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怎么求三元函数的定义域?求详解,
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扫描下载二维码三元数函数与解析；――从复平面到数空间；白烁星（河北省武安市桥西路邮局037号信箱邮码:；韩江燕（河北省武安市第八中学邮码:056300）；摘要本文从复数理论出发,通过推广函数、解析等数学；关键词数平面;数空间;平面解析;空间解析;泛解析；中图分类号:0153.5泛代数；一、引言；三元数、多元数的研究始于曲阜师大《中学数学杂志》；二、三元数基础知识；1、三元
三元数函数与解析
――从复平面到数空间
（河北省武安市桥西路邮局037号信箱
邮码:056300）
（河北省武安市第八中学
邮码:056300）
本文从复数理论出发,通过推广函数、解析等数学概念,逐步建立了三元数函数与解析的理论.
数平面;数空间;平面解析;空间解析;泛解析;半解析;幂级数
中图分类号:0153.5
三元数、多元数的研究始于曲阜师大《中学数学杂志》发表的《超越复数的三元数》、《复数的多元数》,后来东北师大《数学学习与研究》发表了《代数基本定理在高维数空间之证明》,多项式函数首先得到了深刻的研究.然而在数空间里是否存在优美而和谐的函数与解析理论呢?本文从复数理论出发,通过推广函数、解析等数学概念,尝试给出了一个有趣的解答.
二、三元数基础知识
1、三元数的代数运算与三维数空间
形如a?bi?cj(a、b、c?R)的数叫做三元数,三元数通常用一个字母p来表示,即
3p?a?bi?cj,全体三元数构成的集合叫做三元数集,用字母A来表示,定义(1)i2?j2??1(2)i?j?0则
有（:a0?a1i?a2j）?(b0?b1i?b2j)?(a0?b0)?(a1?b1)i?(a2?b2)j;
（a0?a1i?a2j）?（b0?b1i?b2j）?(a0b0?a1b1?a2b2)?(a0b1?b0a1)i?(a0b2?b0a2)j
说明:(1)三元数的加法满足交换律、结合律,乘法满足交换律及对加法的分配律;
(2)除法是乘法的逆运算,两个三元数作除法运算,可依三元数相等的定义及乘法公式求得.
建立了空间直角坐标系来表示三元数的空间叫做三维数空间,简称数空间,仍用A3来表示.于是:
实数一一对应实轴上的点;
复数z?a?bi一一对应复平面内点z(a,b);
三元数p?a?bi?cj一一对应数空间内点p(a,b,c)
2、三元数的几何表示与重要性质
三维数空间内的点p可以表示三元数,由于三元数集A3与三维数空间内所有以原点O为起点的向量所组成的集合一一对应（实数0与零向量对应）,所以三元数也可以用起点在原点的向量来表示.p?a?bi?cj称为三元数的代数形式,p?r?cos??sin??icos??jsin???称为三元数的三角形式.
⑴三元数的模 与三元数p?a?bi?cj对应的向量的模（即有向线段的长度）r叫做三元数p?a?bi?cj的模（或绝对值）,记作p或a?bi?cj,易知p?a?bi?cj?a2?b2?c2
三元数模的几何意义是:三元数p在数空间内对应的点p到原点的距离.
⑵三元数的辐角与倾角 数空间可看作复平面绕x轴旋转而成,x轴与空间点p可唯一确定一个平面,该平面与复平面的夹角?称三元数p?a?bi?cj的倾角,??arctan,平面xop称倾角为?的数平面,特别地,复平面是倾角为0的数平面,无数个数平面形成了数空间.当点p落在x轴上时,倾角?值不定,也就是说:实数的倾角?值不定.
以x轴的正半轴为始边,向量所在的射线（起点是O）为终边的角?,叫做三元数p?a?bi?cj的辐角,记做Argp.
⑶辐角的主值 在区间?0,2??内的辐角?的值,叫做辐角的主值,记作argp,即0≤argp＜2?.非0三元数的辐角有无限多个值,但辐角的主值只有一个,三元数0的辐角不定.
说明:(1)三元数的代数形式是唯一的,但三角形式不唯一;
(2)复平面是倾角为0的数平面;
(3)在复平面上成立的结论,在其它倾角的数平面上也成立;
(4)代数形式p?a?bi?cj与相对应的三角形式p?r?cos??sin??icos??jsin???的互化公式:
a?rcos?;b?rsin?cos?;c?rsin?sin?,具体依下列规则进行
先求r:r?a2?b2?c2,再求?:由点p0(a,b)的所在象限及rcos??a共同确定（一般取最小正角）
最后求?:一般地,取??arctan,??????,b?0,c?0时,???;b?c?0时,?值不定 （c/b）222
p?2?1i?1j?co??si(ico?jsi)(r?1，????)
从更高的观点来看,可以观察到数学在更高层次上的统一,复数的代数形式与极坐标的统一,三元数的代数形式与球坐标的统一,极坐标是球坐标的特例,复数是三元数的特例.
三元数的加法满足平行四边形法则,减法满足三角形法则.复数是实数的扩充,三元数是复数的扩充,要特别注意三元数与复数及实数的联系与区别.
⑴实数与数轴上的点一一对应,复数与复平面内的点、复平面内以原点为起点的向量一一对应,三元数与数空间内的点、数空间内以原点为起点的向量一一对应.
⑵两个实数可以比较大小,有关不等式的一些性质仅限于实数集中成立.
⑶三元数的模是实数及复数绝对值的扩充,实数与复数的绝对值是三元数模的特例,因此三元数模的所有性质对实数绝对值都成立,而实数绝对值的一些性质对三元数模则不一定成立.
p?1,在p为实数时表示两个点?1,在p为复数时表示单位圆,在p为三元数时表示单位球面.
⑷实数集对加、减、乘、除、乘方运算封闭,复数集与三元数集对加、减、乘、除、乘方、开方运算封闭; ⑸一般地,一元n次代数方程在复数集中有且仅有n个根,在三元数集中可以有多于n个的根,甚至有无穷多个根存在.
3、三元数三角形式的运算
⑴在倾角为?的数平面上,设pn?rn[cos?n?sin?n(icos??jsin?)],n?1,2,3，则有
p1.p2.p3?r1.r2.r3[cos(?1??2??3)?sin(?1??2??3)(icos??jsin?)],显然,同在一个数平面上的三个数相乘,其乘积的模为模的乘积,复数乘法是其特例.
三元数的三角形式可用来直观描述一个星体在轨道倾角为?的平面上绕中心天体的运行情况:p?r?cos?t?sin?t?icos??jsin???,r为该星体运行的圆形轨道的半径.
如轨道为椭圆,公式可改写为:p?acos?t?bsin?t(icos??jsin?)
若轨道还需旋转一个角度?,公式可再改写为:
??sin?(icos??jsin?)]
p?[acos?t?bsin?t(icos??jsin?)][cos
其中a、b表示星体运行的椭圆轨道的长半轴与短半轴,t表示时间,?表示星体运行的角速度, T?2?表示该星体绕中心天体运行的周期.cos??sin?(icos??jsin?)是三维数空间里的旋转算子,该算子还可推广至更高维数空间.
(2)三元数的乘方
三元数的n(n?N)次幂的模等于这个三元数的模的n次幂,它的辐角等于这个三元数的辐角的n倍,而倾角不变.?r?cos??sin?(icos??jsin?)??n?rn?cosn??sinn?(icos??jsin?)?
特别地,当??0时得:?r(cos??isin?)?n?rn(cosn??isinn?)
此即复平面上的Movire定理,在这里成了三元数乘方的一个特例.
(3)三元数的开方
三元数的n(n?N)次方根是
??2k???2k???r?cos?sin(icos??jsin?)?nn???k?0,1,?,n?1?
注意:(1)一般地（指p不为实数时）,三元数总有固定的倾角?,这时三元数的n次方根是n个三元数,它们的模等于这个三元数的模的n次算术根,它们的辐角分别等于这个三元数的辐角与2?的0,1,2,?,n?1倍的和的n分之一,而倾角?不变.
(2)p为实数时,倾角?值不定,需解参数方程:
x?rcos??2k?
n,y?rsin??2k?
ncos?,z?rsin??2k?
n ）sin?)(k?0,1,?,n?1
易知-1的平方根是icos??jsin?,它的几何意义是数空间中以原点为圆心,垂直于复平面,在平面yOz上的单位圆,其与复平面的交点恰好是i与?i两个点,?1在复平面上有且仅有两个根,在数空间中却有整整一个圆的根存在.这是给出定义i2?j2??1,i?j?0时所完全不曾预料的事情!
需要指出的是:求一个三元数的n次方根,当n?2时,勉强可利用定义解代数方程求得,当n较大时用三元数的三角形式求解较为简单.
三元数开方的几何意义
一般地,三元数（指p不为实数时）p?r?cos??sin?(icos??jsin?)?开n次方的n个根在数空间内所对应的n个点均匀地分布在以原点为圆心,为半径,与复平面的倾角为?的数空间中的一个圆上.
当然,当p为实数时,其n次方根的几何意义依然可利用三元数的求方根公式进行讨论,读者不妨自行一试.
4、三元数的重要定义、定理与推论
4.1模律定理 两个三元数a?a0?a1i?a2j,a0?0,a?r1,x?x0?x1i?x2j,a为常量,x为变量,x?r2?0,其积p?ax的模r,当且仅当a2x1?a1x2?0,即两个三元数在同一个数平面上时，三元数积的模等于两个三元数
22的模的积,得到最大值rmax?r1.r2;当且仅当x0?a12?a2??0且a1x1?a2x2?0时,得到最小值rmin?a0r2
依高等几何知识,a0?0,p?ax,本质上表示一个仿射变换,球面x?r2?0通过可逆线性变换绕球心（原点）旋转、伸缩后被映射成一个椭球面,模律定理恰好揭示出了椭球面的最长半轴与最短半轴.特别地,如果a?a0?a1i?a2j?a0,此时得到一个半径r?a0r2的球面,球面的半径是常量,当然最大值与最小值相等.
给定三元数a?a0?a1i?a2j,a?r,一一对应一个矩阵A,该矩阵的行列式 A?a0r2称为数a的基本值,限制a的基本值A?0,A?0?a0?0仿射变换成为可逆线性变换,商x?pa唯一可求.特别地,在复
2n?22.初等数学中域中,复数a?a0?a1i的基本值A?a0?a12?0?r?0?a?0,基本值的通项公式为A?a0r
0一般规定0不作除数正是A?0的特例. A?a1a?a1a0
0?a20a?a1?a2)?a0r2） a2
4.2 推论（零因子定理）两个三元数a?a0?a1i?a2j,x?x0?x1i?x2j,a?r1?0,x?r2?0,当且仅当x0?a0?0,且a1x1?a2x2?0时,其乘积p?ax?0
4.3 除法定理 已知p?ax,p?p0?p1i?p2j,a?a0?a1i?a2j ,求x?x0?x1i?x2j?pa.将p?ax乘出,依三元数相等的定义,得三元一次方程组,当a0?0时,方程有唯一解
x0?a(pa?p0a2)?a1(p2a1?p1a2) a(pa?p0a1)?a2(p1a2?p2a1),p0a0?p1a1?p2a2, x1?010x2?020
a（a0?a1?a2a（0a0?a1?a2）0a0?a1?a2）
当p1a2?p2a1?0,即p与a在同一个数平面上时,方程组有形式简单的的解
x0?p2a0?p0a2,如果p?a?0,数平面的倾角为0,即得出p1a0?p0a1,p0a0?p1a1?p2a2,x?x?2a0?a1?a2a0?a1?a2a0?a1?a2
?a0x0?a1x1?a2x2?p0(1)
(2) a1x0?a0x1?p1?ax?ax?p(3)20022?复域内结果,显然复数除法是三元数除法的特例. 再来研究a0?0,a?0时的情形,将p?ax乘出,得三元一次方程组,??
a2?a1a00?a20a?a1?a2)?a0r2?0?a0?0方程组系数矩阵的行列式
当a1?0,a2?0且p1a2?p2a1?0时,得解:x0?p1a1?p2a2,a1x1?a2x2?p0?0,当p1a2?p2a1?0时无解.
当a1?0,a2?0且p2?0时,得解: x0?p1a1,x1?-p0a1,x2?R,当p2?0时无解.
当a2?0,a1?0且p1?0时,得解: x0?p2a2,x2?-p0a2,x1?R,当p1?0时无解.
若在复域内考虑p2?0,a2?0,当a1?0时得解:x0?p1a1,x1?-p0a1,x2?0,此时得出了唯一解,复域内情形为三元数除法的特例.
注意到在p1a2?p2a1?0商有唯一解的公式中取a0?0,将x??p0a1,x??p0a2代入商有直线解的公?a2a1?a2
式a1x1?a2x2?p0?0,将x0?p1a1?p2a2代入x?p1a1?p2a2仍成立,可去间断点必在连续直线上.在三元数函数022a1?a2
论中,为了研究问题的方便,定义可去间断点为三元数商的主值,与商一样仍用x?p来表示,以实现商的单值连续,x?pa在商多值时一般专指商的主值,复域内情形为其特例,以后不再一一说明.
利用数平面的概念,上述结果可简述为
(1) a0?0时,方程组有唯一解,商唯一可求.
(2) a0?0,a?0时,如果p与a在同一个数平面上,方程组有一条直线的解,商的主值唯一可求,复域内解为其特例.
(3) a0?0,a?0时,如果p与a不在同一个数平面上,方程组无解,商为空集.
最后来研究a?a0?a1i?a2j?0时的情形,此时a0?a1?a2?0,如果p?0,此时没有任何三元数x满足
3p?ax,所以解集是空集;如果p?0,此时任意一个三元数x均满足p?ax,所以解集为A,意即所有的三元数
综上所述,三元数的乘除法比加减法要更为微妙,从函数的观点来看,三元数乘法得到的积是单值函数,三元数除法得到的商却可以一值、多值(主值唯一)、甚至无解.其实即使在复域内考虑,乘除法也并不完全可逆,0就是个例外,初等数学中一般规定0不作除数,以保证除法运算所得到的商总是单值.在三元数函数论中,从更一般的观点来看,三元数除法等价于三元一次方程组的求解,任意两个三元数总可作除法,除法运算即解方程组的过程总可以进行,只是除法运算的结果（商）可能单值、多值、或无解罢了.
4.4 推论（倒数定理）p?ax,p?1时,x称为a的倒数,代入p?1,a?a0?a1i?a2j,得
(1) a0?0时,倒数x?x0?x1i?x2j?唯一可求.x?0-a2a0-a1,x?,x? a0?a1?a2a0?a1?a2a?a1?a220
(2) a0?0,a1?0,a2?0时,得解:x0?p1a1?p2a2?0,a1x1?a2x2?1?0,方程组有一条直线的解
(3) a0?0,a1?0,a2?0时,得解:x0?p1a1?0,x1?-a1,x2?R,方程组有一条直线的解
(4) a0?0,a2?0,a1?0时,得解:x0?p2a2?0,x2?-a2,x1?R,方程组有一条直线的解
(5)任何数乘以0都不等于1,所以0没有倒数,反之,任何非0三元数总有至少一个倒数
在复变函数论中,倒数函数y?x将一个圆单值连续映照为另一个模为倒数的圆,在三元数函数论中,多值商取主值x0?0,x?1-a2后倒数函数y?x将一个球面单值连续映照为另一个模为倒-a1,x?222a12?a2a12?a2
数的球面,复数倒数是三元数倒数的特例.
4.5 乘除转化定理 一般地,pa,a0?0,当且仅当p1a2?p2a1?0时,pa?p??a?, p除以一个三元数等于乘以这个三元数的倒数.实际上当p1a2?p2a1?0、a0?0、a?0商为多值时乘除转化定理仍成立,此时只需左边商取多值或主值而右边a的倒数也取多值或主值乘出即可.
利用数平面的概念, 乘除转化定理可简述为:
一般地,a?0,当且仅当p与a在同一个数平面上时p?p???,p除以一个三元数等于乘以这个三元数的倒数,复域内情形为其特例.
4.6结合律定理 三个三元数相乘p?p1p2p3,当且仅当p2为实数或者p1、p3在同一个数平面上时,结合律成立,
由于实轴是所有数平面的公共轴,任意数平面均包含实数,所以至少有一个数是实数的三个数相乘,其乘积满足结合律.
4.7 代数学基本定理
三维数空间里一般系数的一元n次代数方程a0xn?a1xn?1?...?an?1x?an?0至少有一解（a0?a00?a01i?a02j,a00?0）
4.8 推论（实系数代数学基本定理）如果实系数一元n次代数方程a0xn?a1xn?1?...?an?1x?an?0(a0?0)在复平面上有u个实根x1，x2,…, xu、t对虚根r1(cos?1?isin?1) ,…,rt(cos?t?isin?t),那么该方程在数空间里有且
2仅有u个实根x1,x2,…,xu和t个圆的非实数根?u?2t?n? （pm?x?yi?zj,x?rmcos?m,y2?z2??rmsin?m?,m?1,...,t）
4.9 推论(实根定理)如果实系数一元n次代数方程a0xn?a1xn?1?...?an?1x?an?0(a0?0)在复平面上有且仅有n个实根x1,...,xn,那么其在数空间里也有且仅有n个实根x1,...,xn
4.10 推论(虚根定理) 如果实系数一元n次代数方程a0xn?a1xn?1?...?an?1x?an?0(a0?0)在复平面上有且仅有n/2对虚根r1(co?s1?isin?1),…,rn/2(cos?n/2?isin?n/2),那么其在数空间里有且仅有n/2个圆的非实数根
（pm?x?yi?zj,x?rmcos?m,y2?z2??rmsin?m?,m?1,...,n/2）2
三、三元数函数
通过引入定义⑴i2?j2??1⑵ij?0现在已能对两个三元数作加、减、乘、除等四则运算,对单个三元数可进行乘方、开方,还可以解出数空间里形如ax?b、axn?b(n?N,n?2)的二项方程.
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