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高三数学教案：平面向量
第31课 平面向量的数量积
【考点指津】
1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义.
2. 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题.
3. 掌握向量垂直的条件.
【知识在线】
1.若OaO=4，ObO=3，a&b=-6，则a与b的夹角等于 ( )
A.150& B 120& C.60& D.30 &
2.若a=(-2，1)，b=(1，3)，则2a2-a&b= ( )
A，15 B.11. C.9 D.6
3.已知向量 i=(1，0)，j=(0，1)，则与向量2i+j垂直的一个向量为 ( )
A. 2i-j B. i-2j C. i+j D. i-j
4.已知a=(1，2)，b=(1，1)，c=b-ka，且c&a，则C点坐标为
5.已知OaO=3，ObO=4，且a与b夹角为60&，Oka-2bO=13，求k的值
【讲练平台】
例1 (1)在直角三角形ABC中，&C=90&，AB=5，AC=4，求AB& &BC&
(2)若a=(3，-4)，b=(2，1)，试求(a-2b)&(2a+3b)
分析 (1)中两向量AB& 、BC& 的模及夹角容易求得，故可用公式
a&b=|a||b|cos&求解.
(2)中向量a、b坐标已知，可求a2、b2、a&b，也可求a-2b与2a+3b的坐标，进而用(x1，y1)&(x2，y2)=x1x2+y1y2求解.
解(1) 在△ABC中，&C=90&，AB=5，AC=4，故BC=3，且cos&ABC= ，AB& 与BC& 的夹角&=&-&ABC，
∴AB& &BC& =-OAB& OOBC& Ocos&ABC=-5&3& =-9.
(2)解法一 a-2b=(3，-4)-2(2，1)=(-1，-6)，
2a-3b=2(3，-4)+3(2，1)=(12，-5)，
(a-2b)&(2a+3b)=(-1)&12+(-6)&(-5)=18.
解法二 (a-2b)&(2a+3b)=2a2-a&b-6b2
=2[32+(-4)2]-[3&2+(-4)&1]-6(22+12)=18.
点评 向量的数量积有两种计算方法，一是依据模与夹角来计算，二是依据坐标来计算.具体应用时可根据已知条件的特征来选择.
值得注意的是，向量的夹角与向量的方向相关，(1)中&ABC并非AB& 与BC& 的夹角.
从第(2)问的解法二可以看到，向量数量积的运算律，类似于多项式乘法法则，但并不是所有乘法法则都可以推广到向量数量积的运算.如：a&(b+c)=a&b+b&c，而(a&b)c&a(b&c).
例2.已知O为三角形ABC所在平面内一点，且满足OA2+BC2=OB2+CA2，试用向量方法证明AB&OC .
分析 要证AB& &OC& ，即证AB& &OC& =0，题设中不涉及AB& ，我们用AB& =AO& +OB& 代换，于是只需证AO& &OC& =BO& &OC& .至此，我们可以尝试将已知等式转化成只含有OA& 、OB& 、OC& 的形式.
证明 由已知得OA& 2+BC& 2=OB& 2+CA& 2，即OA& 2+(BO& +OC& )2=OB& 2+(CO& +OA& )2，整理得AO& &OC& =BO& &OC& ，即 OC& &(BO& +OA& )=0，
故 OC& &AB& =0.所以 AB& &OC& .
点评 用向量方法证明垂直问题，通常转化为证两个向量的数量积为0.本题已知式与求证式中向量的表达形式不统一，针对差异进行有目标的化归，是求解的关键所在.
例3.设OA& =a=( +1， -1)，OB& =b=( ，3)，试求&AOB及&DAOB的面积.
分析 已知a、b可以求|a|、|b|及a&b，进而求得&AOB(即a与b的夹角)，在求到三角形的两边及夹角后，可用公式：S= OaOObOsin&求面积.
解 设&AOB=&，&DAOB的面积为S，由已知得：
OOA& O=OaO= =2 ，OOB& O=ObO=2 ，
∴cos&= = = .∴&= .
又S= OaOObOsin&= &2 =2 ，
即&AOB= ，&DAOB的面积为2 .
点评 向量的数量积公式a&b=OaOObOcos&不仅可以用来求数量积，也可以用来求模与夹角.要注意该公式与三角形的面积公式的区别.此外，本题的解题方法可适用于更一般的情况(见变题).
变题 设&DABC的面积为S，AB& =a，AC& =b，求证S=
例4.已知a与b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角.
分析 要求夹角&，必需求出cos&;求cos&需求出a&b与OaOObO的比值(不一定要求出OaO、ObO的具体值).由已知的两个向量的垂直关系，可以得到OaOObO与a&b的关系.
解 ∵(a+3b)&(7a-5b)，(a-4b)&(7a-2b)，
∴ (a+3b)&(7a-5b)=0，
(a-4b)&(7a-2b)=0.
即 7a2+16a&b-15b2=0，
7a2-30a&b+8b2=0.
两式相减，得 b2=2a&b.
故 a2=b2 ， 即 OaO=ObO.
∴cos&= = .
∴&=60& ， a与b的夹角为60& .
点评 从基本量思想考虑，似乎没有具体的a与b，无法求出a与b的夹角，其实不然，cos&是一个a&b与OaOObO的比值，并不需要具体分别求出.类似于本题的条件表明，向量的数量积公式、向量的垂直关系都揭示了一种数量积与模的关系，就此意义而言，它们的本质是一致的相通的，可以相互转化和利用.
在本题求解过程中注意，b2=2a&b不能得出b=2a，同样a2=b2也不能得到a=&b.
【知能集成】
基础知识：向量数量积的两种计算公式，向量垂直的充要条件.
基本技能：求向量数量积、模及向量的夹角，向量垂直问题的论证与求解.
基本思想：向量表达式的数量积与多项式乘法进行类比的思想，将线的垂直这一图形特征转化成方程解决的思想.求向量夹角时的设而不求的思想.
【训练反馈】
1. 已知 =5，a与b的夹角的正切值为 ，a&b=12，则b的模为( )
A.4 B.3 C. D.
2.已知 =2，向量a在单位向量e方向上的投影为- ，则向量a与e向量的夹角为( )
A.30& B.60& C.120& D.150&
3.已知a=(1，-2)，b=(5，8)，c=(2，3)，则a&(b&c)为 ( )
A.34 B.(34，-68) C .-68 D.(-34，68)
4.边长为 的正三角形ABC中，设AB& =c，BC& =a，CA& =b，则a&b+b&c+c&a等于( )
A. -3 B. 0 C. 1 D. 3
5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，当(a+2b)&(2a-b)时，实数x的值为 .
6.已知m=(-5，3)，n=(-1，2)，当(&m+n)&(2n+m)时，实数&的值为 .
7.已知|a|=|b|=1，a与b夹角为90&，c=2a+3b，d=ka-4b，且c&d，则k=
8.已知A、B、C、D是平面上给定的四个点，则AB& &CD& +AC& &DB& +AD& &BC& = .
9.已知a+b=(2，-8)，a-b=(-8，16)，则a与b夹角的余弦值为 .
10.设两向量e1、e2满足| e1|=2，| e2|=1， e1、e2的夹角为60&，若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
11.设向量a=(cos23&，cos67&)，b=(cos68&，cos32&)，u=a+tb (t&R).
(1) 求a&b;
(2) 求u的模的最小值.
12.设a=(1+cos&，sin&)， b=(1-cos&，sin&)， c=(1，0)， &&(0，&)，&&(&，2&)，a与c的夹角为&1，b与c的夹角为&2，且&1-&2= ，求sin 的值.
第32课 线段的定比分点、平移
【考点指津】
1. 掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且熟练运用.
2. 掌握平移公式，并能运用平移公式化简函数解析式.
3. 理解公式的推导过程，必要时能回到定义去，用向量运算的相关知识，解决定比分点问题和平移问题.
【知识在线】
1.若P分AB& 所成的比为 ，则A分BP& 的比为 ( )
A. B.- C.- D.
2.设点P在线段AB的延长线上，P分AB& 所成的比为&，则 ( )
A.&&-1 B.-1&&&0 C.0&&&1 D.&&1
3.按向量a将点(2，3)平移到(0，1)，则按向量a将点(7，1)平移到点 ( )
A.(9，-3) B.(9，3) C.(5，-1) D.(-5，-3)
4.若函数y=f(1-2x)的图象，按向量a平移后，得到函数y=f(-2x)的图象，则向量a= .
5.设三个向量OA& =(-1，2)，OB& =(2，-4)，OC& 的终点在同一条直线上(O为坐标原点).
(1) 若点C内分AB& 所成的比为 ，求C点坐标;
(2) 若点C外分AB& 所成的比为- ，求C点坐标.
【讲练平台】
例1 已知P(1，1)，A(2，3)，B(8，-3)，且C、D顺次为AB的三等分点(C靠近A)，求PC& 和PD& 的坐标.
分析 已知A、B两点坐标，可求AB的两个三等分点C、D的坐标，进而结合已知P点坐标，可求PC& ，PD& .
解 解法一 由题知，点C、D分AB所成的比分别为&1= ，&2=2 ，
设C(x，y)，则
即C(4，1)，同理可得D(6，-1).
故PC=(4，1)-(1，1)=(3，0)，PD=(6，-1)-(1，1)=(5，-2).
解法二 因A、B、C、D四点共线，由已知得 ，AD& =23 AB& ，
故PC& =PA& +AC& =(2-1，3-1)+ (8-2，-3-3)=(3，0)，
PD& =PA& +AD& =(2-1，3-1)+23 (8-2，-3-3)=(5，-2).
点评 定比分点公式涉及起点坐标、终点坐标、分点坐标、定比七个量，它们之间固有的联系有两个方程，故已知其中五个量能求其余两个量，若是只考察其中一个方程(如横坐标关系式)，只须已知其中三个，可求第四个.对此，我们不仅要考察公式的原形，还需掌握公式的变形.
本题的解法二，回归到最基础的向量加减来处理定比分点问题，运算量小，出错率低.
例2 将函数 的图象按向量a平移后得到函数 的图形，求a和实数k.
分析 平移前后的函数表达式已知，可以通过恒等变形，求得整体结构一致，再比较变量x、y的变化，确定平移公式，得向量a，而k则可通过比较系数法求得.
令 x& = x- ，
原函数解析式变形为y&=- ，
∴ a=(- - )， k=- .
点评 图形的平移变换，实质是图形上任意一点的变换，求解平移变换问题至关重要的是确定关于点的坐标的平移公式.
面对较为复杂的函数表达式，为了画出其图形，并讨论其性质，常采纳平移变换化繁为简.
变题 通过平移变换，化简 (ad-bc&o ， c&o)，并作出图形.
提示： = ，
并记 =k&0， 则原方程化简为 .
因此，原函数的图象按向量a= 平移后得 的图象，故其图象是以 为中心的，以x= 为渐近线的双曲线.
例3.将函数 的图象，按向量a平移后得到的函数图象关于原点对称.这样的向量是否唯一?若唯一，求出向量a;若不唯一，求a模的最小值.
分析 正弦函数是周期函数，其图象关于原点对称时，表达式不唯一.就本题而言，平移后的函数解析式可以是y=2sin2x ， 也可以是y=2sin(2x+&)，y=2sin(2x-&)等等.因此，向量a不唯一.
要求OaO的最小值，首先必需确定平移后函数表达式的一般式，并在此基础上建立关于OaO的目标函数.
解 向量a不唯一.平移后的图象对应解析式可以为y=2sin(2x+k&)， k&Z
考察原函数表达式 ，
可令 (k&Z)
∴ a=(- ，-1)， ( k&Z)，
| a | (k&Z).
∴ 当k=2 时，OaO取最小值，最小值为 .
点评 常见向量平移变换应用于三角函数式化简，多数问题思路单一，结论唯一.本题突破常规，开放性的设计，要求解题者具有更深刻的思维能力.
例4. 设A(1，1)，B(5，5)，且P在直线AB上，若AB& =&AP& ，AP& =&PB& ，P点是否可能落在线段AB的延长线上 ?若能，求出P点坐标;若不能;说明理由.
分析 由AB& =&AP& 知，要使P落在线段AB的延长线上，只需&&(0，1).为此，我们设法将两个已知向量等式转化成关于&的方程，解出&，检验&&(0，1)是否成立.
解 AB& =(5，5)-(1，1)=(4，4)，
设P(x，y)，则AB& =&AP& =&2 PB& .
(4，4)=&2(5-x，5-y)=&(x-1，y-1)，
依据两个方程组的第一个方程，消去x，得
5&2-&(4+&)=4，即&2-&-1=0，
∴ &= .
数形结合知，在AB& =&AP& 时，要P落在线段AB的延长线上，则需&&(0，1)，所求两个&的值均不符合题意，故P不可能落在AB延长线上.
【知能集成】
基础知识：向量的平移公式，定比分点定义、公式及中点坐标公式.
基本技能：求平移公式，求点关于向量平移后的坐标，求函数图象关于向量平移后对应的函数解析式.运用定比分点公式，求端点、分点坐标及定比.
基本思想：①回到定义去，回避定比分点公式的繁琐运算.②用基本量思想看定比分点公式.③运用整体分析、比较观点，确定平移公式.
【训练反馈】
1.点(4，3)关于点(5，-3)的对称点坐标是 ( )
A.(4，-3) B.(6，-9) C.( ，0) D.( 12 ，3)
2.点A(0，m)按向量a平移后得到点B(m，0)，则向量a的坐标是 ( )
A.(m ， m) B.(m ， -m) C.(-m ， m) D.(-m ， -m)
3. 按向量a可把点(2，0)平移到点(-1，2)，则点(-1，2)按向量a平移后得到的点是( )
A.(2，0) B.(-3，2) C.(2，4) D.(-4，4)
4.将函数 的图象，按向量a平移后得到的图象对应函数y=f(x)是奇函数，则a可以是 ( )
A. (- ，-4) B. (- ，4) C. ( ，4) D. (- ，-4)
5.已知点P(2，3)，分P1P2所成的比为2，且点P2(1，2)，则点P1的坐标为( )
A.(4，5) B.(0，1) C.(3，4) D.(5，6)
6.将函数y=x2+mx+n图象的顶点P按向量a平移到原点O，则a= .
7. 函数 的图象按向量a=(2，1)平移后得到函数 的图象.
8.已知A(2，2)，B(-3，4)，C(4，-1)，则&DABC的重心坐标为 .
9.若OP1P2O=5 cm，点P在线段P1P2的反向延长线上，且OP1PO=1 cm，则P分P1P2所成的比为 .
10. 已知O为原点，m&R且m&0，OA=(m，2m)，OB=(2，2)，求点B关于直线OA的对称点C的坐标.
11. 已知关于x的一次函数y=ax+b的图象C按向量p =(1，2)平移后，得到的图象仍然是C，问这样的一次函数是否唯一?若唯一，求出该函数的解析式;若不唯一，说明这类函数的表达式的共同特征.
12.已知A、B、C三点在一条直线上，且OA& -3OB& +2OC& =0 ，求点A分BC& 所成的比&.
第33课 平面向量的应用
【考点指津】
1. 在阅读、理解具有实际意义的文字材料的基础上，能准确、清晰、有条理地用向量的语言表述问题.
2. 能从实际问题中提炼、概括抽象出数学模型.
3. 能综合运用所学向量知识及有关数学思想方法，求出数学模型的解.
4. 能结合实际意义，正确表述问题的解.
5. 能用向量知识简捷地处理其它数学分支相关问题.
【知识在线】
1.下列各个量：①物体的位移;②汽车的速度;③物体的质量;④某液体的温度.其中能称为向量的有 .
2.已知三个力F1=(1，3)，F2(-2，1)，F3=(x，y)，某物体在这三个力的同时作用下保持平衡，则力F3= .
3.设某人向东走3 km后，又改变方向向北偏东30&走3 km，该人行走的路程是 ，他的位移是 .
4.用向量方法证明勾股定理.
5.一条东西方向的河流，水流速度为2 km/h，方向正东.一船从南岸出发，向北岸横渡，船速为4 km/h，试求船的实际航行速度，并画出图形(角度可用反三角函数表示).
【讲练平台】
例1 某一天，一船从南岸出发，向北岸横渡.根据测量，这一天水流速度3km/h，
方向正东，风向北偏西30&，受风力影响，静水中船的飘行速度大小也为3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以23 km/h.的速度横渡，求船本身的速度大小及方向.
分析 撇开题设情境，提炼出四个速度，即水流速度v1，风的速度v2，船本身的速度v3，船的实际航行速度v，并且有v1+v2+v2=v，在这一等式中，v1、v2、v已知，v3可求.
略解：设水的速度为v1 ，风的速度v2，v1+v2=a，
易求得a的方向是北偏东 30&，a的大小为 3 km/h .
设船的实际航行速度v，方向南向北，大小 23 km/h..船本身的速度v3，则a+v3=v ， 即 v3=v-a ， 数形结合知，v3方向是北偏西60&，大小为3 km/h..
点评 这是一个与&知识在线&第5题相似的问题，熟悉的情境以及简单情况下的解题经验为本题求解奠定了基础.
四种速度融为一体，我们采纳分步合成，步步为营的策略.每一次合成只相当于求解了一个简单题.
例2 已知O为&DABC所在平面内一点，满足
|OA& |2+| BC& |2=|CA&|2+|OB&|2=|OC&|2+|AB&|2.试证明O是&DABC的垂心.
分析 已知等式是关于线段长度平方和的等式，OA& 与BC& 、OB&与CA&、OC&与AB& 都不是同一个直角三角形中的线段，用纯平面几何知识证明相当困难.
但线段长度平方和即向量模的平方，要证O是&DABC的垂心，只需证得OA& &BC& ，OB&&CA&，联想向量的数量积，只需证OA& &BC& =OB&&CA&=0.
|OA& |2+| BC& |2=|CA&|2+|OB&|2 ，得
a2+(c-b)2=b2+(a-c)2 ， c&b=a&c ，即(b-a)&c=0.
OC&&AB&=0， 故 AB&&OC&.
同理 CA&&OB&，BC& &OA& .
故O是&DABC的垂心.
点评 向量知识的应用领域很宽泛，中学数学所涉及的平几、立几、解几、函数、方程、数列、不等式等等，都可以与向量综合，求解这类问题的关键在于揭去伪装，合理转化.
例3.如图所示，对于同一高度(足够高)的两个定滑轮A、B，用一条足够长的绳子跨过它们，并在两端分别挂有质量为m1和m2的物体(m1&m2)，
另在两滑轮中间的一段绳子的O点处悬挂质量为m的另一物体，已知m1∶m2=OB∶OA，且系统保持平衡(滑轮半径、绳子质量均忽略不计).求证：
(1) &AOB为定值;
分析 依据题意，我们可以作出物体的受力图，
引用平衡条件可列出方程组，在方程组的变形中，探索&AOB的大小，在求出&AOB后，再向第2问结论努力.
解(1)设两绳子AO、BO对物体m的拉力分别为
F1、F2，物体m向下的重力为F，由系统平衡条件知F1+F2+F=0.
如图，设&BAO=&，&ABO=&，根据平行四边形法则，得
F2cos&+F1cos(&-&)=0，
F2sin&+F1sin(&-&)+F=0.
即 m2cos&-m1 cos&=0 ， ①
m2sin&+m1 sin&=m. ②
在&DAOB中，由正弦定理，得OB∶OA= sin&∶sin&，将m1∶m2= sin&∶sin&代入①，得
sin&cos&= sin&cos&，即sin2&= sin2&.
∵m1&m2 ，∴OA&OB. ∴&&&，2&+2&=180&.
∴&+&=90&， 即&AOB=90&.
(2)由&+&=90&，得　cos&cos&=sin&sin&.
将①②平方相加，得m2=m12+m22 .
由m2-2m1m2=m12+m22-2m1m2=(m1-m2)2&0 ，得m2&2m1m2.
∴ &2.
点评　　向量在物理中的应用最常见的是力学问题，物体处于平衡状态即所受各力的合力为0，亦即向量之和为零向量，运用三角形法则、平行四边形法则及解斜三角形的基础知识可望得到问题的解.本题所列方程组，是根据物体水平方向、竖直方向所受各力的合力分别为0得到.
【知能集成】
向量知识是一种基础性、工具性知识，在跨学科内分支、跨学科范畴、跨认知领域的广泛应用中，我们应逐步增强阅读理解能力，数学建模、解模能力，和分析问题解决问题能力.
【训练反馈】
1. 如果一架向东飞行200km，再向南飞行300km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，则 ( )
A. s&|a| B. s&|a| C. s=|a| D. s与|a|不能比大小
2. 当两人同提重|G|的书包时，用力都为|F|，夹角为&，则|F|、|G|、&之间的关系为|F| = |G|2cos&2;当&= 时，|F|取得最小值;当|F|=|G|时，&= .
3. 一条河宽为d，水流速度为v2，一船从岸边A处出发，垂直河岸线航行到河的正对岸B处，船在静水中的速度为v1，则船在航行过程中，船的实际航行速度大小为 ( )
A.| v1| B.| v1|2+| v2|2 C.| v1|2-| v2|2 D.| v1|-| v2|
4.一艘船以4km/h的速度，沿着与水流方向成120&的方向航行，已知河水流速为2 km/h，该船若航行6 km，所须时间为 ( )
A.3 h B.23 h C.3 h D.2 h
5. 已知向量OA1& =3i+2j，AnAn+1& =2i+2j(n&N+)，则OAn&= .
6. 已知A(k，12)，B(4，5)，C(10，k)，若点C在线段AB上，则k值等于 ( )
A.11 B.-2 C.-11或2 D.485 或252
7.已知&DABC中，AB&=c，BC&=a，CA&=b，则下列推理不正确的是 ( )
A. 若a&b=b&c，则&DABC为等腰三角形
B. 若a&b&0，则&DABC为钝角三角形
C. 若a&b=0，则&DABC为直角三角形
D. 若c&(a+b+c)=0，则&DABC为正三角形
8.在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行.此时，风向是北偏东30&，风速是20 km/h.;水的流向是正东，流速为20 km/h.，若不考虑其它因素，救生艇在洪水中漂行的速度为 .
9.已知a=(sin&， sin&-cos&)，b=(cos&，0)，O为坐标原点，OP&=a+b，
则|OP&|= .
10.一个30&的斜面上放有一个质量为1kg的球，若要保持球在斜面上静止不动，应沿斜面方向给球多大的力?若表示球的重力的向量为p，球对斜面的压力为&，则球的重力沿斜面方向的分力f如何表示?保持球在斜面上静止不动的推力f&又如何表示?
11. 已知点A(1，2)和B(4，-1)，问能否在y轴上找一点C，使&ACB=90&，若能，求出C点坐标;若不能，说明理由.
12. 已知O为坐标原点，OA& =(3，0)，OB& =( )，两个质点甲、乙分别从A、B两点同时出发，速度均为4km/h，且甲沿AO&方向运动，乙沿OB&方向运动.
(1) 甲乙两个质点之间的初始距离是多少?
(2) 用包含t的式子f(t)表示t小时后，两个质点之间的距离;
(3) 什么时候两个质点之间相距最近.
单元练习五 (平面向量)
(考试时间120分钟 总分150分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 向量a=(1，-2)，向量a与b共线，且|b|=4|a|.则b= ( )
A.(-4，8) B.(-4，8)或(4，-8)
C.(4，-8) D.(8，4)或(4，8)
2. 已知a=(2，1)，b=(x，1)，且a+b与2a-b平行，则x等于 ( )
A.10 B.-10 C.2 D.-2
3.已知向量a和b满足|a|=1，|b|= ，a&(a-b).则a与b的夹角为 ( )
A.30& B.45& C.75& D.135&
4.设e1、e 2是两个不共线向量，若向量 a=3e1+5e2与向量b=me1-3e2共线，
则m的值等于 ( )
A.- 53 B.- 95 C.- 35 D.- 59
5.设□ABCD的对角线交于点O，AD& =(3，7)，AB& =(-2，1)，OB& = ( )
A.( -52 ，-3) B.(52 ，3) C.(1，8) D.(12 ，4)
6.设a、b为两个非零向量，且a&b=0，那么下列四个等式①|a|=|b|;
②|a+b|=|a-b|;③a&(b+a)=0;④(a+b)2=a2+b2.
其中正确等式个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
7.将y=2x的图象 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ( )
A.按向量(0，1)平移 B.按向量(0，-1)平移
C.按向量(1，0)平移 D.按向量(-1，0)平移
再作关于直线y=x对称的图象，可得到函数y=log2(x+1)的图象.
8.a=(-1，2)，b=(1，-1)，c=(3，-2)用a、b作基底可将c表示为c=pa+qb，则实数p、q的值为 　　　　　　　　　　　 ( )
A.p=4 q=1 B. p=1 q=4
C. p=0 q=4 D. p=1 q=0
9.将函数y=2sin2x的图象按向量a的方向平移得到函数y=2sin(2x+&3 )+1的图象，则向量a的坐标为 　　　　　　　　 ( )
A.(-&3 ，1) B.(-&6 ，1) C.(&3 ，-1) D.(-&6 ，-1)
10.设平面上四个互异的点A、B、C、D，已知(DB& +DC& -2DA& )&(AB& -AC& )=0.则&DABC的形状是 　　　　　　　　 ( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
11.将函数y=2x的图象按向量a平移后得到函数y=2x+6的图象，给出以下四个命题：① a的坐标可以是(-3，0);　② a的坐标可以是(0，6);
③a的坐标可以是(6，0); ④ a的坐标可以有无数种情况.
其中真命题的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
12.设F1、F2是双曲线 x24 -y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且PF1& &PF2& =0，则|PF1& |&|PF2& |的值为 ( )
A.2 B.22 C.4 D.8
二、填空题：每小题4分，共16分.
13.设线段P1P2的长为10cm，P在P1P2的延长线上，且P2P=20cm，则P分P1P2& 所成的比为 .
14.已知向量a=(2 ，-2 )，b=(3 ，1)那么(a+b)&(a-b)的值是 .
15.若a=(2，3)，b=(-4，7)，a+c=0，则c在b方向上的投影为 .
16.若对n个向量 a1，a2，a3，&，an，存在n个不全为零的实数k1，k2，&，kn，使得k1 a1+k2a2+&+knan=0成立，则称a1，a2，&，an为&线性相关&.依此规定，能使a1=(1，0)，a2=(1，-1)，a3=(2，2)&线性相关&的实数k1，k2，k3 依次可以取 .
三、解答题
17.(本题满分12分)
如图，一艘船从点A出发以23 km/h的速度向垂直于对岸
的方向AD& 行驶，同时河水的流速为2 km/h.求船实际航行
速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示).
18.(本题满分12分)
已知△OFQ的面积为S，且OF& & FQ& =1 ，若12
19.(本题满分12分)
已知点H(-3，0)，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足 ，当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C.
20. (本题满分12分)
已知向量OA& =3i-4j，OB& =6i-3j，OC& =(5-m)i-(4+m)j，其中i、j分别是直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量.
(1)若A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件;
(2)若&DABC为直角三角形，且&A为直角，求实数m的值.
21.(本题满分12分)
已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120&.
(1)求证(a-b)&c;
(2)若│ka+b+c│&1(k&R)，求k的取值范围.
22. (本题满分14分)
已知向量a、b、c、d，及实数x、y，且|a|=1，|b|=1，c=a+(x2-3)b，d=-ya+xb，如果a&b，c&d，且|c|&10 .
(1)求x、y的函数关系式y=f(x)及定义域;
(2)(供部分考生选做)判断f(x)的单调性，指出单调区间，并求出函数的最大值、最小值.
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