知识点梳理
【的解】1.一元二次的解(根)的意义：&&能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解。又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根。2.一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个解。这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量。&&ax1?+bx1+c=0(a≠0)，ax2?+bx2+c=0(a≠0)3.对一元二次方程ax?+bx+c=0(a≠0)来说当判别式△=b?-4ac>0时方程有两个解△=b?-4ac=0时方程有一个解△=b?-4ac<0时方程无解
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“设p、q是两个奇数，试证方程x2+2px+2q=0不可能有有...”，相似的试题还有：
若二次方程x2+2px+2q=0有实根，其中p、q为奇数，证明：此方程的根是无理数．
若正整系数二次方程4x2+mx+n=0有相异的两个有理根p，q，且p＞q，又方程x2-px+2q=0与方程x2-qx+2p=0有一公共根，则方程x2-px+2q=0的另一根为()．
如果a为不等于±2的整数，证明方程x4+ax+1=0没有有理根．1、一元二次方程ax?bx?c?0（a≠0）
（1）当??b?4ac&0时，x有两个不相等的实数根，即
2（2）当??b?4ac=0时，x只有一个实数根，即x= ?b 2a
（3）当??b?4ac&0时，x没有实数根。
推导过程如下：
ax2?bx?c?0
4a2x2?4abx?4ac?0
4a2x2?4abx?b2?b2?4ac?0
(2ax?b)2?b2?4ac?0
(2ax?b)2?b2?4ac
2ax?b?x?bcx1?x2??,x1x2?aa
备注：推导过程只需了解一下，考试时可直接用，以上三点多用于判断该方程有几个根，一般考试时会告诉你abc中的一个或两个，再告诉你有几个根，然后根据性质求出未知的那一个，更多地用于在抛物线中判断与x轴的位置关系，详见第2大点。
2、y?ax?bx?c?0（a≠0）在直角坐标系中抛物线的一般表达方式，是由y?ax（a22
a≠0是因为当a?0≠0）通过平移得到的，（a≠0）是顶点为坐标系原点的抛物线。y?ax2
时，y就不是抛物线了，而是一条直线。
y?ax2?bx?c?0（a≠0）有以下几个特点是考试中常考到的，复习时需结合图形理解：
，因此，对称轴x??（1）抛物线顶点坐标：(? 2a2a4a
①a?0时，抛物线开口向上，y有最小值，无最大值，y先是随着x的增大逐渐减小，当xb4ac?b2
增大至?时，y取最小值，而后又随着x的增大y逐渐增大。（以对称轴为界先2a4a
②a?0时，抛物线开口向下，y有最大值，无最小值，y先是随着x的增大逐渐增大，当x
增大至?时，y取最大值，而后又随着x的增大y逐渐减小。（以对称轴为界先2a4a
（2）开口大小根据a的绝对值来判断，a越大，开口越大，a越小，开口也越小。
（3）抛物线与y轴的交点为（0，c）
（4）考试时还经常用到的是??b?4ac来判断抛物线与x轴的位置关系：
①b?4ac?0时，抛物线与x
轴有两个交点，且两交点关于对称轴对称，分别为22
x1和x2，要分清楚哪个在对称轴左边，哪个在对称轴右边。
②b?4ac?0时，抛物线与x轴有且只有一个交点，该交点就是抛物线的顶点，交点坐标为(?
22b,0)，该点毫无疑问在对称轴上。 2a③b?4ac?0时，抛物线与x轴没有交点。
（5）平移问题，经常考，掌握诀窍后不难，但一不小心很容易错。
假设原抛物线方程为y?ax2?bx?c?0（a≠0），有以下两种平移方法：
① 横向平移：
向左平移k时，用(x?k)代替原来的x，即y=a(x?k)?b(x?k)?c，（a≠0）, 向右平移k时，用(x?k)代替原来的x，即y=a(x?k)?b(x?k)?c，（a≠0）,
备注：如原抛物线方程以配方形式出现时，如：y?3(x?5)?4形式出现时，就更为方便，向左平移2就是y?3?(x?2)?5??4，同理，向右平移就是y?3?(x?2)?5??4 ② 纵向平移：
向上平移m时，在式子末尾直接加上m即可，即：y=ax?bx?c?m，（a≠0） 向下平移m时，在式子末尾直接减去m即可，即：y=ax?bx?c?m，（a≠0）
说明：以上所总结出来的规律在复习时要结合图形进行理解，更直观，便于消化，要熟练有关公式的推导过程，不可死记硬背，得理解才能活学活用，万一在考试时忘记某个公式，可现场进行推导。 2222222
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初三竞赛培训试题34&#46;一元二次方程&#40;四&#41;：整数根与有理根【可编辑】
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