【高等数学习题】90高等数学习题集 有答案_牛宝宝文章网【高等数学习题】90高等数学习题集 有答案专题：请关注本站推荐微信公众号：快乐的节日You stupid cunt ! cunnilingus penis vagina高等数学练习题习题1-1 映射与函数1． 设f(x)是定义在对称区间(?l,l)上的任何函数。cunnilingus penis vagina⑴ 证明：φ(x)=f(x)+f(?x)是偶函数，ψ(x)=f(x)?f(?x)是奇函数；⑵ 证明定义在区间(?l,l)上任何函数可以表示为一个偶函数与一个奇函数的和。2． 设f(x)在数集X上有定义，试证：f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界。 3． 指出下列函数是否为复合函数，若是复合函数，分析它是由哪些函数复合而成的： ⑴ ecos5+x2；2)⑵ sinx；⑶ [f(x)]y(x)(f(x)&0)；4． 设f(x)=ex，f[φ(x)]=1?x，且φ(x)≥0，求φ(x)并写出它的定义域。?1，x&1?5． 设f(x)=?0，x=1，g(x)=e2，求f[g(x)]和g[f(x)]，并作这两个函数的图形。???1,x&16． 收音机每台售价为90元，成本为60元，厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，每多订购一台，售价就降低1分，但最低价为每台75元， ⑴ 将每台的实际售价P表示为订购量x的函数； ⑵ 将厂方所获的利润P表示程订购量x的函数； ⑶ 某一商行订购了1000台，厂方可获利润多少？n2+a2=1； ⑴ limn→∞nn→∞⑵ lim0.??9999=1； ??&????n→∞??n个n→∞2． 若limun=a，证明limun=a，并举例说明：如果数列xn有极限，数列{xn}未必有极限；3． 设数列{xn}有界，又limyn=0，证明：limxnyn=0；n→∞n→∞4． 对于数列{xn}，若x2k?1→a(k→∞)，x2k→a(k→∞)，证明xn→a(n→∞) 5． 证明limxn=a的充要条件为对任一ε&0，区间(a?ε,a+ε)外最多只有有限多项xnn→∞6． 利用第5题的结论证明定理4（收敛数列与子数列的关系）x2?4⑴ lim=?4；x→?2x+2⑵ limsinx=0；x→+∞x2． 当x→2时，y=x2→4，问δ等于多少，使当x?2&δ时，y?2&0.001。 3． 根据极限定义证明：limf(x)存在的充分必要条件是f(x)在x0处左极限、右极限各x→x0自存在并相等。4． 分别求f(x)=否存在？5． 证明：当x→+∞及x→?∞时，函数f(x)极限都存在且都等于A，则limf(x)=A。x→∞xx，φ(x)=，当x→0时左、右极限，并说明它们在x→0时极限是xx6． 设limf(x)=A，证明存在正数x，使得f(x)在(?∞,?x)∪(x,+∞)有界。x→∞You stupid cunt !习题1-4 无穷小与无穷大 cunnilingus penis vagina1． 两个无穷小的商是否一定无穷小？试举例说明可能出现的各种情况。12． 根据定义证明：当x→0时，y=xsin为无穷小。x1+2x为无穷大，并问x应满足什么条件，能使3． 根据定义证明：当x→0时，y=xy&104？4． 求下列极限并说明理由：2x+1； ⑴ limx→∞x1?x2⑵ lim；x→01?xn→∞5． 当x→x0时，f(x)是无穷大，是对任何收敛于x0点到{xn}都有limf(xn)=∞，而f(x)在x0的任一去心邻域是无界量，是指有一个收敛于x0的点到xn使limf(xn)=∞，所以无穷n→∞大是无界量，而无界量未必是无穷大。由此分析f(x)=无穷大。11sin当x→0时是一个无界量而非xx6． 函数y=xcosx在(?∞,+∞)内是否有界？这个函数是否为x→+∞时的无穷大？为什么？90高等数学习题集 有答案_高等数学习题You stupid cunt !习题1-5 极限运算法则 cunnilingus penis vagina1． 指出下列解法有悖于极限运算法则的，并给出正确的解法：n?112?1+2+&+n?1?+&+lim=0 ⑴ lim?limlim=+?2222n→∞n→∞n→∞n→∞nnnn??3?1⑵ lim??x→11?x1?x3?13?=∞?∞=0 ?lim?=limx→11?xx→11?x3?⑶ limn→∞(n+1)(n+2)(n+3)=∞=15n3∞2⑷ lim(x?1)cos112=lim(x?1)limcos=0x→1x→1x?1x→1x?12． 求下列极限arctanx； ⑴ limx→∞xn2sinn!⑵ lim；n→∞n+11+a+a2+&+an(a&1,b&1)； ⑵ limn→∞1+b+b2+&+bn1??1??⑷ lim?1+???2?2?；x→∞x??x??33． 求下列极限?111?⑴ lim?++&+； n→∞1?223nn1?+??x2?6x+8； ⑶ lim2x→4x?5x+44． 求下列极限 ⑴ limx→2x?2； x+2⑵ limx→1x?4?x；x?1⑶ limx→+∞x2+x?x2?x。)习题1-6 极限存在准则两个重要极限1． 计算下列极限 ⑴ limYou stupid cunt !cunnilingus penis vaginax（x为不等于零的常数）； 2nsinαx(β≠0)；x→0sinβxtan5x；x→0sin3x⑵ lim2nsinn→∞⑶ lim⑷ lim⑹ limx；x→0sinsinx1?cos2x；x→0xsinx⑸ lim+xcotx；x→0⑺ limsinx。x→ππ?x2． 计算下列极限kx?1?⑴ lim?1??（k正整数）；x→∞x???a?⑵ lim?1+?；x→∞x??n!=0。 n→∞nnbx3． 利用极限夹逼存在准则，证明：11??1⑴ limn?2+2+&+2?=1；n→∞++2+nπnπnnπ??⑵ lim4． 利用单调有界数列必有极限存在准则，证明：数列2、2+2、2+2+2…极限存在，并求出极限。You stupid cunt !习题1-7 无穷小的比较 cunnilingus penis vagina1． ⑴ 等价无穷小的替代求极限其优越性何在？⑵ 我们要熟记哪些在x→0时常见的等价无穷小？⑶ 将下列x→0时的无穷小按低阶到高阶次序排列起来： ① arcsinx；② (1+x122?1；③ cosx2?1；()④ tanx3；()2． 当x→0时，下列函数哪个是比x高阶的无穷小？哪个是x的同阶无穷小？哪个是x的等价无穷小？1⑴ α(x)=3x3+x2arctan； ⑵ β(x)=e3x+arcsinx?1； ⑶ γ(x)=31?3?x。x3． 证明无穷小等价关系具有下列性质：()⑴ α~α自反性； ⑵ 若α~β、β~γ，则α~γ（传递性）。4． 利用等价无穷小的替代性质，求下列极限：sin(xn)1?2?nm（、为正整数）； ⑵ ⑴ lim?xlim1cos??；x→∞x→0sinxmx??3x2?52⑶ limsin；x→∞5x+3x⑸ lim⑷ limtanx?sinx； 3x→0sinxx→03+x?1+sinx?12sinx?tanx；?π?⑹ limtan3xtan??x?；π?6?x→6?ax?+bx⑻ lim。x→0x1+cosπx⑺ lim；x→1x?12习题1-8 函数的连续性与间断点1． 单项选择填空题You stupid cunt !cunnilingus penis vagina⑴ f(x)在点x=x0处有定义是当x→x0时f(x)有极限的（ ）条件； ⑵ f(x)在点x=x0处有定义是f(x)在x=x0处连续的（ ）条件； A．必要； B．充分； C．充要； D．无关2． 问常数k取何值时，可使下列函数在分段点处连续？?1?xsinx,?⑴ f(x)=?k,?1?xsin+1,x?x&0x=0 x&00≤x&1?2x,⑵ f(x)=?。k3x,1x2?≤&?3． 研究下列函数的连续性，并画出函数的图形。?x,⑴ f(x)=??2?x,20≤x≤1；1&x≤2?x,?⑵ f(x)=?x?x,?x≤11&x≤3。x3+3x2?x?34． 求f(x)=连续区间，并求limf(x)，limf(x)，limf(x)。 2x→0x→?3x→2x+x?65． 下列函数在指出点处间断，说明这些间断点属于哪一类，如是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续：x2?1，x=1，x=2； ⑴ y=2x?3x+2⑵ y=xπ，x=kπ，x=kπ+，(k=0,±1,±2,&)；2tanx1?x2n6． 讨论f(x)=limx的连续性，若有间断点，判别类型，并指出f(x)是否为初等n→∞1+x2n函数？You stupid cunt !习题1-9 连续函数的运算与初等函数连续性 cunnilingus penis vagina1． 判断下列命题真伪，并说明理由：⑴ 若lim[f(x)+g(x)]及limf(x)都存在，则limg(x)也存在；x→ax→ax→a⑵ 若limf(x)?g(x)及limf(x)都存在，则limg(x)也存在。x→ax→ax→a2． 求下列极限： ⑴ lime；x→+∞1x⑵ limex→0?100x；⑶ lim?x→011(a&0)。3． 求下列极限 ⑴ limln(2cos2x)；x→π64． 求下列极限： ⑴ limlncosaxlncosbx；x→0x⑶ lim??x2+1??；x→∞??x2?2x??1+ax⑵ limsinx?sinax→x?a；⑶ xlim→+∞[cosln(1+x)?coslnx]。⑵ limx→0(1+3tan2x)cos2x；⑷ limax?abx→bx?b(a&0)。90高等数学习题集 有答案_高等数学习题习题1-10 闭区间上连续函数的性质You stupid cunt ! cunnilingus penis vagina1． 证明方程x5?3x=1至少有一个根介于1和2之间。2． 证明方程x=asinx+b，其中a&0，b&0，至少有一个正根，并且它不超过a+b。 3． 设函数f(x)对于闭区间[a,b]上的任意两点x、y恒有f(x)?(y)≤lx?y，其中l为正常数，且f(a)?f(b)&0，证明：至少有一点ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0。c∈[0,1]，4． 设f(x)在[0,1]上连续，且0≤f(x)≤1，试证：至少存在一点c，使f(c)=c。 5． 设α1、α2、α3皆正，a&b&c时，证明下列方程有且仅有两个不同的实根：α1x?a+α2x?b+α3x?c=0。6． 设f(x)在(a,b)上连续，且a&c&d&b，t1、t2为已知正常数，证明在[c,d]内至少有一点ξ，使得t1f(c)+t2f(d)=(t1+t2)f(ξ)成立。You stupid cunt !总习题一 函数与极限 cunnilingus penis vagina1． 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格中：⑴ 数列{xn}有界是数列{xn}收敛的 条件，数列{xn}收敛是数列{xn}条件； ⑵ f(x)在x0的某一去心邻域内有界是limf(x)存在的 条件，limf(x)存在是f(x)在x→x0x→x0x0的某一去心邻域内有界的 ⑶ f(x)在x0的某一去心邻域内无界是limf(x)=∞limf(x)=∞是f(x)在x0x→x0x→x0的某一去心邻域内无界的 条件；⑷ f(x)当x→x0时的右极限fx0及左极限fx0都存在且相等是limf(x)条+?x→x0()()件；2． 设函数f(x)与g(x)在点x0连续，证明：函数φ(x)=max{f(x),g(x)}，ψ(x)=min{f(x),g(x)}连续。3． 求下列极限21??⑴ lim?sin+cos?；x→∞xx??x?a+b+c⑵ lim?x→0?3?xxx????1x(a,b,c&0)；xx?1⑶ lim。x→1xlnx?x1??14． f(x)=?e,??ln(1+x),x&0，求f(x)间断点，并说明间断点类型。?1&x≤0?111??=1。 +++&5． 证明：lim??222n→∞?n+2n+n??n+16． 确定下列式子中常数a与b的值：x2+ax+b⑴ lim=1；x→11?x⑵ limx→+∞x?x+1?ax?b)=02习题2-1 导数概念1． 用导数公式求下列函数的导数 ⑴ y=x1.6；⑵ y=cunnilingus penis vagina1x。2． 在抛物线y=x2上取横坐标为x1=1及x3=3的两点，作过这两点的割线，问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？3． 按照导数定义观察下列极限，假定f′(x)存在，指出下列各题中A表示什么？ ⑴ lim⑵ limx→0?x→0f(x0??x)?f(x0)=A；?xf(x)=A，其中f(0)=0，且f′(0)存在； x⑶ limh→0f(x0+h)?f(x0?h)=A；hx(f′(x0)≠0)=A；fx0?2x?fx0?x⑷ limx→04． 函数在一点连续的三个要素是什么？函数在一点可导的充要条件是什么？由此考虑：⑴ y=sinx在x=0处连续性与可导性；?x2,x≤1()fx=⑵ ，在x=1处连续且可导，a、b应取什么值？ ?axb,x1+&?5． 如果f(x)为偶函数，且f′(0)存在，证明f′(0)=0。6． 证明：双曲线xy=a2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a2。 7． 设f(x)在x=2处连续，且limx→2f(x)=3，求f′(2)。x?2习题2-2 函数的求导法则1． 求下列函数的导数：cunnilingus penis vaginaex⑴ y=2?ln3；x⑵ y=⑷ s=lnx； x1+sint。1+cost⑶ y=x2cosxlnx；2． 求y=x2+ax与y=x2+bx(b&a&0)的公切线方程。 3． 求下列函数的导数： ⑴ y=ln(secx+tanx)； ⑶ y=sinnxcosnx；⑵ y=earctanx；⑷ y=x+x。4． 设f(u)可导，求y=fsin2x+fcos2x的导数()()dy。 dx习题2-3 高阶导数1． 求下列函数的二阶导数： ⑴ y=xex； ⑵ y=lnx++x2；2cunnilingus penis vagina()??x??⑶ y=sin?f???，其中f(u)具有二阶导数。??a??2． 试从dx1=导出： dyyd2xy′′⑴ 2=?； 3d2x3(y′′)?y′y′′′⑵ 2= 5dy2dyy′y′3． 求下列函数的n阶导数的一般表达式： ⑴ y=xlnx；⑵ y=sin4x+cos4x；4． y=x2sin2x，求y(50)。⑶ y=x+3x2?5x+6。90高等数学习题集 有答案_高等数学习题You stupid cunt !习题2-4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 cunnilingus penis vagina1． ⑴ 试比较显函数、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数的表达式一般地各有什么特点？⑵ 指出下列运算有哪些错误：′φ′(t)d2y?ψ′(t)?ψ′′(t)φ′(t)?ψ′(t)φ′′(t)dy?x=φ(t)，y=ψ(t)，则=?，； =??=2′dxψ′td2x?φt′φt??2． 对数求导法适用于幂指函数的求导，并且它有助于那些仅含乘、除、乘方、开方运算的函数最简便地求导，试求下列函数的导数： ⑴ y=1+x(2sinx)；⑵ y=x+23?x)x+154(a&0)。3． 设sin(xy)=ln23x+1+1，求y′(0)。 y2323?24． 求曲线x+y=a在点??4a,?2?处切线方程和法线方程。 a?4??dy： dx5． 求下列方程所确定的隐函数y的导数⑴ xy=yx；⑵ y2+2lny=xx。d2yy226． 求arctan=lnx+y方程所确定的隐函数y的二阶导数2。xdxd2y7． 求下列参数方程所确定的函数的二阶导数2：dx?t??x=3e⑴ ?； t??y=2e?x=f′(t)，设f′′(t)存在且不为零。 ⑵ ?′()()=?ytftft?8． 溶液自深18cm顶直径12cm的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形筒中，开始时漏斗中盛满了溶液，已知当溶液在漏斗中深为12cm时，其表面下降的速率为1cm/min，问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？1． 单项选择题：cunnilingus penis vagina⑴ f(x)在点x0处可导是f(x)在点x0处连续的（ ）； ⑵ f(x)在点x0处连续是f(x)在点x0处可导的（ ）； ⑶ f(x)在点x0处可导是f(x)在点x0处可微的（ ）； A．必要条件； C．充要条件；B．充分条件； D．无关条件2． 设函数y=f(x)图形如图，试在图(a)(b)(c)(d)分别标出在点x0的dy、?y及?y?dy，并说其正负。3． 求下列函数的微分： ⑴ y=arcsin?x2； ⑶ y=x+xx；⑵ y=tan21+2x2；??1??⑷ y=f?φ4???，其中f、φ均可微。??x??()4． 将适当的函数填入下列括号内，使等式成立： ⑴ d(⑶ d(⑸ d(⑺ d()=2dx； )=costdt；)=⑵ d(⑷ d(⑹ d(⑻ d()=3xdx； )=sinwxdx；)=e?2xdx； )=sec23xdx。x=x01dx； 1+x)=1xdx；1，试问?x→0，则dy2无穷小？比?x高阶无穷小还是低阶无穷小？5． 若f(x)在x0可导，且f′(x0)=与?x等价无穷小？或同阶6． 设y2f(x)+xf(y)=x2，其中f(x)为可微函数，求dy。1． 试按导数定义求极限：cunnilingus penis vaginaxx?aa⑴ lim；x→ax?a2． 是非题：ax?xa⑵ lim。x→ax?a⑴ 若f(x)在x0处可导，g(x)在x0处不可导，则f(x)+g(x)在x0处必不可导； ⑵ 若f(x)在x0处不可导，g(x)在x0处不可导，则f(x)+g(x)在x0处也不可导； ⑶ 若f(x)在x0处不可导，g(x)在x0处不可导，则f(x)g(x)在x0处亦不可导；′′3． 求下列函数的f?(x0)、f+(x0)及f′(x0)： ?x,x≠0,x0=01?⑴ f(x)=?1+ex?x=0?0,4． 求下列函数的导数： ⑴ y=arcsin(sinx)；⑵ y=lnex++e2x。 ⑵ f(x)=2a?x，x0=a。()5． 设函数y=y(x)由方程ey+xy=e所确定，求y′′(0)。3d2y?dy?x=acosθ6． 求下列由参数方程所确定的函数的及2，?。 3dxdx??y=asinθ2?dydy?x=t?2t?37． 设φ(x)是由方程组?y所确定的函数，求及dxdx??esint?y+1=0t=0。8． 设以10m3/s的速率将气体注入球形气球内，当气球半径为4m时，气球表面积的变化速率为多少？9． 设对任意正数x1、x2有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，且f′(1)=1，试证：当x&0时，f′(x)=1。 x习题3-1 微分中值定理1． 不用求出函数f(x)=(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)的导数，说明方程f′(x)=0有几个实根，并指出它们所在的区间。2． 若函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数，且f(x1)=f(x2)=f(x3)，其中cunnilingus penis vaginaa&x1&x2&x3&b，证明：在(x1,x3)内至少有一点ξ，使得f′′(ξ)=0。3． 设a&b&0，证明：a?baa?b。 &ln&abb4． 证明方程x5+x?1=0只有一个正根。5． 设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，证明在(a,b)内有一点ξ，使f(a)f(b)f(a)f′(ξ)=(b?a)。′g(a)g(b)g(a)g(ξ)6． 设函数y=f(x)在x=0的某邻域内具有n阶导数，且f(0)=f′(0)=&=f(n?1)(0)=0，f(x)f(n)(θx)(0&θ&1)。 试用柯西中值定理证明：n=n!xη∈(a,b)，在(a,b)可导，且f′(x)≠0，求证：存在ξ，7． 设f(x)在[a,b]上连续(a&0)，使f′(ξ)=a+bf′(η)。 2η习题3-2 洛必达法则1． 利用洛必达法则求下列极限：?1?ln?1+?x?⑴ lim?；x→+∞arccotxcunnilingus penis vagina1x⑵ limx→0(1+x)x?e；⑶ limπx→2tanx； tan3x⑷ limln(x?a)； x→a+0lnex?ea⑸ limlnx?ln(x?1)；x→1+0⑹ lim(a2?x2)tanx→aπx2a；1??1⑺ lim?? ?； x→0xsinx??1??x⑻ lim???； x→1x?1lnx??⑼ lim(1?x)x→1?0cosx2π；2sinx?ux+u22x+&+unnx?⑽ lim?1?x→0n??，ui为n个已知正常数，n≥2。x2sin2． 验证极限limx→0sinx1x存在，但不能用洛必达法则得出。1?1x??(1+x)x??,x&0??3． 讨论f(x)=??e?，在点x=0处的连续性。?????12x≤0?e,?pax+qab,?4． 设f(x)=?x?b?ablna,?续。5． 设函数x≠bx=b(a&0,a≠1)，试确定常数p与q，使f(x)在x=b处连f(x)在点x0处有连续的二阶导数，证明：limh→0f(x0+h)+f(x0?h)?2f(x0)?f′′(x0)。 2h90高等数学习题集 有答案_高等数学习题习题3-3 泰勒公式1． 将多项式p(x)=x6?2x2?x+3分别按(x?1)的乘幂及(x+1)的乘幂展开，由此说明cunnilingus penis vaginap(x)在[?∞,?1]及[1,+∞]上无实零点。 2． 求函数f(x)=1按(x+1)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式。 x3． 求函数f(x)=xex的带有佩亚诺型余项的n阶麦克劳林级数。 4． 应用3阶泰勒公式求的近似值，并估计误差。 5． 利用泰勒公式求limx→0cosx?e。 2xx+ln1?x?x226． 试确定常数a和b，使f(x)=x?(a+bcosx)sinx为当x→0时关于x的5阶无穷小。 7． 设函数f(x)在(a,b)内有二阶导数，且f′′(x)&0，证明：对于(a,b)内任意两点x1、x2恒有x+x2?1[f(x1)+f(x2)]&f??1?。 22??1． 确定下列函数的单调区间8⑴ y=2x+(x&0)； ⑵ ψ=lnx++x2。x2． 证明下列不等式：cunnilingus penis vagina)(⑴ 当x&4时，2x&x2；⑵ 设a&0，b&0，0&c&1，证明(a+b)≥2c?1(ac+bc)；c?f(x),x≠0?3． 设函数f(x)二次可微，且f′′(x)&0，f(0)=0，证明：函数F(x)=?x，??f′(0),x=0单调增加的函数。4． 讨论方程lnx=ax（其中a&0）有几个实根？5． 求函数y=lnx2+1图形的拐点及凹或凸的区间。6． 试决定曲线y=ax3+bx2+cx+d中的a、b、c、d，使得x=?2处曲线有水平切线，()(1,?10)为拐点，且点(?2,44)在曲线上。7． 设y=f(x)在x=x0的某领域内具有三阶连续导数，如果f′′(x0)=0，f′′′(x0)≠0，试问(x0,f(x0))是否为拐点？为什么？1． 求下列函数的极值： ⑴ y=x；1xcunnilingus penis vagina13⑵ y=3?2(x+1)。1π2． 试问a为何值时，函数f(x)=asinx+sin3x在x=处取得极值？它室极大值还是33极小值？并求此极值。3． 一房产公司有50套公寓要出租，当月租金定为1000元时，公寓会全部租出去；当月租金每增加50元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元的维修费，试问房租定为多少可获得最大收入？4． 试证：当x≤2时，3x?x3≤2。 5． 求数列n最大项。习题3-6 描绘函数的图形1． 求曲线的渐近线：1⑴ y=xsin；xcunnilingus penis vagina⑶ y=ex⑵ y=2；x?13x2?4x+5x+32。2． 描绘下列函数的图形 ⑴ y=x2+1； x⑵ y=3xx+12?2。3． 有四次多项式y=f(x)，图形与x轴相交两次，在x=a和x=0(a&0)时，f(x)有极大值，f(0)=?1，试问：⑴ f(x)=0有几个负根？ ⑵ f′(x)的常数项是多少？⑶ y=f′(x)的图形与x轴相交几次？⑷ 在x&0范围内，y=f(x)与y=f′(x)图形相交几次？（要求列表格，给草图与答案）习题3-7 曲率1． 求椭圆4x2+y2=4在点(0,2)处曲率。cunnilingus penis vagina2． 对数曲线y=lnx上哪一点的曲率半径最小？求出该点处的曲率园半径。?x=a(t?sint)(a&0)，t∈(0,2π)，问t为何值时曲率最小，并求最小曲率3． 求摆线??y=a(1?cost)和该点处曲率半径。4． 若抛物线y=ax2+bx+c在点x=0处与曲线y=ex相切且有相同的曲率半径，试确定系数a、b、c。x25． 一飞机沿抛物线路径y=（y轴铅直向上，单位为m）作俯冲飞行，在坐标原10000点O处飞机的速度为v=200m/s，飞行员体重G=70kg，求飞机俯冲至最低点即原点O处时座椅对飞行员的反力。6． 汽车连同载重共5t，在抛物线拱桥上行驶，速度为21.6km/h，桥的跨度为10m，拱的天高为0.25m，求汽车越过桥顶时对桥的压力。90高等数学习题集 有答案_高等数学习题总习题三 导数的应用1． 是非题：⑴ 若f(x)&g(x)，则f′(x)≥g′(x)；cunnilingus penis vagina⑵ 若f′(x)&g′(x)，则存在x0，当x&x0有f(x)&g(x)；2． 单项选择题：⑴ 设f(x)处处可导，则（ ）A．当limf(x)=?∞，必limf′(x)=?∞；x→?∞x→?∞B．当limf′(x)=?∞，必limf(x)=?∞；x→?∞x→?∞C．当limf(x)=+∞，必limf′(x)=+∞；x→+∞x→+∞D．当limf′(x)=+∞，必limf(x)=+∞；x→+∞x→+∞⑵ 设在[0,1]上f′′(x)&0，则f′(0)，f′(1)，f(1)?f(0)或f(0)?f(1)，几个数的大小顺序为（ ）A．f′(1)&f′(0)&f(1)?f(0)； B．f′(1)&f(1)?f(0)&f′(0)； C．f(1)?f(0)&f′(1)&f′(0)； D．f′(1)&f(0)?f(1)&f′(0)。3． 设limf′(x)=k，求lim[f(x+a)?f(x)]。x→∞x→∞4． 设a0+aa1+&+n=0，证明多项式f(x)=a0+a1x+&+anxn在(0,1)内至少有一2n+1个零点。5． 求下列极限：?11???； ⑴ lim??x→0?ln?1+xx?x?xx⑵ lim；x→11?x+lnxnx11??1??⑶ lim??a1x+a2x+&+anx?/n?，其中(a1,a2,&,an&0)。x→∞????f(x)??36． 设函数f(x)在x=0第一邻域有三阶导数，且lim?1+x+?=e，试求f(0)，x→0x??1xf(x)??f′(0)，f′′(0)及lim?1+?。x→0x??7． 证明：当0&x1&x2&1xcunnilingus penis vaginaπ2时，tanx2x2&。 tanx1x18． 设f(x)有二阶连续导数，且f′(0)=0，limf′′(x)=1，则f(0)是f(x)极大值？极小值？拐点为(0,f(0))。9． 设f(x)=nx(1?x)n（n正整数），试证：x→0xmaxf(x)10≤x≤1&e习题4-1 不定积分的概念与性质 cunnilingus penis vagina1． 下列各题中哪些函数是同一函数的原函数1⑴ e2x、exshx、exchx；2⑵ lnx、ln2x、lnx、lnx+c。?x2,x≥0??22． 验证F(x)=?2是f(x)=x的原函数，并回答初等函数在其定义区间是否一??x,x&0??2定有原函数？若有，其原函数是否仍是初等函数。1?2?xsin,3． 验证F(x)=?x??0,x≠011??2xsin?cos,是f(x)=?xx?x=0?0,x≠0x=0的原函数，并回答若f(x)在区间Ⅰ上有原函数，f(x)一定连续吗？4． 一曲线通过e2,3，且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程。5．求下列不定积分 ⑴()∫1???xxdx； 1?2?x??⑵∫?32???1+x2?x2???dx； ??⑶∫2?3x?5?2xdx； x3?x⑷∫∫3x4+3x2+1dx； 2x+1dx。 22cosxsinx⑸∫?2xex(x+1)?e?e?dx； 2x??⑹1． ∫tan+x2xdx+x2；3． ∫lntanxcosxsinxdx；5． ∫arctanxx1+xdx；7． ∫ln(x+1)?lnxxx+1；9． ∫1?x9?4x2dx；2． ∫lnx++x21+x2dx；4． ∫1+lnxxlnx2dx； 6． ∫2x?3x9x?4xdx； 8． ∫dx9x2；?6x?110．∫xdx4x2+4x+5；1． ∫x2a2?x2dx； 3． ∫x2?9xdx；5． ∫dx；x+?x27． ∫+exdx；2． ∫dxx2+13；4． ∫dxxx2；（用多种换元形式）?16． ∫xx?3xdx； 8． ∫dxx2x2。?2x?190高等数学习题集 有答案_高等数学习题习题4-3 分部积分法 求下列不定积分 1． ∫xtan2xdx；You stupid cunt ! cunnilingus penis vaginalnxdx； 1?x222． ∫3． ∫lnx++x2dx；x5． ∫e?2xsindx；2()4． ∫(arcsinx)dx； 6． ∫coslnxdx； 8． ∫xarctanx7． ∫xexdx；dx；+ex9． ∫e?2x(tanx?1)2dx。 10．设f(x)的原函数为sinxx，求∫xf′(x)dx；+x2You stupid cunt ! 习题4-4 有理函数的积分 求下列不定积分1． ∫x2+1x+12x?1dx； 3． ∫dxx4+1；5． ∫dxsinx1+cosx；7． ∫1?x1+x?dxx；cunnilingus penis vagina2． ∫dxx2+1x2+x+1； 4． ∫dx3+sin2x；6． ∫53sinx?4cosxdx；8． ∫dxx+12x?14；总习题四cunnilingus penis vagina1．求下列不定积分 ⑴∫x+sinxxcos3x?sinx1+cosxdx；⑵∫esinxcos2xdx；⑶∫xex⑷lnxex+12dx； ∫(dx；1+x2323⑸ ∫xarccosx ⑹∫dx?x2dx； sin3xcosx； ⑺∫sinxcosxsinx+cosx。?2． 设f(x)=?x+1,x≥0?()，求f(x)的原函数； ?1?2e?x+1,x&03． 已知f′(tanx+1)=cos2x+sec2x，且f(1)=4，求f(x)；F(x)为f(x)的一个原函数，且当x≥0时，有f(x)F(x)=xex4．设21+x2，已知F(x)&0，求f(x)。F(0)=1，习题5-1 定积分的概念和性质1． 用定义计算积分∫exdx；01cunnilingus penis vagina2． 利用定积分的几何意义写出下列积分的值 ⑴ ∫π0cosxdx；⑵ ∫202x?x2dx。3． 估计下列各积分的值 ⑴ ∫e20x2?xπdx；⑵ ∫π24sinxdx。 xba4． 证明：⑴ 若f(x)在[a,b]连续，且f(x)≥0，f(x)≠0，则∫⑵ 若f(x)在[a,b]连续，f(x)≥0，且∫baf(x)dx&0；f(x)dx&0，则f(x)≡0；ba⑶ 若f(x)，g(x)在[a,b]连续，且f(x)≤g(x)，f(x)≠g(x)，则∫5． 比较下列积分值的大小： ⑴ ∫edx与∫01f(x)dx&∫bag(x)dx。x10(1+x)dx；π2π⑵ ∫20sin(sinx)dx与∫cos(sinx)dx。习题5-2 微积分基本公式1． 计算下列导数dx3⑴ ∫2dxxdt+t24cunnilingus penis vagina?0eu2du?dt。 ???∫t?；y?x20d⑵ 2dxdy。 dx∫x02． 设x+y=∫cos2tdt，求3． 当x为何值时，I(x)=4． 求下列极限：xt2?e?∫0dt????； ⑴ limxx→02t2tedt∫2∫x0te?tdt有极值？2∫⑵ lim∫x→0+tanx0sinx0tdttantdt。5． 计算下列定积分 ⑴ ∫20?x+1,x≤1?； f(x)dx，其中f(x)=?x2x&1?,?2π⑵ ∫20sinx?cosxdx。?1?sinx,0≤x≤π6． 设f(x)=?2，求?x&0或x&π?0,Φ(x)=∫x0f(t)dt在(?∞,+∞)内的表达式，并回答Φ(x)的连续性与可导性。x1f(t)dt，证明在∫ax?a7． 设f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，且f′(x)≤0，F(x)=(a,b)内，有F′(x)≤0。90高等数学习题集 有答案_高等数学习题习题5-3（1） 定积分的换元法1． 计算下列积分 ⑴ ∫e21cunnilingus penis vagina3dx；x+lnx⑵ ∫dxx21+x2；⑶ ∫1?1xdx； 5?4x?1,x≥0?2?1+x⑷ f(x)=?，求∫f(x?1)dx。?1,x&0??1+exπ2． 利用函数奇偶性计算下列积分：π⑴ ∫2?π2cosx?cosxdx；3⑵ ∫2xx+cosx1+sin2xa+lax0?π2dx。3． 设f(x)是以l为周期的连续函数，证明∫f(x)dx的值与a无关。 f(t)dt是偶函数；4． ⑴设f(t)是连续函数，且为奇函数，证明∫⑵ 设f(t)是连续函数，且为偶函数，证明∫5． 证明：∫πx0f(t)dt是奇函数；ππsinnxdx=2∫2sinnxdx；∫n为奇数?0,?； cosnxdx=?πn2?2∫0cosxdx,n为偶数?∫2π0sinnxdx=∫2π0n是奇数?0,?cosnxdx=?πn2?4∫0sinxdx,n是偶数?习题5-3（2） 定积分的分部积分法1．计算下列积分πcunnilingus penis vagina10⑴∫π∫134exdx； 2sinxsin(lnx)dx；⑵∫xarctanxdx；⑶ ⑷∫e1elnxdx；π⑸∫4?π4xdx；1+sinx⑹ Jm=∫π。 xsinmxdx（m为自然数）2． 设f(x)=∫x211sintdt，求∫xf(x)dx；0t3． 设f(x)在[a,b]上导函数连续，证明：limλ→+∞∫baf(x)cosλxdx=0。You stupid cunt !习题5-4 反常积分 cunnilingus penis vagina1．判定下列反常积分的收敛性，如果收敛，计算反常积分的值⑴ ⑶∫∫∫+∞?∞+∞02xdx； 21+xe?pt⑵ ⑷∫+∞1arctanxdx； 2xsinωt(p&0,ω&0)；∫21xdx； x?1⑸2dx；⑹∫1x+xdx。 1xx2?11?x2． 利用逆推公式计算反常积分I+∞n=∫0xne?xdx。3． 设反常积分I=∫+∞dx2xlnxk，问k为何值时，I发散，I收敛，I取得最小值。总习题五1． f(x)连续，求lim2． 求xxf(t)dt；x→ax?a∫acunnilingus penis vaginadx2()sinx?tdt； ∫0dx3． 计算下列积分a0⑴ ∫dxx+a2?x2；⑵ ∫2π0dx。2tcosx2??x+1,4． 设f(x)=?x??e?1,x?1≤x&00≤x&1，求F(x)=∫f(t)dt的表达式，并讨论F(x)的连续，可导性。?15． 试确定常数c的值，使∫+∞?1c??dx收敛，并求积分值。 ????2?x+4x+2?x06． 设f(x)为连续函数，证明：∫f(t)(x?t)dt=∫xax0t??∫0f(u)dt??dt。 ??xb7． 设f(x)在[a,b]连续，且f(x)&0，F(x)=∫⑴ F′(x)≥2；f(t)dt+∫dt，x∈[a,b]，证明： ft⑵ 方程F(x)=0在(a,b)内有且仅有一个根。8． 设f(x)在[a,b]上可积，F(x)=∫xaf(t)dt，x∈(a,b)，若f(x)在x0∈(a,b)连续，则F(x)在x=x0处可导，且F′(x0)=f(x0)。习题6-2 定积分在几何学上的应用cunnilingus penis vagina?p?1． 求抛物线y2=2px及其在点?,p?处法线所围成图形的面积。?2?x3(a&0)和它的渐近线之间的面积。 2． 求曲线y=2a?x23． 求由曲线ρ=3cosθ和曲线ρ=1+cosθ围成图形的公共部分的面积。x2y24． 以椭圆2+2≤1为底的柱体，被一个通过短轴且与底面成α角的平面所截，求截ab得部分的体积。5． 把星形线x+y=a所围成图形绕x轴旋转，计算所得旋转体的体积。6． 求由摆线x=a(t?sint)，y=a(1?cost)的一拱及y=0围成图形绕直线y=2a旋转所产生旋转体的体积。7． 计算由曲线y=sinx(0≤x≤π)和x轴所围成图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积。8． 计算 方抛物线y2=2(x?1)3被抛物线y2=x截得的一段弧的长度。 3323232390高等数学习题集 有答案_高等数学习题习题6-3 定积分在物理学上的应用cunnilingus penis vagina1x+11． 一金属棒长3m，离棒左端xm处的线密度为ρ(x)=(kg/m)，问x为何值时，[0,x]一段的质量为全棒质量的一半。2． 用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在击第一次时，将铁钉击入木板1cm，如果铁锤每次打击铁钉所作的功相等，问锤击第二次时，铁钉又击入多少？3． 一球形储液罐，半径为10m，盛有比重为8KN/m3的某种液体，液面距离罐顶出口4m，现将罐中全部液体从顶部出口抽出，需作功多少？ 4． 半径为r的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取出，需作功多少？5． 一块等腰梯形的板，上底为4米，下底为10米，高10米，将它垂直放在水中，设下底沉浸于水面下20米处，求水对该板的压力。6． 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体，尺寸如图，当水箱装满水时，计算水箱一个端面所受的压力。7． 设有一长度为l，线密度为μ的均匀细直棒，在与棒的一端垂直距离为a单位处有一质量为m的质点M，试求这细棒对质点M的引力。总习题六1． 求由曲线ρ=asinθ，ρ=a(cosθ+sinθ)(a&0)所围图形公共部分的面积。cunnilingus penis vagina2． 有一立体，以抛物线y2=2x与直线x=2所围成的图形为底，而垂直于抛物线对称轴的截面都是等边三角形，求该立体的体积。3． 设平面图形由x2+y2≤2x与y≥x所确定，求图形绕直线x=2旋转一周所得旋转体的体积。D1是由y=2x2及x=a，D2是由y=2x2，x=2，4． 设0&a&2，y=0围成的平面区域，y=0，x=a围成的平面区域，V1是D1绕5． 由y≥x2，y≤4x2及y≤H(H&0)所确定的平面图形绕y轴旋转而成的容器内盛有高为H的水，问把水全部抽出需作多少功？ 26． 设星形线x=acos3t，y=asin3t上每一点处的线密度的大小等于该点到原点距离的立方，在原点O处有一单位质点，求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力。习题7-1 向量及其线性运算1． 点(a,b,c)关于xOy平面，yOz平面，zOx平面，x轴、y轴、z轴，原点的对称点cunnilingus penis vagina坐标依次为 、 、 、 、 、 。2． 点(a,b,c)到xOy平面，yOz平面，zOx平面，x轴、y轴、z轴，原点的距离依次为 、 、 、 、 、 。3． 设两点M14,(2,1，M2(3,0,2)，计算向量M1M2的模，方向余弦，方向角。)4． 设向量的方向余弦分别满足⑴cosα，⑵cosβ=1，⑶cosα=cosβ=0，问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？ 5． 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形。KKKKKKKKK6． 设a、b、c均为非零向量，其中任意两向量不共线，但a+b与c共线，b+c与a共KKKK线，试证：a+b+c=0。KKKKK7． 已知a=(7,?4,?4)，b=(?2,?1,2)，向量c在向量a与b的角平分线上，且KKc=342，求c的坐标。KKKKK8． 设向量x与j成60°角，与k成120°角，且x=52，求x。习题7-2 数量积、向量积、混合积KK1． α1=(1,2,?3)，α2=(2,?3,a)，α3=(?2,a,6)，You stupid cunt ! cunnilingus penis vaginaKKK若α1⊥α2，则a； KK若α1//α2，则a= ； KKK若α1、α2、α3共面，则a= 。2． 已知M1、M2、M3，求与M1M2，M2M3同时垂直的单位向量。KKKKKKK3． 已知a、b、c均为单位向量，且a+b+c=0，求： KKKKKK⑴ a?b+b?c+c?a；KK⑵ 求以a、b为邻边的三角形面积。KKKKKKKKKKKKK4． 已知a=3，b=4，c=5，且a+b+c=0，求a×b+b×c+c×a。5． 利用向量证明不等式a1+&+an22b1+&+bn≥a1b1+&+anbn。22KKKKKKKK?K∧K?π6． 设A=2a+b，B=λa+b，其中a=1，b=2，且?a,b?=，问λ为何值时：??3GG⑴ A⊥B；GG⑵ 如A、B为邻边的平行四边形面积为33。KL7． 设a=(4,?3,2)，轴u与三坐标轴构成相等锐角，求：⑴ a在轴u上的投影；L⑵ a与轴u的夹角；8． 利用向量证明直径所对的圆周角是直角。习题7-3 曲面及其方程 习题7-4 空间曲线及其方程You stupid cunt ! cunnilingus penis vagina1． 将xOy坐标面上的双曲线4x2?9y2=36分别绕x轴及y轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。 2． 画出下列各方程表示的曲面：x2y2+=1； ⑴ ?49x2z2⑵ +=1；94⑶ z=2?x2。3． 画出下列方程所表示的曲面： ⑴ 4x+y?z=4；222⑵ x?y?4z=4；222zx2y2。 ⑶ =+3494． 将曲线h改写成母线平行于坐标的柱面的交线。5． 求旋转抛物面z=x2+y2被z=1和z=4截得的部分在三坐标面上投影。?x2+y2+z2=96． 将曲线?化成参数方程。?y=x?x=acosθ?7． 求螺旋线?y=asinθ在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程。?z=bθ??x=a8． 曲面上任一点到直线?和平面xOy的距离相等，求此曲面方程。y=0?90高等数学习题集 有答案_高等数学习题习题7-5 平面及其方程1． 分别按下列条件求平面方程cunnilingus penis vagina⑴ 平行于x轴且经过两点(4,0,?2)和(5,1,7)；⑵ 垂直于两平面x?y+z?1=0，2x+y+z+1=0，且通过点(1,?1,1)； ⑶ 通过z轴，且与平面2x+y?z?7=0的夹角为π； 3K⑷ 平行于向量a=(2,1,?1)，且在x轴，y轴上的截距依次为3和-2； ⑸ 与球面x2+y2+z2?2x+6z+6=0相切于点2,(2,?4。)2． 推导两平行平面Ax+By+Cz+Di=0，i=1,2之间的距离公式。并求将两平行平面x?2y+z?2=0与x?2y+z?6=0之间距离分成1:3的平面方程。3． 证明过不在一直线上三点(xi,yi,zi)，i=1,2,3的平面方程为x?x1x2?xx3?x1程。y?y1y2?y1y3?y1z?z1z2?z1=0，并写出过(1,1,?1)，(?2,?2,2)，(1,?1,2)三点的平面方z3?z14． 在y轴上求一点，使它与两平面2x+3y+6z?6=0，8x+9y?72z+73=0的距离相等。习题7-6 空间直线及其方程1． 求过点(0,2,4)且与两平面x+2z=1和y?3z=2平行的直线方程。 2． 求过点(3,1,?2)且通过直线3． 试确定h：x?4y+3z=的平面方程。 =521cunnilingus penis vaginaK4． 设M0是直线L外一点，M是直线L上任意一点，且直线的方向向量是S，试证：点x+3y+4z==和平面π：4x?2y?2z=3的关系。 ?2?73M0到直线L的距离d=。 ?2x?4y+z=05． 求直线?在平面4x?y+z=1上的投影直线的方程。?3x?y?2z?9=06． 求点(1,2,3)关于平面π：x+y+5z=45的对称点的坐标。7． 求过点A(?1,0,4)平行于平面π：3x?4y+z=10且与直线L：x+1=y?3=的直线。z相交2?y=3x+5?y=4x?78． 求过点A(?3,5,?9)且和两直线L1：?，L2：?相交的直线L的?z=2x?3?z=5x+10方程。总习题七KK?KK∧KK??K∧K?π1． 已知a=3，b=1，?a,b?=，求?a+b,a?b?。????6cunnilingus penis vaginaKKKKKKKKKK?K∧K?2． 设a、b为非零向量，且a+3b⊥7a?5b，a?4b⊥7a?2b，求?a,b?。??KKKKKKKK3． 设a=(2,?3,1)，b=(1,?2,3)，c=(2,1,2)，又设r⊥a，r⊥b，Prjir=14，K求r。?y?z+1=0的垂线，求此4． 设一平面垂直于平面z=0，并通过从点(1,?1,1)到直线?x=0?平面的方程。5． 设L1：?y?2x=4?z?5x=?6xyz，L3：?，求平行于L1而分别与L2、==，L2：?411?z?3y=5?z?4y=3L3都相交的直线L的方程。x+1y?2zx?3yz?1，L2：=，求它们的公垂线。 ===yz?3，求： 7． 设有直线L：==21?26． 已知两直线L1：⑴ 与L关于原点对称的直线L1的方程； ⑵ 与L关于xOy平面对称的直线L2的方程。8． 画出下列各曲面所围立体的图形：⑴ 抛物柱面x2=1?z，平面y=0，z=0及x+y=1； ⑵ 圆锥面z=x2+y2及旋转抛物面z=2?x2?y2。5． 求下列各函数的定义域： ⑵ z=1+x+y1； x?yx?y；⑶ z=⑸ u=R2?x2?y2?z2+6． 求下列各极限： ⑸(x,1x+y+z?r2222(R&r&0)。sin(xy)； limy)→(2,0)ylimxy⑹(x,y)→(0,0)lim1?cosx2+y2x(2+y2ex2y2)。9． 证明(x,y)→(0,0)x+y22=0。1． 求下列函数的偏导数： ⑴ z=x3y?y3x；⑶ z=xy；yx⑸ z=lntan；y⑺ u=xz。x，求fx(x,1)。 4． 设f(x,y)=x+(y?1)arcsiny6． 求下列函数的?2z?2z?2z?x2，?y2和?x?y。 ⑵ z=arctanyx；⑶ z=yx。9． 验证： ⑵ r=x2+y2+z2满足?2r?2r?2r2?x2+?y2+?z2=r。32二．f(x,y,z)=x2(y+z)z+e?y2arctanx+zx+z，fxxy(x,0,z)。 三．f(x,y)=∫x2y?t2?t2edt，求fxy(x,y)。求偏导数fxz(x,0,z)及90高等数学习题集 有答案_高等数学习题1． 求下列函数的全微分： ⑴ z=xy+x； y⑷ u=xyz。2． 求函数z=ln1+x2+y2当x=1，y=2时的全微分。 3． 求函数z=()y当x=2，y=1，?x=0.1，?y=?0.2时的全增量和全微x分。2． 设z=u2lnv，而u=?z?zx，v=3x?2y，求，。 y?x?ydz。 dt3． 设z=ex?2y，而x=sint，y=t3，求5． 设z=arctan(xy)，而y=ex，求二．z=[sin(x+y)]arctanx2+y3dz。 dx()，求?z。 ?x8． 求下列函数的一阶偏导数（其中f具有一阶连续偏导数）：?xy?⑵ u=f??y,z??；??⑶ u=f(x,xy,xyz)。而u=9． 设z=xy+xF(u)，y?z?z，F(u)为可导函数，证明x+y=z+xy。?x?yx?2z?2z?2z12．求下列函数的2，，（其中f具有二阶连续偏导数）：?x?x?y?y2?x??； ⑵ z=f?x,??y??⑷ z=fsinx,cosy,ex+y。()?2uz2三．u=，f(t,v)有连续偏导数，求。fx2,sinxy?x?z2． 设lnx2+y2=arctan4． 设ydy，求。 xdx?z?zxz=ln，求及。?x?yzy7． 设Φ(u,v)具有连续偏导数，证明由方程Φ(cx?az,cy?bz)=0所确定的函数z=f(x,y)满足a=?z?z+b=c。 ?x?y二．f(u,v)具有连续的偏导数，z=z(x,y)是由方程z=fx2,y2z确定的可微函数，求()?z?z及。 ?x?y10．求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：22?dydz?z=x+y⑴ 设?2，求，。 22dxdx??x+2y+3z=2011．设y=f(x,t)，而t是由方程F(x,y,t)=0所确定的x，y的函数，其?f?F?f?F?dy=中f，F都具有一阶连续偏导数。试证明。?f?F?Fdx+?t?y?t三．u=x2+yz，z=z(x,y)是由z=f(x,y+z)确定的可微函数。其中f具有连续的偏导，求偏导数?u?u，。 ?x?y2． 求曲线x=方程。1+tt，y=，z=t2在对应于t=1的点处的切线及法平面1+tt?x2+y2+z2?3x=04． 求曲线?，在点(1,1,1)处的切线及法平面方程。?2x?3y+5z?4=05． 求出曲线x=t，y=t2，z=t3上的点，使在该点的切线平行于平面x+2y+z=4。6． 求曲面ez?z+xy=3在点(2,1,0)处的切平面及法线方程。 8． 求椭球面x2+2y2+z2=1上平行于平面x?y+2z=0的切平面方程。 10．试证曲面x+y+z=(a&0)上任何点处的切平面在各坐标轴上截距之和等于a。习题8-7You stupid cunt ! cunnilingus penis vaginax2y2b??处沿曲线2+2=1在这点的内ab2?2． 求函数z=ln(x+y)在抛物线y2=4x上点(1,2)处，沿着这抛物线在该点处偏向x轴正向的切线方向的方向导数。?x2y2??a?,3． 求函数z=1??在点+??a2b2??2??法线方向的方向导数。4． 求函数u=xy2+z3?xyz在点(1,1,2)处沿方向角为α=π3，β=π4，γ=π3的方向的方向导数。8． 设f(x,y,z)=x2+2y2+3z2+xy+3z?2y?6z，求gradf(0,0,gradf(1,1,1)。?x?二．求u=y2?2??z?arctan1y)及在点(1,1,1)处方向导数的最大与最小值。90高等数学习题集 有答案_高等数学习题习题8-8You stupid cunt ! cunnilingus penis vagina1． 求函数f(x,y)=4(x?y)?x2?y2的极值。4． 求函数z=xy的适合附加条件x+y=1下的极大值。6． 要造一容积等于定数k的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小。7． 在平面xOy上求一点，使它到x=0，y=0及x+2y?16=0三直线的距离平方之和为最小。8． 将周长为2p的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体，问矩形的边长各为多少时，才可使圆柱体的体积为最大？10．抛物面z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。二．求椭球面x2+y2+z2+xy+yz=a2上离xOy平面距离最远的点。4． 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：23DD⑴ ∫∫(x+y)dσ与∫∫(x+y)dσ，其中积分区域D是由x轴、y轴与直线x+y=1所围成；⑵ ∫∫(x+y)dσ与∫∫(x+y)dσ，其中积分区域D是由圆周(x?2)+(y?1)=22322DD所围成。5． 利用二重积分的性质估计下列积分的值：∫∫xy(x+y)dσ，其中D={(x,y)0≤x≤1,0≤y≤1}；⑶ I=∫∫(x+y+1)dσ，其中D={(x,y)0≤x≤1,0≤y≤2}。⑴ I=DD二．f(x,y)在R2上连续，计算极限lim+x→01πt2x2+y2≤t2∫∫f(x,y)dσ。1． 计算下列二重积分：D⑷ ∫∫xcos(x+y)dσ，其中D是顶点分别为(0,0)，(π,0)和(π,π)的三角形闭区域。2． 画出积分区域，并计算下列二重积分：⑵ ∫∫xy2dσ，其中D是由圆周x2+y2=4及y轴所围成的右半闭区域；D⑶ ∫∫ex+ydσ，其中D=(x,yx+y≤1。D{}4． 化二重积分I=∫∫f(x,y)dσ为二次积分（分别列出对两个变量先后次D序不同的两个二次积分），其中积分区域D是： ⑴ 由直线y=x及抛物线y2=4x所围成的闭区域； ⑶ 由直线y=x，x=2及双曲线y=1(x&0)所围成的闭区域。 x6． 改换下列二次积分的积分次序：22yy⑵ ∫dy∫2f(x,y)dx； ⑹ ∫dx∫⑷ ∫dx∫122x?x22?xf(x,y)dy；πsinxx2?sinf(x,y)dy。10．求由曲面z=x2+2y2及z=6?2x2?y2所围成的立体的体积。 二．计算∫∫(x3+x2y)dxdy，D是由x2?y2=1，y=0，y=1所围的有界闭D区域。D三．计算积分∫∫y?x2?dxdy，其中D=(x,y)x≤1;0≤y≤2。 11．画出积分区域，把积分∫∫f(x,y)dxdy表示为极坐标形式的二次积分，D{}其中积分区域D是： ⑵ (x,y)x2+y2≤2；{}⑷ {(x,y0≤y≤1?x,0≤x≤1}。12．化下列二次积分极坐标形式的二次积分： ⑵ ∫dx∫02a2xfx2+y2dy。+y)dy；2)13．把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值： ⑴ ∫dx∫2ax?x20(x2⑶ ∫dx∫2(x+y1x2x12?2)dy。14．利用极坐标计算下列各题：⑵ ∫∫ln(1+x2+y2)dσ，其中D是由圆周x2+y2=1及坐标轴所围成的在第一象D限内的闭区域。15．选用适当的坐标计算下列各题：You stupid cunt ! cunnilingus penis vaginax2⑴ ∫∫2dσ，其中D是直线x=2，y=x及曲线xy=1所围成的闭区域；yD⑷ ∫∫x2+y2dσ，其中D是圆环形闭区域：(x,ya2≤x2+y2≤b2。D{}17．求由平面y=0，y=kx(k&0)，z=0以及球心在原点、半径为R的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积（图9-28）习题9-31． 化三重积分I=是：You stupid cunt ! cunnilingus penis vagina∫∫∫f(x,?y,z)dxdydz为三次积分，其中积分区域?分别⑴ 由双曲抛物面xy=z及平面x+y?1=0，z=0所围成的闭区域； ⑶ 由曲面z=x2+2y2及z=2?x2所围成的闭区域。4． 计算∫∫∫xy2z3dxdydz，其中?是由曲面z=xy，与平面y=x，x=1和z=0?所围成的闭区域。5． 计算∫∫∫?dxdydz，其中?为平面x=0，y=0，z=0，x+y+z=131+x+y+z所围成的四面体。6． 计算∫∫∫xyzdxdydz，其中?为球面x2+y2+z2=1及三个坐标面所围成的?在第一卦限内的闭区域。7． 计算∫∫∫xzdxdydz，其中?是由平面z=0，z=yy=1以及抛物柱面?y=x2所围成的闭区域。90高等数学习题集 有答案_高等数学习题习题9-39． 利用柱面坐标计算下列三重积分：?You stupid cunt ! cunnilingus penis vagina⑴ ∫∫∫zdv，其中?是由曲面z=2?x2?y2及z=x2+y2所围成的闭区域；10．利用球面坐标计算下列三重积分：⑵ ∫∫∫zdv，其中闭区域?由不等式x2+y2+(z?a)≤a2，x2+y2≤z2所确定。 2?11．选用适当的坐标计算下列三重积分： ⑵ ∫∫∫x2+y2+z2dv，其中?是由球面x2+y2+z2=z所围成的闭区域；?⑶ ∫∫∫x2+y2dv，其中?是由曲面4z2=25x2+y2及平面z=5所围成的闭区?()()域。二．计算∫∫∫(x+z)dv，其中?由z=?2x2+y2与z=?x2?y2围成。 三．计算∫∫∫(x+y+z)dv，?=(x,y,z)x2+y2+z2≤R2。?{}x2+y2被柱面z2=2x所割下部分的曲面面积。 1． 求球面x2+y2+z2=a2含在圆柱面x2+y2=ax内部的那部分面积。 2． 求锥面z=5． 设平面薄片所占的闭区域D由抛物线y=x2及直线y=x所围成，它在点(x,y)处的面密度u(x,y)=x2y，求该薄片的质心。8． 设球体占有闭区域?=(x,y,z)x2+y2+z2≤2Rz，它在内部各点处密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方，试求这球体的质心。9． 设均匀薄片（面密度为常数1）所占闭区域D如下，求指定的转动惯量：9⑵ D由抛物线y2=x与直线x=2所围成，求Ix和Iy。 210．已知均匀矩形板（面密度为常量u）的长和宽分别为b和h，计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量。12．求半径为a，高为h的均匀圆柱体对于过中心，而平行于母线的轴的转。 动惯量（设密度ρ=1）13．设面密度为常量μ的匀质半圆形薄片：占有闭区域{}D=(x,y,0R1≤{x2+y2≤R2,x≥0}，求它对位于z轴上点M0(0,0,a)(a&0)处单位质量的质点的引力F。占有闭区域D=(x,y,zx2+y2≤R2,0≤z≤h，14．设均匀柱体密度为ρ，求它对于位于点M0(0,0,a)(a&h)处单位质量的指点的引力。二．设D是由y=lnx，x=e与x轴围成的均匀薄片(ρ=1)，求薄片关于轴{}x=t的转动惯量I(t)，并求出t为何值时转动惯量最小。1． 设在xOy面内分有一分布着质量的曲线弧L，在点(x,y)处它的线密度为u(x,y)。用对弧长的曲线积分分别表达：⑴ 这曲线弧对x轴、对y轴的转动惯量Ix、Iy；⑵ 这曲线弧的质心坐标、。3． 计算下列对弧长的曲线积分：⑴ x2+y2ds，其中L为圆周x=acost，y=asint(0≤t≤2π)； L()n⑶ xds，其中L为由直线y=x及抛物线y=x2所围成的区域的整个边界； L⑸ ∫1ds，其中Γ诶曲线x=etcost，y=etsint，z=et上相应于t从222Γx+y+z0变到2的这断弧；⑺ y2ds，其中L为摆线的一拱x=a(t?sint)，y=a(1?cost)(0≤t≤2π)。 L4． 求半径为α、中心角为2?的均匀圆弧（线密度μ=1）的质心。3． 计算下列对坐标的曲线积分： 2L⑵ xydx，其中L为圆周(x?a)+y2=a2(a&0)及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）；⑷ L(x+y)dx?(x?y)dy，其中L为圆周x2+y2=a2（按逆时针方向绕行）； x2+y2⑹ ∫xdx+ydy+(x+y?1)dz，其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线； Γ⑻ ∫(x2?2xy)dx+(y2?2xy)dy，其中L是抛物线y=x2上从点(?1,1)到点(1,1)L的一段弧。5． 一力场由沿横轴正方向的常力F所构成。试求当一质量为m的质点沿圆周x2+y2=R2按逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所作的功。7． 把对坐标的曲线积分∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy化成弧长的曲线积分，其L中L为：⑶ 沿上半圆周x2+y2=2x从点(0,0)到点(1,1)。二．计算∫(x2+y2)dx+(x2?y2)dy，其中L为y=1??x从x=0到x=1的L折线段。1． 计算下列曲线积分，并验证格林公式的正确性：L⑵ (x2?xy3)dx+(y2?2xy)dy，其中L是四个顶点分别为(0,0)、(2,0)、(2,2)和(0,2)的正方形区域的正向边界。2． 利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积。⑶ 圆x2+y2=2ax。3． 计算曲线积分逆时针方向。4． 证明下列曲线积分在整个xOy面内与路径无关，并计算积分值： ⑵ ∫(3,4)2ydx?xdy2()，其中L为圆周x?1+y2=2，L的方向为22L2x+y(1,(6xy)2?y3dx+6x2y?3xy2dy。 )()5． 利用格林公式，计算下列曲线积分：⑴ (2x?y+4)dx+(5y+3x?6)dy，其中L为三顶点分别为(0,0)、(3,0)和L(3,2)的三角形正向边界；⑵ (x2ycosx+2xysinx?y2ex)dx+(x2sinx?2yex)dy，其中L为正向星形线Lx+y=aL232323(a&0)； ⑶ ∫(2xy3?y2cosx)dx+(1?2ysinx+3x2y2)dy，其中L为在抛物线2x=πy2上由?π点(0,0)到?,?2?1?的一段弧。 ?6． 验证下列P(x,y)dx+Q(x,y)dy在整个xOy平面内是某一函数u(x,y)的全微分，并求这样的一个u(x,y)：⑷ 3x2y+8xy2dx+x3+8x2y+12yeydy；⑸ 2xcosy+y2cosxdx+2ysinx?x2sinydy。7． 设有一变力在坐标轴上的投影为X=x+y2，Y=2xy?8，这变力确定了一个力场。证明质点在此场内移动时，场力所作的功与路径无关。一．计算I=∫exsiny?b(x+y)dx+(excosy?ax)dy，其中a，b为正的常数，L()()()()[]90高等数学习题集 有答案_高等数学习题You stupid cunt ! cunnilingus penis vaginaL是从A(2a,0)沿曲线y=2ax?x2到点O(0,0)的弧段。x2y2?(x2+y2)?(x2+y2)二．L是椭圆2+2=1，证明ds=4πab，其中是沿L?n?nabL处法向的方向导数。Σ()4． 计算曲面积分∫∫f(x,y,z)dS，其中Σ为抛物面z=2?x2+y2在xOy面上方的部分，f(x,y,z)分别如下：⑵ f(x,y,z)=x2+y2。5． 计算∫∫(x2+y2)dS，其中Σ是： Σ⑴ 锥面z=x2+y2及平面z=1所围成的区域的整个边界曲面；6． 计算下列对面积的曲面积分：⑵ ∫∫(2xy?2x2?x+z)dS，其中Σ为平面2x+2y+z=6在第一卦限中的部分；Σ⑷ ∫∫(xy+yz+zx)dS，其中Σ为锥面z=x2+y2被柱面x2+y2=2ax所截得的Σ有限部分。12x+y2(0≤z≤1)的质量，此壳的面密度为μ=z。 22二．Σ是球面x2+y2+z2=R2，计算积分∫∫(x+y+z)dS。 7． 求抛物面壳z=()Σ3． 计算下列对坐标的曲面积分：Σ⑴ ∫∫x2y2zdxdy，其中Σ是球面x2+y2+z2=R2的下半部分的下侧；⑵ ∫∫zdxdy+xdydz+ydzdx，其中Σ是柱面x2+y2=1被平面z=0及z=3所截得Σ的在第一卦限内的部分的前侧；⑶ ∫∫[f(x,y,z)+x]dydz+[2f(x,y,z)+y]dzdx+[f(x,y,z)+z]dxdy，其中Σf(x,y,z)为连续函数，Σ是平面x?y+z=1在第四卦限部分的上侧； ⑷ xzdxdy+xydydz+yzdzdx，其中Σ是平面x=0，y=0，z=0，x+y+z=1Σ所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧。4． 把对坐标的曲面积分：∫∫P(x,Σy,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy化成对面积的曲面积分，其中：⑵ Σ是抛物面z=8?x2+y2在xOy面上方的部分的上侧。二．Σ是曲面z=x2+y2被z=1与z=2所截部分的下侧，计算()∫∫ydydz+zΣ2dxdy。1． 利用高斯公式计算曲面积分： Σ其中Σ为平面x=0，y=0，z=0，x=a，y=a，⑴ x2dydz+y2dzdx+z2dxdy，⑶ xz2dydz+(x2y?z3)dzdx+(2xy+y2z)dxdy，其中Σ为上半球体Σz=a所围成的立体的表面的外侧；0≤z≤a2?x2?y2的表面外侧； ⑸ 4xzdydz?y2dzdx+yzdxdy，其中Σ是平面x=0，y=0，z=0，x=1，y=1，Σz=1所围成的立方体的全表面的外侧。3． 求下列向量场A的散度：⑴ A=x2+yzi+y2+xzj+z2+xyk；⑶ A=y2i+xyj+xzk。4． 设u(x,y,z)、v(x,y,z)是两个定义在闭区域?上的具有二阶连续偏导数的函数，()()()?u?v、依次表示u(x,y,z)、v(x,y,z)沿Σ的外法线方向的方向导?n?n?u???v数。证明∫∫∫(u?v?v?u)dxdydz=?u?v?dS，其中Σ是空间区域?的整个?n?n??Σ?边界曲面。这个公式叫做格林第二公式。二．计算∫∫(2x+z)dydz+z2dxdy，Σ是有向曲面z=x2+y2(0≤z≤1)的上侧。Σ1． 利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分： Γ⑴ ydx+zdy+xdz，其中Γ为圆周x2+y2+z2=a2，x+y+z=0，若从x轴的正向看去，这圆周是取逆时针的方向；⑵ Γ(y?z)dx+(z?x)dy+(x?y)dz，其中Γ为椭圆x2+y2=a2，xz+=1(a&0,b&0)，若从x轴正向看去，这椭圆是取逆时针方向。 ab4． 求下列向量场A沿闭曲线Γ（从z轴正向看Γ依逆时针方向）的环流量； ⑵ A=(x?z)i+x3+yzj?3xy2k，其中Γ为圆周：z=2?x2+y2，z=0。 ()90高等数学习题集 有答案_高等数学习题3． 根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的收敛性： ⑴ ∑n=1∞n+1?n；)⑵1111+++&++&。2n?12n+11?33?55?74． 判别下列级数的收敛性：n88283n8⑴ ?+2?3+&+(?1)n+&；99991111⑶ +++&++&；⑸ ?+?+?2+23?23??2二．已知∑(?1)n=1∞1?1??1?1+++&++?n??3?33?3n??2?2∞??+&。 ?∞n?1an=2，∑a2n?1=5，求级数∑an的和。n=1n=11． 用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛性： ⑶111++&++&；n+1n+42?53?6⑷ sin+&。 23n22222． 用比值审敛法判别下列级数的收敛性：+sin+sin+sin∞ππππ2n?n!⑶ ∑n；nn=1n⑷ ∑ntann=1∞π2n+1。3． 用根值审敛法判别下列级数的收敛性：?n?⑴ ∑??；2n1+?n=1?∞⑵ ∑n=1∞1lnn+1n。4． 判别下列级数的收敛性：n4142434⑵ +++&++&。n!1!2!3!5． 判别下列级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ ⑴ 1?12+1?14+&；⑶ ???2+?3??4+&；⑸ ∑(?1)n=1∞n+12。 n!n2二．{an}是等差数列，公差d≠0及a≠0，证明：1⑴ ∑发散；n=1an∞⑵ ∑1收敛。 aan=1nn+1∞1． 求下列幂级数的收敛区间：nx2nx⑵ 1?x+2+&+(?1)2+&；2nxx2x3xn⑷ +++&++&； 23n1?32?33?3n?32n?1⑺ ∑nx2n?2；2n=1∞⑻ ∑n=1∞(x?5)n。n2． 利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数： ⑴ ∑nxn=1∞n?1；∞x3x5x2n?1⑶ x+++&++&。352n?1二．求∑∞n+1n的收敛域与和函数。 nn=12n!1an(a&1)的收敛域。 xn三．求∑n=02． 将下列函数展开的幂级数，并求展开式成立的区间：⑸ (1+x)ln(1+x)。ex?e?x⑴ shx=；2⑶ ax；3． 将下列函数展开成(x?1)的幂级数，并求展开式成立的区间： ⑵ lgx。π??4． 将函数f(x)=cosx展开成?x+?的幂级数。3??6． 将函数f(x)=1展开成(x+4)的幂级数。x2+3x+2二．f(x)=xarctanx，求f(n)(0)。三．将f(x)=x2∫e?tdt展开成麦克劳林级数。2x021． 利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值： ； ⑵ e（误差不超过0.001）⑷ cos20（误差不超过0.0001）。2． 利用被积函数的幂级数展开式求下列定积分的近似值： 0.5arctanx。 ⑵ ∫dx（误差不超过0.001）0x90高等数学习题集 有答案_高等数学习题习题11-7 You stupid cunt ! cunnilingus penis vagina1． 下列周期函数f(x)的周期为2π，试将f(x)展开成傅立叶级数，如果f(x)在[?π,π)上的表达式为：⑴ f(x)=3x2+1(?π≤x&π)；?bx,?π≤x&0⑶ f(x)=?，（a，b为常数，且a&b&0）。?ax,0≤x&π2． 将下列函数f(x)展开成傅立叶级数：⑴ f(x)=2sinx(?π≤x≤π)。 3x4． 将函数f(x)=cos(?π≤x≤π)展开成傅立叶级数。 25． 设f(x)是周期为2π的周期函数，它在[?π,π)上的表达式为：π?π,??≤&?πx?22?ππ?，将f(x)展开成傅立叶级数。 ?≤x&f(x)=?x,22?π?π≤x&π,?22?6． 将函数f(x)=π?x2(0≤x≤π)展开成正弦级数。一．f(x)以2π为周期，且在(0,2π)上f(x)=x+1，试将f(x)展开成2π为周期的傅立叶级数。二．f(x)以2π为周期，若它以2π为周期的傅立叶展开式的系数为an与bn，试求f(x+l)的傅立叶系数（l为常数）。1． 将下列各周期函数展开成傅立叶级数（下面给出函数在一个周期内的表达式） ?3≤x&0。 0≤x&31??1⑴ f(x)=1?x2??≤x&?； 2??2 ?2x+1,⑶ f(x)=??1,2． 将下列函数分别展开成正弦级数和余弦级数l?≤&,0xx??2。 ⑴ f(x)=??l?x,l≤x≤l?2?二．f(x)=1+sinx(0≤x≤π)：⑴ 将f(x)展开成周期为2π的正弦级数；⑵ 将f(x)展开成周期为π的傅立叶级数。3． 在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解： ⑴ (x?2y)y′=2x?y，x2?xy+y2=C；⑵ (xy?x)y′′+xy′2+yy′?2y′=0，y=ln(xy)。5． 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程：⑴ 曲线在点(x,y)处的切线的斜率等于该点横坐标的平方；⑵ 曲线上点P(x,y)处的法线与x轴的交点为Q，且线段PQ被y轴平分。1． 求下列微分方程的通解：⑷ y′?xy′=ay2+y′；⑺ ex+y?exdx+ex+y+eydy=0。 ()()()2． 求下列微分方程满足所给初始条件的特解：⑵ cosxsinydy=cosysinxdx，y⑸ xdy+2ydx=0，yx=2x=0=π4； =1。3． 有一盛满了水的圆锥形漏斗，高为10cm，顶角为60°，漏斗下面有面积为0.5cm2的孔，求水面高度变化的规律及流完所需的时间。6． 一曲线通过点(2,3)，它的两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，求这曲线方程。7． 小船从河边点O处出发驶向对岸（两岸为平行直线）。设船速为a，船行方向始终与河岸垂直。又设河宽为h，河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比（比例系数为k）。求小船的航行路线。1． 求下列齐次方程的通解： ⑴ xy′?y?y2?x2=0； ⑶ x2+y2dx?xydy=0。 ()2． 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解： ⑵ y′=xy+，yyxx=1=2；⑶ x2+2xy?y2dx+y2+2xy?x2dy=0，y()()x=1=1。3． 设有连点O(0,0)和A(1,1)的一段向上凸的曲线弧OA，对于OA上任一点P(x,y)，曲线弧OP与直线段OP所围图形的面积为x2，求曲线弧OA的方程。?(x?siny)dy+tanydx=0?二．求解微分方程?。 πyx=0=?6?90高等数学习题集 有答案_高等数学习题1． 求下列微分方程的通解：⑷ y+ytanx=sin2x；⑽ y2?6x ⑻ ylnydx+(x?lny)dy=0； ()dy+2y=0。 dx2． 求下列微分方程满足所给初始条件的特解： dyysinx⑵ +=，yx=π=1； dxxxdy⑷ +3y=8，yx=0=2。 dx3． 求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点(x,y)处的切线斜率等于2x+y。6． 设曲线积分∫yf(x)dx+2xf(x)?x2dy在右半平面(x&0)内与路径无关，L[]其中f(x)可导，且f(1)=1，求f(x)。7． 求下列伯努利方程的通解： dy⑵ ?3xy=xy2； dx⑸ xdy?y+xy3(1+lnx)dx=0。二．设y=x2是方程x2y′+P(x)y=3x3的一个解，求该方程满足y解。 x=1[]=2的特1． 判别下列方程中哪些是全微分方程，并求全微分方程的通解： ⑴ 3x2+6xy2dx+6x2y+4y2dy=0；⑶ eydx+xey?2ydy=0；⑸ x2?ydx?xdy=0。 二．证明y(()()())1是方程2ydx+(y2?6x)dy=0的一个积分因子，并求方程满足4yx=1=1的特解。1． 求下列各微分方程的通解：⑸ y′′=y′+x； 3⑽ y′′=(y′)+y′。2． 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解： ⑴ y3y′′+1=0，y⑵ y′′?ay′2=0，y⑸ y′′=3y，yx=0x=1=1，y′x=1=0； =0，y′x=0=?1； x=0=1，y′x=0=2。3． 试求y′′=x的经过点M(0,1)且在此点与直线y=x +1相切的积分曲线。24． 设有一质量为m的物体，在空中由静止开始下落，如果空气阻力为R=c2v2（其中c为常数，v为物体运动的速度），试求物体下落的距离s与时间t的函数关系。二．求1+x2y′′?2xy′=0的通解。 ()习题12-7 You stupid cunt ! cunnilingus penis vagina2． 验证y1=cosωx及y2=sinωx都是方程y′′+ω2y=0的解，并写出该方程的通解。4． 验证： ⑴ y=C1ex+C2e2x+解；⑵ y=C1cos3x+C2sin3x+15xe（C1、C2是任意常数）是方程y′′?3y′+2y=e5x的通121(4xcosx+sinx)（C1、C2是任意常数）是方程32y′′+9y=xcosx的通解。习题12-81． 求下列微分方程的通解：⑴ y′′+y′?2y=0；You stupid cunt ! cunnilingus penis vaginad2xdx⑸ 42?20+25x=0； dtdt⑺ y(4)?y=0； ⑹ y′′?4y′+5y=0；⑼ y(4)?2y′′′+y′′=0。2． 求下列微分方程满足所给初始条件的特解： ⑶ y′′?3y′?4y=0，y⑸ y′′+25y=0，y x=0x=0=0，y′x=0=?5； =2，y′x=0=5。90高等数学习题集 有答案_高等数学习题习题12-8You stupid cunt ! cunnilingus penis vagina3． 一个单位质量的质点在数轴上运动，开始时质点在原点O处且速度为v0，在运动过程中，它受到一个力的作用，这个力的大小与质点到原点的距离成正比（比例系数k1&0）而方向与初速一致。又介质的阻力与速度成正比（比例系数k2&0）。求反映这质点的运动规律的函数。5． 设圆柱形浮筒，直径为0.5m，铅直放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水中上下振动的周期为2s，求浮筒的质量。?2z?2z二．f(u)具有二阶连续导数，z=f(esiny)满足方程2+2=e2xz，求?x?yxf(u)。习题12-91． 求下列各微分方程的通解： ⑴ 2y′′+y′?y=2ex； ⑽ y′′?y=sin2x。You stupid cunt ! cunnilingus penis vagina⑶ 2y′′+5y′=5x2?2x?1；2． 求下列各微分方程满足已给初始条件的特解： ⑴ y′′+y+sin2x=0，y⑸ y′′?4y′=5，yx=0x=π=1，y′x=π=1；=1，y′x=0=0。3． 大炮以仰角α、初速v0发射炮弹，若不计空气阻力，求弹道曲线。 5． 一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离开钉子8m，另一端离开钉子12m，求链条滑下来所需要的时间：⑴ 若不计钉子对链条所产生的摩擦力。二．设y1=x，y2=x+e2x，y3=x1+e2x是二阶常系数线性微分方程的三个解，试求该微分方程以及该方程的通解。()习题答案与提示习题1-1uYou stupid cunt ! cunnilingus penis vagina5133． ⑴ y=e，u=v，v=cosw，w=p，p=1+x2；⑵ y=u，u=v2，v=sinx； ⑶ y=eu，u=g(x)lnf(x)； ⑷ 非复合；4． ⑴ V[2nπ,(2n+1)π]；n∈z1?1?⑷ 若a∈?0,，则D=[a,1?a]，若a&，则D=φ；2?2?5． φ(x)=1?x，φ(x)定义域为x≤0。?π??π?6． y=cotx+1，D=??,0?∪?0,?，值域：y≠1。2??2???e,x&1?1,x&0???7． f[g(x)]=?0,x=0，g[f(x)]=?1,x=1。??1??1,x&0???e,x&10≤x≤100?90,?8． ⑴ p=?90?(x?100)?0.01,100&x&1600；?75,x≥1600?0≤x≤100?30x,?⑵ p=(p?60)x=?31x?0.01x2,100&x&1600；?15x,x≥1600?⑶ p=21000（元）；习题1-32． δ=0.0002，提示：因为x→2，所以不妨设1&x&3。 4． lim?f(x)=limf(x)=1，limf(x)=1， +x→0x→0x→0x→0?limφ(x)=?1,limφ(x)=1,limφ(x)不存在。 +x→0x→0习题1-41． 不一定，例如：α=4x，β=2x，当x→0时都是无穷小，但α当x→0时不是无穷小。 β1。104+24． ⑴ 2； ⑵ 1；6． 无界，但当x→∞时，函数不是无穷小。习题1-5111． ⑴ ； ⑵ -1； ⑶ ； ⑷ 0；252． ⑴ 0； ⑵ 0；1?b23． ⑴ 1； ⑵ ； ⑶ ； ⑷ 2；1?a34． ⑴ 0； ⑵ 2； ⑶ 1；习题1-6 3． 0&x&1． ⑴You stupid cunt ! cunnilingus penis vaginaα5； ⑵ x； ⑶ ； ⑷ 1； β3⑸ 1； ⑹ 2； ⑺ H； 2． ⑴ e?k； ⑵ eab；4． 2；习题1-71． 低阶到高阶次序：①，②，④，③。2． α(x)、β(x)、γ(x)分别关于x是高阶、同阶、等价无穷小。?0,n&m16?4． ⑴ ?1,n=m； ⑵ ； ⑶ ；25?∞,n&m?11⑷ ； ⑸ -3； ⑹ ；23 ⑺π22； ⑻ ?ab?； nm习题1-81． ⑴ 无关； ⑵ 必要； 2． ⑴ k=1； ⑵ k=5；3． ⑴ [0,2]； ⑵ [?3,?1)∪(?1,3]； 4． 连续区间：(?∞,?3)，(?3,2)，(2,+∞)，18，limf(x)=?，limf(x)=∞。x→02x→?33x→25． ⑴ x=1可去，x=2无穷间断点属第二类； limf(x)=You stupid cunt !π⑵ x=0和x=kπ+为可去间断点是第一类； cunnilingus penis vagina2x=kπ(k≠0)为无穷间断点是第二类；?x,x&1?6． f(x)=?0,x=1，x=1和x=?1为跳跃间断点是第一类，不是初等函数。???x,x&1习题1-91． ⑴ 真； ⑵ 伪；?1,?1?2． ⑴ 1； ⑵ 0； ⑶ ?,?2??0,3． ⑴ 0； ⑵ cosα； ⑶ 0；a&1a=10&a&1；a24． ⑴ 2； ⑵ e3； ⑶ e2； ⑷ ablna；b习题1-103． 提示：证明[a,b]上f(x)连续及利用零点定理。 6． 提示：介值定理的推论。总习题一1． ⑴ 必要，充分； ⑵ 必要，充分； ⑶ 必要，充分； ⑷ 充分，必要；12． 提示：φ(x)={f+g+f?g}。23． ⑴ e2； ⑵ abc；⑶ 1，提示：令t=xlnx；4． x=1是第二类间断点，x=0是第一类间断点；16． ⑴ a=?3，b=2； ⑵ a=1，b=?；27． 提示：可设f(x)最大值m，?F(x)≤m?x。90高等数学习题集 有答案_高等数学习题习题2-11?21． ⑴ 1.6x； ⑵ ?x； 20.63You stupid cunt ! cunnilingus penis vagina2． (2,4)。3． ⑴ ?f′(x0)； ⑵ f′(0)；⑶ 2f′(x0)； ⑷ 1； ?f′x04． ⑴ x=0处连续，但不可导；⑵ a=2，b=?1；7． 3；习题2-21?lnxex(x?2)； ⑵ ； 2． ⑴ x3x2⑶ 2xcosxlnx?x2sinxlnx+xcosx； ⑷ 1+sint+cost； 21+cost2a+b?a?b?3． y=x???； 2?4?4． ⑴ secx； ⑵ earctanx2x1+x；⑶ nsinn?1xcos(n+1)x； ⑷6． sin2xf′sin2x?f′cos2x；习题2-31． ⑴ 2xe⑵ ?xx22x+14xx+x； [()()](3+2x)； 2(1+x322；⑶ ??x??2?x???x???x?11′′cossin?f???f′??； ff???????22a??a???a???a???a?a3． ⑴ (?1)n(n?2)!(n≥2)； xn?1You stupid cunt ! cunnilingus penis vagina⑵ 提示：化y=⑶ 提示：化y=nπ?31?+cos4x，最简一个余弦函数：y(n)=4n?1cos?4x+?(n=1，2，??)； 2?44?65?，最简公式： x?3x?2??65n(n=1,2) ?y(n)=(?1)n!?n+1n+1?x?2??x?31225??4． 250??x2sin2x+50xcos2x+sin2x?； 2??习题2-42． ⑴ 1+x2()sinx2xsinx??2++； cosln1xx2??1+x??()⑵ y′=x+23?x)?145????2x+23?xx+1?； 5x+1??43． y′(0)=e(1?e)；4． 切线方程：x+y?2a=0； 2法线方程：x?y=0；y(xlny?y)1xx(1+lnx)； ⑵ y′=； 5． ⑴ 1xylnx?x2y+yd2y2x2+y26． 2=； 3dxx?yd2y43t7． ⑴ 2=e； 9dx⑵ ()1； f′′t12．0.64(cm/min)习题2-51． ⑴ 充分条件，必要条件；⑵ 充分必要条件；2． (a) ?y&0，dy&0，?y?dy&0；(b) ?y&0，dy&0，?y?dy&0；(c) ?y&0，dy&0，?y?dy&0；(d) ?y&0，dy&0，?y?dy&0；?dx,?1&x&0?2??x3． ⑴ dy=?； dx??,0&x&12???xYou stupid cunt ! cunnilingus penis vagina⑵ dy=8xtan1+2x2sec21+2x2dx；⑶ dy=1+xx(1+lnx)dx； ??4?1??3?1??1????4f′?φ???φ??φ′??????x???x??x??dx； ⑷ dy=????22?4?1??f3φx????????x????()()[]⑸ dy=fx[()dx； 21x34． ⑴ 2x+c； ⑵ x2+c； 21 ⑶ sint+c； ⑷ ?coswx+c； w1 ⑸ ln(1+x)+c； ⑹ ?e?2x+c； 21 ⑺ 2x+c； ⑻ tan3x+c； 35． 与?x同阶；2x?y2f′(x)?f(y)6． dx； 2yfx+xf′y总习题二1． ⑴ aa(lna+1)；⑵ aa(lna?1)；2． ⑴ 是，反证法；?1,? ⑵ 非，例f(x)=?0,??1,?x?处系数为0； You stupid cunt ! x&0??1,x&0?cunnilingus penis vaginax=0，g(x)=?0,x=0，在x=0处f(x)+g(x)≡0处处可导，x&0?1,?0x&0x≥0?1,??1,x≥0⑶ 非，例f(x)=?，g(x)=?，f(x)g(x)≡?1，在x0=0可导，系数为0； x&0??1,x&0?1,3． ⑴ f?′(0)=1，f+′(0)=0，所以f′(0)不存在； ⑵ f?′(a)=?lna，f+′(a)=ln2，所以f′(a)不存在； excosx； ⑵ ； 4． ⑴ 2xcosx+e5． y′′(0)=e?2；dyd2y16． =?tanθ，2=sec4θcscθ； dx3adxdydyeycost7． ，=dx2t?11?eysintdxt=0e=?； 28． 5m2/s；9． 提示：导数定义求f′(x)，已知等式中取x2=1。You stupid cunt !习题3-1 cunnilingus penis vagina1． 有分别位于区间(1,2)，(2,3)及(3,4)内的三个根。7． 提示：设g(x)=x2，先柯西，再拉格朗日定理。习题3-2 1． ⑴ 1； ⑵ ?e； 2 ⑶ 3； ⑷ 1； ⑸ 0； ⑹ ⑺ 0； ⑻ 4a2π； 1； 2 ⑼ 1； ⑽ u1?u2??un3． 连续；4． p=1，q=?1；习题3-31． ρ(x)=1+(x?1)+13(x?1) 2(22nn；+20(x?1)+15(x?1)+6(x?1)+(x?1) 3456P(x)=3?3(x+1)+13(x+1) 2?20(x+1)+15(x+1)?6(x+1)+(x+1) 34562． 12n=?1+(x+1)+(x+1)+??+(x+1) xλ+1(x+1)+(?1)，(0&θ&1) n+2?1+θx+1n+1[]x3xn3． xe=x+x++??++0xn，(0&θ&1)； n?1!2!x2()4． =3.10724；R3&1.88×10?5； 15． ； 6416． a=，b=?； 337． 提示：令x0=x1+x2； 290高等数学习题集 有答案_高等数学习题习题3-4 You stupid cunt ! cunnilingus penis vagina1． ⑴ (0,2]内单调减少，在[2,+∞)内单调增加；⑵ (?∞,+∞)内单调增加；2． ⑵ 提示：利用函数f(x)=xc的 性；4． ⑴ a&1时，无实根； e1 ⑵ 0&a&时，有两个实根； e1 ⑶ a=时，只有x=e一个实根； e5． 拐点(?1,ln2)，(1,ln2)在(?∞,?1]，[1,+∞)内是凸的，在[?,1]上是凹的； 6． a=1，b=?3，c=?24；d=16；7． (x0,f(x0))为拐点；习题3-51． ⑴ 极大值y(e)=e；⑵ 没有极值； 1e?π?2． a=2，f??=为极大值； ?3?3． a；4． 1800元； 6． ，提示：研究f(x)=x极值； 1x习题3-61． ⑴ y=1水平渐近线；⑵ y=0是水平渐近线，x=1及x=?1是两条铅直渐近线； ⑶ y=3水平渐近线和x=?3铅直渐近线；?2．⑴ 在(?∞,0)??0,??4?4??内单调增加； 内单调减少，在,+∞???2??2?在(?∞,?1]，(0,+∞)内是凹的，在[?1,0)内是凸的；拐点(?1,0)；?4?3?极小值y??2?=2??You stupid cunt ! 2；铅直渐近线：x=0； cunnilingus penis vagina⑵ (?∞,?1)[1,+∞)内单调减少，在(?1,1]单调增加； 在(?∞,?1)，(?1,2]是凸的，在[2,+∞)内是凹的； 4?5?拐点?2,??；极大值y(1)=?；水平渐近线：y=?2铅直渐近线：x=?1。 3?4?3． ⑴ 2个实根； ⑵ 0；⑶ 3次； ⑷ 2次；习题3-71． k=2；?23ln2??处曲率半径有最小值2． ?； ,???22?2?3． t=π有最小曲率k=4． a=1，曲率半径为4a； 4a1，b=1，c=1； 2mv25． 约1246（N），提示：物体受向心力F=6． 约45400（N），提示：参照上题；总习题三1． ⑴ 非，例f(x)=2，g(x)=sinx；⑵ 非，例f(x)=2，g(x)=x+ρ，ρ为运动轨迹曲率半径； 1，x∈(0,+∞)找不到x0； x2． ⑴ 选（D）排除（A）举例：f(x)=x3；x2排除（B）举例：f(x)=； 2排除（C）举例：f(x)=x；⑵ B；3． ka；15． ⑴ ； ⑵ 2； ⑶ a1a2??an； 26． f(0)=0，f′(0)=0，f′′(0)=4，f(x)??2lim?1+?=e， x→0x??1xYou stupid cunt ! cunnilingus penis vagina提示：洛必达法则，等价无穷小及极限与函数，无穷小关系；tanx7． 提示：研究f(x)=； x8． f(0)是f(x)的极小值；1??9． 提示：注意：Mn=?1??+n1??n+1单调增加，limMn=e?1； n→∞You stupid cunt !习题4-1 cunnilingus penis vagina1． ⑴ eshx和echx同为e(shx+chx)的原函数； xxx ⑵ lnx，ln2x，lnx+c同为2． 一定有，不一定有；3． 不一定； 4． y=lnx+1； 5． 4x2+77x1(x&0)的原函数； x()+c；x6． 3arctanx?2arcsinx+c； ?2?5??37． 2x???+c； ln2?ln38． x3+arctanx+c；9． ex?lnx+1+c； x10．tanx?cotx+c；习题4-2（1）1． ?lncos+x2+c； 22． lnx++x23[()32+c；3． 1(lntanx)2+c； 214． ?+c； xlnx5． arctanx()2+c；13x?2x6． lnx+c； x2ln3?ln23+27． ?1[ln(x+1)?lnx]2+c； 218． lnx?1+9x2?6x?1+c； 312x19． arcsin+9?4x2+c； 234112x+110．ln4x2+4x+5?arctan+c； 882习题4-2（2） a21． 2xx?arcsin?2?aa?x+x2You stupid cunt ! cunnilingus penis vagina?a2?x2?+c； ?2． +c； 3+c； x1+c； x3． x2?9?3arccos4． 令x=sect，arccos11 令x=，?arcsin+c； tx令x=chx，2arctanx+x2?1+c； 令x2?1=t，arctanx2?1+c； ()15． ??arcsinx+lnx+?x2??+c； ?2?636． x+x6+x3+2x2+3x3+6x6+6lnx?+c； 527． 2+e+lnx52111ex+1?1e+1+1x+c； 3x2?2x?1x+18． +arcsin+c； 2xx习题4-3 11． ?x2+xtanx+lncosx+c； 2lnx?lnx+ln(1?x)+c； 2． 1?x3． xlnx++x2?+x2+c；4． x(arcsinx)+2?x2arcsinx?2x+c； 2()5． ?2?2x?xx?e?cos+4sin?+c； 1722??90高等数学习题集 有答案_高等数学习题6． x(coslnx+sinlnx)+c； 2xxYou stupid cunt ! cunnilingus penis vaginae+1?1x7． 2xe+1?4e+1+2ln1+ex+1+c； 8． +x2arctanx?lnx++x2+c； 9． e?2xtanx+c；10．cosx?2sinx+c； x习题4-4 111． +lnx2?+c； x+12132x+1x2+1arctan2． ?ln2++c； 2x+x+132x2+2x+12ln23． +arctan2x+1 8x?2x+14)+122tanx32arctanx?1+c； 4)4． arctan+c； 11?cosx1++c； 5． ln41+cosx21+cosx6． ln2tanxx??lntan+2+c； 22+2arctan1?x+c；或 1+x7． ln?x?+x?x++x1??x2ln?arcsinx+c； x8．?3x+1+c； 2x?1总习题四 x1． xtan+c； 22． (x?secx)esinx+c； You stupid cunt ! cunnilingus penis vagina)xex3． x?ln1+ex+c； e+1()4．5． ?xlnx+x2?lnx++x2+c； (1x?x2x2+2arccosx?x2+6+c； 3916． lntanx?cscx+c； 2xtan?1+211ln+c；或 7． (sinx?cosx)?x222tan?1?22()()1π?π??(sinx?cosx)?1lncsc??x+??cot?x+?+c； 24?4?22??1?12+?+c,xx??228． F(x)=???1e?x+1x+c,?2?23(x?1)9． arctan(x?1)+x≥0； x&03+x+3； 10．xex2322(1+x)；习题5-11． e?1；2． ⑴ 0； ⑵?14π2You stupid cunt ! cunnilingus penis vagina； 3． ⑴ ?2e≤I≤?2e； ⑵ 11； ≤I≤22⑵ &； 5． ⑴ &；习题5-2 1． ⑴ 3x2+x212?2x+x8； ⑵ ?ex；1+2xcos2(y?x2)； 2． cos2y?x2?2y3． x=0；4． ⑴ 2；85． ⑴ ； 3 ⑵ 1； ⑵ 22?1； )?0,?1?6． Φ(x)=?(1?cosx),?2??1,习题5-3（1） 1． ⑴ 23?1； x&00≤x≤π，连续可导； x&π)⑵ ⑵ 2?2； 31； 642． ⑴ ； 3习题5-3（2） ⑶ ⑷ 1+ln1+e?1； ()π2；?1?13?π+ln； ?1． ??49?22??2． π4?1； 23． 1(esin1?ecos1+1)； 2You stupid cunt ! cunnilingus penis vagina?1?4． 2?1??； ?e?5． ?2π+2ln2+1； 2m偶； )?(m?1)!!π2?,??m!!26． Jm=??(m?1)!!,??m!!7． m奇1(cos1?1)； 2习题5-41． 发散； πln22． +； 423． ωp+ω22；4． 1； 5． π3； 6． 1+； 47． n!；8． k≤1，发散； k&1，收敛于 k=1?总习题五1． af(a)；2． sinx2；3． ⑴ π1； k?1k?1ln21时取得最小值； lnln2π4； ⑵ 2π3；4?13x+x+??334． F(x)=?，在[?1,1]连续，在 ?1+ex?x??3You stupid cunt ! cunnilingus penis vagina[?1,0)∪(0,1]可导； 5． c&1发散；c&1收敛，I=0； c=1收敛，I=ln2；90高等数学习题集 有答案_高等数学习题You stupid cunt !习题6-1 1． 163p2；2． 3πa2；3． 54π； 4． 2a2b3tanα； 5． 32105πa3；6． 7π2a3；7． 2π2；38． 8?9??5?2??????2???1?；?习题6-3 1． 5m4； 2． 2?1cm； 3． 3112963π（KJ）； 4． 43πr4g；5． 1100吨；6． 17.3（KN）；7． 取y轴通过细直棒，Fμlx=?Gm2，aa+l2总习题六 1． π?14a2； 2． 43； 3． π22?2π3；4． a=1，V129π1+V2=5； cunnilingus penis vaginaF?1?y=Gmμ??a?1??a2+l2?； ?5． γ(50+18π)； 6． You stupid cunt ! cunnilingus penis vaginaγπH36； ???3232?7． F=?Ga,Ga?； 5?5?You stupid cunt !习题7-1 cunnilingus penis vagina1． (a,b,?c)，(?a,b,c)，(a,?b,c)，(a,?b,?c)，(?a,b,?c)，(?a,?b,c)，(?a,?b,?c)；2． z，x，y，y2+z2，z2+x2，x2+y2，x2+y2+z2； 3． 2，?π1212π3π，?，，，，； 2223434． ⑴ 垂直于x轴，平行于yOz平面；⑵ 指向与y轴正向一致，垂直于xOz平面；⑶ 平行于z轴，垂直于xOy平面；1510??57． ±?,?,?； 333???8． ?±5,?52,?5??； 2?习题7-2 41． ?，?4，?4或?6； 32． ±1(3,?2,?2)； 3． ⑴ 3； 2 ⑵ 3； 44． 36；6． ⑴ ?2；7． ⑴ ； ⑵ ?1，5； ⑵ arccos3； 29习题7-3、习题7-422??3y?z=64． ?2； 2??3x+2z=16?1≤x2+y2≤4?1≤y2≤z≤4?1≤x2≤z2≤45． ?，?，?；?z=0?x=0?y=03?x=cost?2?3?6． ?y=cost； 2??z=3sint??You stupid cunt ! cunnilingus penis vaginaz?z??x2+y2=a2?y=asinxa=cos?7． ?，?b，?b；?z=0???x=0?y=08． (x?a)+y2?z2=0； 2习题7-51． ⑴ 9y?z?2=0；⑵ 2x?y?3z=0；⑶ x+3y=0或3x?y=0； ⑷ 2x?3y+z?6=0； ⑸ x+2y?z?5=0；2． x?2y+z?3=0，x?2y+z?5=0；3． x?3y?2z=0；73????734． ?0,,0?，?0,?,0?； 282????12习题7-6 xy?2z?41． ； ==31?22． 8x?9y?22z?59=0；3． 平行；?17x+31y?37z?117=05． ?； 4x?y+z?1=0?6． (3,4,13)；7． x+1yz?4； ==1619288． x+3y?5z+9； ==1222总习题七 1． arccos2． You stupid cunt ! cunnilingus penis vagina27； π3；3． (14,10,2)；4． x+2y+1=0；?15x?76y+16z?75=05． ?； ?4x?23y+7z?27=0?x?2y+5z?8=06． ?； x+y?z?1=0?7． ⑴ x+1=2x?1 ⑵ =2yz+3； =1?2yz+3； =12转载请保留本文连接：分享到：相关文章声明：《【高等数学习题】90高等数学习题集 有答案》由“CoRanger”分享发布，如因用户分享而无意侵犯到您的合法权益，请联系我们删除。TA的分享}