导读：以下各题只有一个正确答案，2.若函数f(z)?，3.以下函数中，只有(D)不是全复平面上解析的函数，A.函数在一点解析的充分必要条件是它在这点的邻域内可以展开为幂级数B.求幂级数收，12.函数cos(2z)在z=0处的泰勒展开式为(B)，13.函数ze在圆环域0&|z|&∞内的洛朗展开式为(D)，14.以下关于函数f(z)?(z?1)(z?2)的说法中，15.将函数f(z)?，A.
单项选择题：
以下各题只有一个正确答案，请将它选择出来（4分/题）。
( 1 + i )10 = (
2. 若函数f(z)?，则其导数等于 ( D )。
3. 以下函数中，只有(
D) 不是全复平面上解析的函数。 A.
4. 对于复积分?f(z)dz，若曲线C的参数方程为z(t) = x(t) + iy(t) (a ≤ t ≤ b ) ，
则此复积分可化为如下(
B)中的普通定积分。 A.
dz? ( C )。
f(z(t))z(t)dt
f(z(t))z?(t)dtC.
f(t)z(t)dtD.
f(t)z?(t)dt
下列序列中，存在极限的是( A )。
zn?2ni z?i?nA. nnn
下列级数中，绝对收敛的是(
下列幂级数中，收敛半径不等于1的是(D
以下说法中，正确的是(A
A. 函数在一点解析的充分必要条件是它在这点的邻域内可以展开为幂级数 B. 求幂级数收敛半径的方法有比值法、根值法和代换法 C. 收敛幂级数的和函数不一定是解析函数
D. 洛朗级数不包含负次幂项，而泰勒级数包含负次幂项
若|z| & 1，则1?z?z2?z3???(
12. 函数cos(2z) 在z = 0处的泰勒展开式为( B )。 A.
2z2n2z22z42z6
??1??1?????,
(2n)!2!4!6!
(2z)2n4z216z464z6
?1?????,(2n)!2!4!6!
2z2n?12z32z52z7
??1??2z?????,
(2n?1)!3!5!7!
(2z)2n?18z332z5128z7
??1??2z?????,
(2n?1)!3!5!7!
函数ze在圆环域0 & |z| & ∞ 内的洛朗展开式为( D )。 A.
?????, (n?2)!2!3!4!
z?n1z?1z?2
?????, (n?2)!2!3!4!
zn1zz2?2?1
?z?z?????, (n?2)!2!3!4!
z?n1z?1z?22
?z?z?????, (n?2)!2!3!4!
以下关于函数f(z)?(z?1)(z?2)的说法中，正确的是( C )。 A. 它在圆环域0 & |z| & 1内的展开式是
B. 它在圆环域0 & |z| & 1内的展开式是
C. 它在圆环域0 & |z C 1| & 1内的展开式是?
D. 它在圆环域0 & |z C 1| & 1内的展开式是
15. 将函数f(z)?
?1????z?1?
(a,b?0)在z = 0处进行泰勒展开，则收敛区域为 (
|z| & |a/b|
|z| & |b/a|
|z| & |a/b|
|z| & |b/a|
16. 以下说法中不正确的是( B )。
A. 一个不恒为零的解析函数的奇点是孤立的 B. 一个不恒为零的解析函数的零点是孤立的 C. 函数在其可去奇点的留数等于零
D. f (z)在其孤立奇点z0处的洛朗展开式中负一次幂项的系数就是f (z)在z0的留数
?2的孤立奇点，以下说法正确的是 ( D )。 17. 关于函数f(z)?sin
A. z = 0是可去奇点
B. z = 0是单阶极点 C. z = 1是单阶极点
D. z = 1是本性奇点
18. 以下函数中，z = 0不是其二阶极点的是 ( C )。
1?coszz2?1z?2
z4(sinz)z(z?2)
?ez?1?19. 留数Res?,0?? (B
20. 留数Res?,2?? (
?(z?2)(z?2)?A. C1
21. 留数Res?,?2?? ( D )。 2
?(z?2)(z?2)?A. C3.5
22. 留数Res?z2sin,0?? ( A )。
23. 函数w = i z2在z = i处的伸缩率为 (C )。 A.
24. 下列映射中，能将z =1映射为w = ∞ 的分式线性映射是 ( B )。
C. w?(1?i)z
25. 下列映射中，能将一、三象限的角平分线y = x映射为虚轴的分式线性映射是 ( C )。
C. w?(1?i)z
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相关内容搜索一、 判断题 ($5\times 3'=15'$) 1. 函数若在某点可导一定在该点解析.
解答: 错. 比如函数 $$\bex f(x)=\left\{\ba{ll} e^{-\frac{1}{x^2}},&x\neq 0,\\ 0,&x=0. \ea\right. \eex$$
2. 若函数 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析, 则 $f(z)$ 在区域 $D$ 内沿任意一条闭曲线 $C$ 的积分为 $0$.
解答: 错. $D$ 须为单连通区域. 否则只有 Cauchy 积分公式
f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\rd \zeta,\quad z\in D.
3. 函数在一点解析的充要条件是它在该点的邻域内可展开成幂级数.解答: 对. 函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 处解析是指它在 $z_0$ 的某个邻域内解析.
4. $z=0$ 是 $\dps{\frac{\sin z}{z}}$ 的一阶极点.解答: 错. 由 $\dps{\lim_{z\to 0}\frac{\sin z}{z}=1}$ 知 $z=0$ 为函数的可去奇点.
5. 不同的函数经 Laplace 变换后的像函数可能相同.
解答: 对. 由 $$\bex \mathcal{L}[f](s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}\rd t \eex$$ 即知 $\mathcal{L}[f]$ 仅与 $f$ 在 $[0,\infty)$ 上的值有关.
二、 填空题 ($5\times 3'=15'$)
1. $\dps{\sex{\frac{1+\sqrt{3}i}{1-\sqrt{3}i}}^3=
.}$ 解答: $$\bex \sex{\frac{1+\sqrt{3}i}{1-\sqrt{3}i}}^3 =\sex{\frac{-2+2\sqrt{3}i}{4}}^3 =\sex{\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}^3 =1. \eex$$ 注记: $\dps{\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}$ 是三次单位根.
$\dps{\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}}$ 的收敛半径为 $
.$解答: 由 $\dps{\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}=e^z}$ 即知原级数的收敛半径为 $+\infty$.
3. 函数 $\dps{\frac{5z^2-z+2}{4z^2+1}}$ 的解析区域为 $
.$ 解答: 由 $\dps{4z^2+1\neq 0\ra z\neq \pm\frac{1}{2}i}$ 即知函数的解析区域为 $$\bex \bbC-\sed{\pm\frac{1}{2}i}. \eex$$
4. $e^\frac{1}{z}$ 的孤立奇点的类型为 $
$ (可去奇点、极点、本性奇点). 解答: 由 $$\bex e^\frac{1}{z}=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!z^n}\quad(0&|z|&\infty) \eex$$ 知 $z=0$ 为函数的{\bf 本性奇点}.
5. 设 $C$ 为正向圆周 $|z|=1$, 则 $\dps{\oint_C\frac{1}{(z-1+i)^2}\rd z=
}.$解答: 由 Cauchy 积分公式知 $$\bex \oint_C\frac{1}{(z-1+i)^2}\rd z=0. \eex$$
三、 计算题 ($6'+9'+10'+8'+12'+10'+15'=70'$)
1. 分别给出 $z=-3+4i$ 的三角形式和指数形式.解答: $$\bex z=-3+4i=5(\cos \varphi+i\sin\varphi)=5e^{i\varphi}, \eex$$ 其中 $\dps{\varphi=\arccos\sex{-\frac{3}{5}}}$.
2. 判断下列函数在何处可导、何处解析? $$\bex (1) f(z)=x^2+iy^2;\quad (2) f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3). \eex$$ 解答:
(1) 由 Cauchy-Riemann 方程知函数不解析, 而也不可导.
(2) 设 $u=x^3-3xy^2$, $v=3x^2y-y^3$, 则由
u_x=3x^2-3y^2=v_y,\quad u_y=-6xy=-v_x
及 Cauchy-Riemann 方程知函数解析且可导.
设 $C$ 为正向圆周 $|z|=3$, 计算积分 $\dps{I=\oint_C \frac{e^z}{z(z-2)^2}\rd z}$. 解答: $$\beex \bea I&=\oint_C \frac{e^z}{z(z-2)^2}\rd z\\ &=\oint_C\frac{\frac{1}{4}e^z}{z}\rd z +\oint_C \frac{\sex{-\frac{1}{4}z+1}e^z}{(z-2)^2}\rd z\\ &=\frac{1}{4}+\frac{2\pi i}{1!}\sez{\sex{-\frac{1}{4}z+1}e^z}'_{z=2}\\ &=\frac{1}{4}+\frac{\pi e^2i}{2}\\ &=\frac{1+2\pi e^2i}{4}. \eea \eeex$$
4. 分别在圆环 $(1) 0&|z|&1;\ (2) 0&|z-1|&1$ 内将函数 $\dps{f(z)=\frac{1}{z(1-z)}}$ 展开成 Laurent 展式. 解答:
(1) 在 $0&|z|&1$ 内,
f(z)=\frac{1}{z}\sum_{n=0}^\infty z^n=\sum_{n=-1}^\infty z^n;
\eex$$ (2) 在 $0&|z-1|&1$ 内,
f(z)=\frac{1}{(1-z)[1-(1-z)]}=\frac{1}{1-z}\sum_{n=0}^\infty (1-z)^n
=\sum_{n=-1}^\infty (1-z)^n.
5. 求下列各函数在孤立奇点处的留数.
(1) $\dps{\frac{1-\cos z}{z^2}}$; (2) $\dps{\frac{1}{z(z-2)(z+3)}}$ 在 $z=2$ 处的留数; (3) $\dps{\sin\frac{1}{z-1}}$.
(1) $z=0$ 为函数的可取奇点, 而
\Res_{z=1}\frac{1-\cos z}{z^2}=0.
\eex$$ (2) $z=2$ 为函数的一阶极点, 而
\Res_{z=2}\frac{1}{z(z-2)(z+3)}
=\frac{1}{2(2+3)}=\frac{1}{12}.
\eex$$ (3) $z=1$ 为函数的本性奇点, 而由
\sin\frac{1}{z-1}=1+\frac{1}{3!(z-1)^3}+\cdots,\quad z\neq 1
\Res_{z=1}\sin\frac{1}{z-1}=0.
6. 求函数 $\dps{f(t)=\left\{\ba{lll}
1,&-1&t&0\\
1,&0&t&1\\
0,&\mbox{其它}
\ea\right.}$ 的 Fourier 变换. 解答: $$\beex \bea \scrF[f](s) &=\int_{\bbR^1} f(t)e^{-ist}\rd t\\ &=\int_{-1}^0 1\cdot e^{-ist}\rd t
+\int_0^1 (-1)\cdot e^{-ist}\rd t\\ &=\int_{-1}^0 [\cos (st)-i\sin (st)]\rd t
-\int_0^1 [\cos (st)-i\sin (st)]\rd t\\ &=\int_0^1 [\cos(st)+i\sin (st)]\rd t
-\int_0^1 [\cos (st)-i\sin(st)]\rd t\\ &=2i\int_0^1 \sin(st)\rd t\\ &=\frac{2(1-\cos s)i}{s}. \eea \eeex$$
7. 求解微分方程 $x'(t)+x(t)=\sin t, x(0)=-1$. 解答: 两边施行 Laplace 变换有 $$\bex sX(s)-(-1)+X(s)=\frac{1}{s^2+1}, \eex$$ 而 $$\bex X(s)=-\frac{s^2}{(s^2+1)(s+1)} =-\frac{1}{s-1}{s^2+1} -\frac{1}{2}\frac{1}{s+1}. \eex$$ 再施行 Laplace 逆变换有 $$\bex x(t)=-\frac{1}{2}(\cos t-\sin t )-\frac{1}{2}e^{-t}. \eex$$
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复变函数试题及答案 (1).doc 4页
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填空（每题3分，共30分）1．＝2．＝0是函数的（说出类型，如果是极点，则要说明阶数）3.,则＝4.5.函数在处的转动角为的收敛半径为=____________7.8．设C为包围原点在内的任一条简单正向封闭曲线，则9．函数在复平面上的所有有限奇点处留数的和为___________10．
二．判断题（每题3分，共30分）1．在解析。【】2．在点可微，则在解析。【】3．是周期函数。【】4．每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。【】5．设级数收敛，而发散，则的收敛半径为1。【】6．能在圆环域展开成洛朗级数。【】7．为大于1的正整数,成立。【】8．如果函数在解析，那末映射在具有保角性。【】9．如果是内的调和函数,则是内的解析函数。【】10．。【】三．（8分）为调和函数，求的值，并求出解析函数。四．（8分）求在圆环域和内的洛朗展开式。五．（8分）计算积分。六．（8分）设，其中C为圆周的正向，求。七．（8分）求将带形区域映射成单位圆的共形映射。复变函数与积分变换(A)的参考答案与评分标准()一.填空(各3分)1.；2.三级极点；3.；4.0；5.0；6.；7.；8.0；9.0；10.。二.判断1.错；2.错；3.正确；4.错；5.正确；6.错；7.错；8.错；9.正确；10.错。三(8分)　解:1)在-----4分2)在--4分四.(8分)　解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点-2+i,故　--------3分　--------6分故---------8分五.(8分)　解:-------3分由于1+i在所围的圆域内,故-------8分六.(8分)　解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射,可以得到(映射不唯一,写出任何一个都算对)七.(8分)　解:对方程两端做拉氏变换:代入初始条件,得--------4分故,---------8分(用留数做也可以)高效能学习的大学习方法
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