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数学理卷·2016届吉林省长春市高三质量监测（一）（2015.09）扫描版
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长春市普通高中2016届高三质量监测（一）数学试题卷(理科)考生须知：1.本试卷分试题卷和答题卡，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卡指定位置上填写学校、班级、姓名和准考证号.3.所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效.4.考试结束，只需上交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）已知集合，，则A.B.C.D.复数（是虚数单位）的虚部为A.B.C.1D.2抛物线的准线方程为A.B.C.D.已知向量满足，则夹角的余弦值为A.B.C.D.下列说法中正确的是A.“”是“函数是奇函数”的充要条件；B.若：，，则：，；C.若为假命题，则均为假命题；D.“若，则”的否命题是“若，则”.若实数满足，则的最小值为A.B.C.D.执行如图所示的程序框图，输出，那么判断框内应填A.B.C.D.在△中，，，边上的中线，则△的面积为A.B.C.D.已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A.B.C.D.已知函数，则其图像为A.B.C.D.函数，给出下列结论：①的最小正周期为②的一条对称轴为③的一个对称中心为④是奇函数其中正确结论的个数是A.1B.2C.3D.4设函数在上的导数为，且，下面的不等式在上恒成立的是A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).展开式中的常数项是____________.已知随机变量服从正态分布，若，则_________.已知三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积为____________.如图，等腰梯形中，，.一双曲线经过三点，且以为焦点，则该双曲线离心率是_________.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，，且满足.⑴证明数列为等差数列；⑵求.（本小题满分12分）为了调查某高中学生每天的睡眠时间，现随机对20名男生和20名女生进行问卷调查，结果如下：睡眠时间（小时）人数24842女生：睡眠时间（小时）人数15653男生：⑴从这20名男生中随机选出3人，求恰有1人睡眠时间不足7小时的概率；⑵完成下面列联表，并回答是否有的把握认为“睡眠时间与性别有关”？睡眠少于7小时睡眠不少于7小时合计男生女生合计P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中）（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，平面，，，.⑴过的截面交于点，若△为等边三角形，求出点的位置；⑵在⑴条件下，求平面与平面所成二面角的大小.（本小题满分12分）设点的坐标分别为，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是.⑴求点的轨迹的方程；⑵为曲线上的三个动点，在第一象限，关于原点对称，且，问△的面积是否存在最小值？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由.（本小题满分12分）已知函数.⑴判断函数的单调性；⑵若，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.已知△中，，以点为圆心，以为半径的圆分别交于两点，且为该圆的直径.⑴求证：；⑵若，求的长.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.已知曲线的参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为.⑴写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；⑵设点为曲线上的动点，求点到直线距离的最大值.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.已知函数.⑴若不等式恒成立，求的取值范围；⑵当时，求不等式的解集.长春市普通高中2016届高三质量监测（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.A2.C3.D4.D5.D6.B7.A8.C9.B10.A11.B12.A简答与提示：【命题意图】本题考查集合中元素的计算与集合的性质.【试题解析】A 题意可知，集合，故选A.【命题意图】本题考查复数的除法运算与复数虚部的概念.【试题解析】C，虚部为1，故选C.【命题意图】本题考查抛物线的准线的概念，是对学生的基础知识的直接考查.【试题解析】D 由题意，抛物线的准线为，故选D.【命题意图】本题主要对向量的基本运算进行考查.【试题解析】D，，则的夹角余弦值为.故选D.【命题意图】本题是对逻辑问题的综合考查，全面考查考生对各种逻辑问题的理解.【试题解析】D 选项A中，由奇函数定义可知，“”是“函数是奇函数”的既不充分也不必要条件；选项B中，若：，，则：，；选项C中，若为假命题，只能判定中至少有一个为假命题；选项D的说法正确，故选D.【命题意图】本题考查线性规划以及目标函数的几何意义等知识.【试题解析】B 图为可行域，而目标函数可化为，即为该直线在轴上的截距，当直线过时，截距取得最大值，此时取得最小值为，故选B.【命题意图】本题考查程序框图的基本运作过程，同时通过程序框图也对数列中的裂项求和进行考查.【试题解析】A 由程序框图，当时，还应该进入循环，而当时，不再进入循环，故应填，故选A.【命题意图】本题主要考查解三角形，以及利用余弦定理搭建三角形中边与角的关系式.【试题解析】C 由题意，设，根据余弦定理可得，，可得且，，故，故选C.【命题意图】本题主要考查考生对三视图的理解，以及简单几何体表面积的计算.【试题解析】B 由三视图可知，该几何体是底面为等腰直角三角形，高为的三棱锥，且顶点在底面上的投影为斜边的中点，据此可求得该几何体的表面积为.故选B.【命题意图】本题考查对图像特征的理解，以及利用求导等手段发现函数特点的方法.【试题解析】A 函数为奇函数，且，可推出在原点处切线的斜率为0，故选A.【命题意图】本题考查三角变换公式，以及中各个量对函数图像的影响.【试题解析】B 由题，可知①④正确，故选B.【命题意图】本题是利用导数考查抽象函数的特征问题，目的在于考核考生对导数的理解，包括函数的特征点，以及导数对函数图像的影响等.【试题解析】A 当时，可得；当时，将的两侧同时乘以可得，即，则在时单调递增，即，所以；当时，将的两侧同时乘以可得，即，则在时单调递减，即，所以，综上可得到.故选A.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.14.15.16.简答与提示：【命题意图】本题考查二项展开式系数问题.【试题解析】常数项为.【命题意图】本题考查正态分布的基本知识，特别是正态分布中各个量的意义.【试题解析】由正态分布的性质可知，.【命题意图】本题考查了球的内接几何体问题，特别涉及到了长方体，以及长方体的局部几何体的外接球问题.【试题解析】由条件，可将三棱锥放入如图所示的长方体中，设其长宽高分别为，有，得到，所以长方体的体对角线长为，该长方体的外接球也就是三棱锥的外接球半径为，从而其表面积为.【命题意图】本题通过平面几何的性质考查双曲线的标准方程以及离心率，对学生的运算求解能力提出很高要求，是一道较难题.【试题解析】设双曲线的标准方程为，，由，得，从而满足，消去，解得，离心率为.三、解答题(本小题满分12分)【命题意图】本题考查数列通项公式及其前项和公式的求法，其中涉及错位相减法在数列求和问题中的应用.【试题解析】(1)证明：由条件可知，，即，整理得，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.（6分）(2)由(1)可知，，即，令①②①②，，整理得.（12分）(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.【试题解析】解：(1)设所求事件概率为，则.（6分）(2)睡眠少于7小时睡眠不少于7小时合计男生12820女生14620合计261440所以没有的把握认为“睡眠时间与性别有关”（12分）(本小题满分12分)【命题意图】本小题以三棱柱为载体，考查立体几何的基础知识.本题通过分层设计，考查了二面角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】解：（1）由题意，在三棱柱中，由平面且可得，，故点的位置为的三等分点，且靠近处.（4分）（2）以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，有设平面的一个法向量为，有，得，令，得，同理可得平面的一个法向量为，可得，所以平面与平面所成角为直二面角，大小为.（12分）(本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程的求取，直线和椭圆的位置关系及函数最值的求法，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】(1)设点的坐标为，由题意可知，即，因此点的轨迹方程为.（5分）(2)由题意知，设，设由，消去得，所以同理可得，所以当，即时，取最小值，此时.（12分）(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，以及函数图像的判定，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：(1)，，当时，，则在上单调递增；当时，令，得，则在上单调递减，在上单调递增.（4分）(2)不妨先证明，即，先证，即，显然成立.再证，只需证，设，则，即，得证.由当时，则在上单调递增，可知，当时，，又在上单调递增，，当时，在上单调递减，与条件不符.综上.（12分）(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到三角形相似等内容.本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】(1)因为，所以，又因为，所以，所以，所以.（5分）(2)由(1)可知∽，从而，由，得.（10分）(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用曲线的参数方程的几何意义求解曲线上点到直线的距离等内容.本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】(1)曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程为.（5分）(2)设点坐标为，点到直线的距离所以点到直线距离的最大值为.（10分）(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容.本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】(1)由于，所以，解得或.（5分）(2)，原不等式等价于，或，或解得，原不等式解集为.（10分）版权所有：高考资源网()
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