求解一道较难的不等式证明题目x,y,z∈[0,1] 求证（1+x)(1+Y)(1+Z)>=√8(x+y)(y+z)(x+z)
血战舞动丶抯
（1+x)(1+y)-2(x+y)=1+xy+x+y-2（x+y)=1+xy-（x+y)=1-x+y(x-1)=(1-x)(1-y)>=0 (因为x,y,z∈[0,1] ）所以（1+x)(1+y)>=2(x+y)同理（1+x)(1+z)>=2(x+z)（1+y)(1+z)>=2(y+z)以上3式相乘[（1+x)(1+Y)(1+Z)]^2>=8(x+y)(y+z)(x+z) 所以（1+x)(1+Y)(1+Z)>=√8(x+y)(y+z)(x+z)
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这题错了，当x=y=z=1时，不等式反号应该有x+y+z=1的条件吧？
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高中数学试题
高中数学基本不等式训练题(含答案)
1．若xy＞0，则对 xy＋yx说法正确的是(　　)
A．有最大值－2　　　　　　 B．有最小值2
C．无最大值和最小值&& D．无法确定
2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是(　　)
A．400&& B．100
C．40&& D．20
3．已知x&2，则当x＝____时，x＋4x有最小值____．
答案：2　4
4．已知f(x)＝12x＋4x.
(1)当x＞0时，求f(x)的最小值；
(2)当x＜0 时，求f(x)的最大值．
解：(1)∵x＞0，∴12x，4x＞0.
∴12x＋4x&212x&4x＝83.
当且仅当12x＝4x，即x＝3时取最小值83，
∴当x＞0时，f(x)的最小值为83.
(2)∵x＜0，∴－x＞0.
则－f(x)＝12－x＋(－4x)&212－x&－4x＝83，
当且仅当12－x＝－4x时，即x＝－3时取等号．
∴当x＜0时，f(x)的最大值为－83.
一、选择题
1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是(　　)
A．x＋12x&& B．x2－1＋1x2－1
C．2x＋2－x&& D．x(1－x)
2．函数y＝3x2＋6x2＋1的最小值是(　　)
A．32－3&& B．－3
C．62&& D．62－3
解析：选D.y＝3(x2＋2x2＋1)＝3(x2＋1＋2x2＋1－1)&3(22－1)＝62－3.
3．已知m、n&R，mn＝100，则m2＋n2的最小值是(　　)
A．200&& B．100
C．50&& D．20
解析：选A.m2＋n2&2mn＝200，当且仅当m＝n时等号成立．
4．给出下面四个推导过程：
①∵a，b&(0，＋&)，∴ba＋ab&2ba&ab＝2；
②∵x，y&(0，＋&)，∴lgx＋lgy&2lgx&lgy；
③∵a&R，a&0，∴4a＋a &24a&a＝4；
④∵x，y&R，，xy＜0，∴xy＋yx＝－[(－xy)＋(－yx)]&－2－xy－yx＝－2.
其中正确的推导过程为(　　)
A．①②&& B．②③
C．③④&& D．①④
解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑．
①∵a，b&(0，＋&)，∴ba，ab&(0，＋&)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；
②虽然x，y&(0，＋&)，但当x&(0,1)时，lgx是负数，y&(0,1)时，lgy是负数，∴②的推导过程是错误的；
③∵a&R，不符合基本不等式的条件，
∴4a＋a&24a&a＝4是错误的；
④由xy＜0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy＋yx提出负号后，(－xy)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．
5．已知a＞0，b＞0，则1a＋1b＋2ab的最小值是(　　)
A．2&& B．22
C．4&& D．5
解析：选C.∵1a＋1b＋2ab&2ab＋2ab&22&2＝4.当且仅当a＝bab＝1时，等号成立，即a＝b＝1时，不等式取得最小值4.
6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有(　　)
A．最大值64&& B．最大值164
C．最小值64&& D．最小值164
解析：选C.∵x、y均为正数，
∴xy＝8x＋2y&28x&2y＝8xy，
当且仅当8x＝2y时等号成立．
∴xy&64.
二、填空题
7．函数y＝x＋1x＋1(x&0)的最小值为________．
8．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy有最________值，其值为________．
解析：1＝x＋4y&2x&4y＝4xy，∴xy&116.
答案：大　116
9．(2010年山东卷)已知x，y&R＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为________．
解析：∵x＞0，y＞0且1＝x3＋y4&2xy12，∴xy&3.
当且仅当x3＝y4时取等号．
三、解答题
10．(1)设x＞－1，求函数y＝x＋4x＋1＋6的最小值；
(2)求函数y＝x2＋8x－1(x＞1)的最值．
解：(1)∵x＞－1，∴x＋1＞0.
∴y＝x＋4x＋1＋6＝x＋1＋4x＋1＋5
&2 x＋1&4x＋1＋5＝9，
当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时，取等号．
∴x＝1时，函数的最小值是9.
(2)y＝x2＋8x－1＝x2－1＋9x－1＝(x＋1)＋9x－1
＝(x－1)＋9x－1＋2.∵x＞1，∴x－1＞0.
∴(x－1)＋9x－1＋2&2x－1&9x－1＋2＝8.
当且仅当x－1＝9x－1，即x＝4时等号成立，
∴y有最小值8.
11．已知a，b，c&(0，＋&)，且a＋b＋c＝1，求证：(1a－1)&(1b－1)&(1c－1)&8.
证明：∵a，b，c&(0，＋&)，a＋b＋c＝1，
∴1a－1＝1－aa＝b＋ca＝ba＋ca&2bca，
同理1b－1&2acb，1c－1&2abc，
以上三个不等式两边分别相乘得
(1a－1)(1b－1)(1c－1)&8.
当且仅当a＝b＝c时取等号．
12．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．
问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．
解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米．
总造价f(x)＝400&(2x＋2&200x)＋100&200x＋60&200
＝800&(x＋225x)＋12000
＝36000(元)
当且仅当x＝225x(x＞0)，
即x＝15时等号成立．
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