理解矩阵乘法 - 阮一峰的网络日志
理解矩阵乘法
大多数人在高中，或者大学低年级，都上过一门课《线性代数》。这门课其实是教矩阵。
刚学的时候，还蛮简单的，矩阵加法就是相同位置的数字加一下。
矩阵减法也类似。
矩阵乘以一个常数，就是所有位置都乘以这个数。
但是，等到矩阵乘以矩阵的时候，一切就不一样了。
这个结果是怎么算出来的？
教科书告诉你，计算规则是，第一个矩阵第一行的每个数字（2和1），各自乘以第二个矩阵第一列对应位置的数字（1和1），然后将乘积相加（ 2 x 1 + 1 x 1），得到结果矩阵左上角的那个值3。
也就是说，结果矩阵第m行与第n列交叉位置的那个值，等于第一个矩阵第m行与第二个矩阵第n列，对应位置的每个值的乘积之和。
怎么会有这么奇怪的规则？
我一直没理解这个规则的含义，导致《线性代数》这门课就没学懂。研究生时发现，线性代数是向量计算的基础，很多重要的数学模型都要用到向量计算，所以我做不了复杂模型。这一直让我有点伤心。
前些日子，受到的启发，我终于想通了，矩阵乘法到底是什么东西。关键就是一句话，矩阵的本质就是线性方程式，两者是一一对应关系。如果从线性方程式的角度，理解矩阵乘法就毫无难度。
下面是一组线性方程式。
矩阵的最初目的，只是为线性方程组提供一个简写形式。
老实说，从上面这种写法，已经能看出矩阵乘法的规则了：系数矩阵第一行的2和1，各自与 x 和 y 的乘积之和，等于3。不过，这不算严格的证明，只是线性方程式转为矩阵的书写规则。
下面才是严格的证明。有三组未知数 x、y 和 t，其中 x 和 y 的关系如下。
x 和 t 的关系如下。
有了这两组方程式，就可以求 y 和 t 的关系。从矩阵来看，很显然，只要把第二个矩阵代入第一个矩阵即可。
从方程式来看，也可以把第二个方程组代入第一个方程组。
上面的方程组可以整理成下面的形式。
最后那个矩阵等式，与前面的矩阵等式一对照，就会得到下面的关系。
矩阵乘法的计算规则，从而得到证明。
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3.8.5 0-1矩阵
3.8.5 0-1矩阵
袁崇义/屈婉玲 等译
机械工业出版社
《离散数学及其应用（原书第6版）》第3章基础：算法、整数和矩阵，本章将利用数论来进行信息保密、生成伪随机数并为计算机文件分配内存地址。一度被认为是最纯粹数学科目的数论已成为计算机和网络安全的实质性工具。本节为大家介绍0-1矩阵。
3.8.5 0-1矩阵
元素非0即1的矩阵称为0-1矩阵。在第8章和第9章将会看到，0-1矩阵常用来表示离散结构。使用这些结构的算法的基础是以0-1矩阵做布尔算术。布尔算术的基础是运算∧和∨，这些运算作用在一对二进制位上，定义如下：
注意A和B的布尔积的计算方法类似于这两个矩阵的普通乘积，但要用运算∨代替加法，用运算∧代替乘法。下面给出一个矩阵布尔乘法的例子。
例10求A和B的布尔积，其中
解A和B的布尔积A⊙B由下式给出：
算法2给出了计算两个矩阵的布尔积的伪码。
还可以定义0-1方阵的布尔幂。这些幂将用于以后学习图中的通路，通路常用于为计算机网络中通信路径这类东西建立模型。
令A为0-1方阵，r为正整数。A的r次布尔幂是r个A的布尔积。A的r次布尔幂用A［r］表示，因此
很容易求出计算两个n×n矩阵的布尔积需要的位运算次数。
例12若A和B为n×n阶0-1矩阵，计算A⊙B需要做多少次位运算？
解A⊙B中有n2个元素。用算法2，需要n次∨和n次∧来计算A⊙B的一个元素。因此每求一个元素需要2n次位运算。所以用算法2计算A⊙B需要2n3次位运算。【责任编辑： TEL：（010）】&&&&&&
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