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1.75亿学生的选择
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为什么n维线性空间中的n个线性无关的向量都可以构成它的一组基?
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在空间中任取一个向量b 加入这n个线性无关的向量ai(i=1,2,...,n)那么这n+1个向量一定是线性相关的故存在一组不全为0的ki(i=1,2,...,n)和c使得k1*a1+k2*a2+...+kn*an+c*b=0易知c≠0那么把等式整理下 可得b=...即b可由ai(i=1,2,...,n)线性表示由b得任意性知ai(i=1,2,...,n)是空间的一组基
首先谢谢您的回答，说到n维线性空间，由定义知基中向量的个数一定是n个。这么证行不行？谢谢！！^_^
其实n维线性空间的基的定义就是n个线性无关的向量啊
你的问题根本不用证明 就是定义而已
我的证明也是多此一举
我觉得你把你问题中的"为什么"改成"如何理解"比较好
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设A：V→U是向量空间V到U的线性映射,证明：1、A（0）=02、A(-α)=-A（α）3、A（α-β）=A（α）-A（β）
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（1）和（2）用性质A（ka)=kA(a):(1)、A(00)=0A(0)=0.注意：前面一个是数0,后面一个是0向量.(2)、A(-a)=A((-1)a)=(-1)A(a)=-A(a).(3)、A(a-b)=A(a+(-b))=A(a)+A((-1)b)=A(a)-A(b).
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扫描下载二维码§7.5线性映射和向量空间的同构本节内容需分两次；1.线性映射的定义和基本性质；如何建立两个集合之间的联系呢？映射；定义1设V,W是域K上的两个向量空间,如果存在映；注1定义的第(1)条中，?(???)中的“+”是；注2保持加法和纯量乘积合称为保持线性运算,可以统；线性映射有下面基本性质.以下均设?:V?W是域K；证明：因为?(0)??(0?0)??(0)?
线性映射和向量空间的同构
本节内容需分两次课上完
1. 线性映射的定义和基本性质
如何建立两个集合之间的联系呢？映射。当然向量空间之间也可以通过映射相互联系，但映射只是给出元素之间的对应，在向量空间中，向量之间还有线性关系，我们自然希望映射和线性关系之间能“和谐”相处。由此有了线性映射的概念。
定义1 设V,W是域K上的两个向量空间, 如果存在映射?:V?W使得 (1) 保持加法运算: 即对任意?,??V, 有?(???)??(?)??(?); (2) 保持纯量乘积: 即对任意??V和k?K, 有?(k?)?k?(?). 则称?是从V到W的线性映射.
注1 定义的第(1)条中，?(???)中的“+”是向量空间V中的加法，而?(?)??(?)中的“+”是向量空间W中的加法. 同理, 定义中的第(2)条，?(k?)中的纯量乘积是域K与向量空间V的纯量乘积，而k?(?)中的纯量乘积是域K与向量空间的纯量乘积.
注2 保持加法和纯量乘积合称为保持线性运算, 可以统一起来, 用(3)来取代:
(3) 对任意?,??V和k1,k2?K，有?(k1??k2?)?k1?(?)?k2?(?).
线性映射有下面基本性质. 以下均设?:V?W是域K上向量空间V到W的线性映射. 性质1 ?(0)?0;
证明：因为?(0)??(0?0)??(0)??(0),故?(0)?0. 性质2 ?(??)???(?);
证明：?(??)??((?1)?)?(?1)?(?)???(?).
性质3 ?(k1?1?k2?2???kn?n)?k1?(?1)?k2?(?2)???kn?(?n).
n?2的情形即为上面注2，一般的n可以采用归纳法得到（略）. 性质4 按映射合成法则, 线性映射合成还是线性映射, 而且满足结合律. 证明：设?:V?W,???:W?U都是线性映射, 则??:V?U使得
??(k1??k2?)??(k1?(?)?k2?(?))?k1??(?)?k2??(?)
作为映射合成有结合律, 所以作为线性映射合成仍然有结合律.
例1 设V?F2, W?F3分别是数域F上的2维和3维向量空间. 令
?:V?W:(a,b)?(2a?b,a,2a?b)
则?是从V到W的线性映射.
证明：因为V中每一个向量(a,b)在对应法则?下唯一地对应到W中的一个向量
(2a?b,a,2a?b，所以)?是映射.
对于?(a,b),?(c,d)?V，?k?K，有
?((a,b)?(c,d))??(a?c,b?d)
?(2(a?c)?(b?d),a?c,2(a?c)?(b?d))
?(2a?b,a,2a?b)?(2c?d,c,2c?d)??(a,b)??(c,d)
?(k(a,b))??(ka,kb)?(2ka?kb,ka,2ka?kb)?k(2a?b,a,2a?b)?k?(a,b)
所以?是线性映射.
课堂练习：课后习题1.
观察上面的例子. V中有标准基?1?(1,0),??2?(0,1). 标准基在线性映射?下的象为：
??(?1)?(2,1,2),??(?2)?(1,0,?1). 考察V中的任意向量??(a,b)?a?1?b?2在?下的象为：
?(?)??(a,b)?(2a?b,a,2a?b)?a(2,1,2)?b(1,0,?1)?a?(?1)?b?(?2)
因此?是由?(?1)和?(?2)唯一确定.
从上可看出，
性质5 如果V是有限维的，则?完全由它作用于基上的像所决定. 即若dimV?n，设
S?{?1,?2,?,?n}为V的一个基，则?完全由?(?1),??(?2),??,??(?n)确定.
证明：对于V中任意向量?，?可唯一地表示为??k1?1???kn?n，于是，
?(?)??(k1?1???kn?n)?k1?(?1)???kn?(?n)
反过来，如果指定基向量的像，是否一定存在一个线性映射，恰好将基向量对应到这些像上？回答是肯定的.
性质6 设V和W是域K上的两个向量空间，dimV?n，S?{?1,?2,?,?n}为V的一个基，任意给定的?1,?2,?,?n?W（?i可以重复），则一定存在唯一的线性映射?:V?W，使得
?(?i)??i，i?1,2,?,n.
证明：由于S?{?1,?2,?,?n}为V的一个基，故对任意??V，都存在唯一一组
k1,k2,?,kn?K使得???ki?i，于是令
?????????????:V???????????????W
????????ki?i???????ki?i
则可验证，?:V?W是线性映射（是映射，且保持线性性质），且使得
?(?i)??i，i?1,2,?,n.
由于线性映射完全由它作用在基上的像所决定，从而唯一性是自然的.
注3：实际上，性质5和性质6对于V是无限维的情形也是成立的，课本将性质5和性质6合写为定理1. （自行看看，实在不理解可暂放一边，这里是改造过的定理1）
定理1 设V和W是域K上的两个向量空间. 如果S是V的基，则对S到TT是W的任意一个非空子集，的任意一个映射g:S?T都能唯一地扩充成为V到W的线性映射，即存在V到W的线性映射?:V?W使得
?(?)?g(?),?????S. 反之, 若?:V?W是V到W的线性映射，S是V的基，则?由它作用在S上的象完全确定，即只需知道?作用在S上的象就能知道?作用在每个向量上的象.
那么线性映射是否能保持线性相关性呢？
性质7 设?:V?W是域K上向量空间V到W的线性映射, V中向量组?1,?2,?,?n线性相关，则它们的象?(?1),??(?2),??,??(?n)（在W中）也线性相关. 反之不然.
举反例说明反之不然. 比如高维空间到低维空间的投射. 当然，一定条件下，反之也成立. 这个条件就是?:V?W为单射，而且是充分必要条件. 2. 线性映射的核与象
一个线性映射?:V?W, 如果又是单射, 称之为单线性映射. 如果又是满射, 称之为满线性映射. 特别地, 如果线性映射?:V?W是单射又是满射, 称之为同构(映射), 并称两个向量空间是同构的，记为V?W，需要强调线性映射?时, 可记?:V?W或V?W.
设?:V?W是线性映射, 记
Ker??{??V|?(?)?0}, 称之为?的核；
Im??{?(?)|??V}, 称之为?的象, 有时也记Im???(V).
注意，Ker??V，Im??W.
关于线性映射的核与象，有如下两个结论：
设?:V?W是线性映射，则Im?是W的子空间. 如果S是V的一个基，则
Im?????(?)?|?S??????S()?. 特别地, 如果?1,?2,?,?n是V的基, 则
Im?????(?1),?(?2),?,?(?n)?.
此外，?为满射?Im??W.
证明：因为0??(0)?Im?, 所以Im???. 又
?(?)??(?)??(???)?Im?, k?(?)??(k?)?Im?,
所以Im?是W的子空间. 任意??V, 存在有限个?1,?2,?,?n?S以及k1,k2,?,kn?K使得
???ki?i, 所以?(?)??ki?(?i)????(?)|??S??.
设?:V?W是线性映射, 则Ker?是V的子空间. 且以下等价：
?为单射. r?. 0
?将V的任意线性无关向量组对应到线性无关向量组.
?将V的基对应为W中的线性无关集.
(这一点是对无限维空间说的，因为有限维的情形包含在3°中)
证明： Ker?是V的子空间这一结论易证（直接按定义证明）.
1°：(?) 设?(?)??(?)，则?(???)?0，于是????Ker??0，即????0，亦?2°
(?) 设??Ker?，即?(?)?0??(0)，由?为单射可得，??0，故Ker??0.
1°：(?) 设?1,?2,?,?n是V的任意线性无关向量组，则?(?1),?(?2),?,?(?n)为 ?3°
?2???kn?n)?0，由于W中的向量组. 设k1?(?1)?k2?(?2)???kn?(?n)?0，则?(k1?1?k2
Ker??0，有k1?1?k2?2???kn?n?0，而?1,?2,?,?n线性无关，故k1?k2???kn?0，因此，
?(?1),?(?2),?,?(?n)线性无关.
(?) 设??Ker?，则?(?)?0，若??0，则?是V中线性无关向量组（只有单个向量），则?(?)是W中的线性无关组，这与?(?)?0矛盾，故??0，因此，
1°?4°：(?) 设S是V的一个基. 任取有限个向量?(?1),?(?2),?,?(?n)??(S)，其中
?1,?2,?,?n?S，类似上面做法，可得?(?1),?(?2),?,?(?n)线性无关，因此，?(S)是W中的线性无关集.
(?) 设??Ker?，由于S是V的一个基，故存在?1,?2,?,?m?S，以及
k1,?k2,??,?km?K使得??k1?1?k2?2???km?m，于是有
0??(?)?k1?(?1)?k2?(?2)???km?(?m)
但是?(S)是W中的线性无关集，?(?1),?(?2),?,?(?n)为?(S)中有限个向量，必线性无关，从而k1?k2???kn?0，于是，??k1?1?k2?2???km?m?0，因此，Ker??0.
设?:V?W是线性映射，dimV?n，则dim?Ker???dim?Im???n.
证明：由于核空间Ker??V，故设?1,?,?m是Ker?的基，于是?1,?,?m可扩充为V的一个基?1,?,?m,?1,?,?n?m（若Ker??0，则设?1,?,?n为V的一个基）. 于是，由命题1，
Im?????(?1),?,?(?m),?(?1),?,?(?n?m)??
???0,?,0,?(?1),?,?(?n?m)??????(?1),?,?(?n?m)?
下证?(?1),?,?(?n?m)线性无关：设k1?(?1)???kn?m?(?n?m)?0，则
?(k1?1???kn?m?n?m)?0
即k1?1???kn?m?n?m?Ker?，于是，k1?1???kn?m?n?m?l1?1???lm?m，即
l1?1???lm?m?(?k1)?1???(?kn?m)?n?m?0
而?1,?,?m,?1,?,?n?m是V的基，是线性无关的，故l1???lm?k1???kn?m?0. 因此，
?(?1),?,?(?n?m)线性无关. 故?(?1),?,?(?n?m)是Im??的基，即dim?Im???n?m. 所以，dim?Ker???dim??Im??n.
注4：这是一个有趣的结论，Ker?是V的子空间，Im??是W的子空间，但是它们的维数之和等于V的维数. 这就是课后习题第8题，也是课本的定理3，课本用了另一种证明方法.
今后常称dim?Ker?为线性映射?的零度，dim?Im??为线性映射?的秩. 由定理1可直接得到以下推论。
设V和W是域K上两个n有限维向量空间, ?:V?W是线性映射，则以下等价： 1°
?是同构映射.
?是单线性映射.
?是满线性映射.
3. 有限维向量空间同构定理
设V和W是域K上两个有限维向量空间, 则V?W当且仅当dimV?dimW. 证明：(?) 设?:V?W是同构映射. 如果S?{?1,?2,?,?n}是V的基, 由?为单射和命题2得，
?(S)?{?(?1),?(?2),?,?(?n)}是W中的线性无关集，而由?为满射和命题1得，
W?Im?????(?1),?(?2),?,?(?n)??，所以?(?1),?(?2),?,?(?n)是W的基. 因此，
dWi. m(?) 设?1,?2,?,?n是V的基, ?1,?2,?,?n是W的基, 由性质6，存在唯一的线
性映射?:V?W，使得?(?i)??i，i?1,2,?,n. ?将V的基?1,?2,?,?n对应为W的基，由命题1，?为单射；而W?????1,?2,?,?n??????(?1),?(?2),?,?(?n)???Im?，由命题2，?为满射. 所以，?:V?W为同构映射.
注5：设V和W是域K上两个无限维向量空间, 虽然dimV?dimW??, 但 V和W未必同构. (证明要用到集合论更多的知识, 略.) 另外, 有限维向量空间与无限维向量空间不可能同构.
域K上任意n维向量空间V?Kn.
那么，此推论中V和Kn之间的同构映射可以怎么找出呢？
设?1,?2,?,?n是V的一个基，对于任意??V，?可以唯一地表示为?1,?2,?,?n的线性组
???kn?n，称(k1,?,kn)是?在基合，即存在唯一的(k1,?,kn)?Kn，使得??k1?1?k?22
?1,?2,?,?n下的坐标或?关于基?1,?2,?,?n的坐标，并记为X??(k1,?,kn).
这样，在取定了V的基?1,?2,?,?n后，令
?:V?Kn:???X?
则可验证，此?就是从V到Kn的同构映射.
需要注意的是，坐标与基的关系是不可分割的，同一个向量在不同基下的坐标是不同的，基就如同坐标系. 4. 线性映射与矩阵
设?:V?W是域K上向量空间V到W的线性映射，dimV?n, dimW?m. 在向量空间V中取基?1,?2,?,?n，在向量空间W中取基?1,?2,?,?m. 这样，?(?1),?(?2),?,?(?n)在基
?1,?2,?,?m下的坐标分别为X?(?),?X?(?),??,?X?(?)?Kn，以这些坐标为列向量的矩阵为
A?(X?(?1)T,?X?(?2)T,??,?X?(?n)T)?Km?n，这样，若记
?(?1,?2,?,?n)?(?(?1),?(?2),?,?(?n))
则借助矩阵乘法的规则，有
?(?1,?2,?,?n)?(?(?1),?(?2),?,?(?n))?(?1,?2,?,?m)A
矩阵A称为线性映射?:V?W关于V的基?1,?2,?,?n和W的基?1,?2,?,?m的矩阵. 于是线性
三亿文库包含各类专业文献、生活休闲娱乐、专业论文、文学作品欣赏、幼儿教育、小学教育、外语学习资料、957.5 线性映射与向量空间的同构等内容。　
　线性空间的同构 的一.线性空间的同构(基本概念) 定 同构映射、同构映射的六个...1. 设 P n 为数域 P 上 n 维向量的全体构成的线性空间,证明: (1) ... 　型 新授课 教学过程 一 同构映射 设 V 为 n 维向量空间 ε1 , ε 2 ,...定义 11,设 V, V’用期为 P 上线性空间, δ是V→ V '的1 ? 1对应,... 　因此线性映射比同构映射更 广泛。线性空间 V 到 V 的线性映射也称为同态映射。 1 2 例1 将线性空间 V 中每一个向量映射成线性空间 V 中零向量的映射 1 2... 　因为维数就是空间中线性无关向量的最大个数, 所以由同构映射的性质可以 推知,同构的线性空间有相同的维数. 4. 如果 V1 是 V 的一个线性子空间,那么, V1... 　k? ? k ? . 5.证明:在实函数空间中, 1, cos2 t , cos 2t 是线性相关的. 『解题提示』只需要说明其中一个向量可以由其他向量线性表出即可. 证明 由于... 　『特别提醒』由此结论可知线性空间 V 上的可逆映射 A 是 V 到自身的同构. 6...,故 A 的属于特征值 1 的全部特征向量为 ?0? ? ? ?1 ? k1?1 ? k2?... 　r . [提示:对 r 作数学归纳法并且利用第 6 题的结果.] §6.3 向量的线性...: V → W 是向量空间 V 到 W 的一个同构映射,V1 是 V 的一个子空间.... 　() 5、若把同构的子空间算作一类, n 维向量空间的子空间能分 n ? 1 成...S ? T 2 4、证明复数域作为实数域上的线性空间与 R 同构,并给出同构映射... 　矩阵加法和数与向量的乘法是数域 R 上的线性空间....k∈ R. (例 7.5 P153) 两种运算的封闭性易见,...? xn ? 3.线性空间的同构(P157) 坐标的引入, ...君，已阅读到文档的结尾了呢~~
§2 线性映射的运算教学目的 通过教学,使学生基本掌握线性映射的运算及其基本性质,理解ENDV所成的代数.教学内容由已知线性映射导出新的线性映射,基本的方法是对其进行...
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