求函数值域的常用方法
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求函数值域的常用方法
摘要：在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程、避繁就简、事半功倍的作用。
关键词：函数；值域；常用方法
&&&&&&& 求函数值域的常用方法有：配方法，分离常数法，判别式法，反解法，换元法，不等式法，单调性法，函数有界性法，数形结合法，导数法。
&&&&&&& 一、配方法
&&&&&&& 二、反解法
&&&&&&& 三、分离常数法
&&&&&&& 四、判别式法
&&&&&&& 五、换元法
&&&&&&& 六、不等式法
&&&&&&& 七、函数有界性法
&&&&&&& 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
&&&&&&& 八、函数单调性法&
&&&&&&& 先确定函数在其定义域（或定义域的某个子集上）的单调性，再求出函数值域的方法。考虑这一方法的是某些由指数形式的函数或对数形式的函数构成的一些简单的初等函数，可直接利用指数或对数的单调性求得答案；还有一些形如，看a,d是否同号，若同号用单调性求值域，若异号则用换元法求值域；还有的在利用重要不等式求值域失败的情况下，可采用单调性求值域。
&&&&&&& 九、数形结合法
&&&&&&& 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式、直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
&&&&&&& 十、导数法
&&&&&&& 利用导数求闭区间上函数的值域的一般步骤：(1)求导，令导数为0；(2)确定极值点，求极值；(3)比较端点与极值的大小，确定最大值与最小值即可确定值域。
&&&&&&& 总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
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TA的最新馆藏[转]&六种方法破解求函数值域问题
六种方法破解求函数值域问题
函数的值域是函数的重要性质之一，它的求法很多，下面结合实例进行例析。
一、反函数法
利用函数和它的反函数的定义域与值域的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域。例如求函数的值域，这种类型的题目也可采用分离常数法。
& 例1. 求函数的值域。
&&& 解：由解得，因为，所以，则，故函数的值域为。
二、换元法
&&& 换元法主要是把题目中出现多次的一个复杂的部分看作一个整体，通过简单的换元把复杂函数变为简单函数，我们使用换元法时，要特别注意换元后新元的范围（即定义域）。换元法是几种常用的数学方法之一，在求函数的值域中发挥很大作用。
& 例2. 若，求函数的值域。
&&& 解：，因为，则，于是，故的值域是。
三、分离常数法
&&& 求一次分式函数值域可用分离常数法，此类问题有时也可以利用反函数法。
& 例3. 求函数的值域。
&&& 解：，因为，则，故函数的值域为。
四、判别式法
&&& 把函数转化成关于x的二次方程，通过方程有实数根，根据判别式，从而求得原函数的值域，形如求函数（、不同时为0）的值域，常用此方法求解。注意这类函数的定义域一般是实数集时用这种方法一般不会出错，否则不宜用这种方法。
& 例4. 求函数的值域。
&&& 解：原式变形为。
&&& ①当时，方程无解；
②当时，因为，所以，解得。
综合①②得，函数的值域为。
五、函数的单调性法
&&& 确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，借助单调性求出函数的值域。
& 例5. 求函数的值域。
&&& 解：因为当x增大时，随的增大而减少，随的增大而增大，所以函数在定义域上是增函数。
&&& 故，所以函数的值域为。
六、利用有界性
&&& 利用函数解析式中局部式子的有界性来求整个函数的值域也是常用的求值域的方法。
& 例6. 求函数的值域。
&&& 解：由函数的解析式可以知道函数的定义域为R，对函数进行变形可得，因为，所以，则，故，所以函数的值域为。您所在位置： &
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值域经典题型分析
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求函数值域的方法!
在函数的三要素中,对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用.本文就函数值域求法归纳如下.1,直接观察法对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到.例1 求函数y=3-的值域.0 - 0 3- 3故函数的值域是:[-∞,3] 2,配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一.例2,求函数y=-2x+5,x[-1,2]的值域.将函数配方得:y=(x-1)+4,x[-1,2],由二次函数的性质可知:当x=1时,y =4当x=-1,时=8故函数的值域是:[4,8] 3,判别式法例3 求函数y=的值域.原函数化为关x的一元二次方程(y-1)-x+(y-1)=0(1)当y≠1时,xR,△=(-1)-4(y-1)(y-1) 0解得:y(2)当y=1,时,x=0,而1[,]故函数的值域为[,]例4求函数y=x+的值域.两边平方整理得:2-2(y+1)x+y=0(1)xR,△=4(y+1)-8y0解得:1-y1+但此时的函数的定义域由x(2-x)0,得:0x2.由△0,仅保证关于x的方程:2-2(y+1)x+y=0在实数集R有实根,而不能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程(1)有实根,由△0求出的范围可能比y的实际范围大,故不能确定此函数的值域为[,].可以采取如下方法进一步确定原函数的值域.0x2,y=x+0,=0,y=1+代入方程(1),解得:=[0,2],即当=时,原函数的值域为:[0,1+].注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除.4,反函数法直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域.例5 求函数y=值域.由原函数式可得:x=则其反函数为:y=其定义域为:x≠故所求函数的值域为:(-∞,)5,函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域.例6 求函数y=的值域.由原函数式可得:=>0,>0 解得:-1 7,换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型.换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用.例9 求函数y=x+的值域.令x-1=t,(t0)则x=+1∵y=+t+1=+,又t0,由二次函数的性质可知当t=0时,y=1,当t→0时,y→+∞.故函数的值域为[1,+∞) 8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目.例10 求函数y=+的值域.原函数可化简得:y=∣x-2∣+∣x+8∣ 上式可以看成数轴上点P(x)到定点A(2),B(-8)间的距离之和.由上图可知:当点P在线段AB上时,y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时,y=∣x-2∣+∣x+8∣>∣AB∣=10故所求函数的值域为:[10,+∞]例11 求函数y=+ 的值域原函数可变形为:y=+上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(-2,-1)的距离之和,由图可知当点P为线段与x轴的交点时,y=∣AB∣==,故所求函数的值域为[,+∞].例12 求函数y=-的值域将函数变形为:y=-上式可看成定点A(3,2)到点P(x,0)的距离与定点B(-2,1)到点P(x,0)的距离之差.即:y=∣AP∣-∣BP∣由图可知:(1)当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时,如点P ,则构成△ABP ,根据三角形两边之差小于第三边,有 ∣∣AP ∣-∣BP ∣∣
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