因为数列收敛,设,由定义,对于,存在正整数,

取,则对一切的n,都有,所以数列有界.

根据定理2,如果数列无界,则数列一定是发散的.但必须注意：有界数列不一定收敛.例如,数列是有界的.因为,但它却是发散的(见例4).可见,数列有界是数列收敛的必要条件,但不是充分条件．

由于1/(√(n+1)+√n))递减趋于0,由莱布尼兹交错级数判别法,级数收敛

楼上说得对，Cauchy原理是实数基本定理，实际上和闭区间套定理，确界存在定理，Bolzano-Weierstrass定理，单调有界数列收敛定理是等价的。可以先根据实数基本定义推出其中一个，然后推出后面五个，再推回第一个。我这里根据一般数学书上的顺序：

Cauchy原理充分性证明：Cauchy列必为有界数列。因为存在L，对任意n>L，

有极限定义，就证明了{xn}收敛于y。