数学分析_百度文库
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你可能喜欢【分形简介】
?????? 分形，具有以非整数维形式充填空间的形态特征。分形（Fractal）一词，是芒德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等。1973年，芒德勃罗（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形的设想。
?????? 分形是一个数学术语，也是一套以分形特征为主题的数学理论。分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支，又是一门新兴的横断学科，是研究一类现象特征的新的数学分科，相对于其几何形态，它与微分方程与动力系统理论的联系更为显著。分形的自相似特征可以是统计自相似，构成分形也不限于几何形式，时间过程也可以，故而与鞅论关系密切。
?????? 分形几何是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界普遍存在，因此分形几何学又被称为描述大自然的几何学。分形几何学建立以后，很快就引起了各个学科领域的关注。不仅在理论上，而且在实用上分形几何都具有重要价值。
?????? 分形现已成为应用极为广泛的学科。芒德布罗个人风格独特，对各类看似“无定形”、“不光滑”的“怪东西”皆富有兴趣，也正是这样他才能最终抽象创立出分形这门学科。曼德布罗特来访过大陆一次以上，称中国文字个个是图形，与他路数相合（芒德布罗本人习用法语）。中国最早使用分形理论的可能是金属学界。?
【著名的分形实例】 ???
?????? 现今人们熟悉的分形的著名实例，如用“镂空”办法制成的康托尔集、谢尔宾斯基三角形(Waclaw Sierpinski,，波兰数学家)及门格奶酪或称门格海绵（Menger，，为著名经济学家门格之子），它们的非整数维数是渐增的，分别为0.63、1.58、2.72，而它们长度、面积、体积令人吃惊的皆为0。另一个用“凸起”办法制作的科赫曲线(H.von Koch,，瑞典数学家)，其维数是1.26，它的长度则是无限的，可它围住的面积却有限！
???????生活中，我们平常吃的西兰花也是很典型的分形实例。我们可以看到西兰花一小簇是整个花簇的一个分支，而在不同尺度下它们具有自相似的外形。换句话说，较小的分支通过放大适当的比例后可以得到一个与整体几乎完全一致的花簇。因此我们可以说西兰花簇是一个分形的实例。
【分形的由来】
?????? 据芒德布罗教授自己说，fractal一词是1975年夏天的一个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，突然想到的。此词源于拉丁文形容词fractus，对应的拉丁文动词是frangere（“破碎”、“产生无规碎片”）。此外与英文的fraction（“碎片”、“分数”）及fragment（“碎片”）具有相同的词根。在70年代中期以前，芒德布罗一直使用英文fractional一词来表示他的分形思想。因此，取拉丁词之头，撷英文之尾的fractal，本意是不规则的、破碎的、分数的。芒德布罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花缭乱的满天繁星等。它们的特点都是，极不规则或极不光滑。直观而粗略地说，这些对象都是分形。（下面用代码画出的一个分形图形就很像错综复杂的血管壁的横截图）
?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ――――以上资料整理自百度百科
----------------------------------------------------------我是分割线-------------------------------------------------------------
下面我们来看一些分形图形实现的代码(written in java)
package cn.
import java.awt.BorderL
import java.awt.C
import java.awt.D
import java.awt.G
import javax.swing.JF
import javax.swing.JP
import cn.lucywong.DrawL
* @author LucyWong
public class DrawFrame extends JFrame {
//声明一个DrawListener类对象
private DrawL
public static void main(String[] args) {
//实例化对象，调用初始化方法
DrawFrame df = new DrawFrame();
df.initUI();
public void initUI(){
//设置窗体属性值
this.setTitle("画板");
this.setSize(new Dimension(800,800));
this.setResizable(false);
this.setClosetion(3);
this.setLocationRelativeTo(null);
//创建中间绘制图形的面板对象，设置面板的背景色为白色
JPanel drawPanel = new JPanel();
drawPanel.setBackground(Color.WHITE);
this.add(drawPanel,BorderLayout.CENTER);
this.setVisible(true);//设置窗体可见必须放在最后
//窗体可见之后才可获取画笔，否则取到的是null
Graphics g = drawPanel.getGraphics();
//创建DrawListener类的对象
dl = new DrawListener(g);
//给事件源添加鼠标器方法，绑定事件对象
drawPanel.addMouseListener(dl);
drawPanel.addMouseMotionListener(dl);
package cn.
import java.awt.C
import java.awt.G
import java.awt.event.MouseA
import java.awt.event.MouseE
import java.util.R
public class DrawListener extends MouseAdapter {
//声明绘制图形的画笔对象名
* 构造方法,可传参
* @param g
public DrawListener(Graphics g) {
public void mouseReleased(MouseEvent e) {
//绘图方法
//drawG1();
//drawG2();
public void drawG1(){
double x1 = 0,y1 = 0.5,
double a = -2, b = -2,c = -1.2,d = 2;
for(int i = 0;i&100000;i++){
temp = x1;//将未改变的x1赋给temp以便计算y1
x1 = Math.sin(a*y1) - Math.cos(b*x1);
y1 = Math.sin(c*temp) - Math.cos(d*y1);
//System.out.println(x1+"
m = (int)((Math.sin(a*y1) - Math.cos(b*x1))*150+400);
n = (int)((Math.sin(c*x1) - Math.cos(d*y1))*150+400);
//m = (int)(x1*150+400);
//n = (int)(y1*150+400);
//System.out.println(m+"
g.drawLine(m,n,m,n);
public void drawG2(){
double a = -1.40, b = 1.56,c = 1.40,d = -6.56;
double x1 = 2,y1 = 0,
for(int i = 0; i&50000; i++){
temp = x1;
x1 = d * Math.sin(a*x1) - Math.sin(b*y1);
y1 = c * Math.cos(a*temp) + Math.cos(b*y1);
m = (int)((d*Math.sin(a*x1) - Math.sin(b*y1))*50+400);
n = (int)((c*Math.cos(a*x1) + Math.cos(b*y1))*50+300);
g.drawLine(m,n,m,n);
public void drawG3(){
//double a = 1, b = 4,c = 60;
//改变不同的参数画出的图形不一样
double a = 0.4, b = 1,c = 0;
double x1 = 0 , y1 = 0,
for(int i =0 ;i&500000;i++){
temp = x1;
x1 = y1 - Math.signum(x1) * Math.sqrt((Math.abs(b*x1 - c)));
m = (int)(x1*150+400);
n = (int)(y1*150+300);
//m = (int)(x1*2+400);
//n = (int)(y1*2+300);
Random r = new Random();
g.setColor(new Color(r.nextInt(100),r.nextInt(256),r.nextInt(256)));
g.drawLine(m, n, m, n);
????? 第一段是图形窗体的绘制，第二段是监听器和事件方法，其中drawG1( ),drawG2( ),drawG3( )是分别画出不同分形图形的方法，drawG3( )中使用不同的初始a,b,c参数的值画出的图形也不一样。
??????在第二段代码中，不同的点的x,y坐标是根据公式来计算的。我们需要给分形图形的初始点的坐标赋一个初值。其实，最开始我的想法是希望能够将获取的鼠标点击的坐标作为初始坐标，以此为中心来展开图形。但尝试过初值很大程度上会影响形状，往往事与愿违。所以最好的办法是自己试着赋一个初值，以便图形能够以一个恰当的比例显示在画板靠近中心的位置。
???????drawG1( )图形迭代公式：
?????????在这里要强调一点，由于坐标x和y的值是不断被更新的，而且在第二行求y的值时，本来应该使用未改变的x，所以我们应该定义一个变量temp来保存之前的x，以便计算y。
temp = x1;
//将未改变的x1赋给temp以便计算y1
x1 = Math.sin(a*y1) - Math.cos(b*x1);
y1 = Math.sin(c*temp) - Math.cos(d*y1);
???????在后面画图的时候，要用x1而不是temp，否则图形不对。
m = (int)((Math.sin(a*y1) - Math.cos(b*x1))*150+400);
n = (int)((Math.sin(c*x1) - Math.cos(d*y1))*150+400);
????由于drawline( ) 函数的参数只能是整型变量，所以要用double型的x1，y1来计算精确的小数坐标，然后用另外的整形变量m和n来存储扩大和平移过的坐标，以便以合适的比例显示。
? ? drawG2( )的迭代公式：
? ? drawG3( )的迭代公式：
drawG1( )画出来的图如下所示：
有木有像像一根香蕉~
drawG2( )画出来的图如下所示：
这个像甜甜圈！~
drawG3( )使用第一种参数设置：
这个就是我说的血管壁横截面_(:з」∠)_
使用第二种参数设置：
这让我想起来了小时候的万花筒，程序在执行时，从里向外又从外向里分形递归，感觉像是一株生长的海藻，很有生命力（我用setColor()给设了颜色）。
?总而言之，有趣的分形图形有很多，我们自己也可以多多尝试一些类似的迭代公式，也可以上网去查找。像毕达哥拉斯树也会是不错的尝试选择。
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数学优质课观后感
数学优质课观后感
作者/编辑：佚名
　　[]1、信息技术手段的使用信息技术作为的辅助手段正在日益广泛的被广大使用，。尤其是各类公开课、竞赛课、基本上都是无课件不上课。那么信息技术的使用应遵循哪些原则呢？ &适度&、&适时&、&适当&。信息技术为课程服务无外乎要达到1、解决重难点。2、创设情境。3、促进学生自主学习。作为一种辅助工具，信息技术手段最根本的原则是要为课堂教学服务，要本着能优化我们的课堂教学这一原则。《面积》一课的教学中教材在情境引入时呈现给学生的是一个教室的场景,并让学生看看哪些物体表面的形状是长方形，哪些是正方形。这个情境是学生熟悉的，这样一个场景的出现及问题的提出，马上把学生的思维引向与生活的联系上，让学生可以用数学的眼光看待生活中的事物。再看焦《面积》一课的教学，教师先问学生：&你们喜欢看动画片吗？然后给学生呈现了几个动画（海绵宝宝、小鲤鱼、孙悟空、哪吒）。学生的积极性马上被调动了起来。接下来教师又问：这些人物的图片是什么形状的（三个图片的形状是长方形的，一个是正方形的）？你周围哪还有长方形？教师的意图是想唤起学生学习数学的兴趣，但是我们再来考虑它的效果：首先媒体的太单一，仅局限于几张图片。另外，学生对照片的人物的兴趣度要远远大于对照片形状的兴趣。（我们从教学效果也可以看到这点，学生竟然根本没有发现有一张照片是正方形的。）多媒体的使用一个最重要的效果就是&创设情境&，&创设情境&一是激发学生的学习兴趣，另一方面就是激起学生认知上的矛盾冲突。那么这节课，教师用这样的媒体内容创设情境的目标没有得到很好的实现。三角形内角和一课的教学，两种情境的创设都是非常的。情景一：森林中三个小手中拿着三个三角形争论哪个三角形三个内角和大（小）。情境二：呈现一个三角形，固定＜1大小不变，课件演示＜2不断的变大，＜3不断的变小。让学生感知三角形的内角和是一个固定不变的值。对比两个情境，一个是生活情境，一个是数学情境。一个更味性，一个更具数学味。如果考虑学生的年龄特点（学生）两种情境应该都是可以的。二、教材的使用面积一课教材呈现了两个图形：一个长方形，一个正方形。让学生比较两个图形面积的大小。然后提示学生用透明纸把两个图形描下来把图剪下来再比一比。还不能比较出谁大谁小，然后再考虑还有没有其他比较大小，再提示学生，可以把两个图形划分成许多同样大小的方格，也就是用同样的面积衡量，为下节课学习面积单位做准备。设计意图很好但是在两个图形的大小上却有失考虑：长方形是2&4（厘米），正方形是3&3（厘米）。学生把两个图形两条边所在的直线重合，把两个图形没有重合的部分剪下来比较长方形剪下的是一个1&2的长方形，正方形剪下的是一个1&3的长方形。不用再画方格学生便能比较出正方形比长方形面积大。授课教师设计了让学生多种方法验证的教学环节：1、剪拼比较。2、用边长1厘米的小正方形分别摆一摆。3、画小方格的方法。教师详细讲解画小方格的方法。最后教师还让学生比较哪种方法最简便，最科学。如果就教材上的两个图形来说，直接剪下来比较或者剪拼的方法是最简单的。但是教师却在画方格上大做，这样的教学没有从学生的实际需要出发。其实只要在两个图形的大小上稍稍做写文章（比如：把长方形改为2.5&4）让剪拼的方法无法直接比较图形面积的大小，学生产生认知上的需要，从而引出画小方格的方法，一切问题即可迎刃而解。一些大赛课老师们不愿完全遵循教材的设计，可能多出于想要出新的考虑，但是形式上的&新&是次要的。从学生的角度，从教学目标的角度，从教学内容的角度，考虑怎样使用手中的课本才是最根本的。三、体现数学学科本身的魅力数学学科有其自身的特点：抽象、概括，严密而简洁，数学之美也源于此。两节三角形内角和的教学教师都和学生归纳方法，最后归纳出&撕拼法、折拼法、画拼法&其实这些都是我们在几何教学中经常用到的&剪拼&的方法，也是数学转化的渗透。数学语言简洁、凝练，把这种高度凝练的语言&通俗&成诸如&撕拼、画拼&之类的生活语言我想是不恰当的。数学源于生活，但是我们不能弱化数学学科本身的特征。《三角形内角和》在教材的&兔网站&中给了&黄金三角形&的知识链接。黄金三角形是顶角（或底角）为36&等腰三角形。&黄金三角形&是给人视觉上最美的三角形，因为它的腰与底长度比符合黄金分割的比。我们之美也源于此。数学不仅是抽象的、简练的，数学也是美的，的&黄金三角形&，美丽的&毕达哥拉斯树&，《》()。-------------一、认真对待，吃透教材，促进教师本次，是精心组织安排的。活动前夕，青年教师都积极准备，认真钻研教材，广泛搜集素材，虚心向老教师请教，进行了精心的教学设计，环节清晰，层次分明，体现了知识的建构过程。在课堂教学展示中，全体青年教师展现了各自的风采，对教育教学过程进行了创新，积极、合理、有效地利用多方面的资源。正是由于参赛的每位教师。对教材如此吃透，才能预设好环节、巧妙细致的教学；也正是由于对教材的如此吃透，才能巧妙地利用学生的资源以及教学中的生成资源，灵活地调整自己的教学。在课后，青年教师又积极主动地听评委们的反馈，结合自己讲课的实际认真地。促进了教学研究平。总之，本次优质课大赛促进了青年教师快速成长，提升了青年教师的教育教学水平和教研能力，打造了和谐高效课堂。二、创新情境，设计巧妙，调动学生积极性大多数课堂的情境创设不仅体现了数学从生活中来的理念，也充分考虑了计算教学的实际内容。如徐翠娜老师由奖励进步快的作为导入口，既吸引了学生的注意力，调动了学生学习的兴趣，又悄无声息地了生活中如何把单位&1&平均分，很地引入新知，营造了真实的学习情境。还有张学龄老师让低年级学生在说说笑笑、不知不觉中导入了新课。还有几位老师均创设了不同的生活情境，让学生从身边的数学问题入手，把数学问题从生活中提炼出来，让学生感受到数学源于生活，诱发了学生为解决生活中的问题而萌发了解决问题的欲望&&作为听课教师，我看到现场的同时，更多的是对他们教学技巧的敬佩。三、运用现代化教育手段，提高教学效率参赛的每位教师都能熟练的应用现代化教学手段，PPT课件的应用、精彩的视频以及FLASH制作成的都向我们展示了数学老师紧跟时代的节奏，用现代化工具我们解决了一些本来枯燥本来抽象的数学问题，将这些问题趣味化，形象化。在应用现代化教学工具的同时，并能很好的与传统的数学教学手段相结合，做到严谨和生动相结合，既提高了教学效率，又实现了解决数学问题的效果。四、教学观念新，课堂氛围宽松和谐参赛教师有着扎实的教学基本功。他们的教学观念新，突出体现了新课程的教学理念。即把握住了一条线：以学生为本。如：陈杰、杜国静、刘艳等多位参赛教师通过让学生、发现、整理信息，使学生能合理利用已有知识来探究新知，寻求解决问题的策略，营造了宽松和谐的课堂氛围。如：李俊岭、李宏伟等低年级参赛教师多次提问&你有什么办法&&你是怎样想的&，促进了学生的思维的发展和能力的培养。此外，参赛教师还注意了学法的引导，始终注意引导学生自己思考、想一想、画一画、说一说，并注意发挥小组互动的作用，让学生在小组活动中充分的展示，为学生构建学习的平台。参赛教师更注意了知识生成的方法的探究及能力形成的培养，给学生提供&做&数学的机会，让学生在学习过程中去体验和数学；给学生提供充分的从事数学活动和的机会，帮助他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法。　总之，这次优质课评比活动，给我带来了很多的思考，更让我从中看到了我的不足以及今后努力的方向。如：根据学生发言灵活调控课堂的能力，创造性的使用教材的能力等等，都需要我在今后的教学过程中进一步的加强。这次优质课评比活动，让我深刻到：作为一名中年的数学教师，要想在课堂中做到游刃有余，让授课进入更高境界，我还必须在以下方面下功夫：一要勤于学习研究；二要学生的表达能力；三要勤于思考推敲；四要动手制作动态课件。使自己的教学经验不断丰富，教学技能不断提高，从而让自己今后的数学课堂更加吸引我的学生们。
数学优质课观后感2　　　　〖预览〗暑假里，我读的是特级教师华应龙老师的《我这样教数学》这本书。该书详细地记录了华老师的12个精典的课例&角的度量&、&多位数减法练习课&、&中括号&、&长方体的认识&、&百分数的认识&&&等把我们带入了数学的神秘神奇但却是实实在在的世界里。每个例子都配以课前慎思、课堂实录、课后反思及专家评析，让人亲历专家的精品课是如何雕琢出来的。书中既有华老师的教，也有专家对他执教的课的评；既有他教学实践的反思，也有他对人生的感悟。读完后我的内心油然生起一股感慨与敬意之情。一、 精彩的课堂评价语言我们平常的评价语言停留在&你真聪明&、&你真棒&等。在12节课中，华老师的精彩语言随处可见,下面我摘录一些与大家分享。&呦，真会动脑子，虽然没学过，有的人还真量对了，有的人虽然不会，但在动脑子，我觉得也挺好的。小伙子，带你的量角器，到投影这儿来，把你的方法展示一下。&&还没学，不会很正常，但敢于尝试，值得表扬。我提议大家为这样敢于尝试的精神鼓掌！&&我想刚才举手的人和笑的人跟她想的是一样的。佩……【】数学优质课观后感3　　　　〖预览〗读完马博士这本风靡美国的著作，对我冲击很大有两点：原来名著是这样写成的，感叹于她另类的写作手法；原来美国老师这么笨，相比之下中国老师这么聪明，不可同日而语啊。摘录：本文是选取了四道数学题：退位减法、多位数乘法、分数除法，以及封闭图形面积和周长的关系，每一道题就是一个研究专题。先设计课堂情境，再请美、中教师就此内容阐述教法和解法。厉害的是马博士能将这些习以为常的方法进行深入剖析，反应了其背后隐藏的数学原理。最后通过对比谈谈两国教师的知识差别。感悟：其中我很费解的两个词：&过程性理解和概念性理解&。 借1与退1的区别：位值退1是过程性，退1相关的原理是概念性。收获较大的是看完后更好地对&知识网络&、&知识包&的理解。如书上114页，三幅对比图，就是由原来完全分离的几个知识点，再变成四个手牵手的图，有隐性联系数学基本态度，有显性的练习基本原理。反应了他对数学的深刻理解，包括宽度、深度、关联度和完整度。除了图式的讲解，还有更形象的比喻，我们掌握知识就得像熟练的出租车司机理解城市，有多条路，脑海里有个错综复杂的地图。第一章：重组数字做减法的区别：例子：美国老师觉得7+2+3=9=12对的，连中国学生也不会犯这样的错误。美国教师的方法：&拿1个10……【】数学优质课观后感4　　　　〖预览〗读《高斯发现的数学原理》有感　　■实验小学四年级& 刘芝妤　　今天，我读了《高斯发现的数学原理》这篇文章。文章讲了，高斯出生在一个贫穷的家庭，在他还不会讲话的时就自己计算。三岁那年的一个晚上，他看着父亲算工钱时，还纠正了父亲计算的错误。　　教高斯数学的老师是一个从城里来的人，觉得自己在一个穷乡僻壤教几个小猢狲读书真是大材小用。这一天数学教师正好情绪低落，让同学们做作业。同学们看到老师抑郁的脸孔，心里害怕起来，于是就认真的作业。还不到半小时，高斯就把作业做完了，送给老师检查。　　老师头也不抬地说：错的！高斯非说自己的是对的。老师接过来一看，高斯的计算不仅正确，而且他还发现了计算简便快捷的数学原理。　　跟高斯比起来，我感到脸红。每当在学习中有了困难和问题时，我很少换一种方法去思考，而总是直接问家长或老师。　　在数学家庭作业中，我有一题不会做，可是我想都没想，就说我不会做，就去问妈妈。妈妈耐心地给我讲解，可是我只是听懂写了上去，却没有换一个角度去思考问题。我现在觉得很惭愧。　　我想：如果，我只是听懂了，就写了上去，但却没有深入的去分析，去理解、去思考这道题。虽然，这道题改下来是正确的，但如果是仅仅是这样的话，过了些日子可能就忘记了解题的方法。如果认真地分析思考了，肯定是不会忘记的。　　通过读高斯的故事，我深深地体会……【】数学优质课观后感5　　　　〖预览〗数学家的名言（一）　　1、如果我继承可观的财产，我在数学上可能没有多少价值了。――拉格朗日　　2、给我五个系数，我讲画出一头大象；给我六个系数，大象将会摇动尾巴。――AL柯西　　3、天才=1％的灵感+99％的血汗。――爱迪生　　4、事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干知，发其一端而已。又所析理以辞，解体用图，庶亦约而能周，通而不黩，览之者思过半矣……――刘徽　　5、我不知道，世上人会怎样看我；不过，我自己觉得，我只像一个在海滨玩耍的孩子，一会捡起块比较光滑的卵石，一会儿找到个美丽的贝壳；而在我前面，真理的大海还完全没有发现。――牛顿　　6、我决心放弃那个仅仅是抽象的几何。这就是说，不再去考虑那些仅仅是用来练思想的问题。我这样做，是为了研究另一种几何，即目的在于解释自然现象的几何……――笛卡儿　　什么事数学（二）　　“什么是数学？”　　数学本身是一个历史的概念，数学的内涵随着时代的变化而变化，给数学下一个一劳永逸的定义是不可能的。我们在这里就从历史的角度来谈谈“什么是数学”这个问题。　　公元前6世纪前，数学主要是关于“数”的研究。这一时期在古埃及、巴比伦、印度与中国等地区发展起来的数学，主要是计数、初等算术与算法，几何学则可以看作是应用算术。从公元前6世纪开始，希腊数学的兴起，突出了对“形”的研究。数学于是成为了关于数……【】数学优质课观后感6　　　　〖预览〗数学名言（一）　　1、给我五个系数，我讲画出一头大象；给我六个系数，大象将会摇动尾巴。――柯西　　2、上帝创造了整数，所有其余的数都是人造的。――L?克隆内克　　3、发现每一个新的群体在形式上都是数学的，因为我们不可能有其他的指导。――达尔文　　4、纯数学是魔术家真正的魔杖。――诺瓦列斯　　5、数学是无穷的科学。――赫尔曼外尔　　6、数学对观察自然做出重要的贡献，它解释了规律结构中简单的原始元素，而天体就是用这些原始元素建立起来的。――开普勒　　数学家的故事（二）　　苏步青的故事　　苏步青1902年9月出生在浙江省平阳县的一个山村里。虽然家境清贫，可他父母省吃俭用，拼死拼活也要供他上学。他在读初中时，对数学并不感兴趣，觉得数学太简单，一学就懂。可量，后来的一堂数学课影响了他一生的道路。　　那是苏步青上初三时，他就读浙江省六十中来了一位刚从东京留学归来的教数学课的杨老师。第一堂课杨老师没有讲数学，而是讲故事。他说：“当今世界，弱肉强食，世界列强依仗船坚炮利，都想蚕食瓜分中国。中华亡国灭种的危险迫在眉睫，振兴科学，发展实业，救亡图存，在此一举。‘天下兴亡，匹夫有责’，在座的每一位同学都有责任。”他旁征博引，讲述了数学在现代科学技术发展中的巨大作用。这堂课的最后一句话是：“为了救亡图存，必须振兴科学。数学是科学的开路先锋，为……【】数学优质课观后感7　　　　〖预览〗数学公式（一）　　三角函数公式　　两角和公式　　sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA　　cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB　　tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)　　ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)　　倍角公式　　tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga　　cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a　　半角公式　　sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)　　cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)　　tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))　　ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√……【】数学优质课观后感8　　　　〖预览〗数学考试是人生中必有的一场综合的较量,再考试中,我们应该沉着冷静,想想老师平时说的,做做看,如果还是不会的话.就再仔细的读题,不能放过每一个字.　　　　记得有一次,在数学考试中,我向平时一样的速度做着.可是,好景不长,我便遇到了一道很难的题目,我左思右想,想着我们数学王老师平时跟我们说过的方法做着,王老师说过,遇到不会做的题目可以先不用做,留到最后在做,还可以在草稿纸上画画图啊之类的.　　　　只有这样,数学考试就不怕难题了.……【】
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