盒后，余下的球必放入4#盒。其的放法有123C3?C3?C3?3?3?1?7，故P(X?3)?7/64；X=2时，放入2#盒后，余下的球必放入3#和4#盒。其的放法有[C2?C2?C2]?C3[C1?C1]?C3?3[1?2?1]?3[1?1]?1?19种，故P(X?4)?19/64；X=1时，放入1#盒后，余下的球必放入2#，3#和4#盒。其的放法有C13[C20(C20?C12?C22)?C12(C20?C12)?C22]?C32[C10(C10?C11)?C11]?C33?3[(1?2?1)?2(1?1)?1]?3[(1?1)?1]?1?37种，故P(X?4)?37/64；4?E[X]??iP(X?i)?64?2?64?3?64?4?64?16。i?1?E[X24]??i2P(X?i)?37i?164?4??16?164?4816，?D[X]?E[X2]?E2[X]?16?162?162?0.5586。 #34. 对于任意两个随机变量X，Y，证明下式成立：（1） D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)； （2） Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)。证： ? D(X?Y)?E??X?E(X)?Y?E(Y)?2??E??X?E(X)?2??Y?E(Y)?2?2?X?E(X)??Y?E(Y)???E??X?E(X)?2??E??Y?E(Y)?2??2E??X?E(X)??Y?E(Y)?? ?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)? D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)；? Cov(X,Y)?E??X?E(X)??Y?E(Y)???E?XY?E(X)Y?XE(Y)?E(X)E(X)??E(XY)?E(X)E(Y)? Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)。 # 35. 设随机变量X的概率密度函数为f(x)????e?x,x?0??0,x?0。求（1）Y=2X，Y?e?2x的数学期望。解：E?Y?2X?????2xe?xdx??2e?x??0?2；E???Y?e?2X?????e?2x?x?3xedx??13e?1/3。 #36. 设随机变量（X，Y）的概率密度函数为2）（?K,0?x?1,0?y?x,f(x,y)??其它，?0,????试确定出常数K，并求E(XY)。1x1K?解： ? ??????f(x,y)dxdy?1， 故?0?Kdydx?Kxdx??1，? ??0??02??K?2E(XY)???????????xyf(x,y)dxdy????x?x?2ydy?dx?0?0?1?1x3dx?14。 #37. 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700。 利用契契比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在之间的概率。解： 已知：??7300，??700。? ??/2?7300?? 故令??00?27002??1?2?1?2?8/9?0.8889 PX?????2100?2100?PX????0.8889。 #??x???e,x?0f(x)???x?0?0,38. 设随机变量X的概率密度函数为E(X)和D(X)。，其中??0为常数。求解：E(X)?????xe??xdx?1????ye?ydy?1??(2)?121??，
（?1?(n?1)?n?(n)?n!）D(X)?E(X2)??E(X)?2?????x2e??xdx???2???y2e?ydy?1?2?1?2?(3)?1?2?1?2。 #39. 设随机变量X的概率密度函数为数。求E(X)和D(X)。解：E(X)??xx2?f(x)???2exp(?2?2),x?0，其中??0为常?0,x?0????x2?2exp(?x22?)dx?2?2???t2e?tdt?2??(?1)?2?12?/2?，(2n?1)!!（??(n?1)?n2D(X)?E(X)??E(X)??22）x2)dx?2???x3?2exp(???222??2?2???texp(?t)dt?2??2??22?4??2?2。 #40. 设随机变量X的概率质函数为P?X?k??pqk?1，k?1,2,?。其中0?p?1,q?1?p为常数，则称 X服从参数为p的几何分布。试求E(X)和D(X)。解：E(X)??kpqk?1k?12?????k??1??1???p?q??p??p?1?q??1?q2??????k?1??2?1??， ?p?2D(X)?E(X)??E(X)??E[X(X?1)]?E(X)??E(X)???k?1?k(k?1)pqk?1?11?2pp=????k??2??qq1??pq?q??2?pq???pq?1?q?2?1?q3??pp????k?1???qq????p2p2?。 #0?x?2,0?y?2。求41. 设随机变量(X，Y)的概率密度函数为.f(x,y)?1(x?y),8E(X)、E(Y)、 Cov(X,Y)。解：E(X)?????????1xf(x,y)dxdy???8??2[21(x2?xy)dy]dx?8?2xy212(xy?)dx?24022?2(x2?x)dy?7676，E(Y)?????????1yf(x,y)dxdy???8??2[21(y2?xy)dx]dy?8?2x2y12(yx?)dy?24?2(y2?y)dy?，Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?E(XY)?4771????， 36636????????1xyf(x,y)dxdy???8?[?221(x2y?xy2)dx]dy?8?2x3yx2y2(?)dy?322?2yy24(?)dy?343。#42. 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为接近于它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在（-0.5，0.5）上服从均匀分布。 （1） 若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？ （2） 几个数可加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率为0.90？解： 设X为取整误差，则E(X)?0,D(X)?σ2?1/12。（1）?P???1500k?1?1?Xk?15??P???/????1?P????Xk?15/?1.34?k?1??15001?Xk?1.34??k?1?1500?1500或：P???k?1Xk??1??1??1?[P?Xk?1.34??P?Xk??1.34?]k?1k?1????1.341?1.3412?t2/2?1?edt?e?t/2dt????2?2??1?0.1?0.1802??15001??15??P?Xk?15/?1.34?k?1??/??????n（2） ?P???k?1Xk???10/n???1?1500?2[1?P?Xk?1.34?]k?1??1.3412?2[1?e?t/2dt]?2?[1?0.2??2?10/n??n1??10??P?X?/n??1?2[1?k?1k???n/??2110/n?1.645e?t/2dt]?0.952?????12?e?t2/2dt]?0.90，，n?44。3 #43. （1）一个复杂的系统，由100个相互独立起作用的部件所组成。在整个运行期间每个部件损坏的概率0.10。为了使整个系统起作用，至少必需有85个部件工作，求整个系统工作的概率。（2）一个复杂的系统，由n个相互独立起作用的部件所组成。每个部件的可靠性（即部件工作的概率）为0.90。且必须至少有80%部件工作才能使整个系统工作，问n至少为多少才能使系统的可靠性为0.95。解： 设每个部件损坏的概率P{Xk?0}?0.10，则每个部件未损坏的概率P{Xk?1}?0.90。令?100??Xk，由此可知?100具有参数为n?100，p?0.90的二项分布， 故k?1100整个系统工作的概率为：90(1) P{85??100?100}?P85??3??100?npnp(1?p)?100?2100?905??np10?P{??100?100?333np(1?p)?10/312??5/3e?t/2dt?0.5?0.9520(2) ?P{0.8n??n?n}?P{0.8n?0.9n?0.09n?n?npnp(1?p)?100?n?0.9n0.09n?P{??n?npn??100?33np(1?p)e?t2??n/312??n/3e?t2/2dt?1?2[1??n/312?/2??dt]?0.95?n/312???e?t2/2dt?0.975??1.96, 3?n?35。 #44. 某个单位设置一电话总机，共有200架电话分机。设每个电话分机有5%的时间要使用外线通话，假定每个分机是否使用外线通话是相互独立的。问总机要多少外线才能以90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用。解：设要m条外线才能以90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用。已知：P{Xk?1}?0.05，P{Xk?0}?0.95令?n??200k?1Xk, 则?n具有参数为n?200，p?0.05的二项分布。 P{0?????10?n?npm?10??10)/9.51n?m}?P?t2/2?.5??np(1?p)?.5?????(m?10/9.52?e?dt??(m?10)/.51?t2/2.51?t2/2???edt???10/??2?edt?0.90?(m?10)/9.51t2/251?t2/2??2?e?dt???10/.??2?edt?0.90?0.?0.9007m?109.5?1.32 ? m?14。 #
范文四：第 1 页 共 2 页西安邮电学院 2009 ---2010 学年第一学期试题卷(A) 《 概率论与随机过程》参考答案及评分标准一、选择题(每小题 2 分，共 10 分. 每小题只有一个选项符合要求，并将其代号填在题后 的括号内)1. C 2. A 3. D 4. B. 5. C 6. B【注】 正确代号未填在相应括号内或者将错误代号填入括号内一律得 0 分.填写代号不清楚按 0 记. 本题选对 5 或者 6 个小题军的 10 分.【注】 也可根据分布函数法计算密度函数，但主要考察概率的概念，计算结果的正确与否不要作为主要的分点.评阅人员 可以给出合理的评分标准.4.根据已知条件1 - x2 1 - y2 f X ( x) = e ， fY ( y ) = e 2π 2π所求密度函数为22…………………………………………………… 2 分fZ ( z) = ∫+∞-∞f X ( x) fY ( z - x)dx…………………………………………………… 8 分2二、计算题(本大题共 8 小题，满分 90 分，其中第 2，9 小题满分 15 分，其余各小题满分 均为 10 分) 1. 设 B 表示“发出信息 A ” A 表示“收到信息 A ”.由已知条件 ， 2 1 P ( A | B ) = 1 - 0.02 = 0.98 ， P ( A | B ) = 0.01 ， P ( B) = ， P ( B ) = . ……………… 4 分 3 3由贝叶斯公式得所求概率=∫+∞-∞1 - x2 1 - ( z -2x ) e ? e dx 2π 2π21 = 2π 即 Z ~ N (0, 2) .∫+∞-∞e-[z2 z + ( x - )2 ] 4 2dx =1 2π 2e-z2 4…………………………………………………… 10 分P ( B | A) =【注】 本题主要考察贝叶斯公式得运用，因此未能正确写出贝叶斯公式最多得 5 分.P( B) P( A | B) ……………………………………………………… 9 分 P( B) P( A | B) + P( B ) P( A | B ) 5.因为 +∞ 1 A 2 …………………………………………………… 3 分 × 0.98 ∫-∞ f ( x)dx = ∫0 Axdx = 2 196 3 = = ………………………………………………………10 分 +∞ 2 1 A × 0.98 + × 0.01 197 ………………………………………… 5 分 由密度函数的性质： ∫ f ( x )dx = 1 得 = 1 ，即 A = 2 . -∞ 3 3 2又 …………………………………………………… 6 分【注】本题主要考察两个随机变量和的分布问题，计算结果的正确与否不要作为主要的分点.如果仅有结果没有计算过程 只给 2 分. 本题按正态分布性质作也可得满分.+∞ 1 2 E ( X ) = ∫ xf ( x)dx = ∫ x ? 2 xdx = P ( X = 1) + P( X = 2) + P( X = 3) = 1 ………………………………………………………5 分 -∞ 0 3 1 2 +∞ 1 1 再由已知条件得 3c = 1 ，即 c = . 那么 Y = X 的分布律为 E ( X 2 ) = ∫ x 2 f ( x)dx = ∫ x 2 ? 2 xdx = 3 -∞ 0 2 1 2 +∞ 1 1 ………………………………………………………12 分 P(Y = i ) = E ( X 4 ) = ∫ x 4 f ( x)dx = ∫ x 4 ? 2 xdx = 3 -∞ 0 3 2 于是 Y = X 的分布函数为 所以 y2. 由分布律性质，得……………………………………………………7 分 …………………………………………………… 8 分…………………………………………………… 9 分 …………………………………………………… 10 分?1 ?y ≥ 9.【注】 本题主要考察离散型随机变量的分布律性质、随机变量的函数的分布及分布函数的概念，仅写出分布函数得 8 分.【注】本题主要考查随机变量密度函数限额性质及数字特征，关键考核能否正确写出相关表达式，所有结果出现错误，只 扣分.?1, 0
0 . 那么所求密度函数为 0, 其他. ?6. 由于P (U = 0) = P ( X ≤ Y ) = P (V = 0) = P( X ≤ 2Y ) =? f (ln y )(ln y )′, 0x≤ y∫∫ f ( x, y)dxdy = 2 ， P(U = 1) = 1 - P(U = 0) = 2x≤2 y11……………… 1 分 ……………… 2 分∫∫f ( x, y )dxdy =3 1 ， P (V = 1) = 1 - P (V = 0) = 4 41 3 ， P (UV = 0) = 1 - P (UV = 1) = ……………… 3 分 4 4 1 1 1 3 E (U ) = ， E (V ) = ， D(U ) = ， D(V ) = ……………… 6 分 2 4 4 16P (UV = 1) = P ( X > Y , X > 2Y ) = P (V = 1) =第 2 页 共 2 页Cov(U ,V ) = E (UV ) - E (U ) E (V ) =1 8……………………………………………… 8 分 ……………………………………………… 10 分ρUV =Cov(U , V ) 3 = 3 D(U ) D(V )【注】本题得分点较多，主要考察概率论中的基本表达式，总体得分阅卷人员根据自己的理解给出客观合理的分数.7. 设 X 表示 100 部电话分机同时使用外线通话的分机数， 那么 X ~ B (100, 0.05) . 总机需要备 m 条外 线才能以 95%确保每部分机在使用外线通话时不必等候.由已知条件及拉普拉斯中心极限定理，有X - np m - np X - 100 × 0.05 m - 100 × 0.05 } = P{ } ≤ ≤ 100 × 0.05 × 0.95 100 × 0.05 × 0.95 np (1 - p ) np (1 - p ) m - 100 × 0.05 = Φ( ) ≥ 0.95 ……………………………………………… 6 分 100 × 0.05 × 0.95 m - 100 × 0.05 ≥ 1.65 ，即 m ≥ 8.5961 . ……… 8 分 又 Φ (1.64) = 0.9495 ， Φ (1.65) = 0.9505 . 从而 100 × 0.05 × 0.95 P{ X ≤ m} = P{这就是说， 总机需配备 9 条外线才能以 95%确保每部分机在使用外线通话时不必等候.【注】本题主要考察中心极限定理，正确理解“确保”一词的含义,……… 10 分其中 a ，ω 为非零常数，Θ 服从区间 (0, 2π ) 8. 随机相位正弦波 X (t ) = a cos(ωt + Θ) ，t ∈ (-∞, +∞) ， ……………… 3 分内的均匀分布. 其状态空间为 [- | a |,| a |] ，一条样本曲线为 X (t ) = a cos(ωt + π ) . 由定义所求均值函数μ X (t ) = E[ X (t )] = E[a cos(ω t + Θ)] = ∫ a cos(ωt + θ ) ?02π1 dθ = 0 2π……………… 7 分而自相关函数RX (t1 , t2 ) = E[ X 2 (t )] = E[a 2 cos(ωt1 + Θ) cos(ωt2 + Θ)] = a 2 ∫ cos(ωt1 + θ ) cos(ωt 2 + θ ) ?0 2π………………………… 10 分1 a2 dθ = cos ωτ 2π 2………………… 11 分式中 τ = t 2 - t1 ．特别，令 t 2 = t1 = t 时，即得方差函数为2 2 σ X (t ) = RX (t , t ) - μ X (t ) = RX (t , t ) =a2 2………………………………………… 15 分【注】本题主要考察随机过程基本概念及数字特征，总体得分阅卷人员根据自己的理解给出客观合理的分数. 随机相位 正弦波表达式中未写出振幅 a ， ω 均应适当扣分.
范文五：05-06概率论与随机过程试题参考答案（B）二、计算题（共9小题，每小题满分10分，共10分）1.
设A、B、C分别表示甲、乙、丙破译出密码， 则（1）恰有一人能破译出密码为事件：A?B?C，又由题意知甲乙丙三人是否能破译出密码是相互独立的，且P?1?P?A????234，P???，P??? 〉， 所以所求概率为 345P?????P???P???P???P?A?P??P???P??P?B?P???P??P??P?C??（2）密码能被破译的概率P(A?B?C)?1?P(ABC)?2. （1）由密度函数的性质得13303 51??即所求a?2.??12f(x)dx??xdx??(a?x)dx?a?1 ??01(2)
当x?0时，F(x)?xxf(t)dt???????0dt?0；xx2当0?x?1时，F(x)??f(t)dt??0dt??tdt?；????02当x?2时，F(x)?1. 随机变量X的分布函数为x0?0,
0?x?1,?2F(x)??2?2x?x?1,
1?x?2,?2??1,
显然随机变量Z?X?Y的所有可能去值为3，5，7，且P?Z?1?2?3??P?X?1,Y?2??P?X?1?P?Y?2??0.3?0.6?0.18; P?Z?1?4?5??P?X?1,Y?4??P?X?1?P?Y?4??0.3?0.4?0.12;P?Z?3?2?5??P?X?3,Y?2??P?X?3?P?Y?2??0.7?0.6?0.42; P?Z?3?4?7??P?X?3,Y?4??P?X?3?P?Y?4??0.7?0.4?0.28.所以随机变量Z?X?Y的分布律为：pz
0.28????4．
fX(x)???1?2?x2,?2?x?2,f(x,y)dy????0,其它，?fY(y)???????1?2?y2,?2?y?2,f(x,y)dx????0,其它，?显然f(x,y)?fX(x)?fY(y)，所以X和Y不是相互独立的．E(X)??xfX(x)dx??????2?2x?1?2?x2dx?0,同理E(Y)?0. 而E(XY)??dx?xyf(x,y)dy???xy????D????1dxdy 2?1?2?于是?2?0d??20r2sin?cos?rdr?0，Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0,所以X和Y是不相关的.5. 设最少共给电力为NkW，才能以95%的把握满足该车间生产. 把对每台车床的观察作为一次试验，开动的概率为0.7，因此可以看成是n?200的Bernoulli试验. 设某时刻开动的车床的台数记为X, 则X~b(200,0.7)，np?140?，由中心极限定理P{0?15X?N}?P???????1 ???0.95.即?1.65，N?15(14?0。42 )N?15(140??2260.4因而最少需耗电2260.4KW，才能以95%的把握满足该车间生产.6．（1）依题意，这一装置的寿命为W100，即100次“震动”的等待时间，它服从参数为100，5的Γ分布. 所以寿命W100的概率密度为?5(5t)99?5t?fW100(t)??99!e?0?（2）装置的平均寿命为E[W100]?,t?0, ,t?0.100?20. 5（3）相继两次“震动”时间间隔Ti?Wi?Wi?1服从参数为5的指数分布，其密度函数为?5e?5tfTi(t)???0（4）相继两次“震动”的平均时间为E[Ti]?7．根据已知条件,t?0,,t?0.1（h）．. 52?qp0??qp0??q?pq??q0p???q2P(2)?P2??q0p?????2?q?0qp????0qp????pqpqpq??p2?， pq?p2??p2因为pij(2)?0,i,j?1,2,3．所以由遍历性定理知此齐次马氏链是遍历的，具有极限分布??（?1，满足 ?2?3）?q?1?q?2??1?p??q????132?p??p???33?2???1??2??3?1解之得q2pqp2． ?1?2,?2?2,?3?2p?qp?qp?q8. 由于， ?X(t)?E[X(t)]?E[X]?2，RX(t,t??)?E[X(t)X(t??)]?E[X2]?14因此，{X(t),???t???}是平稳随机过程．又因为时间平均1?X(t)??limT???2T时间相关函数1X(t)dt?lim??TT???2TTT?T?T?TXdt?X，T?T?X(t)X(t??)??lim1T???2T?X(t)X(t??)dt?lim1T???2T?X2dt?X2，由于P{X?2}?1和P{X2?不成立，故{X(t),???t???}不具有均值和相关3?1函数的各态历经性．．9．设每周产量为N，则每周的利润(C2?C1)N,Q?N?T???C2Q?C1N?C3(N?Q),Q?N6N,Q?N???10Q?4N,Q?N?利润的期望值E(T)?6NP(Q?N)?(10Q?4N)P(Q?N)?7N?N2即当N?3.5时，所期望的利润达到最大值，由于需求量Q与生产量N应取整数，所以取N?3或N?4。此时利润的最大期望值为12元。
范文六：共页第页总印份（附卷纸页）西安邮电学院 2010---- 2011 学年第二学期试题（A 卷） 标准答案课程：概率论与随机过程 类型： A题号 得分 一 二 三 四?6, x 2…… …… 2 分 …… …… 2 分f x ( x) = ∫八 九 总分+∞-∞f ( x, y )dy卷五专业、年级：通信工程 09 级,信息工程 09 级六 七? x 6dy = 6( x - x 2 ), 0 ≤ x ≤ 1 ? = ? ∫x2 ? 0 其它 ?f y ( y) = ∫+∞ -∞线线…… …… 3 分 …… …… 2 分 …… ……3 分f ( x, y )dx一、填空题（每小题 3 分，共 30 分）? 1 1 15 20 1、 ； 、 ； 、 ； 、 ； 、FZ ( z ) = ? 2 3 4 5 ；6、29； 、Φ (2.5) + Φ (1.5) - 1 ； 7 -z -z 12 3 26 27 ?1 - e - ze , z > 0. 0 ,西安邮电学院试题卷标准答案专用纸z ≤ 0,? y 6dx = 6( y - y ), 0 ≤ y ≤ 1 ? = ? ∫y ? 0 其它 ?4、解(1)x ?1 - e -2 ( x -θ ) , x > θ , F ( x) = ∫ f (t )dt = ? -∞ x ≤ θ. 0, ?11 2 1 8、 2 ；9、 ；10、 { , } 24 3 3 λ 二、计算题（共 48 分）（1）由于 F ( x) 的连续性，有 lim F ( x ) = F (1) = 1, 故 A = 1 ；…… ……3 分 1、解：x →11…… ……4 分 , X n ) ≤ x}(2)Fθ^ ( x) = P{θ^ ≤ x} = P{min( X 1 , X 2 ,= 1 - P{min( X 1 , X 2 ,（2）由概率密度函数与分布函数的关系可知?2 x , f ( x) = ? ?0,0 ≤ x ≤ 1,, X n ) > x} , X n > x}其它.2 2…… ……3 分订订= 1 - P{ X 1 > x, X 2 > x, = 1 - [1 - F ( x)] =?n（3） P {0.12、解： X 的所有可能取值为 1，2，3，41 1 3 C 3 × 2 2 + C 32 C 2 + C 3 19 33 37 P{X = 1} = 1 - P{X ≠ 1} = 1 - 3 = ， P{X = 2} = = 64 64 4 43?1 - e -2 n ( x -θ ) , x > θ , x ≤ θ. 0, ?…… ……5 分P{X = 3} =C +C +C 7 = 64 ， 41 3 2 3 3 3 3^ (3) θ 概率密度为P{X = 4} =1 1 = 3 64 4fθ^ ( x) =dFθ^ ( x) dx即有 X 的分布律为?2ne -2 n ( x -θ ) , x > θ , =? x ≤ θ. 0, ?? 1 X ~ ? 37 ? ? ? 64E ( X ) = ∑ i × P( X = i) =i =1 42 19 643 7 644 ? ? 1 ? ? 64 ?…… …… 8 分+∞ +∞ 1 Eθ^ = ∫ xfθ^ ( x)dx = ∫ 2nxe - 2 n ( x -θ ) dx = θ + ，…… ……5 分 -∞ θ 2n装装25 16…… ……4 分说明：1．标准答案务必要正确无误。2．将每道大题得分和总分填入得分栏中。共页第页总印份（附卷纸页）三、证明题（共 22 分）n n 2 2 1、证明：令 Yn = ∑ kX k ，则 EYn = n(n + 1) ∑ ka = a. …… …… 2 分 n(n + 1) k =1 k =14 DYn = 2 n (n + 1) 2线 线4σ 2 ∑ k σ = (n + 1)2 k =1n 2 24σ 2 ?k? ∑ ? n ? ≤ n + 1 → 0 …… ……3 分 ? k =1 ?n 2对任意的ε >0， P Yn - a > ε ≤ 因此Yn → a .p()DYnε2→0…… ……3 分2、证明： （1）对任意的 n 及 t1 , t2 ,西安邮电学院试题卷标准答案专用纸, tn ≥ 0 ，有：sin ωt1 ? sin ωt2 ? ? A? ? ? ?B? ? ? ? sin ωtn ? ?? X (t1 ) ? ? cos ωt1 ? X (t ) ? ? cos ωt 2 ? 2 ? =? ? ? ? ? ? ? ? X (tn ) ? ?cos ωtn ? ? ?订订由于 A, B 为相互独立的正态随机变量，故 ( A, B) 为服从 N (0, σ 2 E ) 的二维正态随机变量，而( X (t1 ), X (t2 ),, X (tn )) 是二维正态随机变量 ( A, B) 的线性变换，故服从 n 维正态分布，从而…… ……7 分{Z (t ),-∞（2） mX (t ) = E[ X (t )] = 0, t ≥ 0RX (t , t + τ ) = E[ X (t ) X (t + τ )] = E[( A cos ωt + B sin ωt )( A cos ω (t + τ ) + B sin ω (t + τ ))] = σ 2 cos ωτ所以此过程是平稳过程装 装…… ……7 分说明：1．标准答案务必要正确无误。2．将每道大题得分和总分填入得分栏中。
范文七：共页第页总印份（附卷纸页）西安邮电学院试题卷标准答案专用纸1 ? ?a + b + 3c = 2 ? ?8a + 18b + 56c = 6 …… ……6 分 标准答案 ? 3 ?3a + 2b + 5c = 2 ? 课程:概率论与随机过程 类型: B 卷 专业、年级：通信工程 09 级,信息工程 09 级 1 1 b = 1， 得 a= ， c = - .…… ……1 分 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 4 4 +∞ 21 4 1 1 得分 （2） EY = E(eX ) = ∫ ex f ( x)dx = ∫ xex dx + ∫ (- x +1)exdx = (e2 -1)2 ， -∞ 0 4 2 4 4 +∞ 21 4 一、填空题（每小题 3 分，共 30 分） 1 EY 2 = E (e 2 X ) = ∫ e 2 x f ( x)dx = ∫ xe2 x dx + ∫ (- x + 1)e2 x dx -∞ 0 4 2 4 z ≤ 0, ? 0 , 1 2 1 2 1 1 1 ? = (e - 1)2 [e 2 + (e - 1) 2 ] ； 2 、 0.1 ； 3 、 ； 4 、 ； 5 、 f Z ( z ) = ?1 - e - z , 1 、 0
0; ?e , x > 0. ?∫ x 1、解：解 设 A = ‘下一代有 L 条’ BK = ‘产 k 个卵’ k = L, L + 1, , 则 ， ? ?0 , y ≤ 0, ?0 , ∞ ∞ +∞ y ≤ 0, ? ? λ k -λ L L k -L …… ……4 分 = ? -y fY ( y ) = ∫ f ( x, y )dx = ? y - y P ( A) = ∑ P ( Bk ) P ( A | Bk ) = ∑ e Ck p (1 - p) …… ……6 分 -∞ k =L k =L k ! ? ∫ 0 e dx, y > 0; ? ye , y > 0. ? ? 1 1 k -λ L L k -L ∞ ∞ 1- x λ e p (λ p ) - λ [λ (1 - p )] ? dx = 2 (e- x - e-1ex )dx -y k -L 2? P( X + Y ≤ 1) = ∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫ ? ∫ e dy ? =∑ (1 - p ) = e ∑ ∫0 0 ? x ? k! (k - L)! k = L L !( k - L )! k =L x + y ≤1西安邮电学院 2010---- 2011 学年第二学期试题（B 卷）线订订线(λ p) L - λ λ (1- p ) (λ p ) L - λ p = e e = e …… ……4 分 L! L! 2、解： （1） 1 = ∫+∞ -∞= 1 - 2e-1 2+ e -1 .…… ……4 分f ( x)dx = ∫ axdx + ∫ (cx + b)dx0 224=a 22 c 24 4 x + x + bx 2 = 2a + 2b + 6c, 2 0 2 2+∞ -∞? 0 ?1 3 ? 4、 （1） X (0) = A ，所以 F (0; x) = ? ?2 3 ? 1 ? ? 0 ?1 3 π ? (2) F (0, ; x1 , x2 ) = ? 2 ?2 3 ? 1 ? (3) 均方值函数x2=∫装 装xf ( x)dx = ∫ ax 2 dx + ∫ (cx + b) xdx0 2248 56 = a + c + 6b ， 3 32 3 3 3 5 = ∫ axdx + ∫ (cx + b)dx = a + c + b ， 1 2 4 2 2解方程组1 1 1 14 Φ 2 (t ) = E[ X 2 (t )] = E[ A2 cos 2 t ] = (1× + 4 × + 9 × ) cos 2 t = cos 2 t , -∞X 3 3 3 3说明：1．标准答案务必要正确无误。2．将每道大题得分和总分填入得分栏中。共页第页总印份（附卷纸页）三、证明题（共 22 分）E ( X n ) = 2n ?1 22 n +11 ? 1 ? ? ? - 2n ? ? 1 - 2 n ? + 0 ? ? 1 - 2 n ? = 0 ? 2 ? ? 2 ?…… ……2 分D ( X n ) = 22 n ?线 线1 1 1 ? ? + 22 n ? 2 n +1 + 0 ? ?1 - 2 n ? = 1 2n + 1 2 ? 2 ? , 则 E (Yn ) = 0, D (Yn ) = 1,…… ……3 分Yn =1 n ∑ X i , n = 1, 2, n i =1?ε > 0 ，由切比雪夫不等式知 1 P Yn - E (Yn ){}西安邮电学院试题卷标准答案专用纸lim P Yn - E (Yn )n →∞{}即 { X n } 服从大数定律。…… ……3 分2、证明：对任意 n 个时刻 t1 , t 2 ,订n i =1, t n ∈ T 和任意一组实数 u1 , u 2 ,n n i =1 i =1, u n ，和式n i =1订∑ ui X (t i ) = ∑ ui ( At i + B) = A∑ ui t i + B∑ ui是独立正态变量 A, B 的线性组合，故∑ u X (t ) 也是正态变量，根据 n 维正态分布的性质，随机变量i =1 i in( X (t1 ), X (t 2 ),而 X (t ) 的相关函数（协方差函数）为, X (t n ))服从 n 维正态分布，由定义 X (t ) 是正态过程。…… ……8 分R X (t1 , t 2 ) = C X (t1 , t 2 ) = E[( At1 + B)( At 2 + B)]= t1t 2 E ( A 2 ) + t1 E ( AB ) + t 2 E ( BA) + E ( B 2 ) = σ 2 (t1t 2 + 1)装 装…… ……6 分说明：1．标准答案务必要正确无误。2．将每道大题得分和总分填入得分栏中。
范文八：共 2 页第 1 页总印份（附卷纸页）西安邮电学院
学年第二学期试题（B 卷） 参考答案及评分标准课程：概率论与随机过程题号 得分 一 28 二 72 三 线 线Z = X +Y P3 0.185 0.547 0.28 ……………………4 分类型： B四 五卷专业、年级：广电、微电子、物理 10六 七 八 九 总分Z = XY P1/4 0.12 2 0.181/2 0.18 4 0.123/4 0.28 6 0.425000 k =13/2 0.42 ……………………7 分 12 0.28 ……………………10 分一、填空题（本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分） 1. 0.3 2.Z = X /Y PN (0,1)3.1 2 πex2 - 44. 55.1 - U 26.{1, 2, 3, 4,5, 6}量4. 5000 只零件的重量分别为 X i ， i = 1,,5000 ，记 X = ∑ X i ，由独立同分布中心极限定理，随机变二、计算题（本大题共 7 小题，第 1,2 小题各 13 分，其余每小题 10 分，共 76 分，解答应西安邮电学院试题卷标准答案专用纸5000写出推理，演算步骤）0.1 ? 5000 1. 设 B1 为 发 出 信 息 A ， B2 为 发 出 信 息 B ， A 为 收 到 信 息 A ， 则 B1 + B2 = S , B1 B2 = ? ， 且 近似服从正态分布 N (0,1) 2 1 P( A | B1 ) = 1 - 0.02 = 0.98 ， P( A | B2 ) = 0.01 ， P( B1 ) = ， P( B2 ) = . ………………………………6 分 ? X - 2500 10 ? ? X - 2500 ? > ≤ 2? P{ X > 2510} = P ? 3 3 ? = 1- P ? 50 50 ? 50 ? ? ? 由全概率公式得所求概率 2 1 197 = 1 - Φ ( 2) ≈ 0.0793 P( A) = P( A B1 ) ? P( B1 ) + P( A B2 ) ? P ( B2 ) = 0.98 × + 0.01 × = ……………………13 分 则总重量超过 2510kg 的概率为 0.0793。 3 3 300 2 2 5. 由题中条件,对任意 n 个时刻 t1 , t 2 , , t n ∈ T 和任意一组实数 u1 , u 2 , 2. 由方程 x + Xx + 1 = 0 有实根,可知 X - 4 ≥ 0 ,即 X ≥ 2 . 由 X 在区间 [1, 6] 上服从均匀分布,可?1 ? , 1≤ x ≤ 6, f ( x) = ? 5 ? 0, 其他. ?Z=∑Xk =1i- 0.5 × 5000 =X - 2500 50……………………4 分……………………10 分 , u n ,和式n订订知其概率密度为 ……………………6 分∑ u X (t ) = ∑ u ( Ati =1 i i i =1 i nnni+ B) = A∑ u i t i + B ∑ u ii =1 i =1n……………………3 分是独立正态变量 A, B 的线性组合,故2 -2∑ u X (t ) 也是正态变量,根据 n 维正态分布的重要性质,随机变量i =1 i i所以P (| X |≥ 2) = 1 - P(| X |= 1- ∫1 -2( X (t1 ), X (t 2 ),, X (t n ))……………………5 分f ( x)dx服从 n 维正态分布,由定义 X (t ) 是正态过程. 而 X (t ) 的相关函数(协方差函数) 为f ( x)dx - ∫ f ( x)dx12R X (t1 , t 2 ) = C X (t1 , t 2 ) = E[( At1 + B)( At 2 + B)]……………………13 分1 1 4 dx = 1 - = . 1 5 -2 5 5 3. 根据已知条件 ( X , Y ) 的联合分布律为 = 1 - ∫ 0dx - ∫Y X1 31 2= t1t2 E ( A2 ) +t1 E ( AB) + t2 E ( BA) + E ( B 2 ) = σ 2 (t1t2 + 1) .6. 先求出二步转移概率矩阵 ……………………10 分装装2 0.18 0.42 0.64 0.12 0.28 0.4pi?0.3 0.7012……………………4 分p? j于是所求分布律为0 ? 5 / 8 5 / 16 1 16 ? P(2) = PP = 1 ?5 / 16 1 / 2 3 / 16?, ? ? 3 / 4 1/ 4 ? 2? 0 ? ?于是说明：1．标准答案务必要正确无误。2．将每道大题得分和总分填入得分栏中。共 2 页第 2 页总印份（附卷纸页）5 P{ X 0 = 0, X 2 = 1} = P{ X 0 = 0}P{ X 2 = 1 | X 0 = 0} = p0 (0) P01 (2) = 1 ? 16 = 35 48，…………………8 分由全概率老公式，得p1 (2) = P{ X 2 = 1} = p0 (0) P01 (2) + p1 (0) P11 (2) + p2 (0) P21 (2)1 ? 5 1 9 ? 11 = ? + + ?= . 3 ?16 2 16 ? 247. 先考虑独立性. 当 | x |> 1 时, f X ( x) = 0 ; 当 | x |≤1 时, ……………10 分f X ( x) = ∫+∞ -∞f ( x, y )dy = ∫+∞ -∞1- x 2 - 1- x 21同理,当 | y |> 1 时, fY ( y ) = 0 ；当 | y |≤1 时,πdy =2π1- x2 .……………3 分fY ( y ) = ∫+∞ -∞f ( x, y )dx = ∫1显然 f X ( x) fY ( y ) ≠ f ( x, y ) ,即 X , Y 不相互独立. 再考虑相关性.πdx =2π1- y2 .……………5 分E(X ) = ∫+∞ -∞ 1∫+∞ -∞xf ( x, y ) dxdy =2x + y ≤12∫∫x?1πdxdy……………7 分= ∫ dx ∫-11- x2 2- 1- xx1πdy = 0 ,E (Y ) = ∫+∞ -∞∫+∞ -∞yf ( x, y )dxdy =x 2 + y 2 ≤1+∞ 1∫∫y?1πdxdy = 0 ,1- x 2E ( XY ) = ∫+∞ -∞∫-∞xyf ( x, y )dxdy = ∫ dx ∫-1- 1- x2xy1Cov( X , Y ) = E ( XY ) - E ( X ) E (Y ) = 0 , 所以 X , Y 是不相关的.πdy = 0 ,……………10 分说明：1．标准答案务必要正确无误。2．将每道大题得分和总分填入得分栏中。
范文九：共 2 页第 1 页总印份（附卷纸页）西安邮电学院
学年第二学期试题（A 卷） 参考答案及评分标准课程：概率论与随机过程题号 得分 一 28 二 72 三 线 线Y pk-1 3 8012 83 8………………8 分类型： A四 五卷专业、年级：广电、微电子、物理 10六 七 八 九 总分X ? Y 的分布律为一、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 1. 0.3 2. 1 3.XY pk-1 2 8014 82 81 2 πe-x2 44.4 35.2 cos(2t +π3所以)6.{1, 2, 3,, N}3 3 3 3 2 2 E ( X ) = -1 × + 1 × = 0 ， E (Y ) = -1 × + 1 × = 0 ， E ( XY ) = 1 × - 1 × = 0 ………………9 分 8 8 8 8 8 8E [( X - E ( X ) )(Y - E (Y ) )] D( X ) ? D(Y ) E ( XY )二、计算题（本大题共 7 小题，第 1、2 小题各 13 分，其余每小题 10 分，共 76 分，解答应 故西安邮电学院试题卷标准答案专用纸写出推理，演算步骤）1. 设 B1 为 男 性 ， B2 为 女 性 ， A 为 色 盲 患 者 。 因 B1 + B2 = S , B1 B2 = ?, 且 P ( A | B1 ) = 0.05 ，ρ XY =D( X ) ? D(Y )Cov( X , Y )==D( X ) ? D(Y )=0P ( A | B2 ) = 0.0025 ， P( B1 ) =由贝叶斯公式得所求概率1 1 ， P( B2 ) = . 2 2=即 X 和 Y 是不相关的。而显然………………………………………7 分pij ≠ pi ? p? j 即 X 和 Y 不是相互独立的。 ………………10 分 4. 设 X 表示 100 部电话分机同时使用外线通话的分机数，那么 X ~ B (100, 0.05) . 总机需要备 m 条外线P{ X ≤ m} = P{才能以 95%确保每部分机在使用外线通话时不必等候.由已知条件及拉普拉斯中心极限定理，有P( B1 A) =P ( A B1 ) ? P ( B1 ) P ( A B1 ) ? P( B1 ) + P( A B2 ) ? P( B2 )0.2 + 0.3 + a = 10.05 × 0.5 20 = 0.05 × 0.5 + 0.0025 × 0.5 21………………13 分2. 由分布律的性质，得 所求常数 a = 0.5 . 所求分布函数………………5 分x3. X 的分布律为X - np m - np X - 100 × 0.05 m - 100 × 0.05 ≤ } = P{ ≤ } np (1 - p ) np (1 - p ) 100 × 0.05 × 0.95 100 × 0.05 × 0.95 m - 100 × 0.05 = Φ( ……………………………………………… 6 分 ) ≥ 0.95 100 × 0.05 × 0.95 m - 100 × 0.05 ≥ 1.65 ，即 m ≥ 8.5961 . ……… 8 分 又 Φ (1.64) = 0.9495 ， Φ (1.65) = 0.9505 . 从而 100 × 0.05 × 0.95这就是说，总机需配备 9 条外线才能以 95%确保每部分机在使用外线通话时不必等候. ……… 10 分 5. 随机相位正弦波 X (t ) = a cos(ωt + Θ ) 的均值函数订订………………9 分u X (t ) = E[a cos(ωt + Θ)] =自相关函数 2 0.7 ………………13 分a 2π∫ π cos(ωt + θ )dθ = 0 .-π………………… 6 分RX ( s, t ) = E[ X ( s ) X (t )] = E[a cos(ωs + Θ )a cos(ωt + Θ )]a2 = 2π6. 因为a2 ∫ -π cos(ω s + θ ) cos(ωt + θ )dθ = 2π cos ω (t - s).π…………………10 分X pk-1 3 8装装012 83 8………………4 分Y 的分布律为? 0 0 1 1 ? ? 0 0 1 1 ? ? 1 1 0 0? 2 2 2 2 2 2 ? ?? ? ? ? 0 0 1 1 ? ? 0 0 1 1 ? ? 1 1 0 0? 2 2 2 2 2 2 2 ? , = P = 1 1 ? 2 2 0 0? ? 1 1 0 0? ? 0 0 1 1 ? 2 2 2 2 ?1 1 ??1 1 ? ? ? 1 1 ? 2 2 0 0? ? 2 2 0 0? ? 0 0 2 2 ?………………… 4 分说明：1．标准答案务必要正确无误。2．将每道大题得分和总分填入得分栏中。共 2 页第 2 页总印份（附卷纸页）?0 0 1 1 ? ? 1 1 0 0? ? 0 0 1 1 ? 2 2 2 2 2 2 ? ?? ? ? ? 0 0 1 1 ? ? 1 1 0 0? ? 0 0 1 1 ? 2 2 2 2 2 2 3 ? = =P. P = 1 1 ? 2 2 0 0? ?0 0 1 1 ? ? 1 1 0 0? 2 2 2 2 ?1 1 ?? ? ?1 1 ? 1 1 ? 2 2 0 0? ?0 0 2 2 ? ? 2 2 0 0?于 是 可 得 P = P ,P = P . 以 此 类 推 可 得 Pn→∞4 2 32n………………… 8 分= P 2 , P 2 n+1 = P , 因 此 对 任 意 固 定 的………………… 10 分j ( j = 1,2,3,4) , lim Pij (n) 不存在,按定义得此马氏链不具有遍历性.7. 因为∫ ∫-∞+∞+∞ -∞h(2 x + y ) f ( x, y )dxdy = ∫1 0∫+∞ 0h(2 x + y )e - y dxdy………………… 3 分 ………………… 6 分1 ? 2+ y ? h( z ) ? e - y dz ? dy 0 ?∫y 2 ? ? 交换积分次序 2 z1 +∞ ? ? ? z 1 ? ====== ∫ ? h( z ) ∫ e - y dy ?dz + ∫ h( z ) ? ∫ ? e - y dy ? dz 0 0 2 2 ? ? ? z -2 2 ? 2 +∞ 1 1 2 = ∫ h( z ) ? (1 - e - z )dz + ∫ h( z ) ? (e - 1)e- z dz, 0 2 2 2 ===== ∫令z = 2 x + y +∞………………… 8 分所以? ? 0, z ≤ 0, ? ? 1 f Z ( z ) = ? (1 - e - z ), 0
2. ? 2 (e - 1)e , ?…………………10 分说明：1．标准答案务必要正确无误。2．将每道大题得分和总分填入得分栏中。
范文十：北京邮电大学2011——2012学年第2 学期3学时《概率论与随机过程》期末考试（B）考试注意事项：学生必须将答题内容做在试题答题纸上，做在试题纸上一律无效。一． 填空题（45分，每空3分）1.设随机事件A,B,C相互独立且满足0?件中一定不相互独立的是
. (1) A?BP(A),P(B),P(C)?1, 则下列四对事与C，(2)A C与C，(3)A-B与C，(4) AB与C2. 有编号为甲、乙两个袋子，甲袋子装有4只黑球，乙袋子装有4只白球，从甲袋子中取出两只球放入乙袋子，再从乙袋子中取出两只放入甲袋子，最后，从甲袋子中取出两球，问两球均为黑球的概率p=
2/5. 3. 统计资料表明，某地区每年交通事故次数X服从泊松分布,每年发生8次交通事故的概率是发生10次交通事故的概率的2.5倍，则P{X=2}=18e?6.f(x)4. 设随机变量X的分布函数为F(x)，概率密度函数为数，且满足?c0。如果f(x)是偶函f(x)dx=0.25，则F(-c)=
0.25.?4y?X?05. 已知随机变量X服从正态分布N(?,?2)，且二次方程y2的概率为1/2,则?=
４.无实根6. 设甲打电话所用时间X服从指数分布，打电话所花时间超过两分钟和不超过两分钟的概率相等。乙找甲有事情商量，因为甲正打电话就在旁边默默等候，则乙等待时间超过5?1}?P{Xi?-1}?1/4,7. 设离散型随机变量X1、X2的概率分布相同，P{XiP{Xi?0}?1/2,i=1,2, 且 P{X1X2?0}?1，则 P{X1?X2}?- 1 -8. 设随机变量X的概率密度函数为?1-x,f(x)???0,-1?x?1,otherwise,求随机变量Y?X+1的概率密度函数fY(y)2＝?1.
?0,otherwise??9. 设随机向量(X,Y)在区域D(X,Y)进行4?{(x,y)|0?x?1,0?y?2}上服从均匀分布，对次独立观察，Z表示4次独立观察中事件{X394?Y}发生的次数，则E(Z2)?X,Y??2X?1?,?Y3?2，且知道相关系数10. 设随机变量?,?和?XY?0.5满足??，则相关系数???X1,X2,?n11. 设连续型随机变量序列?2x,f(x)???0,0?x?1,独立同分布，密度函数为.0?e?,t?0，?t?1则limP?n??其他，?n2?k?1Xk??2???12. 设{W(t),t?0}是参数为?W的维纳过程，2(0)?0。定义X(t)?W?2则相关系数RX(1,2)??13. 设{N(t),t?0}eN(0)?0是参数为?(2N)?0的泊松过程，，则P{N(?1)N1,??2 ,?
. ?3e?3?式中U,V,W是均值14. 设随机过程X(t)?Usint?Vcost,Y(t)?Wsint?Vcost,为0，方差为6的两两不相关的随机变量，则随机过程X(t),Y(t)的互相关函数RXY(s,t)?
. 6cosscost 15. 设平稳过程{XQ?(t)t,?0}的功率谱密度SX(?)?11??2，则其平均功率- 2 -二. （１5分）设随机变量X和Y独立，Z=X+Y，试求Z在下面两种情况下的概率密度函数： （1）X~N(?,?), Y~U(-?,?),其中，正态分布的分布函数可以用?(x)表示。 （2）X~N(?,?)，Y为离散型随机变量，P?Y=1?=0.3,P?Y=2?=0.7. 解：设fX(x)和fY(y)分别是X,Y的概率密度函数1?(x??)2?2222（1）fX(x)?fZ(z)??1/2?,,???x???,fy(x)???0,???x??,其他。?????fX(x)fY(z?x)dx?12??z??z??fX(x)dx?12???(z??)-?(z??)?,（8）FZ(z)?P?Z?z??P?X?Y?z?（2）?P?X?z?1?P?Y?1??P?X?z?2?P?Y?2??0.3?(z?1)?0.7?(z?2).fZ(z)?0.3?(z?1)?0.7?(z?2).''（7）三．（１5分）设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数?k,f(x,y)???0,(x,y)?G,其他，其中区域G?{(x,y):|x?y|?1,|x|?1}，求（1）常数k；（2）X的边缘概率密度fX(x)；（3）当X?x时，Y的条件密度函数fY（4）概率P?|X?Y|?1?。解(1)
因为G?{(x,y):|x?y|?1,|x|?1}的面积为4，所以k?1/4
(3) (2) 当|x|?1时，fX(x)??1/2,f(x)?所以X??0,X(yx)；????f(x,y)dy??1?x?1?x14y?1/2，|x|?1,其他，（4）- 3 -(3) 当x?(?1,1)时，Y的条件密度函数?1?,??2fX(x)?0,?fYX(yx)?f(x,y)y?(?x?1,?x?1)，其他，（4）（4）概率P?|X?Y|?1??1/2。
（4）四．（１5分）设齐次马氏链{Xn,n?0}的状态空间为E?{0,1,2}，一步转移概率矩阵为?1/2?P?2/3???3/51/402/51/4??1/3， ?0??13初始分布为P{X0?0}?P{X0?1}?P{X0?2}?(1) 求 P{X1?1,X2?1,X4?2|X0=0};(2) 求X2,X3的联合概率函数; (3) 证明马氏链{Xn,n?0}具有遍历性，并求其平稳分布．?17/30??8/15???17/309/403/103/205/24??1/6，?17/60??解 (1) P2P{X1?1,X2?1,X4?2|X0=0}?p01p11p12(2)?0122（4）（2） P{X2?0,X3?0}?2?i?0pi0(2)P?X0?i??1?17817?5??? ??6?P{X2?0,X3?1}?1?41422pi0(2)P?X0?i??i?01?17817?5??? ??12??17817?5??? ??12?P{X2?0,X3?2}??i?02pi0(2)P?X0?i??P{X2?1,X3?0}??9pi1(2)?i?02?933?3??? ??9?- 4 -P{X2?1,X3?1}?019152152P{X2?1,X3?2}??i?02pi1(2)?1?933?3??? ??9??5117?79??? ??5??5117?79??? ??15?P{X2?2,X3?0}??i?02pi2(2)?P{X2?2,X3?1}??i?0pi2(2)?P{X2?2,X3?2}?0（6）（3）因为 P中所有元素均为正数，且马氏链的状态是有限个，所以遍历。平稳分布?满?122???1???足如下方程组： ???????1?141423?2?251335?3529321932093?2??3??1??1??3?2解得：?1?,?2?,?3?（5）?1??2??3?1五．（１0分）设随机过程X(t)?Acos(?0t??)，其中A,?0为常数，?为(0,2?)区间上均匀分布的2随机变量。证明X(t)是平稳的随机过程，并求平均功率，功率谱密度。A2A2解E?X(t)??E?cos(2?0t?2?)?1??,E?X(t)X(s)??A82cos?2?0?t?s???A24故随机过程平稳。 平均功率为RX(0)?功率谱密度为SX(?)?3A82（4） （2）??????AA??i?t?Acos2?t?dt??0???e4?8?8222?????2?0??????2?0??4?(?)?（4）- 5 -}
我要回帖
更多关于 正态分布推导过程 的文章
更多推荐
- ·中国经济什么叫货币化化意义？
- ·张珊珊是哪个北京wb战队成员
- ·南京威雅学子在2024国际袋鼠数学竞赛含金量中获得了怎样的成绩？
- ·求大佬自创暗属性武魂光元素掌控武魂，谢谢大佬？
- ·我的世界怎么玩需要iOS 16.0或更高版本是为什么吗？
- ·请问浦发银行信用卡合伙人账单里的浦发银行信用卡合伙人合伙人五期低扣金是什么意思?
- ·北京特产英语介绍语
- ·初一英语单项选择。。。
- ·齿轮操纵器是如何控制catia齿轮运动仿真的
- ·学习冷锅串串难不难？上善佳美食的冷锅串串好吃吗？我也想学这个东东，可以交流下不？
- ·姚琦玮，表示美玉的字。
- ·想自学施工员思想汇报员
- ·有中国农业科学院院的教授吗？
- ·港口码头经营许可证物流设备与自动控制许要什么学历
- ·非凡画室美术老师一月工资的刘冰雪老师教的怎么样？
- ·h冰比水体积大几分之几18-35冰比水体积大几分之几35.8的积
- ·什么是时间继电器吗
- ·不锈钢热轧钢板和钢带钢带通380V电给电阻丝加热，温度达到500度后钢带融化，怎么解释？
- ·r 谷氨酰转移酶酶68,总胆汁酸18.5,甘油三酯4.6,今年54岁
- ·占体液调节的特点最多的部分是
- ·概率论标准正态分布积分过程选择题，要解答过程
- ·学美容整形行业怎么样？时光锁好的整形美容机构构怎么样？
- ·捷科螺杆空压机密码大全码
- ·一张饼的四分之三java list平均分成5份二十份,每份是多少?
- ·意味断后伸长率哪个字错了
- ·刚进了个电子厂做变压器的进出接线方法焊锡的，一天十一个小时，也才做得一百块钱，不包吃住，不想干了，好纠结干还不干
- ·2016/182 1007 5433和11/6哪个大
- ·学习微整需要什么条件？时光锁美容机构怎么样？
- ·请问海宁市长安镇三联小学有私人学校吗（小学）
- ·8个小朋友作为一队参加10个队拔河比赛对阵表,他们的体重共272千克,每个队队员的平均
- ·消防通道禁止堵塞堵塞纠正预防措施如何回复
- ·明天如何查询高考成绩绩就出来了，心里有点害怕，怎么办？
- ·附近有没中国有邮政储蓄银行银行
- ·一元一阶常微分方程求解详解
