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数学基础理论（14）
参考书：《矩阵论》第3版，程云鹏 张凯院 徐仲编著 西北工业大学出版社
1. 特征值的估计
&&& 1）特征值估计的意义：复数域上矩阵的特征值的计算一般比较困难；在大量应用中，往往不需精确计算特征值，只需估计出它们所在的范围；所以从矩阵的元素出发，若能用较简便的运算给出矩阵特征值的范围，将有着十分重要的意义
&&& 2）特征值的界
&&&&&&& a）估计矩阵特征值的模的上界的方法
&&&&&&&&&&& 定理5.1：实矩阵的特征值虚部模值范围
&&&&&&&&&&& 定理5.1推论：实对称矩阵的特征值都是实数
&&&&&&&&&&& 引理1
&&&&&&&&&&& 定理5.2：复矩阵特征值的模、实部模、虚部模范围；证明据特征方程和引理1
&&&&&&&&&&& 定理5.2推论：Hermite矩阵的特征值都是实数，反Hermite矩阵的特征值为零或纯虚数
&&&&&&& b）估计矩阵特征值之乘积的模的界的方法
&&&&&&&&&&& 矩阵按行严格对角占优、按行（弱）对角占优的定义（定义5.1）：Rr(A)
&&&&&&&&&&& 矩阵按列严格对角占优、按列（弱）对角占优的定义（定义5.2）：
&&&&&&&&&&& 定理5.3：A为n*n的复矩阵，若A按行严格对角占优，...；s&r时，A的(s,j)元素值为零时，等号成立
&&&&&&&&&&& 定理5.4（Hadamard's inequality）：A为n*n复矩阵
&&&&&&&&&&&& 估计矩阵按模最小特征值的上界
&&&&&&& c）估计矩阵特征值模之平方和的上界的方法
&&&&&&&&&&& 定理5.5（Schur&s inequality）：n*n的复矩阵A的特征值为a1,...,an，则有A特征值模值平方之和 &= A元素模值平方直和 =（ A的F-范数）的平方；等号成立条件A为正规矩阵
&&& 3）特征值的包含区域
&&&&&&& a）矩阵特征值的分布状况
&&&&&&&&&&& 盖尔圆定义（定义5.3）：A是n*n的复矩阵，由不等式 |z - A(i,i)| &= Ri在复平面上确定的区域为矩阵的第i个Gerschgorin圆（盖尔圆），用记号Gi表示，其中Ri = Ri(A) = （矩阵A第i行除(i,i)元素以外的元素模值之和）
&&&&&&&&&&& 定理5.6（Gerschgorin theorem 1）：n*n复矩阵A的一切特征值都在它的n个盖尔圆的并集之内
&&&&&&&&&&& 定理5.7（Gerschgorin theorem 2）：由矩阵A的所有盖尔圆组成的连通部分中任取一个，如果它由k个盖尔圆组成，则在这个连通部分中有且仅有A的k个特征值（盖尔圆重复时重复计数，A的特征值相同时也重复计数）；证明据矩阵特征值是连续依赖于矩阵元素的依赖定理
&&&&&&&&&&& 讨论矩阵的特征值的分布状况
&&&&&&&&&&& 定理5.7的推论：应用盖尔圆定理研究特征值的隔离问题；该隔离矩阵特征值的方法不能用于任意的具有互异特征值的矩阵，比如主对角线上有相同的元素的矩阵
&&&&&&&&&&& 证明如果矩阵A按行（列）严格对角占优，则其行列式detA 不等于零；证明据定理5.6、反证法
&&&&&&& b）估计矩阵特征值的范围
&&&&&&&&&&& 定理5.8：n*n不可约矩阵A的一个特征值在其n个盖尔圆并集的边界上，则所有的n个圆周都通过该特征值点
&&&&&&&&&&& 定理5.9：如果n*n矩阵A不可约，且存在i0，使得A在i0行的元素模值之和 & A的无穷范数，则有A的谱半径 & A的无穷范数
&&&&&&&&&&& 定理5.10（Ky Fan）：设A为n*n的复矩阵，B为n*n的实矩阵，如果B(i,j) &= abs(A(i,j))，则对A的任一特征值a，必有i，使|a - A(i,i)| &= B的谱半径 - B(i,j)
&&&&&&&&&&& 引理2
&&&&&&&&&&& 定理5.11（Ostrowski theorem 1）：A为n*n复矩阵， 0&= b &= 1，对于A的任意特征值a，存在i，使 |a - A(i,j)| &= Ri(A) 的b次幂 * Ri(A转置)的1-b次幂
&&&&&&&&&&& 定理5.11推论1：证明据定理5.11和引理2
&&&&&&&&&&& 定理5.11推论2：若A奇异...
&&&&&&&&&&& 定理5.11推论3：矩阵A谱半径范围
&&&&&&&&&&& 定理5.11推论4：矩阵A谱半径范围
&&&&&&&&&&& 定理5.11推论5、6、7、8：矩阵A谱半径范围
&&&&&&&&&&& 定理5.12（Ostrowski theorem 2）：
&&&&&&&&&&& 定理5.12的推论：A为n*n复矩阵（n&=2），如果对于所有的i != j，恒有 | A(i,i) | * | A(j,j) | & Ri(A) * Rj(A)，则detA != 0
&&&&&&&&&& 估计矩阵特征值范围、估计矩阵谱半径范围
&&&&&&&&&& 利用5.12的推论 讨论矩阵的奇异性
&&& 4）扰动理论中的特征值估计
2. 广义特征值问题
&&& 1）广义特征值（定义5.5）：形如A*x = λ*B*x（A为n阶实对称矩阵，B为n阶实对称正定矩阵，x为n维列向量）的特征值问题为矩阵A相对于矩阵B的广义特征值问题，简称为广义特征值问题；称λ为矩阵A相对于矩阵B的特征值；而与λ相对应的非零解x称为属于λ的特征向量
&&& 2）广义特征值问题的等价形式
&&&&&&& a）第一种：B逆左乘A*x = λ*B*x
&&&&&&& b）第二种：对正定矩阵B做Cholesky分解，B= G*G转置，G为下三角矩阵，令y = G转置*x，得Sy = λ*y，其中S = G逆*A*G逆的转置，为对称矩阵
&&& 3）特征向量的正交性
&&&&&&& a）按矩阵B标准正交化向量系定义（定义5.6）：内容；B正交条件
&&&&&&& b）按矩阵B标准正交化向量系的性质（2条）：各分量不为零向量且他们线性无关
3. 对称矩阵特征值的极性
&&& 1）实对称矩阵的Rayleigh商的极性
&&&&&&& a）实对称矩阵的Rayleigh商定义（定义5.7）： A是n阶实对称矩阵，x为n维实列向量，称R(x) = (x转置* A *x) / (x转置 * x)
&&&&&&& b）Rayleigh商的性质（4条）：连续、零次齐次、最大最小值存在，且能够在单位球面S = {x | x 为n维实向量，x的2-范数 = 1}上达到
&&&&&&& c）定理5.16：A为实对称矩阵，则其Rayleigh商最小值为A最小特征值，最大值为A最大特征值
&&&&&&&&&&&&& 推论1：在||x||2 = 1上，向量p1和pn分别是R(x)的极小点和极大点，则R(p1) = λ1，R(pn) = λn
&&&&&&&&&&&&& 推论2：如果λ1 = ... =&λn，则在 ||x||2 = 1上，R（x）的所有极小点为β1*p1 + ...+ βn*pk (1&=k &= n)，且满足β1*β1 +...+βk*βk = 1
&&&&&&& d）定理5.17：定理5.16推广
&&&&&&& e）定理5.18（Courant-Fischer）：设实对称矩阵A的特征值按从小到大顺序排列，则A的第k个特征值λk = min max{x转置*A*x | x 属于k维实空间，||x|| = 1}
&&&&&&& f）定理5.19（扰动定理）：实对称矩阵A和A+Q的特征值分别为λ1 &=...&= λn，和μ1 &=... &=μn，则有|λi -μi | &= Q的2-范数
&&&&&&& g）定理20、定理21：定理5.19的完善
&&& 2）广义特征值的极大极小原理
&&&&&&& a）矩阵A相对于矩阵B的广义Rayleigh商定义（定义5.8）：A,B为n阶对称矩阵，且B正定
&&&&&&& b）非零向量是广义Rayleigh商的驻点充要条件（定理5.22）：x0为Ax = λBx的属于特征值λ的特征向量
&&&&&&&&&&& 定理5.22的推论：若x'是Ax = λBx的特征向量，则R（x'）是与之对应的特征值
&&&&&&& c）广义特征值的极大极小原理
&&&&&&&&&&& 广义特征值的极大极小原理：定理5.23：
&&&&&&&&&&& 特征值的极大极小原理：定理5.23推论1：第k个特征值λk = min[max{R(x)}] ，第n-k+1个特征值 λ' = max[min{R(x)}]
&&&&&&&&&&& 定理5.23推论2
&&& 3）矩阵奇异值的极大极小性质
&&&&&&& a）利用实对称矩阵特征值的极大极小原理，可研究实矩阵奇异值的极大极小性质
&&&&&&& b）设m*n实矩阵A的奇异值排列为 0= σ1 = ... = σ,n-r & σ,n-r+1 &=...&= σn，则A的第k个奇异值和第n-k+1个奇异值具有下列的极值性质σ,k = Vk上min（max （||Ax||2/||x||2））, σ,n-k+1 = Vk上max（min （||Ax||2/||x||2））,x为非零向量
&&&&&&& c）定理5.25：对应定理5.19；矩阵奇异值的计算具有良好的数值稳定性
&&&&&&& d）定理5.26：定理5.25的更进一步结论
4. 矩阵的直积及其应用
&&& 1）直积的概念
&&& 2）线性矩阵方程的可解性
参考知识库
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