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设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=9n-n2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=1n(12-an)（n∈N+），数列{bn}的前n项和为Tn，若对任意的n∈N+，均有Tn＞m2-3m+720，求m的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=9n-n2-（-n2+11n-10）=-2n+10…（5分）又a1=S1=8，适合上式&…（6分）所以an=10-2n（n∈N*）…（7分）（2）因为bn=1n(2n+2)=12（1n-1n+1）…（10分）所以Tn=12（1-12+12-13+…+1n-1n+1）=12（1-1n+1）…（12分）又因为对任意的n∈N*，Tn＞m2-3m+720恒成立，所以（Tn）min＞m2-3m+720…（13分）因为当n=1时，（Tn）min=14，所以14＞m2-3m+720…（14分）解之得1＜m＜2&…（16分）
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据魔方格专家权威分析，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=9n-n2．（1）求数列{an}的通项公式；..”主要考查你对&&等差数列的通项公式，数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
等差数列的通项公式数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）
等差数列的通项公式:
an=a1+（n-1）d，n∈N*。 an=dn+a1-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d； an=kn+b（k≠）｛an｝为等差数列，反之不能。 对等差数列的通项公式的理解：
&①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a1和d是基本量，只要知道a1和d即可求出等差数列的任一项；②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a1-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，等差数列公式的推导：
等差数列的通项公式可由归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：
&数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如的形式，可以把表示为，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和； 2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法； 3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：& 数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。 数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有的一类数列，在求时，要注意讨论n的奇偶性；（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
发现相似题
与“设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=9n-n2．（1）求数列{an}的通项公式；..”考查相似的试题有：
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高中数学竞赛讲义第六讲 数列数列,讲义,竞赛,数 列,第六讲,讲义第,高中数列,数列讲义
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高中数学竞赛讲义第六讲 数列
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& 2017届高三数学（理）一轮复习课时作业27（含解析）
2017届高三数学（理）一轮复习课时作业27（含解析）
资料类别: /
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资料概述与简介
课时活页作业（二十七）
[基础训练组]
1．已知数列1，，，，…，，则3是它的(　　 )
A．第22项　　　　　　　 B．第23项
[解析]　观察知已知数列的通项公式是an＝，
令an＝＝3＝，得n＝23.
2．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6等于(　　 )
B．3×44＋1
[解析]　当n≥1时，an＋1＝3Sn，则an＋2＝3Sn＋1，
an＋2－an＋1＝3Sn＋1－3Sn＝3an＋1，即an＋2＝4an＋1，
该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列．
又a2＝3S1＝3a1＝3，an＝
∴当n＝6时，a6＝3×46－2＝3×44.
3．对于数列{an}，“an＋1>|an| (n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的(　　 )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　当an＋1>|an| (n＝1,2，…)时，|an|≥an，an＋1>an，{an}为递增数列．当{an}为递增数列时，若该数列为－2,0,1，则a2>|a1|不成立，即知：an＋1>|an|(n＝1,2，…)不一定成立．故综上知，“an＋1>|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件．
4．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(nN*)，则数列{an}的通项公式是(　　 )
[解析]　法一：由已知整理得(n＋1)an＝nan＋1，
＝，数列{}是常数列．且＝＝1，
法二：(累乘法)n≥2时，＝，
＝，…＝，＝， 两边分别相乘得＝n.
又a1＝1，an＝n.
[答案]　 D
5．在数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是(　　 )
A．103　　　B.
C.　　 D．108
[解析]　an＝－2(n－)2＋2×＋3，
n＝7时，an最大．a7＝－2×72＋29×7＋3＝108.
6．已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝1－ (n≥2)，则a16＝________.
[解析]　由题意知a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，a4＝1－＝，此数列是以3为周期的周期数列，a16＝a3×5＋1＝a1＝.
7．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k的值为________．
[解析]　Sn＝n2－9n，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－10，
a1＝S1＝－8适合上式，an＝2n－10(nN*)，
5＜2k－10＜8，得7.5＜k＜9.k＝8.
8．(2016·蚌埠质检)已知数列{an}满足：a1为正整数，an＋1＝如果a1＝5，则a1＋a2＋a3＝________.
[解析]　由题意知a1＝5，a2＝3×5＋1＝16，a3＝8，所以a1＋a2＋a3＝29.
[答案]　29
9．(2016·西安质检)设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，nN*，且a1，a2＋5，a3成等差数列．
(1)求a1的值；
(2)求数列an的通项公式．
解：(1)在2Sn＝an＋1－2n＋1＋1中，
令n＝1得2S1＝a2－22＋1；
令n＝2得2S2＝a3－23＋1，
解得a2＝2a1＋3，a3＝6a1＋13.
又2(a2＋5)＝a1＋a3，解得a1＝1.
(2)由2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，
2Sn＋1＝an＋2－2n＋2＋1得an＋2＝3an＋1＋2n＋1.
又a1＝1，a2＝5也满足a2＝3a1＋21，
所以an＋1＝3an＋2n对n∈N*成立．
an＋1＋2n＋1＝3(an＋2n)，
an＋2n＝3n，an＝3n－2n.
10．(2016·邯郸模拟)已知数列{an}满足前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝，且前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)判断数列{cn}的增减性．
解：(1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)．
(2)cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1
＝＋＋…＋，cn＋1－cn＝＋－＜0，{cn}是递减数列．
[能力提升组]
11．数列{an}满足an＋an＋1＝ (nN*)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21为(　　 )
[解析]　an＋an＋1＝(nN*)，
a1＝－a2＝－2，a2＝2，a3＝－2，a4＝2，…，
故a2n＝2，a2n－1＝－2.
S21＝10×＋a1＝5＋－2＝.
12．(2016·海淀区期末)若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(nN*)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为(　　 )
[解析]　a1＝19，an＋1－an＝－3，
数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，
an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.
设{an}的前k项和数值最大，则有kN*，
∴≤k≤，k∈N*，k＝7.
满足条件的n的值为7.
13．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝(　　 )
[解析]　Sn＝2an＋1，当n≥2时，Sn－1＝2an，
an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an(n≥2)，
即＝(n≥2)，又a2＝，
an＝×n－2(n≥2)．
当n＝1时，a1＝1≠×－1＝，
Sn＝2an＋1＝2××n－1＝n－1.
14．(2014·课标全国)数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________.
[解析]　an＋1＝，
an＋1＝＝＝
＝1－＝1－(1－an－2)＝an－2，
周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3.a8＝a3×2＋2＝a2＝2.
而a2＝，a1＝.
15．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，nN*.
(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；
(2)若an＋1≥an，nN*，求a的取值范围．
解：(1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，
即Sn＋1＝2Sn＋3n，
由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，
又S1－31＝a－3(a≠3)，故数列{Sn－3n}是首项为a－3，
公比为2的等比数列，因此，所求通项公式为bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，nN*.
(2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，nN*，
于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，
当n＝1时，a1＝a不适合上式，
an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2
当n≥2时，an＋1≥an12·n－2＋a－3≥0a≥－9.又a2＝a1＋3＞a1.
综上，所求的a的取值范围是[－9，＋∞)．
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已知二次函数f(x)=x^2-2(10-3n)x+9n^2-61n+100(n属于N*），设函数y=f(x)的图像的顶点到X轴的距离构成数列｛an}，到Y轴的距离构成数列｛bn}（1）求数列{an}前n项和Sn，数列｛bn}的前n项和Tn（2）试比较Sn与Tn的大小
09-09-17 &
你是宝根旳学森， O O？
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按一定次序排列的一列数称为数列（sequence of number）。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数列称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项。所以，数列的一般形式可以写成　　a1，a2，a3，…，an，…　　简记为｛an｝，项数有限的数列为“有穷数列”（finite sequence），项数无限的数列为“无穷数列”（infinite sequence）。　　从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；　　从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；　　从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列；　　各项呈周期性变化的数列叫做周期数列（如三角函数）；　　各项相等的数列叫做常数列。　　通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。　　数列中数的总数为数列的项数。特别地，数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集｛1，2，…，n｝）为定义域的函数an=f(n)。　　如果可以用一个公式来表示,则它的通项公式是a(n)=f(n).一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列（arithmetic sequence），这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母d表示。　　【缩写】　　等差数列可以缩写为A.P.（Arithmetic Progression）。　　【等差中项】　　由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时，A叫做a与b的等差中项（arithmetic mean）。　　有关系：A＝（a＋b）/2　　【通项公式】　　an=a1+(n-1)d　　an=Sn-S(n-1) (n&=2)　　【前n项和】　　Sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2　　【性质】　　且任意两项am，an的关系为：　　an=am+(n-m)d　　它可以看作等差数列广义的通项公式。 　　从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：　　a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k-1，k∈{1,2,…,n} 　　若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有　　am+an=ap+aq　　Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1　　Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差数列，等等。　　和＝（首项＋末项）×项数÷2 　　项数＝（末项-首项）÷公差＋1 　　首项=2和÷项数-末项　　末项=2和÷项数-首项　　设a1,a2,a3为等差数列。则a2为等差中项,则2倍的a2等于a1+a3　　【应用】　　日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别　　时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。　　若为等差数列，且有an=m,am=n.则a(m+n)＝0。等比数列可以缩写为G.P.（Geometric Progression）。　　【等比中项】　　如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。　　有关系：G^2＝ab；G＝±(ab)^(1/2)　　注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以G^2=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。　　【通项公式】　　an=a1q^(n-1)　　an=Sn-S(n-1) (n&=2)　　【前n项和】　　当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为　　Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)　　【性质】　　任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)　　（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n} 　　（4）等比中项：aq·ap=ar*2，ar则为ap，aq等比中项。　　记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1　　另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。 　　性质： 　　①若 m、n、p、q∈N*，且m＋n=p＋q，则am·an=ap·aq； 　　②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列. 　　“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.　　(5) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)　　在等比数列中，首项A1与公比q都不为零. 　　注意：上述公式中A^n表示A的n次方。　　【应用】　　等比数列在生活中也是常常运用的。　　如：银行有一种支付利息的方式---复利。　　即把前一期的利息赫本金价在一起算作本金，　　在计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。　　按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期　　如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。 　　（1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1）　　若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。　　（2）求和公式：Sn=nA1(q=1) 　　Sn=A1(1-q^n)/(1-q) 　　=(a1-a1q^n)/(1-q)　　=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n)　　(前提：q不等于 1)　　任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)　　（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n} 　　（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。　　记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1　　另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
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