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[导读]第1讲 第1章 §1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征 ¤学习目标：认识柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述生活中简单物体的结构.逐步培养观察能力和抽象概括能力. ¤知识要点： 结 构 特 征 图例 棱柱 （1）两底面相互平行，其余各面都是平行四边形； （2）侧棱平行...
第1讲 第1章
§1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征
　　¤学习目标：认识柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述生活中简单物体的结构.逐步培养观察能力和抽象概括能力.
　　¤知识要点：
结 构 特 征图例棱柱
（1）两底面相互平行，其余各面都是平行四边形；
（2）侧棱平行且相等.圆柱（1）两底面相互平行；（2）侧面的母线平行于圆柱的轴；
（3）是以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体.棱锥（1）底面是多边形，各侧面均是三角形；
（2）各侧面有一个公共顶点.圆锥（1）底面是圆；（2）是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体.棱台（1）两底面相互平行；（2）是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分.圆台（1）两底面相互平行；
（2）是用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分.球（1）球心到球面上各点的距离相等；（2）是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体.
　　¤例题精讲：
1.下列说法错误的是（
A.多面体至少有四个面
B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形
C.长方体、正方体都是棱柱
D.三棱柱的侧面为三角形
分析：多面体至少应有四个顶点组成（否则至多3个顶点，而3个顶点只围成一个平面图形），而四个顶点当然必须围成四个面，所以A正确；棱柱侧面为平行四边形，其侧棱和侧面的个数与底面多边形的边数相等，所以B正确；长方体、正方体都是棱柱，所以C正确；三棱柱的侧面是平行四边形，不是三角形，所以D错误.答案：D2.一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为___________ cm.
分析：n棱柱有2n个顶点，由于此棱柱有10个顶点，那么此棱柱为五棱柱，又因棱柱的侧棱都相等，五条侧棱长的和为60 cm，可知每条侧棱长为12 cm.
3.在本节我们学过的常见几何体中,如果用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是___________.
分析：棱锥、棱柱、棱台、圆锥等几何体的截面都可以是三角形，因此本题答案是开放的，作答时要考虑周全.
答案：棱锥、棱柱、棱台、圆锥
§1.1.2 简单组合体的结构特征
　　¤学习目标：认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
　　¤知识要点：观察周围的物体，大量的几何体是由柱、锥、台等组合而成的，这些几何体称为组合体.
¤例题精讲：【例1】在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（
　　解：在长方体中，取四棱锥，它的四个侧面都是直角三角形. 选D.
　　【例2】已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为，求球的半径.
　　解：圆台轴截面为等腰梯形，与球的大圆相切，由此得
　　　梯形腰长为R+r，梯形的高即球的直径为，
　　　所以，球的半径为.
§1.2.2 空间几何体的三视图
　　¤学习目标：能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料（如：纸板）制作模型.
　　¤知识要点：
　　1. "视图"是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图. 光线自物体的前面向后投影所得的投影图成为"正视图"，自左向右投影所得的投影图称为"侧视图"，自上向下投影所得的图形称为"俯视图". 用这三种视图即可刻划空间物体的几何结构，称为"三视图".
　　2. 画三视图之前，先把几何体的结构弄清楚，确定一个正前方，从几何体的正前方、左侧（和右侧）、正上方三个不同的方向看几何体，画出所得到的三个平面图形，并发挥空间想象能力. 在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分用虚线表示出来.
　　¤例题精讲：
【例1】画出下列各几何体的三视图：
解：这两个几何体的三视图如下图所示.
　　【例2】画出下列三视图所表示的几何体.　　　　　　　　　　　　解：先画几何体的正面，再侧面，然后结合三个视图完成几何体的轮廓. 如下图所示.　　　　　　　　
　　【例3】如图，图（1）是常见的六角螺帽，图（2）是一个机器零件（单位：cm），所给的方向为物体的正前方. 试分别画出它们的三视图.
　　解：图（1）为圆柱和正六棱柱的组合体. 图（2）是由长方体切割出来的规则组合体.
　　从三个方向观察，得到三个平面图形，绘制的三视图如下图分别所示.　　　　　　第
§1.2.3 空间几何体的直观图
　　¤学习目标：会用斜二侧法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的直观图. 了解空间图形的不同表示形式.
　　¤知识要点："直观图"最常用的画法是斜二测画法，由其规则能画出水平放置的直观图，其实质就是在坐标系中确定点的位置的画法. 基本步骤如下：（1） 建系：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，得到直角坐标系，直观图中画成斜坐标系，两轴夹角为.
　　（2）平行不变：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'或y'轴的线段.
　　（3）长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半.
　　¤例题精讲：【例1】下列图形表示水平放置图形的直观图，画出它们原来的图形.
　　解：依据斜二测画法规则，逆向进行，如图所示.
　　【例2】（1）画水平放置的一个直角三角形的直观图；（2）画棱长为4cm的正方体的直观图.
　　解：（1）画法：如图，按如下步骤完成.
　　第一步，在已知的直角三角形ABC中取直角边CB所在的直线为x轴，与BC垂直的直线为y轴，画出对应的轴和轴，使.
　　第二步，在轴上取，过作轴的平行线，取.
　　第三步，连接，即得到该直角三角形的直观图.
　　（2）画法：如图，按如下步骤完成.
　　第一步，作水平放置的正方形的直观图ABCD，使.
　　第二步，过A作轴，使. 分别过点作轴的平行线，在轴及这组平行线上分别截取.
　　第三步，连接，所得图形就是正方体的直观图.
　　点评：直观图的斜二测画法的关键之处在于将图中的关键点转化为坐标系中的水平方向与垂直方向的坐标长度，然后运用"水平长不变，垂直长减半"的方法确定出点，最后连线即得直观图. 注意被遮挡的部分画成虚线.
§1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积
　　¤学习目标：了解棱柱、棱锥、台的表面积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用柱、锥、台的表面积进行计算和解决有关实际问题.
　　¤知识要点：
表面积相关公式
表面积相关公式棱柱圆柱
（r：底面半径，h：高）棱锥圆锥
（r：底面半径，l：母线长）棱台圆台
（r：下底半径，r'：上底半径，l：母线长）
　　¤例题精讲：
　　【例1】已知圆台的上下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长.
　　解：设圆台的母线长为，则圆台的上底面面积为，圆台的上底面面积为，
　　所以圆台的底面面积为.又圆台的侧面积，
　　于是，即为所求.
　　【例2】一个正三棱柱的三视图如右图所示，求这个正三棱柱的表面积.
　　解：由三视图知正三棱柱的高为2mm.
由左视图知正三棱柱的底面三角形的高为.
设底面边长为a，则， ∴ .
∴正三棱柱的表面积为.
　　【例3】牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如右图所示，请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少平方米的篷布？（精确到0.01 m2）
　　解：上部分圆锥体的母线长为，
　　其侧面积为.
　　下部分圆柱体的侧面积为 .
　　所以，搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为
　　（m2）.
点评：正确运用锥体和柱体的侧面积计算公式，解决制作壳形几何体时的用料问题. 注意区分是面积计算，还是体积计算.
§1.3.1 柱体、锥体、台体的体积
　　¤学习目标：了解棱柱、棱锥、台体的体积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用柱、锥、台的体积公式进行计算和解决有关实际问题.
　　¤知识要点：1. 体积公式：
体积公式棱柱圆柱棱锥圆锥棱台圆台
2. 柱、椎、台之间，可以看成一个台体进行变化，当台体的上底面逐渐收缩为一个点时，它就成了锥体；当台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时，它就成了柱体. 因而体积会有以下的关系：
　　¤例题精讲：【例1】一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则长方体的体积是
.解：设长方体的长宽高分别为，则，
　　三式相乘得.所以，长方体的体积为6.
　　【例2】一块边长为10的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积V与x的函数关系式,并求出函数的定义域.
　　解：如图，设所截等腰三角形的底边边长为.
　　在中，,
　　所以, 于是.
　　依题意函数的定义域为.
　　【例3】一个无盖的圆柱形容器的底面半径为，母线长为6，现将该容器盛满水，然后平稳缓慢地将容器倾斜让水流出，当容器中的水是原来的时，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为　 　　.
　　解：容器中水的体积为.
　　流出水的体积为，如图，.
　　设圆柱的母线与水平面所成的角为α，则，解得.
　　所以，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为60°.
　　点评：抓住流水之后空出部分的特征，它恰好是用一个平面去平分了一个短圆柱. 从而由等体积法可计算出高度，解直角三角形而得所求角.
§1.3.2球的体积和表面积
　　¤学习目标：了解球的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.
　　¤知识要点：1. 表面积：
（R：球的半径）.
2. 体积：.
　　¤例题精讲：
　　　【例1】有一种空心钢球，质量为，测得外径等于，求它的内径（钢的密度为，精确到）．
　　　解：设空心球内径(直径)为，则钢球质量为，　　∴， ∴，
　　∴直径，即空心钢球的内径约为.
　　　【例2】表面积为的球，其内接正四棱柱的高是，求这个正四棱柱的表面积.
　　　解：设球半径为，正四棱柱底面边长为，则作轴截面如图，，，
　　　又∵，∴，∴，∴，　　∴.【例3】（04年辽宁卷.10）设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（
A． B． C． D．
【解】由已知可得，A、B、C、D在球的一个小圆上.
∵ AB=BC=CD=DA=3，
∴ 四边形为正方形.
∴ 小圆半径.
由得，解得.
∴ 球的体积.
　　点评：解答球体中相关计算，一定要牢记球的截面性质，体积和表面积公式.
　　¤学习目标：能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的"平面"；理解平面的无限延展性；正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系；初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化；理解可以作为推理依据的三条公理.
　　¤知识要点：
　　1. 点在直线上,记作；点在平面内,记作；直线在平面内,记作.
　　2. 平面基本性质即三条公理的"文字语言"、"符号语言"、"图形语言"列表如下：公理1公理2公理3图形语言
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
　　3.公理2的三条推论：
　　推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；
　　推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面；
　　推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
　　¤例题精讲：
【例1】如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线是否共面？（P56 A组5题）
　　解：根据公理2的推论3，可知两条平行直线确定一个平面，又由公理1可知，与两条平行直线相交的第三条直线在这个平面内，所以一条直线与两条平行直线都相交时，这三条直线是共面的关系.
　　【例2】空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，已知EF和GH交于P点，求证：EF、GH、AC三线共点. （同P58 B组3题）
　　解：∵PEF，EF面ABC，∴P面ABC.
同理P面ADC.
　　∵ P在面ABC与面ADC的交线上，
　　又 ∵面ABC∩面ADC=AC， ∴PAC，即EF、HG、AC三线共点.
　　【例3】求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内.
　　已知：直线两两相交，交点分别为，
　　求证：直线共面.
　　证明：因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面α．
　　　因为A∈α，B∈α，所以AB α． 同理BC α，AC α.
　　　所以AB，BC，CA三直线共面．
　　点评：先依据公理2, 由不共线的三点确定一个平面，再依据公理1, 证三条直线在平面内. 注意文字语言给出的证明题，先根据题意画出图形，然后给出符号语言表述的已知与求证. 常根据三条公理，进行"共面"问题的证明.
【例4】在正方体中，
（1）与是否在同一平面内？（2）点是否在同一平面内？
（3）画出平面与平面的交线，平面与平面的交线.
解：（1）在正方体中，
∴由公理2的推论可知，与可确定平面，
∴与在同一平面内.
（2）∵点不共线，由公理3可知，点可确定平面，∴ 点在同一平面内.
（3）∵，， ∴点平面，平面，
又平面，平面， ∴ 平面平面，
同理平面平面．
点评：确定平面的依据有公理2（不在同一条直线上的三点）和一些推论（两条平行直线、两条相交直线、直线和直线外一点）. 对几条公理的作用，我们必须十分熟练.
§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
　　¤学习目标：了解空间两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，掌握平行公理，掌握等角定理，掌握两条异面直线所成角的定义及垂直.
　　¤知识要点：
　　1. 空间两条直线的位置关系：
　　2. 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）. 所成的角的大小与点的选择无关，为了简便，点通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作. 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算.
　　¤例题精讲：
　　【例1】已知异面直线a和b所成的角为50°，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成角都是30°的直线有且仅有（
　　 A. 1条
　　解：过P作∥a，∥b，若P∈a，则取a为，若P∈b，则取b为．这时，相交于P点，它们的两组对顶角分别为50°和130°.
　　记，所确定的平面为β，那么在平面β内，不存在与，都成30°的直线．
　　过点P与，都成30°角的直线必在平面β外，这直线在平面β的射影是，所成对顶角的平分线．其中射影是50°对顶角平分线的直线有两条l和，射影是130°对顶角平分线的直线不存在．故答案选B.
　　【例2】如图正方体中，E、F分别为D1C1和B1C1的中点，P、Q分别为AC与BD、A1C1与EF的交点. （1）求证：D、B、F、E四点共面；
　　（2）若A1C与面DBFE交于点R，求证：P、Q、R三点共线.
　　证明：（1）∵ 正方体中，，∴.
又 ∵ 中，E、F为中点，
即D、B、F、E四点共面.
　　（2）∵ ，，，，
　　又 ， ∴
，， ∴ . 即P、Q、R三点共线
　　【例3】已知直线a//b//c，直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，求证：a、b、c、d四线共面.
　　证明：因为a//b，由公理2的推论，存在平面，使得.
　　又因为直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，由公理1，.
　　假设，则, 在平面内过点C作，
　　因为b//c，则，此与矛盾. 故直线.
　　综上述，a、b、c、d四线共面.
　　点评：证明一个图形属于平面图形，需要紧扣公理2及其三条推论，寻找题中能确定平面的已知条件. 此例拓展的证明先构建出一个平面，然后从假设出发，推出矛盾，矛盾的原因是假设不成立，这就是证明问题的一种反证法的思路.
　　【例4】如图中，正方体ABCD-A1B1C1D1，E、F分别是AD、AA1的中点.
　　（1）求直线AB1和CC1所成的角的大小；
　　（2）求直线AB1和EF所成的角的大小.
　　解：（1）如图，连结DC1 ， ∵DC1∥AB1，
　　∴ DC1 和CC1所成的锐角∠CC1D就是AB1和CC1所成的角.
　　∵ ∠CC1D=45°， ∴ AB1 和CC1所成的角是45°.
　　（2）如图，连结DA1、A1C1，
　　∵ EF∥A1D，AB1∥DC1，∴ ∠A1DC1是直线AB1和EF所成的角.
　　∵ΔA1DC1是等边三角形， ∴ ∠A1DC1=60o，即直线AB1和EF所成的角是60o.
　　点评：求解异面直线所成角时，需紧扣概念，结合平移的思想，发挥空间想象力，把两异面直线成角问题转化为与两相交直线所成角，即将异面问题转化为共面问题，运用化归思想将难化易. 解题中常借助正方体等几何模型本身的性质，依照选点、平移、定角、计算的步骤，逐步寻找出解答思路.
§2.1.3 直线与平面、平面与平面位置关系
¤学习目标：了解直线与平面的三种位置关系，理解直线在平面外的概念，了解平面与平面的两种位置关系.
　　¤知识要点：
1. 直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内（有无数个公共点）；（2）直线与平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线与平面平行（没有公共点）. 分别记作：；；.
2. 两平面的位置关系：平行（没有公共点）；相交（有一条公共直线）.分别记作；.
　　¤例题精讲：
【例1】已知空间边边形ABCD各边长与对角线都相等，求异面直线AB和CD所成的角的大小.
解：分别取AC、AD、BC的中点P、M、N连接PM、PN，由三角形的中位线性质知PN∥AB，PM∥CD，于是∠MPN就是异面直线AB和CD成的角（如图所示）.
连结MN、DN，设AB=2，
∴PM=PN=1.
而AN=DN=，由MN⊥AD，AM=1，得MN=，
∴MN2=MP2+NP2，∴∠MPN=90°.∴异面直线AB、CD成90°角.
　　【例2】在空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD的中点，若AC + BD = a ，ACBD =b，求.
　　解：四边形EFGH是平行四边形，
【例3】已知空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且.
求证：（1）E、F、G、H四点共面；（2）三条直线EF、GH、AC交于一点.
证明：（1） 在△ABD和△CBD中，
E、H分别是AB和CD的中点， ∴ EHBD.
所以，E、F、G、H四点共面.
§2.2.1 直线与平面平行的判定
　　¤学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行的判定，掌握直线与平面平行判定定理，掌握转化思想"线线平行线面平行".
　　¤知识要点：1. 定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行.
2. 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
符号表示为：. 图形如右图所示.
　　¤例题精讲：
　　【例1】已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别为AB、PD的中点，求证：AF∥平面PEC
　　证明：设PC的中点为G，连接EG、FG.
F为PD中点，
GF∥CD且GF=CD.
AB∥CD， AB=CD， E为AB中点，
GF=AE， 四边形AEGF为平行四边形.
AF平面PEC， EG平面PEC， ∴
AF∥平面PEC.
　　【例2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC、C1D1的中点. 求证：EF∥平面BB1D1D.
　　证明：连接AC交BD于O，连接OE，则OE∥DC， OE=DC.
DC∥D1C1， DC=D1C1 ，
F为D1C1的中点，
OE∥D1F， OE=D1F，
四边形D1FEO为平行四边形.
　　又∵ EF平面BB1D1D， D1O平面BB1D1D，
EF∥平面BB1D1D.
　　【例3】如图，已知、、、分别是四面体的棱、、、的中点，求证：∥平面.
　　证明：如右图，连结，交于点，连结，
在中，、分别是、中点， ∴，
∵为中点，
∴为中点，
　　在中，∵、为、中点，
　　又∵平面，平面， ∴∥平面.
　　点评：要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了. 注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用.
【例4】如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点
（1）求证：MN//平面PAD；（2）若，，求异面直线PA与MN所成的角的大小.
　　解：（1）取PD的中点H，连接AH，由N是PC的中点，
由M是AB的中点， ∴ NHAM，
即AMNH为平行四边形.
（2） 连接AC并取其中点为O，连接OM、ON，
∴ OMBC，ONPA， 所以就是异面直线PA与MN所成的角，且MO⊥NO.
由，, 得OM=2，ON=
所以，即异面直线PA与MN成30°的角
　　点评：已知中点，牢牢抓住中位线得到线线平行，通过线线平行转化为线面平行. 求两条异面直线所成角，方法的关键也是平移其中一条或者两条直线，得到相交的线线角，通过解三角形而得.
§2.2.2 平面与平面平行的判定
　　¤学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面平行的判定，掌握两个平面平行的判定定理与应用及转化的思想.
　　¤知识要点：面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为：.
　　¤例题精讲：
　　【例1】如右图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.
　　证明：连结B1D1，∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点，∴ PN∥B1D1.
　　又B1D1∥BD，∴PN∥BD.
　　又PN不在平面A1BD上，∴PN∥平面A1BD.
　　同理，MN∥平面A1BD. 又PN∩MN=N， ∴平面PMN∥平面A1BD.
　　【例2】正方体ABCD-A1B1C1D1中．（1）求证：平面A1BD∥平面B1D1C；
　　（2）若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．
　　 证明：（1）由B1BDD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，
　　又BD ?平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，∴BD∥平面B1D1C．
　　同理A1D∥平面B1D1C．而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1CD．
　　（2）由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中点G，∴AE∥B1G．
　　从而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．
　　∴DF∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD．
　　【例3】已知四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD为平行四边形. 点M、N、Q分别在PA、BD、PD上, 且PM：MA=BN：ND=PQ：QD.
求证：平面MNQ∥平面PBC.
证明： PM：MA=BN：ND=PQ：QD.
MQ//AD，NQ//BP，
而BP平面PBC，NQ 平面PBC, ∴ NQ//平面PBC.
又ABCD为平行四边形，BC//AD， ∴ MQ//BC，
而BC平面PBC，MQ 平面PBC,
∴ MQ//平面PBC.
由MQNQ=Q，根据平面与平面平行的判定定理， ∴ 平面MNQ∥平面PBC.
　　点评：由比例线段得到线线平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，证得两条相交直线平行于一个平面后，转化为面面平行. 一般证"面面平面"问题最终转化为证线与线的平行.
§2.2.3 直线与平面平行的性质
　　¤学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行的性质，掌握直线和平面平行的性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定理，掌握"线线""线面"平行的转化.
　　¤知识要点：线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. 即：.
　　¤例题精讲：
　　【例1】经过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面AA1D1D于E1E，求证：E1E∥B1B
　　证明：∵ ，
　　∴ .　　则.　　【例2】如图，，，，，求证：.
　　证明：连结，∵，　　∴直线和可以确定一个平面，记为，
　　∵，，∴，
　　∵，，
　　又∵，
四边形为平行四边形，
§2.2.4 平面与平面平行的性质
　　¤学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面平行的性质，掌握面面平行的性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理，掌握"线线""线面""面面"平行的转化.
　　¤知识要点：
　　1. 面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行. 用符号语言表示为：.
2. 其它性质：①； ②；
　　③夹在平行平面间的平行线段相等.
　　¤例题精讲：
　　【例1】如图，设平面α∥平面β，AB、CD是两异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C∈α，B、D∈β. 求证：MN∥α.
　　证明：连接BC，取BC的中点E，分别连接ME、NE，
　　则ME∥AC，∴
ME∥平面α，又 NE∥BD， ∴ NE∥β，
　　又ME∩NE=E，∴平面MEN∥平面α，∵ MN平面MEN，∴MN∥α.
　　【例2】如图，A，B，C，D四点都在平面?，?外，它们在?内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，在?内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，求证：ABCD是平行四边形．
　　证明：∵ A，B，C，D四点在?内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，
　　∴A，B，C，D四点共面．
　　又A，B，C，D四点在?内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，
　　∴平面ABB1A1∥平面CDD1C1．
　　∴AB，CD是平面ABCD与平面ABB1A1，平面CDD1C1的交线．
　　∴AB∥CD．同理AD∥BC． ∴四边形ABCD是平行四边形．
§2.3.1 直线与平面垂直的判定
　　¤学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的判定，掌握直线与平面垂直的定义，理解直线与平面垂直的判定定理，并会用定义和判定定理证明直线与平面垂直的关系. 掌握线面角的定义及求解.
　　¤知识要点：
　　1. 定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，则直线与平面互相垂直，记作. －平面的垂线，－直线的垂面，它们的唯一公共点叫做垂足.（线线垂直线面垂直）
　　2. 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 符号语言表示为：若⊥，⊥，∩＝B，?，?，则⊥
　　3. 斜线和平面所成的角，简称"线面角"，它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角. 求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，可以简述为"作（作出线面角）→证（证所作为所求）→求（解直角三角形）". 通常，通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线是产生线面角的关键.
　　¤例题精讲：
　　【例1】四面体中，分别为的中点，且，，求证：平面.
　　 证明：取的中点，连结，∵分别为的中点，∴，.
　　又∴，∴在中，，
　　∴，∴，又，即，，
　　∴平面.
　　【例2】已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值.
　　解：取CD的中点F，连接EF交平面于O，连AO.
　　由已知正方体，易知平面，所以为所求.
　　在中，，，　　.　　所以直线AE与平面所成的角的正弦值为.
【例3】三棱锥中，，平面ABC，垂足为O，求证：O为底面△ABC的垂心.
证明：连接OA、OB、OC，∵ 平面ABC， ∴ .
∴ O为底面△ABC的垂心.
点评：此例可以变式为"已知，求证"，其思路是接着利用射影是垂心的结论得到后进行证明. 三条侧棱两两垂直时，也可按同样的思路证出.
§2.3.2 平面与平面垂直的判定
　　¤学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面垂直的判定，掌握二面角和两个平面垂直的定义，理解平面与平面垂直的判定定理并会用判定定理证明平面与平面垂直的关系，会用所学知识求两平面所成的二面角的平面角的大小.
　　¤知识要点：
　　1. 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角. （简记）
　　2. 二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角. 范围：.
　　3. 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 记作.
　　4. 判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. （线面垂直面面垂直）
　　¤例题精讲：
　　【例1】已知正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连结AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕，折叠使点B、C、D重合于一点P.
　　（1）求证：AP⊥EF；（2）求证：平面APE⊥平面APF.
　　证明：（1）如右图，∵∠APE=∠APF=90°，PE∩PF=P，
　　 ∴ PA⊥平面PEF.
∵EF平面PEF，∴PA⊥EF.
　　（2）∵∠APE=∠EPF=90°，AP∩PF=P，∴PE⊥平面APF.
　　又PE平面PAE，∴平面APE⊥平面APF.
　　【例2】如图, 在空间四边形ABCD中， 分别是的中点，求证：平面平面.
　　证明：为AC中点，所以.
同理可证 ∴ 面BGD.
　　又易知EF//AC，则面BGD.
又因为面BEF，所以平面平面.
§2.3.3 线面、面面垂直的性质
　　¤学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中
　　线面、面面垂直的有关性质，掌握两个性质定理及定理的应用.
　　¤知识要点：
　　1. 线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. （线面垂直线线平行）
　　2. 面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 用符号语言表示为：若，，，，则.（面面垂直线面垂直）
　　¤例题精讲：
　　【例1】把直角三角板ABC的直角边BC放置于桌面，另一条直角边AC与桌面所在的平面垂直，a是内一条直线，若斜边AB与a垂直，则BC是否与a垂直？
　　解：　　　　　　　　　　　　注：若BC与a垂直，同理可得AB与a也垂直，其实质是三垂线定理及逆定理，证明过程体现了一种重要的数学转化思想方法： "线线垂直→线面垂直→线线垂直".
　　【例2】如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC.
　　（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
　　（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面.
　　解：（1）证明：∵C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径， ∴BC⊥AC.
　　又PA⊥平面ABC，BC平面ABC，
　　∴BC⊥PA，从而BC⊥平面PAC.
　　∵ BC 平面PBC， ∴平面PAC⊥平面PBC.
　　（2）平面PAC⊥平面ABCD；平面PAC⊥平面PBC；平面PAD⊥平面PBD；平面PAB⊥平面ABCD；平面PAD⊥平面ABCD.
第18讲 第3章 §3.1.1 倾斜角与斜率
　　¤学习目标：理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
　　¤知识要点：
　　1. 当直线l与x轴相交时，我们把x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l的倾斜角的范围是.
　　2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即. 如果知道直线上两点，则有斜率公式. 特别地是，当，时，直线与x轴垂直，斜率k不存在；当，时，直线与y轴垂直，斜率k=0.
　　注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k=0；当时，斜率，随着α的增大，斜率k也增大；当时，斜率，随着α的增大，斜率k也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k取值范围的一些对应问题.
　　¤例题精讲：
　　【例1】如图所示菱形ABCD中∠BAD=60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.
　　解：，，，.
　　，，，.
　　【例2】已知过两点, 的直线l的倾斜角为45°，求实数的值.
　　解： ∵ ，
　　 ∴，解得 或. 但当时，A、B重合，舍去． ∴．
　　【例3】已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值．
　　解: ， .
∵ A、B、C三点在一条直线上，
∴ ， 即， 解得或.
§3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
　　¤学习目标：理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
　　¤知识要点：
　　1. 对于两条不重合的直线 、，其斜率分别为、，有：
　　（1）?；（2）?.
　　2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x轴；....
　　¤例题精讲：
　　【例1】四边形ABCD的顶点为、、、，试判断四边形ABCD的形状.
　　解：AB边所在直线的斜率，CD边所在直线的斜率,
　　BC边所在直线的斜率，DA边所在直线的斜率,
　　∴ AB//CD，BC//DA，即四边形ABCD为平行四边形.
　　又 ∵ ，∴ AB⊥BC，即四边形ABCD为矩形.
　　【例2】已知的顶点，其垂心为，求顶点的坐标．
　　解：设顶点A的坐标为．
　　∵ ，∴ ， 即 ，
　　化简为，解之得：. ∴　A的坐标为.
　　【例3】（1）已知直线经过点M（-3，0）、N（-15，-6），经过点R（-2，）、S（0，），试判断与是否平行？
　　（2）的倾斜角为45°，经过点P（-2，-1）、Q（3，-6），问与是否垂直？
　　解： （1） ∵=，.
　　（2） ∵ ，， ， ∴⊥．
　　点评：当与的斜率存在时，，. 斜率不存在时，进行具体的分析. 由此先计算出斜率，根据斜率的相等或互为负倒数，从而判别平行或垂直.
§3.2.1 直线的点斜式方程
　　¤学习目标：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的点斜式、斜截式，体会斜截式与一次函数的关系.
　　¤知识要点：
　　1. 点斜式：直线过点,且斜率为k，其方程为.
　　2. 斜截式：直线的斜率为k，在y轴上截距为b，其方程为.
　　3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x轴直线. 若直线过点且与x轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为，或.
　　4. 注意：与是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点，后者才是整条直线.
　　¤例题精讲：
　　【例1】写出下列点斜式直线方程：
　　（1）经过点，斜率是4；　（2）经过点，倾斜角是.
　　解：（1）（2），所以直线的点斜式方程为：.
　　【例2】已知直线.
　　（1）求直线恒经过的定点；（2）当时，直线上的点都在轴上方，求实数的取值范围.
　　解：（1）由，易知时，，所以直线恒经过的定点.
　　（2）由题意得，解得.
　　【例3】光线从点A（－3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点 B（－2，6），求射入y轴后的反射线的方程.
　　解：∵A（－3，4）关于x轴的对称点A1（－3，－4）在经x轴反射的光线上，
　　同样A1（－3，－4）关于y轴的对称点A2（3，－4）在经过射入y轴的反射线上，
　　∴k==－2.
故所求直线方程为y－6=－2（x+2）， 即2x+y－2=0.
　　点评：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称. 光线的反射问题，也常常需要研究对称点的问题. 注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透.
　　【例4】已知直线经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线的方程．
　　解：由已知得与两坐标轴不垂直．
　　∵直线经过点，∴ 可设直线的方程为，即.
　　则直线在轴上的截距为，在轴上的截距为.
　　根据题意得，即.
　　当时，原方程可化为，解得；
　　当时，原方程可化为，此方程无实数解.
　　故直线的方程为，或.即或.
　　点评：已知直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在的情况，以免丢解. 而直线在坐标轴上的截距，可正、可负，也可以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距.
§3.2.2 直线的两点式方程
　　¤学习目标：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的两点式、截距式. 明白直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性.
　　¤知识要点：
　　1. 两点式：直线经过两点，其方程为，
　　2. 截距式：直线在x、y轴上的截距分别为a、b，其方程为.
　　3. 两点式不能表示垂直x、y轴直线；截距式不能表示垂直x、y轴及过原点的直线.
　　4. 线段中点坐标公式.
　　¤例题精讲：
　　【例1】已知△顶点为，求过点且将△面积平分的直线方程.
　　解：求出中点的坐标，则直线即为所求，
　　由直线方程的两点式得，即.
　　【例2】菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于x轴和y轴上，求菱形各边所在的直线的方程.
　　解：设菱形的四个顶点为A、B、C、D，如右图所示. 根据菱形的对角线互相垂直且平分可知，顶点A、B、C、D在坐标轴上，且A、C关于原点对称，B、D也关于原点对称.
　　所以A(－４，0)，C（４，0），B（0，3），D（0，－3）.
　　由截距式，得
　　直线AB的方程：＝1，即3x－４y＋12＝0；直线BC的方程：＝1, 即3x＋４y－12＝0；
　　直线AD方程：＝1, 即3 x＋４y＋12＝0；直线CD方程：＝1即3 x－４y－12＝0.
§3.2.3 直线的一般式方程
　　¤学习目标：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式，体会一般式与直线其它方程形式之间的关系.
　　¤知识要点：
　　1. 一般式：，注意A、B不同时为0. 直线一般式方程化为斜截式方程，表示斜率为，y轴上截距为的直线.
　　2 与直线平行的直线，可设所求方程为；与直线垂直的直线，可设所求方程为. 过点的直线可写为.
　　经过点，且平行于直线l的直线方程是；
　　经过点，且垂直于直线l的直线方程是.
　　3. 已知直线的方程分别是：（不同时为0），（不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：
　　（1）；
　　（3）与重合； （4）与相交.
　　如果时，则；与重合；与相交.
　　¤例题精讲：
　　【例1】已知直线：，：，问m为何值时：
　　（1）；
　　解：（1）时，，则，解得m＝0.
　　（2）时，, 解得m＝1.
　　【例2】（1）求经过点且与直线平行的直线方程；
　　（2）求经过点且与直线垂直的直线方程.
　　解：（1）由题意得所求平行直线方程，化为一般式.
　　（2） 由题意得所求垂直直线方程，化为一般式.
　　【例3】已知直线l的方程为3x+4y－12=0，求与直线l平行且过点（－1，3）的直线的方程．
　　分析：由两直线平行，所以斜率相等且为，再由点斜式求出所求直线的方程.
　　解：直线l:3x+4y－12=0的斜率为，∵ 所求直线与已知直线平行， ∴所求直线的斜率为，
　　又由于所求直线过点（－1，3），所以，所求直线的方程为：，即.
　　点评：根据两条直线平行或垂直的关系，得到斜率之间的关系，从而由已知直线的斜率及点斜式求出所求直线的方程. 此题也可根据直线方程的一种形式而直接写出方程，即，再化简而得.
§3.3.1 两条直线的交点坐标
　　¤学习目标：进一步掌握两条直线的位置关系，能够根据方程判断两直线的位置关系，理解两直线的交点与方程的解之间的关系，能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.
　　¤知识要点：1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.
　　2. 方程为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是与的交点.
　　¤例题精讲：【例1】判断下列各对直线的位置关系. 如果相交，求出交点坐标.
　　（1）直线l1: 2x－3y+10=0 , l2: 3x+4y－2=0； （2）直线l1: , l2: .
　　解：（1）解方程组
得. 所以，l1与l2相交，交点是（－2，2）.
　　（2）解方程组，消y得 .
　　当时，方程组无解，所以两直线无公共点，//.
　　当时，方程组无数解，所以两直线有无数个公共点，l1与l2重合.
　　当且，方程组有惟一解，得到，， l1与l2相交.
　　∴当时，//；当时，l1与l2重合；当且，l1与l2相交，交点是.
　　【例2】求经过两条直线和的交点，且平行于直线的直线方程.
　　解：设所求直线的方程为，整理为.
　　∵ 平行于直线， ∴ ，解得.
　　则所求直线方程为.
§3.3.2 两点间的距离
　　¤学习目标：探索并掌握两点间的距离公式. 初步了解解析法证明，初步了解由特殊到一般，再由一般到特殊的思想与"数"和"形"结合转化思想.
　　¤知识要点：1. 平面内两点，，则两点间的距离为：.
　　　特别地，当所在直线与x轴平行时，；当所在直线与y轴平行时，；当在直线上时，.
　　2. 坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果"翻译"成几何关系.
　　¤例题精讲：
　　【例1】在直线上求一点，使它到点的距离为５，并求直线的方程.
　　　解：∵ 点在直线上，∴ 可设，
　　根据两点的距离公式得　,
　　解得，∴．　∴ 直线PM的方程为，
　　　 即.
　　【例2】直线2x－y－4=0上有一点P，求它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差的最大值.
　　解：找A关于l的对称点A′，A′B与直线l的交点即为所求的P点. 设, 则
　　，解得， 所以线段.
　　【例3】已知AO是△ABC中BC边的中线，证明|AB|＋|AC|=2（|AO|＋|OC|）.
　　解：以O为坐标原点，BC为x轴，BC的中垂线为y轴，建立如图所示坐标系xOy.
　　设点A(a,b)、B(-c,0)、C(c,0),
　　由两点间距离公式得：
　　|AB|=，|AC|=，
　　|AO|=，
　　∴ |AB|＋|AC|=，
|AO|＋|OC|=.
　　∴ |AB|＋|AC|=2（|AO|＋|OC|）.
§3.3.3 点到直线的距离及两平行线距离
　　¤学习目标：探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 体会数形结合、转化的数学思想，培养研究探索的能力.
　　¤知识要点：1. 点到直线的距离公式为.
　　2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线，之间的距离公式，推导过程为：在直线上任取一点，则，即. 这时点到直线的距离为.
　　¤例题精讲：
　　【例1】求过直线和的交点并且与原点相距为1的直线l的方程.
　　解：设所求直线l的方程为, 整理得.
　　由点到直线的距离公式可知，, 解得.
　　代入所设，得到直线l的方程为.
【例2】在函数的图象上求一点P，使P到直线的距离最短，并求这个最短的距离.
解：直线方程化为. 设, 则点P到直线的距离为.当时，点到直线的距离最短，最短距离为.
【例3】求证直线L：与点的距离不等于3.
解：由点线距离公式，得=.
假设，得到，整理得.
∵ ， ∴ 无实根.
∴ ，即直线L与点的距离不等于3.
点评：此解妙在反证法思路的运用. 先由点线距离公式求出距离，然后从"距离不等于3"的反面出发，假设距离是3求m，但求解的结果是m无解. 从而假设不成立，即距离不等于3.
另解：把直线L：按参数m整理，得.由，解得. 所以直线L恒过定点.
点P到直线L取最大距离时, PQ⊥L，即最大距离是PQ==.
∴直线L与点的距离不等于3.
点评：此解妙在运用直线系恒过一个定点的知识，其定点就是与的交点. 由运动与变化观点，当直线PQ⊥L时，点线距离为最大.
§4.1.1 圆的标准方程
　　¤学习目标：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；能用待定系数法、几何法求圆的标准方程.
　　¤知识要点：
　　1. 圆的标准方程：方程表示圆心为A（a，b），半径长为r的圆.
　　2. 求圆的标准方程的常用方法：（1）几何法：根据题意，求出圆心坐标与半径，然后写出标准方程；
　　（2）待定系数法：先根据条件列出关于a、b、r的方程组，然后解出a、b、r，再代入标准方程.
　　¤例题精讲：
　　【例1】（01年全国卷.文）过点、且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是（
A.（x－3）2＋（y＋1）2＝4
B.（x＋3）2＋（y－1）2＝4
C.（x－1）2＋（y－1）2＝4
D.（x＋1）2＋（y＋1）2＝4
　　解：由圆心在直线x＋y－2＝0上可以得到A、C满足条件, 再把A点坐标（1，－1）代入圆方程.
A不满足条件. 所以，选C.
　　另解：设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r, 因为圆心C在直线x+y－2=0上, ∴b=2－a.
　　由|CA|=|CB|，得（a－1）2+（b+1）2=（a+1）2+（b－1）2，解得a=1，b=1.
　　因此，所求圆的方程为（x－1）2+（y－1）2=4. 选C.
　　【例2】求下列各圆的方程：
　　（1）过点，圆心在；（2）圆心在直线上的圆C与y轴交于两点
　　解：（1）设所求圆的方程为. 则
∴ 圆的方程为.
　　（2）圆心在线段AB的垂直平分线上，代入直线得，
　　圆心为，半径.∴ 圆C的方程为.
　　【例3】推导以点为圆心，为半径的圆的方程.
　　解：设圆上任意一点，则.由两点间的距离公式，得到.
　　化简即得圆的标准方程：
§4.1.2 圆的一般方程
　　¤学习目标：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程；能用待定系数法求圆的一般方程.
　　¤知识要点：1. 圆的一般方程：方程 （）表示圆心是，半径长为的圆.
2. 轨迹方程是指点动点M的坐标满足的关系式.
　　¤例题精讲：
　　【例1】求过三点A(2,2)、B(5,3)、C(3,－1)的圆的方程.
　　解：设所求圆的方程为. 则
∴ 圆的方程为.
　　【例2】设方程，若该方程表示一个圆，求m的取值范围及圆心的轨迹方程.
　　解：配方得，该方程表示圆，则有
　，得，此时圆心的轨迹方程为，消去m，得，
　由得x=m+3.
∴所求的轨迹方程是，
§4.2.1 直线与圆的位置关系
　　¤学习目标：能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能用直线和圆的方程解决简单问题.
　　¤知识要点：1. 直线与圆的位置关系及其判定： 方法一：方程组思想，由直线与圆的方程组成的方程组，消去x或（y），化为一元二次方程，由判别式符号进行判别；
　　方法二：利用圆心（）到直线的距离，比较d与r的大小.
　　（1）相交 ；（2）相切；（3）相离.
　　2. 直线与圆的相切研究，是高考考查的重要内容. 同时，我们要熟记直线与圆的各种方程、几何性质，也要掌握一些常用公式，例如点线距离公式
　　¤例题精讲：【例1】若直线（1+a）x+y+1=0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为
　　解：将圆x2＋y2－2x＝0的方程化为标准式：（x－1）2＋y2＝1, 其圆心为（1，0），半径为1，由直线（1＋a）x＋y＋1＝0与该圆相切，则圆心到直线的距离， ∴ a＝－1.
　　【例2】求直线被圆所截得的弦长. （P144 练习1题）
　　解：由题意，列出方程组，消y得，得，.
　　设直线与圆交于点，，则　　 =.　　另解：圆心C的坐标是，半径长. 圆心到直线的距离.
　　所以，直线被圆截得的弦长是.
§4.2.2 圆与圆的位置关系
　　¤学习目标：能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系. 掌握坐标法的思想，用解方程组判别位置关系或求交点坐标.
　　¤知识要点：两圆的位置关系及其判定： 设两圆圆心分别为，半径分别为，则：
　　（1）两圆相交；（2）两圆外切；（3）两圆内切；
　　¤例题精讲：【例1】已知圆：①，圆：②
　　（1）试判断两圆的位置关系；（2）求公共弦所在的直线方程.
　　解：（1）∵圆的圆心为（3,0），半径为，圆的圆心为（0，2），半径为，
　　又，∴＜，　　∴圆与相交.
　　（2）由①－②，得公共弦所在的直线方程为.
　　【例2】求经过两圆和的交点，并且圆心在直线上的圆的方程.
　　解：设所求圆的方程为，即
　　, 则所求圆的圆心为.
　　∵圆心在直线上，　　∴，解得.
　　∴ 所求圆的方程为＋
§4.2.3 直线与圆的方程的应用
　　¤学习目标：能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想.
　　¤知识要点：坐标法：建立适当的直角坐标系后，借助代数方法把要研究的几何问题，转化为坐标之间的运算，由此解决几何问题
　　¤例题精讲：
　　【例1】有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离，A地的运费是B地运费的3倍．已知A、B两地相距10千米，顾客购物的标准是总费用较低，求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地．
　　解：建立使A(－5，0)、B(5，0)的直角坐标系，设单位距离的运费是a元.
　　若在A地购货费用较低，则：价格＋A地运费≤价格＋B地运费
　　∵　a＞0，∴ 8x2＋8y2＋100x＋200y≤0.得　(x＋)2＋y2≤()2 .
　　∴　两地购物区域的分界线是以点C(－，0)为圆心，为半径的圆.
　　所以，在圆C内的居民从A地购物便宜，圆C外的居民从B地购物便宜，圆C上的居民从A、B两地购物总费用相等．
　　【例2】自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上,被x轴反射, 其反射光线所在的直线与圆相切, 求光线l所在的直线方程.
　　解：由已知可得圆C：关于x轴对称的圆C'的方程为，其圆心C'（2，-2），易知l与圆C'相切.
y-3=k(x+3), 即kx-y+3k+3=0.∴，整理得12k2+ 25k+12=0,
　　所以，所求直线方程为y-3= (x+3)或 y-3= (x+3)，即3x+4y-3=0或4x+3y+3=0.
　　点评：关于求切线问题, 利用圆心到切线的距离等于圆的半径的条件, 是解决圆的切线方程的常用方法. 如果由方程组思想，通过""求切线方程也可, 但过程要复杂些.
§4.3.1 空间直角坐标系
　　¤学习目标：通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.
　　¤知识要点：1. 空间直角坐标系：从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴Ox、Oy、Oz，这样的坐标系叫做空间直角坐标系O-xyz，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴. 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面.
　　2. 右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
　　3. 空间直角坐标系中的坐标：对于空间任一点M，作出M点在三条坐标轴Ox轴、Oy轴、Oz轴上的射影，若射影在相应数轴上的坐标依次为x、y、z，则把有序实数组(x, y, z)叫做M点在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x, y, z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标.
　　4. 在xOy平面上的点的竖坐标都是零，在yOz平面上的点的横坐标都是零，在zOx平面上的点的纵坐标都是零；在Ox轴上的点的纵坐标、竖坐标都是零，在Oy轴上的点的横坐标、竖坐标都是零，在Oz轴上的点的横坐标、纵坐标都是零
　　¤例题精讲：【例1】在空间直角坐标系中，作出点M(6，－2,　4).
　　解：点M的位置可按如下步骤作出：
　　先在x轴上作出横坐标是6的点，再将沿与y轴平行的方向向左移动2个单位得到点，然后将沿与z轴平行的方向向上移动4个单位即得点M.
M点的位置如图所示.
　　【例2】在长方体中，AB=12，AD=8，=5，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.
　　解：以A为原点，射线AB、AD、分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，
　　则A(0,0,0)、B(12,0,0)、C(12,8,0)、D(0,8,0)、
　　(0,0,5)、(12,0,5)、(12,8,5)、(0,8,5).
　　【例3】已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.
　　分析：先由条件求出正四棱锥的高，再根据正四棱锥的对称性，建立适当的空间直角坐标系.
　　解：正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，
　　∴正四棱锥的高为.
　　以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB、BC所在的直线分别为x轴、y轴，建立如图示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为
　　A(2,-2,0)、B(2,2,0)、C(-2,2,0)、D(-2,-2,0)、P(0,0,).
　　点评：在求解此类问题时，关键是能根据已知图形，建立适当的空间直角坐标系，从而便于计算所需确定的点的坐标.
§4.3.2 空间两点间的距离公式
　　¤学习目标：通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式.
　　¤知识要点：
　　1. 空间两点、间的距离公式：.
　　2. 坐标法求解立体几何问题时的三个步骤：①在立体几何图形中建立空间直角坐标系；②依题意确定各相应点的坐标 ；③通过坐标运算得到答案.
　　3. 对称问题，常用对称的定义求解. 一般地，点P(x, y, z) 关于坐标平面xOy、yOz、zOx的对称点的坐标分别为(x, y,- z)、(-x, y, z)、(x, -y, z)；关于x轴、y轴、z轴的对称点的坐标分别为(x, -y,- z)、(-x, y, -z)、(-x, -y, z)；关于原点的对称点的坐标为(-x,- y,- z).
　　¤例题精讲：
　　【例1】已知A(x,2,3)、B(5,4,7)，且|AB|=6，求x的值.
　　解：|AB|=6，∴，
即，解得x=1或x=9.
　　【例2】求点P(1,2,3)关于坐标平面xOy的对称点的坐标.
　　解：设点P关于坐标平面xOy的对称点为，连交坐标平面xOy于Q，
　　则坐标平面xOy，且|PQ|=|Q|，∴在x轴、y轴上的射影分别与P在x轴、y轴上的射影重合， 在z轴上的射影与P在z轴上的射影关于原点对称，
∴与P的横坐标、纵坐标分别相同，竖坐标互为相反数，
　　∴ 点P(1,2,3)关于坐标平面xOy的对称点的坐标为(1,2,-3).
　　【例3】在棱长为a的正方体-中，求异面直线间的距离.
　　解：以D为坐标原点，从D点出发的三条棱所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
　　设P、Q分别是直线和上的动点，其坐标分别为(x, y, z)、(0，)，则由正方体的对称性，显然有x=y.
要求异面直线间的距离，即求P、Q两点间的最短距离.
　　 设P在平面AC上的射影是H，由在中，，所以，∴x=a-z，
　　∴ P的坐标为(a-z, a-z, z)
　　∴ |PQ|==
　　∴ 当时，|PQ|取得最小值，最小值为.
　　∴ 异面直线间的距离为.
　　点评：通过巧设动点坐标，得到关于两点间距离的目标函数，由函数思想得到几何最值. 注意这里对目标函数最值的研究，实质就是非负数最小为0.
苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴
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