若f(x)在x=x0处连续,那么.limf(x)/(x-x0)=A的充分必要条件是f(x0)=0,f(x0)的一次导数为A,请问怎么证?
清枫琌螵饚
先证必要性：由limf(x)/(x-x0)=A因为分母是趋于0的,而且该式子的极限存在,所以分子应该也是趋于0的,而且f(x)在x0处连续所以limf(x)=0=f(x0)所以极限可一写为lim（f(x)-f(x0))/(x-x0)=A由导数定义知道x0点的导数f`(x0)=A再证充分性：因为f(x0)的一次导数为A所以有 lim（f(x)-f(x0))/(x-x0)=A因为f(x0)=0所以limf(x)/(x-x0)=A证毕
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扫描下载二维码若lim f(x)=A,而lim g(x)不存在,则lim(f(x)+g(x))=?（题中lim都是x趋近于x0）
然然﹋ifsw
答案是不存在用反证法,令s(x)=f(x)+g(x) 若lim s(x) = lim (g(x)+f(x))存在则 g(x) = s(x) -f(x)lim g(x) = lim (s(x)-f(x))由极限的四则运算法则有,右边是两个极限存在的两函数的差,所以极限也存在但左边g(x)由已知是极限是不存在的,矛盾所以lim s(x) = lim (g(x)+f(x))不存在
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不存在lim(f(x)+g(x))=lim f(x)+lim g(x)=A+lim g(x)不存在
结果为不存在。lim满足加法运算，若lim(f(x)+g(x))存在，设为B，则可得limg(x)=lim(f(x)+g(x))+(-limf(x))=B+（-A)=B-A 与limg(x)不存在矛盾。得证
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