复旦大学数学分析习题答案(第二版)_百度文库
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复旦大学数学分析习题答案(第二版)
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xià jièㄒㄧㄚˋ ㄐㄧㄝ ˋ
基本解释◎ 下界 xi&ji&(1) [lower bound]∶下方的界限(2) [earth]∶人间;对天上而言反义词上界英文翻译1.（人间）
the world of man2.（下凡） (of gods or immortals) descend to the world3.{数} lower bound详细解释(1).指人间；对天上而言。 唐
白居易 《曲江醉后赠诸亲故》诗：“中天或有长生药，下界应无不死人。”《西游记》第四回：“大王，你在天上，不觉时辰。天上一日，就是下界一年哩。” 清
赵翼 《瓯北诗话·高青邱诗》：“独 青邱 如半天朱霞，映照下界，至今犹光景常新，则其天分不可及也。” 徐迟 《财神和观音》：“后来，财神爷就用脚踢开了祥云，他们一起向下界看去。”(2).指阴间，地府。 鲁迅 《中国小说史略》第十六篇：“﹝ 华光 ﹞以忆其母，访于地府，复因争执，大闹阴司，下界亦鼎沸。”下凡。《宣和遗事》前集：“此上感得 火德星君
霹靂大仙 下界降生，於 西京
赵洪恩 宅生下箇孩儿。”证明数列{n}有下界,无上界_百度知道当前位置： >>
1 高数 课后答案
习题 11 1. 设 A=(∞, 5)∪(5, +∞), B=[10, 3), 写出 A∪B, A∩B, A\B 及 A\(A\B)的表达式. 解 A∪B=(∞, 3)∪(5, +∞), A∩B=[10, 5), A\B=(∞, 10)∪(5, +∞), 2. 设A,B是任意两个集合, 证明对偶律: (A∩B)C=AC ∪B C . 证明 因为 所以 (A∩B)C=AC ∪B C
. (1)f(A∪B)=f(A)∪f(B); (2)f(A∩B)f(A)∩f(B). 证明 因为 x∈(A∩B)CxA∩B xA或xB x∈AC或x∈B C
x∈AC ∪B C, 3. 设映射 f : X →Y, AX, BX . 证明 A\(A\B)=[10, 5).y∈f(A∪B)x∈A∪B, 使 f(x)=y
y∈ f(A)∪f(B),www. kh d所以 (2)因为 所以 f(A∩B)f(A)∩f(B). 是f的逆映射: g=f 1. 元素的像, 所以f为X到Y的满射. 因此 f 既是单射, 又是满射, 即 f 是双射. 定义, g是f的逆映射. 5. 设映射 f : X→Y, AX . 证明: (1)f 1(f(A))A; (2)当f是单射时, 有f 1(f(A))=A .f(A∪B)=f(A)∪f(B).y∈f(A∩B) x∈A∩B, 使 f(x)=y(因为 x∈A 且 x∈B) y∈f(A)且 y∈f(B) y∈ f(A)∩f(B),4. 设映射f : X→Y, 若存在一个映射g: Y→X, 使 g f = I X , f g = I Y , 其中IX,IY分别是X,Y上的恒等映射, 即对于每一个x∈X, 有IX x=x; 对于每一个y∈Y, 有IY y=y. 证明: f是双射, 且g 证明 因为对于任意的y∈Y, 有x=g(y)∈X, 且f(x)=f[g(y)]=I y y=y, 即Y中任意元素都是X中某又因为对于任意的x1≠x2, 必有f(x1)≠f(x2), 否则若f(x1)=f(x2) g[ f(x1)]=g[f(x2)]
x1=x2. 对于映射g: Y→X, 因为对每个y∈Y, 有g(y)=x∈X, 且满足f(x)=f[g(y)]=I y y=y, 按逆映射的课后(因为 x∈A 或 x∈B) y∈f(A)或 y∈f(B)aw答案.c o网m证明 (1)因为x∈A
f(x)=y∈f(A)
f 1(y)=x∈f 1(f(A)), 所以 f 1(f(A))A. (2)由(1)知f 1(f(A))A. 另一方面, 对于任意的x∈f 1(f(A))存在y∈f(A), 使f 1(y)=xf(x)=y . 因为y∈f(A)且f是单 射, 所以x∈A. 这就证明了f 1(f(A))A. 因此f 1(f(A))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1) y = 3x + 2 ; 解 由 3x+2≥0 得 x &
2 . 函数的定义域为 [ 2 , + ∞) . 3 3 (2) y = 1 2 ; 1 x解 由 1x2≠0 得x≠±1. 函数的定义域为(∞, 1)∪(1, 1)∪(1, +∞).解 由x≠0 且 1x2≥0 得函数的定义域D=[1, 0)∪(0, 1].www. kh d(5) y = 解 由 x≥0 得函数的定义 D=[0, +∞). (7) y=arcsin(x3); 解 由|x3|≤1 得函数的定义域 D=[2, 4]. 1 (8) y = 3
x + x (9) y=ln(x+1); 解 由 x+1&0 得函数的定义域 D=(1, +∞). (10) y = e x .1解 由 4x2&0 得 |x|&2. 函数的定义域为(2, 2).(6) y=tan(x+1); π π 解 由 x +1≠ (k=0, ±1, ±2,
)得函数的定义域为 x ≠ kπ + 1 (k=0, ±1, ±2,
). 2 2解 由 3x≥0 且 x≠0 得函数的定义域 D=(∞, 0)∪(0, 3).解 由 x≠0 得函数的定义域 D=(∞, 0)∪(0, +∞). 7. 下列各题中, 函数 f(x)和 g(x)是否相同?为什么?课后(4) y =1 ; 4
x2aw答案(3) y = 1
1 x2 ; x.c o网m(1)f(x)=lg x2, g(x)=2 (2) f(x)=x, g(x)= x 2 ; (3) f ( x) = 3 x 4
x3 , g ( x) = x3 x 1 . (4)f(x)=1, g(x)=sec2xtan2x . 解 (1)不同. 因为定义域不同. (2)不同. 因为对应法则不同, x&0 时, g(x)=x. (3)相同. 因为定义域,对应法则均相相同. (4)不同. 因为定义域不同.w. kh d(2)y=x+ln x, (0, +∞). 所以函数 y =x 在区间(∞, 1)内是单调增加的. 1 x证明 (1)对于任意的x1, x2∈(∞, 1), 有 1x 1&0, 1x 2&0. 因为当x1&x2时, x x x1
2 = &0 , 1 x1 1 x 2 (1 x1 )(1 x 2 )(2)对于任意的x1, x2∈(0, +∞), 当x1&x2时, 有课9. 试证下列函数在指定区间内的单调性: x , (∞, 1); (1) y = 1 xy1
y 2 = ( x1 + ln x1 )
( x 2 + ln x 2 ) = ( x1
x 2 ) + ln所以函数 y=x+ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.ww10. 设 f(x)为定义在(l, l)内的奇函数, 若 f(x)在(0, l)内单调增加, 证明 f(x)在(l, 0)内也单 证明 对于x1, x2∈(l, 0)且x1&x2, 有x1, x2∈(0, l)且x1&x2. 因为 f(x)在(0, l)内单调增加且为奇函数, 所以 f(x2)&f(x1),
f(x2)&f(x1), f(x2)&f(x1),调增加.这就证明了对于x1, x2∈(l, 0), 有f(x1)& f(x2), 所以f(x)在(l, 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(l, l)上的, 证明:awx1 &0 , x2后答解
(π ) =|sin π |= 1 ,
(π ) =|sin π |= 2 ,
( π ) =|sin( π ) |= 2 ,
(2) = 0 . 6 6 2 4 4 2 4 4 2案网|sin x | | x |& π
( π ) , (2), 并作出函数 y=(x)的图形. 8. 设
π 4 6 4 | x |≥ 0
3.c om(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数; (2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是 奇函数. 证明 (1)设 F(x)=f(x)+g(x). 如果 f(x)和 g(x)都是偶函数, 则 F(x)=f(x)+g(x)=f(x)+g(x)=F(x), 如果 f(x)和 g(x)都是奇函数, 则 F(x)=f(x)+g(x)=f(x)g(x)=F(x), 所以 F(x)为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数. 所以 F(x)为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.(2)设 F(x)=f(x)g(x). 如果 f(x)和 g(x)都是偶函数, 则 F(x)=f(x)g(x)=f(x)g(x)=F(x), 所以 F(x)为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数. 如果 f(x)和 g(x)都是奇函数, 则F(x)=f(x)g(x)=[f(x)][g(x)]=f(x)g(x)=F(x), 所以 F(x)为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.www. kh d(1)y=x2(1x2); (2)y=3x2x3;2所以 F(x)为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数. 12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数?(3) y = 1 x2 ; 1+ x(4)y=x(x1)(x+1);x x (6) y = a + a . 2(5)y=sin xcos x+1;解 (1)因为f(x)=(x)2[1(x)2]=x2(1x2)=f(x), 所以f(x)是偶函数.(2)由f(x)=3(x)2(x)3=3x2+x3可见f(x)既非奇函数又非偶函数. 1 ( x) 2 1 x 2 (3)因为 f ( x) = = = f ( x) , 所以 f(x)是偶函数. 2 1+ ( x) 1+ x 2 (4)因为 f(x)=(x)(x1)(x+1)=x(x+1)(x1)=f(x), 所以 f(x)是奇函数.(5)由 f(x)=sin(x)cos(x)+1=sin xcos x+1 可见 f(x)既非奇函数又非偶函数. (6)因为 f (x) = a( x) + a ( x)课F(x)=f(x)g(x)=f(x)[g(x)]=f(x)g(x)=F(x),后如果 f(x)是偶函数, 而 g(x)是奇函数, 则2x x = a + a = f (x) , 所以 f(x)是偶函数. 2aw答案.c o网m13. 下列各函数中哪些是周期函数?对于周期函数, 指出其周期: (1)y=cos(x2); (2)y=cos 4x; (3)y=1+sin πx; (4)y= 解 (1)是周期函数, 周期为 l=2π. (2)是周期函数, 周期为 l = π . 2 (3)是周期函数, 周期为 l=2. (4)不是周期函数. 14. 求下列函数的反函数: (1) y = 3 x +1 ; (2) y = 1 1+ x (5)是周期函数, 周期为 l=π. (5)y=sin2 x.www. kh d(4) y=2sin3x; (5) y=1+ln(x+2); 2x . (6) y = x 2 +1 上既有上界又有下界.解 (1)由 y = 3 x +1 得x=y31, 所以 y = 3 x +1 的反函数为y=x31.1 y , 所以 y = 1 x 的反函数为 y = 1 x . (2)由 y = 1 x 得 x = 1+ x 1+ x 1+ x 1+ ydy + b (3)由 y = ax + b 得 x = , 所以 y = ax + b 的反函数为 y = dx + b . cy
a cx + d cx + d cx
ay (4)由 y=2sin 3x 得 x = 1 arcsin , 所以 y=2sin 3x 的反函数为 y = 1 arcsin x . 3 2 3 2(5)由y=1+ln(x+2)得x=e y12, 所以y=1+ln(x+2)的反函数为y=e x12. x x y , 所以 y = 2 的反函数为 y = log2 x . (6)由 y = 2 得 x = log2 x +1 x +1 2 2 1 y 1 x15. 设函数 f(x)在数集 X 上有定义, 试证: 函数 f(x)在 X 上有界的充分必要条件是它在 X课(3) y = ax + b (adbc≠0); cx + daw后答案.c o网m(2) y=sin u, u=2x, x1 = π , x2 = π ; 8, 4www. kh d(3) y = 1+ x 2 , y1 = 1+12 = 2 , y2 = 1+ 22 = 5 . (4) y = e x 2 , y1 =e0 2 =1 , y2 = e12 = e . (5)y=e2x, y1=e21=e2, y2=e2(1)=e2. 函数的定义域为[a, 1a], 当 a & 1 时函数无意义. 217. 设 f(x)的定义域 D=[0, 1], 求下列各函数的定义域: (1) f(x2); (2) f(sinx); (3) f(x+a)(a&0); (4)f(x+a)+f(xa)(a&0). 解 (1)由 0≤x2≤1 得|x|≤1, 所以函数f(x2)的定义域为[1, 1]. (2)由 0≤sin x≤1 得 2nπ≤x≤(2n+1)π (n=0, ±1, ±2
), 所以函数 f(sin x)的定义域为 [2nπ, (2n+1)π] (n=0, ±1, ±2
) . (3)由 0≤x+a≤1 得a≤x≤1a, 所以函数 f(x+a)的定义域为[a, 1a]. (4)由 0≤x+a≤1 且 0≤xa≤1 得: 当 0 &a ≤ 1 时, a≤x≤1a; 当 a & 1 时, 无解. 因此当 0 &a ≤ 1 时 2 2 2课(2)y=sin2x, y1 = sin(2
π ) = sin π = 2 , y2 = sin(2
π ) = sin π =1 . 4 2 8 4 2后解 (1)y=sin2x, y1 = sin 2 π = ( 1 )2 = 1 , y2 = sin 2 π = ( 3 )2 = 3 . 6 2 4 3 2 4aw答案(4) y=eu, u=x2, x1 =0, x2=1; (5) y=u2 , u=ex , x1=1, x2=1.网(3) y = u , u=1+x2, x1=1, x2= 2;.c o(1) y=u2, u=sin x, x1 = π , x2 = π ; 6 3m证明 先证必要性. 设函数 f(x)在 X 上有界, 则存在正数 M, 使|f(x)|≤M, 即M≤f(x)≤M. 这 这就证明了 f(x)在 X 上有下界M 和上界 M. 再证充分性. 设函数f(x)在X上有下界K1和上界K2, 即K1≤f(x)≤ K2 . 取M=max{|K1|, |K2|}, 则 M≤ K1≤f(x)≤ K2≤M , 即 |f(x)|≤M. 这就证明了 f(x)在 X 上有界. 16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值 x1和x2的函数值:
18. 设 f (x) =
解 f [ g ( x)] =
0 1 | x |&1 | x |=1 , g(x)=ex , 求f[g(x)]和g[f(x)], 并作出这两个函数的图形. | x |&1 x&0 x =0 . x &0| e x |&1
| e x |=1 , 即 f [ g ( x)] =
0 1 | e x |&1 19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角=40°(图 137). 当过水断面ABCD的面积为定 值S0时, 求湿周L(L=AC+CD+DB)与水深h之间的函数关系式, 并说明定义域. 图 137BC =后S0
h , 所以 hL=www. kh d自变量 h 的取值范围应由不等式组课h&0,确定, 定义域为 0 & h& S0 cot 40 .20. 收敛音机每台售价为 90 元, 成本为 60 元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订 购量超过 100 台以上的, 每多订购 1 台, 售价就降低 1 分, 但最低价为每台 75 元. (1)将每台的实际售价 p 表示为订购量 x 的函数; (2)将厂方所获的利润 P 表示成订购量 x 的函数; (3)某一商行订购了 1000 台, 厂方可获利润多少? 解 (1)当 0≤x≤100 时, p=90. 令 0. 01(x, 得x0=1600. 因此当x≥1600 时, p=75. 当 100&x&1600 时, p=90(x100)×0. 01=910. 01x. 综合上述结果得到0 ≤ x ≤100
p = 91 0.01x 100 & x &1600 .
75 x ≥1600 awS0 2
cos 40 + h. sin 40 h答案1 h[BC + (BC + 2 cot 40
h)]= S 0 2得网解Ab = DC =h sin 40, 又 从S0
h & 0 h.c om e1
g[ f ( x)] = e f (x) =
e0 e1 | x |&1 e
| x |=1 , 即 g[ f ( x)] =
1 e1 | x |&1 | x |&1 | x |=1 . | x |&130 x 0 ≤ x ≤100
(2) P = ( p
60) x = 31x
0.01x 2 100 & x &1600 .
15 x x ≥1600
(3) P=31×1002=21000(元).www. kh d课aw后答案.c o网m(5) xn=n(1)n. 解 (1)当 n→∞时, x n =1 2n→0, lim1www. kh d绝对值小于正数ε , 当ε =0.001 时, 求出数N. 解 lim x n = 0 .n →∞cos nπ 2 . 问 lim x =? 求出N, 使当n&N时, x 与其极限之差的 2. 设数列{xn}的一般项 x n = n n n→∞ n| xn
0|=| cos nπ | 1 2 ≤ . ε &0, 要使|x 0|&ε , 只要 1 & ε , 也就是 n & 1 . 取 N =[ 1 ] , n n n ε n ε则n&N, 有|xn0|&ε .1 当 ε =0.001 时, N =[ ] =1000.课1 1 →0, lim (1) n = 0 . n →∞ n n 1 1 (3)当 n→∞时, x n = 2 + 2 →2, lim (2 + 2 ) = 2 . n →∞ n n 2 n 1 n 1 =1 =1 . →0, lim (4)当 n→∞时, x n = n →∞ n +1 n +1 n +1 (5)当n→∞时, xn=n(1)n没有极限.(2)当 n→∞时, x n = (1) nε3. 根据数列极限的定义证明: 1 (1) lim 2 = 0 ; n →∞ n 3n +1 3 = ; (2) lim n →∞ 2n +1 2aw后答案网n →∞ 2 n=0 ..c o习题 12 1. 观察一般项xn如下的数列{xn}的变化趋势, 写出它们的极限: 1 (1) x n = 2 1 (2) x n = (1) n 1 (3) x n = 2 + 2 ; n n 1 ; (4) x n = n +1m(3) limn →∞n2 +a2 =1 n(4) lim 0.999
9 =1 .n→∞ n个(1)分析 要使 |1 n2 0|=1 n21 1 & ε , 只须 n 2 & , 即 n & .1 n2证明 因为ε&0,
N =[ 1 ] , 当 n&N 时, 有 |(2)分析 要使 |1 1 3n +1
3 |= 1 & 1 & ε , 只须 & ε , 即 n & . 2n +1 2 2(2n +1) 4n 4ε 4n证明 因为ε&0,
N =[3n +1 3 3n +1 3 1
|& ε , 所以 lim = . ] , 当 n&N 时, 有 | n → ∞ 2 n +1 2 2n +1 2 4ε后证明 因为ε&0,
N =[a2ε] , 当n&N 时, 有 |1 & ε , 只须w. kh d10n 1(4)分析 要使|0.99
91| =课1 证明 因为ε&0,
N =[1+ lg ] , 当n&N 时, 有|0.99
91|&ε , 所以 lim 0.999
9 =1 .εaw1 10n 1答案(3)分析 要使 |a2 n2 +a2 n2 +a2 n a2 a2 1|= = & & ε , 只须 n& . ε n n n( n 2 + a 2 + n) nn2 +a2 n2 +a2 1|& ε , 所以 lim =1 . n →∞ n n1 &ε , 即 n &1+ lg . ε4. lim u n = a , 证明 lim |u n |=| a | . 并举例说明: 如果数列{|xn|}有极限, 但数列{xn}未必有n→∞ n →∞极限.证明 因为 lim u n = a , 所以ε&0, N∈N, 当 n&N 时, 有 |un
a |& ε , 从而n→∞||un||a||≤|una|&ε .ww这就证明了 lim |un |=| a | .n →∞数列{|xn|}有极限, 但数列{xn}未必有极限. 例如 lim | (1)n |=1 , 但 lim (1)n 不存在.n →∞ n →∞5. 设数列{xn}有界, 又 lim yn = 0 , 证明: lim xn yn = 0 .n →∞ n →∞证明 因为数列{xn}有界, 所以存在M, 使n∈Z, 有|xn|≤M. ε 又 lim y n = 0 , 所以ε&0, N∈N, 当 n&N 时, 有 | y n |& . 从而当 n&N 时, 有 n→∞ M.c on→∞ n个ε 0|& ε , 所以 lim1n →∞ n 2=0 .网mεε| x n y n
0|=| x n y n |≤ M | y n |& M εM=ε ,所以 lim x n y n = 0 .n →∞www. kh d课aw后答案.c o6. 对于数列{xn}若x2k→a (k →∞), x2k+1→a (k →∞), 证明: xn→a (n →∞). 证明 因为x2k→a (k →∞), x2k+1→a (k →∞), 所以ε&0, K1, 当 2k&2K1时, 有| x2ka |&ε ; K2,当 2k+1&2K2+1 时, 有| x2k+1a |&ε.. 取N=max{2K1, 2K2+1}, 只要n&N, 就有|xna |&ε . 因此xn→a (n →∞).网m习题 13 1. 根据函数极限的定义证明: (1) lim (3 x 1) = 8 ;x →3(2) lim (5 x + 2) =12 ;x→2(3) lim21 证明 (1)分析 |(3x1)8|=|3x9|=3|x3|, 要使|(3x1)8|&ε , 只须 | x
3|& ε . 3|x
(2) |& ε .w. kh d证明 因为ε &0,
δ = ε , 当 0&|x(2)|&δ 时, 有 (4)分析 2. 根据函数极限的定义证明: (1) lim1+ x 33 x→∞课(3)分析x2 4 x2 4 x 2 + 4x + 4
(4) = =| x + 2|=| x
(2) | , 要使
(4) & ε , 只须 x+2 x+2 x+2 x2 4 x2 4
(4) & ε , 所以 lim = 4 . x → 2 x + 2 x+21 1 1 4 x 3 1 4 x 3 1
2 & ε , 只须 | x
( )|& ε .
2 |= 2 | x
) | , 要使 2 2 2 x +1 2 x +1 21 1 1 4 x 3 1 4 x 3 =2 . 证明 因为ε &0,
δ = ε , 当 0 &| x
( )|&δ 时, 有
2 & ε , 所以 lim 2 2 2 x +1 x →
1 2 x +12ww(2) lim2x sin x=1 ; 2x → +∞=0 . 1+ x 3 2x 3x证明 (1)分析1| x |&32ε.后1 证明 因为ε &0,
δ = ε , 当 0&|x2|&δ 时, 有|(5x+2)12|&ε , 所以 lim (5 x + 2) =12 . x→2 51+ x 3 1 1 1+ x 3
& ε , 只须 = = , 要使 &ε , 即 3 3 3 2 2 2| x | 3 2x 2| x | 2xaw答案1 (2)分析 |(5x+2)12|=|5x10|=5|x2|, 要使|(5x+2)12|&ε , 只须 | x
2|& ε . 5网1 证明 因为ε &0,
δ = ε , 当 0&|x3|&δ 时, 有|(3x1)8|&ε , 所以 lim (3 x 1) = 8 . x →3 3.c o(4) lim1 4 x 3 =2 . x →
1 2 x +1mx2 4 = 4 ; x → 2 x + 2证明 因为ε &0,
X = sin x x 证明 因为ε&0,
X = 0 =132ε, 当|x|&X 时, 有 1 x sin x1+ x 3 2x 31 1+ x 3 1 & ε , 所以 lim = . x →∞ 2 x 3 2 21 x &ε , 即 x & sin x(2)分析|sin x | x 12≤, 要使0 & ε , 只须14. 当 x→∞时, y =x 2 1 x 2 +3→1 , 问 X 等于多少, 使当|x|&X 时, |y1|&0.01?解 要使证明 因为x →0 所以极限 lim f ( x) 存在.x→0ww所以极限 lim
( x) 不存在.x →0w. kh dx →0+x lim f ( x) = lim+ = lim+ 1=1 , x →0 x x →0x →0x →0 lim f ( x) = lim+ f ( x) ,因为x →0 lim
( x) = limx →0x →0 +lim
( x) = lim+x →0x →0 lim
( x) ≠ lim+
( x) ,x →07. 证明: 若 x→+∞及 x→∞时, 函数 f(x)的极限都存在且都等于 A, 则 lim f ( x) = A .x →∞课x lim f ( x) = lim = lim 1=1 , x →0 x x →0| x| x = lim = 1 , x →0 x x x | x| = lim =1 , x x →0 + x后| x| x 6. 求 f ( x) = ,
( x) = 当 x→0 时的左、右极限, 并说明它们在 x→0 时的极限是否存在. x xaw5. 证明函数 f(x)=|x| 当 x→0 时极限为零.答案x +321 =4 x +32& 0.01 , 只 | x |&网x 2 14
3 = 397 , X = 397 . 0.01.c o| x
2|&0.001 = 0.0002 , 取δ=0. 0002, 则当 0&|x2|&δ时, 就有|x24|&0. 001. 5m=0 . x x 3. 当x→2 时, y=x2→4. 问δ等于多少, 使当|x2|&δ时, |y4|&0. 001? 解 由于x→2, |x2|→0, 不妨设|x2|&1, 即 1&x&3. 要使|x24|=|x+2||x2|&5|x2|&0. 001, 只要ε, 当 x&X 时, 有x sin xε2.0 & ε , 所以 limx → +∞证明 因为 lim f ( x) = A , lim f ( x) = A , 所以ε&0,x → ∞ x → +∞X1&0, 使当x&X1时, 有|f(x)A|&ε ; X2&0, 使当x&X2时, 有|f(x)A|&ε . 取X=max{X1, X2}, 则当|x|&X时, 有|f(x)A|&ε , 即 lim f ( x) = A .x →∞因此当x0δ&x&x0和x0&x&x0+δ 时都有|f(x)|=|f(x)A+A|≤|f(x)A|+|A|&1+|A|. 这就是说存在 X&0 及 M&0, 使当|x|&X 时, |f(x)|&M, 其中 M=1+|A|.www. kh d即f(x)→A(x→x0). 9. 试给出 x→∞时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明. 解 x→∞时函数极限的局部有界性的定理: 如果 f(x)当 x→∞时的极限存在, 则存在 X&0 及 M&0, 使当|x|&X 时, |f(x)|&M. 证明 设 f(x)→A(x→∞), 则对于ε =1, X&0, 当|x|&X 时, 有|f(x)A|&ε =1. 所以课aw| f(x)A|&ε ,后答案|f(x)A|&ε . 这说明f(x)当x→x0时左右极限都存在并且都等于A . 再证明充分性. 设f(x00)=f(x0+0)=A, 则ε&0, δ1&0, 使当x0δ1&x&x0时, 有| f(x)A&ε ; δ2&0, 使当x0&x&x0+δ2时, 有| f(x)A|&ε . 取δ=min{δ1, δ2}, 则当0&|xx0|&δ 时, 有x0δ1&x&x0及x0&x&x0+δ2 , 从而有.c o|f(x)A|&ε .网m8. 根据极限的定义证明: 函数f(x)当x→x0 时极限存在的充分必要条件是左极限,右极限各 自存在并且相等. 证明 先证明必要性. 设f(x)→A(x→x0), 则ε&0, δ&0, 使当 0&|xx0|&δ 时, 有习题 14 1. 两个无穷小的商是否一定是无穷小?举例说明之. 解 不一定. 例如, 当 x→0 时, α(x)=2x, β(x)=3x 都是无穷小, 但 lim 2. 根据定义证明:x →0α ( x) 2 α ( x) = , 不是无穷小. β ( x) 3 β ( x)证明 (1)当 x≠3 时 | y |=x 2 9 =| x
3| . 因为ε &0, δ=ε , 当 0&|x3|&δ 时, 有 x+3所以当 x→3 时 y =www. kh d所以当 x→0 时 y = x sin1 为无穷小. x课1 | y |=| x || sin |≤| x
0|& δ = ε , x3. 根据定义证明: 函数 y =1+ 2 x 为当x→0 时的无穷大. 问x应满足什么条件, 能使 x|y|&104?证明 分析 | y |=1+ 2 x 1 1 1 1 = 2+ ≥
2 , 要使|y|&M, 只须 2 & M , 即 | x |& . M +2 x x | x| | x|1 1+ 2 x , 使当 0&|x0|&δ 时, 有 &M , M +2 x证明 因为M&0,
δ =所以当 x→0 时, 函数 y = 取M=104, 则 δ =1+ 2 x 是无穷大. x1410 + 2 4. 求下列极限并说明理由:(1) lim (2) limn→∞. 当 0 &| x
0|&2 x +1 ; x1 x 2 . x → 0 1 xaw1 10 + 24后x 2 9 为无穷小. x +3 1 (2)当 x≠0 时 | y |=| x ||sin |≤| x
0| . 因为ε &0, δ=ε , 当 0&|x0|&δ 时, 有 x答案网| y |=x 2 9 =| x
3|& δ = ε , x+3时, |y|&104..c om(1) y =x 2 9 当 x→3 时为无穷小; x +3 1 (2) y = x sin 当 x→0 时为无穷小. x解 (1)因为 (2)因为2 x +1 1 2 x +1 1 = 2 + , 而当 x→∞ 时 是无穷小, 所以 lim =2 . n→∞ x x x x1 x 2 1 x 2 =1+ x (x≠1), 而当 x→0 时 x 为无穷小, 所以 lim =1 . x → 0 1 x 1 x 5. 根据函数极限或无穷大定义, 填写下表: 6. 函数 y=xcos x 在(∞, +∞)内是否有界?这个函数是否为当 x→+∞ 时的无穷大?为什 么? 解 函数 y=xcos x 在(∞, +∞)内无界. 这是因为M&0, 在(∞, +∞)内总能找到这样的 x, 使得|y(x)|&M. 例如 y(2kπ)=2kπ cos2kπ=2kπ (k=0, 1, 2,
), 当 k 充分大时, 就有| y(2kπ)|&M. 当 x→+∞ 时, 函数 y=xcos x 不是无穷大. 这是因为M&0, 找不到这样一个时刻 N, 使对一切大于 N 的 x, 都有|y(x)|&M. 例如对任何大的 N, 当 k 充分大时, 总有 x = 2kπ +w. kh dxk = 1 2kπ +1 1 证明 函数 y = sin 在区间(0, 1]上无界. 这是因为 x xM&0, 在(0, 1]中总可以找到点xk, 使y(xk)&M. 例如当课1 1 7. 证明: 函数 y = sin 在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x→0+时的无穷大. x x时, 有当k充分大时, y(xk)&M.ww1 1 当x→0+ 时, 函数 y = sin 不是无穷大. 这是因为 x xM&0, 对所有的δ&0, 总可以找到这样的点xk, 使 0&xk&δ, 但y(xk)&M. 例如可取xk = 1 (k=0, 1, 2,
), 2kπ当k充分大时, xk&δ, 但y(xk)=2kπsin2kπ=0&M.awπ2 & N , 但|y(x)|=0&M.后答案y (2kπ + ) = (2kπ + ) cos( 2kπ + ) = 0 (k=0, 1, 2,
), 2 2 2πππ(k=0, 1, 2,
)2y ( x k ) = 2kπ +π2.c oπ,网m习题 15 1. 计算下列极限: (1) lim x + 5 ; x →2 x
32 2 2 解 lim x + 5 = 2 + 5 = 9 . x →2 x
3 232 (3) lim x 22x +1 ; x →1 x 1www. kh d解 lim (6) lim (2
1 + 12 ) ; x →∞ x x 解 lim (2
1 + 12 ) = 2
lim 1 + lim 12 = 2 . x →∞ x →∞ x x →∞ x x x (7) lim(5) lim2 2 2 (x + h)2
x 2 = lim x + 2hx + h
x = lim(2x + h) = 2x . h→0 h→0 h →0 h hx2 1 ; x →∞ 2x 2
x 11 12 x 2 1 = lim x 解 lim 2 =1 . x →∞ 2x
x 1 x → ∞ 1 1 2 2 x x2x →∞(8) limx2 + x4
3x2 1 x 2 + x = 0 (分子次数低于分母次数, 极限为零) x 4
3x 2 1解 limx →∞课(x + h)2
x2 ; h →0 h后解 lim4x 3
2x 2 + x = lim 4x 2
2x +1 = 1 . x → 0 3x 2 + 2x x →0 3x + 2 2aw答3 2 (4) lim 4x
2x + x →0 3x2 + 2x案x 2
2x +1 = lim ( x 1)2 = lim x 1 = 0 = 0 . 解 lim x →1 x →1 ( x 1)( x +1) x →1 x +1 2 x 2 1.c o2 ( 3)2
3 =0 . 解 lim x 2
3 = x → 3 x +1 ( 3) 2 +1网m2 (2) lim x 2
3 ; x → 3 x +11 +1 x 2 + x = lim x 2 x3 = 0 . 或 lim 4 x →∞ x
3x 2 1 x →∞ 1 22
14 x x (9) limx→4x 2
6x + 8 ; x 2
5x + 4解 lim (1+ 1 )(2
12 ) = lim (1+ 1 )
12 ) =1× 2 = 2 . x →∞ x →∞ x x x x →∞ x(12) limwww. kh d1+ 2 + 3 +
+ (n 1) 解 lim = lim n→∞ n→∞ n2课n →∞1+ 2 + 3 +
+ (n 1) ; n2(n 1)n 2 = 1 lim n 1 = 1 . 2 n →∞ n 2 n2(13) limn →∞(n +1)(n + 2)(n + 3) ; 5n3解 limn→∞(n +1)(n + 2)(n + 3) 1 = (分子与分母的次数相同, 极限为最高次项系数之比). 5n3 5(n +1)(n + 2)(n + 3) 1 = lim (1+ 1 )(1+ 2 )(1+ 3 ) = 1 . 5n3 5 n →∞ n n n 5或 limn →∞(14) lim( 1
3 3 ) ; x →1 1 x 1 x1
3 ) = lim 1+ x + x 2
lim (1 x)(x + 2) =
lim x + 2 = 1 . 解 lim( x →1 1 x 1 x3 x →1 (1 x)( + x + x 2 ) x →1 (1 x)( + x + x 2 ) x →1 1+ x + x 2 1 13 22. 计算下列极限: (1) lim x + 2x2 ; x →2 ( x
2) 解 因为 lim3 2 (x
2)2 0 = = 0 , 所以 lim x + 2x2 = ∞ . 3 + 2x 2 16 x →2 x x → 2 ( x
2)aw后答1 ( 1 )n +1 1 + 1 +
+ 1 ) = lim 2 解 lim (1+ =2 . n→∞ 2 n n → ∞ 1 1 2 4 2案网(11) lim (1+ 1 + 1 +
+ 1n ) ; n →∞ 2 4 2.c o(10) lim (1+ 1 )(2
12 ) ; x →∞ x xmx 2
6x + 8 = lim (x
4) = lim x
2 = 2 . 解 lim 2 x → 4 x
5x + 4 x → 4 ( x 1)( x
4) x → 4 x 1 4 1 32 (2) x →∞ 2 x +1 2 解 lim x = ∞ (因为分子次数高于分母次数).
x →∞ 2x +1(3) lim (2x3
x +1) .x→∞x →∞(1) lim x 2 sin 1 ; x →0 x解 lim x 2 sin 1 = 0 (当x→0 时, x2是无穷小, 而 sin 1 是有界变量). x →0 x x (2) lim arctan x . x →∞ xwww. kh d课后4. 证明本节定理 3 中的(2).aw答解 lim arctan x = lim 1 arctan x = 0 (当 x→∞时, 1 是无穷小, 而 arctan x 是有界变量). x →∞ x →∞ x x x案.c o3. 计算下列极限:网m解 lim (2x3
x +1) = ∞ (因为分子次数高于分母次数).习题 16 1. 计算下列极限: (1) lim sinω x →0 x 解 lim sin ωx =ω lim sin ωx =ω . x →0 x →0 ωx x(3) lim sin 2 x →0 sin 5x(4)x →0w. kh d(6) lim 2 n sinn →∞2 解法一 lim 1 cos 2x = lim 1 cos 2x = lim 2 sin x = 2 lim( sin x 2 2 x →0 x sin x x →0 x →0 x →0 x x x课(5) lim 1 cos 2 x →0 x sin x后解 lim x cot x = lim x
cos x = lim x
lim cos x =1 . x →0 x →0 sin x x →0 sin x x →02 解法二 lim 1 cos 2x = lim 2 sin x = 2 lim sin x = 2 . x →0 x sin x x →0 x sin x x →0 xx (x 为不等于零的常数). 2nx x 2n
x = x . 解 lim 2 n sin n = lim n→∞ 2 n→∞ x 2n sin1ww2. 计算下列极限: (1) lim(1 x)x →0解 lim(1 x) x = lim[1+ ( x)] ( x)x →0 x →011(1)= { lim[1+ ( x)] ( x)x →0(2) lim(1+ 2x)x →01解 lim(1+ 2x) x = lim(1+ 2x) 2x = [ lim(1+ 2x) 2x1 1 2 1 x →0 x →0 x →0aw)2 = 2 .1答案网解 lim sin 2x = lim sin 2x
2 = 2 . x →0 sin 5x x →0 2x sin 5x 5 5]2 = e2 ..c o}1 = e1 .解 lim tan 3x = 3 lim sin 3x
1 = 3 . x →0 x →0 3x cos 3x xm(2) lim tan 3 x →0 x(3) lim (1+ x )2 x →∞ x 解 lim (1+ x )2x = [ lim (1+ 1 ) x x →∞ x x →∞ x (4) lim (1 1 )kx (k 为正整数). x →∞ x]2 = e2 .解 4. 利用极限存在准则证明:n→∞www. kh d(2) lim n(n→∞课1 由极限存在准则 I, lim 1+ =1 . n→∞ n1 n 2 +π + 1 n 2 + 2π后而1 lim1=1 且 lim (1+ ) =1 , n→∞ n+
+1n 2 + nπ证明 因为2 n2 1 1 1 )& n2n+π , & n( 2 + 2 +
+ 2 n 2 + nπ n + π n + 2π n + nπ而n2 n2 =1 , lim 2 =1 , n→∞ n 2 + nπ n→∞ n +π limn→∞所以lim n(1 1 1 )=1 . + +
+ 2 n 2 +π n2 + 2π n + nπ(3)数列 2 ,2+ 2 ,2 + 2 + 2 ,
的极限存在;证明 x1 = 2 , xn +1 = 2 + xn (n=1, 2, 3,
).先证明数列{xn}有界. 当n=1 时 x1 = 2 & 2 , 假定n=k时xk&2, 当n=k+1 时, xk +1 = 2 + xk & 2 + 2 = 2 ,所以xn&2(n=1, 2, 3,
), 即数列{xn}有界.aw)=1 ;答1 1 证明 因为 1& 1+ &1+ , n n案1 (1) lim 1+ =1 ; n→∞ n.c o3. 根据函数极限的定义, 证明极限存在的准则 I′.网m解 lim (1 1 )kx = lim (1+ 1 )( x)(k ) = e k . x →∞ x →∞ x x再证明数列单调增.xn +1
xn = 2 + xn
xn =2 2 + xn
2)( xn +1) , = 2 + xn + xn 2 + xn + xn而xn2&0, xn+1&0, 所以xn+1xn&0, 即数列{xn}单调增. 因为数列{xn}单调增加有上界, 所以此数列是有极限的.x→01+x≤1+|x|≤(1+|x|)n , 1+x≥1|x|≥(1|x|)n , 从而有 因为 1| x |≤ n 1+ x ≤1+ | x | . lim(1 | x |) = lim(1+ | x |) =1 ,x→0 x→0lim n 1+ x =1 .x→0w. kh d1 1 1 1 证明 因为 1& [ ]≤ , 所以 1 x & x[ ]≤1 . x x x xx→0 x→0又因为 lim+ (1 x) = lim+ 1=1 , 根据夹逼准则, 有 lim+ x[x→0课(5) lim+ x[x→01 ]=1 . xwwaw1 ]=1 . x根据夹逼准则, 有后答案.c o证明 当|x|≤1 时, 则有网m(4) lim n 1+ x =1 ;习题 17 1. 当x→0 时, 2xx2 与x2x3相比, 哪一个是高阶无穷小?x x2 =0 , x →0 2 x
x 2 x →0 2
x 所以当x→0 时, x2x3是高阶无穷小, 即x2x3=o(2xx2).解因为 limx2
x3= lim2. 当x→1 时, 无穷小 1x和(1)1x3, (2) 解 (1)因为 lim1 (1
x 2 ) 是否同阶?是否等价? 21 (1 x 2 ) 1 2 = lim(1+ x) =1 , (2)因为 lim x →1 1 x 2 x →1(2) sec x1~证明 (1)因为 lim所以当 x→0 时, arctanx~x.w. kh dsec x 1 1 cos x = 2 lim 2 = lim (2)因为 lim x →0 1 2 x → 0 x cos x x → 0 x 2 2 sin 2 x2 . 2 4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限: (1) limx →0课x →0y arctan x = lim =1 (提示: 令 y=arctan x, 则当 x→0 时, y →0), y →0 tan y x x x 2 sin 2 = lim 2 x →0 x x2 2 2后x2 . 2所以当 x→0 时, sec x1~tan 3 2xww(2) limsin( x n )x →0 (sin x ) m(n, m 为正整数);(3) limtan x
sin x sin 3 xx →0;(4) limsin x
tan x ( 1+ x 2 1)( 1+ sin x 1)x →0 3.aw( )2答案3. 证明: 当 x→0 时, 有: (1) arctanx~x;网1 所以当 x→1 时, 1x 和 (1 x 2 ) 是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小. 2.c o=1 ,(1 x)(1+ x + x 2 ) 1 x 3 = lim = lim(1+ x + x 2 ) = 3 , x →1 1 x x →1 x →1 1 x 3 所以当x→1 时, 1x和 1x 是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小.m解 (1) lim tan 3x = lim 3x = 3 . x →0 2 x x →0 2 x 2 (2) lim1 n=m n
sin(xn ) = lim xm = 0 n & m . x →0 (sin x) m x →0 x ∞ n & m 1 x2 sin x( 1 1) 1 cos x = lim 2 cos x = lim =1 . x → 0 cos x sin 2 x x → 0 x 2 cos x 2 sin 3 x x x 1 ~ 2 x
x 3 (x→0), 2 2 2(4)因为sin x
tan x = tan x(cos x 1) = 2 tan x sin 231+ x 2 1=31 ~ x 2 (x→0), (1+ x ) + 1+ x +1 32 2 3 2x21+ sin x 1=sin x 1+ sin x +1~ sin x ~ x (x→0),所以www. kh d5. 证明无穷小的等价关系具有下列性质: (1) α ~α (自反性); (2) 若α ~β, 则β~α(对称性); (3)若α ~β, β~γ, 则α~γ(传递性). 证明 (1) limα =1 , 所以α ~α ; α α β (2) 若α ~β, 则 lim =1 , 从而 lim =1 . 因此β~α ; β α β α α (3) 若α ~β, β~γ, lim = lim
lim =1 . 因此α~γ. γ γ β课后1
x3 lim = lim 2 = 3 . x →0 3 2 ( 1+ x 1)( 1+ sin x 1) x →0 1 x 2
x 3答sin x
tan xaw案.c o网m(3) lim tan x
sin x = lim x →0 x →0 sin 3 x习题 18 1. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形:x 2 0 ≤ x ≤1 (1) f ( x) = 2
x 1& x ≤ 2x (2) f ( x) =
1 1≤ x ≤1 . | x |&1解 (1)已知多项式函数是连续函数, 所以函数 f(x)在[0, 1)和(1, 2]内是连续的. 在 x=1 处, 因为 f(1)=1, lim f ( x) = lim x 2 =1 , lim f ( x) = lim ( 2
+ +x→1 x→1x→1 x→1所以 lim f ( x) =1 , 从而函数 f(x)在 x=1 处是连续的.x→1综上所述,函数 f(x)在[0, 2]上是连续函数.连续. 综合上述讨论, 函数在(∞, 1)和(1, +∞)内连续, 在 x=1 处间断, 但右连续. 2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或 改变函数的定义使它连续: x 2 1 , x=1, x=2; x 2
3x + 2 π x , x=k, x =kπ + (k=0, ±1, ±2,
); (2) y = tan x 2 (1) y =ww的间断点. 因为 lim y = limx →2w. kh d1 (3) y = cos 2 , x=0; x x 1 (4) y =
x 解 (1) y =x ≤1 , x =1. x &1x 2 1 ( x +1)( x 1) = . 因为函数在 x=2 和 x=1 处无定义, 所以 x=2 和 x=1 是函数 2 x
3x + 2 ( x
2)( x 1)x 2 1 = ∞ , 所以 x=2 是函数的第二类间断点; x →2 x 2
3 x + 2课在 x=1 处, 因为 f(1)=1, lim f ( x) = lim x =1 =f(1), lim f ( x) = lim 1=1 =f(1), 所以函数在 x=1 处 + +x→1 x→1 x→1 x→1后函数在 x=1 处间断, 但右连续.答在 x=1 处, 因为 f(1)=1,x→1lim f ( x) = lim 1=1≠ f (1) ,x→1awx →
1+案(2)只需考察函数在 x=1 和 x=1 处的连续性..c olim f ( x ) = lim+ x = 1= f (1) , 所以x → 1网m因为 lim y = limx→1( x +1)x→1 ( x
2)= 2 , 所以 x=1 是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在 x=1 处,令 y=2, 则函数在 x=1 处成为连续的. (2)函数在点 x=kπ(k∈Z)和 x = kπ + 因 limπ2(k∈Z)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点.x = ∞ (k≠0), 故 x=kπ(k≠0)是第二类间断点; x→kπ tan x xx→0 tan x因为 lim=1 ,limx→kπ +π2去间断点. 令y|x=0=1, 则函数在x=0 处成为连续的; 令 x = kπ +π2时, y=0, 则函数在 x = kπ +π2处成为连续的.(3)因为函数 y = cos 2lim cos 2x→0x→1x→1后(4)因为 lim f ( x) = lim ( x 1) = 0
lim f ( x) = lim (3
x) = 2 , 所以 x=1 是函数的第一类不可去间断
+ +x→1 x→1w. kh d3. 讨论函数 f ( x) = lim x | x |&1 1 x 2 n
解 f ( x) = lim x =
0 | x |=1 . n→∞ 1+ x 2 n
x | x |&1 x→1在分段点 x=1 处, 因为 lim f ( x) = lim ( x) =1 ,x→1课点.1 x 2 n x 的连续性, 若有间断点, 判别其类型. n→∞ 1+ x 2 n第一类不可去间断点.在分段点 x=1 处, 因为 lim f ( x ) = lim x =1 , lim f ( x ) = lim (
x ) = 1 , 所以 x=1 为函数的第一 + +x→1 x→1 x→1 x→1ww类不可去间断点. 4. 证明: 若函数f(x)在点x0连续且f(x0)≠0, 则存在x0的某一邻域U(x0), 当x∈U(x0)时, f(x)≠0. 证明 不妨设f(x0)&0. 因为f(x)在x0连续, 所以 lim f ( x) = f ( x0 ) & 0 , 由极限的局部保号性定理,x→ x0存在x0的某一去心邻域 U ( x0 ) , 使当x∈ U ( x0 ) 时f(x)&0, 从而当x∈U(x0)时, f(x)&0. 这就是说, 则存 在x0的某一邻域U(x0), 当x∈U(x0)时, f(x)≠0.awx→1+ x→1答1 不存在, 所以 x=0 是函数的第二类间断点. x案1 1 在 x=0 处无定义, 所以 x=0 是函数 y = cos 2 的间断点. 又因为 x xlim f ( x) = lim+ x = 1 , 所以 x=1 为函数的.c o网mx π = 0 (k∈Z), 所以 x=0 和 x = kπ + (k∈Z) 是第一类间断点且是可 tan x 25. 试分别举出具有以下性质的函数 f(x)的例子:1 1 (1)x=0, ±1, ±2, ± ,
, ±n, ± ,
是 f(x)的所有间断点, 且它们都是无穷间断点; 2 n(2)f(x)在 R 上处处不连续, 但|f(x)|在 R 上处处连续; (3)f(x)在 R 上处处有定义, 但仅在一点连续. 解 函数 f ( x) = csc(πx) + csc 函数的无穷间断点. 1 解(2)函数 f ( x) =
x 解(3)函数 f ( x) =
xπ1 1 在点 x=0, ±1, ±2, ± ,
, ±n, ± ,
处是间断的, 且这些点是 x 2 nx∈Q 在 R 上处处有定义, 它只在 x=0 处连续. xQwww. kh d课aw后答案.c ox∈Q 在 R 上处处不连续, 但|f(x)|=1 在 R 上处处连续. xQ网m习题 19 1. 求函数 f ( x) = 解 f ( x) =x 3 + 3x 2
3 x2 + x6的连续区间, 并求极限 lim f ( x) , lim f ( x) 及 lim f ( x) .x→0 x → 3 x→ 2x 3 + 3x 2
3 ( x + 3)( x 1)( x +1) = , 函数在(∞, +∞)内除点 x=2 和 x=3 外是连续 ( x + 3)( x
2) x 2 + x6在函数的间断点 x=2 和 x=3 处, ( x + 3)( x 1)( x +1) ( x 1)( x +1) 8 = ∞ , lim f ( x) = lim lim f ( x) = lim = . x→2 x→2 x → 3 x → 3 ( x + 3)( x
2) x2 5(x)=max{f(x), g(x)}, ψ(x)=min{f(x), g(x)}证明 已知 lim f ( x) = f ( x 0 ) , lim g ( x ) = g ( x 0 ) . ( x) = [ f ( x) + g ( x)+ | f ( x)
g ( x)| ] , ψ ( x) = [ f ( x) + g ( x)| f ( x)
g ( x)| ] .1 2 1 2www. kh d因此 ( x 0 ) = [ f ( x 0 ) + g ( x 0 )+ | f ( x 0 )
g ( x 0 )| ] ,1 2ψ ( x 0 ) = [ f ( x 0 ) + g ( x 0 )| f ( x 0 )
g ( x 0 )| ] .因为x → x01 lim
( x ) = lim [ f ( x) + g ( x) + | f ( x)
g ( x) | ] x → x0 21 = [ lim f ( x ) + lim g ( x )+ | lim f ( x)
lim g ( x) | ] x → x0 x → x0 x → x0 2 x → x0 1 = [ f ( x 0 ) + g ( x 0 )+ | f ( x 0 )
g ( x 0 ) | ] =(x0), 2所以(x)在点x0也连续. 同理可证明ψ(x)在点x0也连续. 3. 求下列极限: (1) lim x 2
2 x + 5 ;x →0课1 2后可以验证答x → x0x → x0aw案在点x0也连续.网2. 设函数f(x)与g(x)在点x0连续, 证明函数.c o1 在函数的连续点 x=0 处, lim f ( x) = f (0) = . x →0 2m的, 所以函数 f(x)的连续区间为(∞, 3),(3, 2),(2, +∞).(2) lim (sin 2 x)3 ;x→ π 4(3) lim ln(2 cos 2 x)x→π 6(4) lim (5) limx →0x +1 1 ; x(7) lim ( x 2 + x
x ) .x → +∞(2)因为函数f(x)=(sin 2x)3是初等函数, f(x)在点x=w. kh d4课lim (sin 2 x) 3 = f ( ) = (sin 2
) 3 =1 . 4 4 x→πππ(3)因为函数 f(x)=ln(2cos2x)是初等函数, f(x)在点 x= lim ln(2 cos 2 x) = f ( ) = ln(2 cos 2
) = 0 . 6 6 x→π6π(4) limx →0( x +1 1)( x +1 +1) x +1 1 1 1 1 x = lim = lim = lim = = . x →0 x →0 x ( x +1 +1) x →0 x +1 +1 x 0 +1 +1 2 x( x +1 +1)ww(5) limx →1( 5 x
4 + x ) 5x
4 = lim = lim x →1 x →1 ( x 1)( 5 x
4 + x ) x 1 ( x 1)( 5 x
4 + x )4 5x
4 + x = 4 51 4 + 1 =2 .= limx →1sin x
sin a = lim (6) lim x →a x→a xa2 cosx+a xa sin 2 2 xaawπ4x →0答案lim x 2
2 x + 5 = f (0) = 0 2
0 + 5 = 5 .网解 (1)因为函数 f ( x) = x 2
2 x + 5 是初等函数, f(x)在点 x=0 有定义, 所以后π.c o有定义, 所以5x
4 x 1 (6) lim x→a xax →1π6有定义, 所以mxa sin x+a 2 = cos a + a 1= cos a . = lim cos
lim x→a x→a x
a 2 2 2(7) lim ( x 2 + x
x ) = limx → +∞( x 2 + x
x )( x 2 + x + x 2
x ) ( x2 + x + x2 x) 2 1 1 ( 1+ + 1 ) x x =1 .x → +∞= lim2x ( x2 + x + x2
x)x → +∞= limx → +∞4. 求下列极限:1x →∞(2) lim lnx →0www. kh dx →0(4) lim (1+ 3 tan 2 x) 3 + x x2 1 ) ; 6+ x(5) lim (x →∞(6) lim1+ tan x
1+ sin x x 1+ sin 2 x
x1 xx →∞ x课后1 (3) lim (1+ ) 2 ; x →∞ xx2x →0.解 (1) lim e = ex →∞lim1= e 0 =1 .(2) lim lnx →0sin x sin x = ln( lim ) = ln1= 0 . x →0 x xx1 1 (3) lim (1+ ) 2 = lim (1+ ) x x →∞ x →∞ x x2[]1 2(4) lim(1+ 3 tan 2 x) cot x = lim (1+ 3 tan 2 x) 3tanx →0 x →0+
63x x2 1 3 + x x2 1 + . 因为 ) = (1+ ) 6+ x 6+ x[(5) (aw=e = e .12答案 x网(1)1 2x] =e3.c o3.mx →∞lim (1++
3 63x 3 x 1 3 ) = e , lim
= , x →∞ 6 + x 6+ x 2 2所以 lim (x →∞ 3 + x x2 1
3 ) =e 2 . 6+ x(6) lim1+ tan x
1+ sin x x 1+ sin 2 x
xx →0= lim( 1+ tan x
1+ sin x )( 1+ sin 2 x +1) x( 1+ sin 2 x 1)( 1+ tan x + 1+ sin x )2x →0x→0x sin 2 x( 1+ tan x + 1+ sin x )x →0解 要使函数 f(x)在(∞, +∞)内连续, 只须 f(x)在 x=0 处连续, 即只须x → 0lim f ( x) = lim f ( x) = f (0) = a .x → +0www. kh dx → 0 x → 0x → +0 x → +0因为 lim f ( x) = lim e x =1 , lim f ( x) = lim (a + x) = a , 所以只须取 a=1.课aw数?后答案 ex 5. 设函数 f ( x) =
应当如何选择数 a, 使得 f(x)成为在(∞, +∞)内的连续函 x≥0.c o= lim(tan x
sin x)( 1+ sin x +1)= limtan x
2 sin 2x x 2 x ( ) 2 2 = lim 2 =1 . 2 3 x →0 2 x sin x xm习题 110 1. 证明方程x53x=1 至少有一个根介于 1 和 2 之间. 证明 设f(x)=x53x1, 则f(x)是闭区间[1, 2]上的连续函数. 因为f(1)=3, f(2)=25, f(1)f(2)&0, 所以由零点定理, 在(1, 2)内至少有一点ξ (1&ξ&2), 使f(ξ)=0, 即x=ξ 是方程x53x=1 的介于 1 和 2 之间的根.证明 设 f(x)=asin x+bx, 则 f(x)是[0, a+b]上的连续函数. f(0)=b, f(a+b)=a sin (a+b)+b(a+b)=a[sin(a+b)1]≤0.总之, 方程 x=asinx+b 至少有一个正根, 并且它不超过 a+b.所以 即ww因此 f(x)在(a, b)内连续. 同理可证 f(x)在点 a 处左连续, 在点 b 处右连续, 所以 f(x)在[a, b]上连续. 因为 f(x)在[a, b]上连续, 且 f(a)f(b)&0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a, b), 使得 f(ξ)=0. 4. 若f(x)在[a, b]上连续, a&x1&x2&
&xn&b, 则在[x1, xn]上至少有一点ξ , 使w. kh d0 ≤ lim | f ( x)
f ( x 0 ) |≤ lim L | x
x 0 |= 0 ,x → x0 x → x0 x → x0lim | f ( x)
f ( x 0 ) |= 0 ,x → x0lim f ( x ) = f ( x 0 ) .f (ξ ) =f ( x1 ) + f ( x 2 ) +
+ f ( x n ) . n证明 显然f(x)在[x1, xn]上也连续. 设M和m分别是f(x)在[x1, xn]上的最大值和最小值. 因为xi∈[x1, xn](1≤ i≤n), 所以有m≤f(xi)≤M, 从而有n
m ≤ f ( x1 ) + f ( x 2 ) +
+ f ( x n ) ≤ n
M ,课3. 设函数 f(x)对于闭区间[a, b]上的任意两点 x, 恒有|f(x)f(y)|≤L|xy|, 其中 L 为正常数, 且 y, f(a)f(b)&0. 证明: 至少有一点ξ∈(a, b), 使得 f(ξ)=0. 证明 设x0为(a, b)内任意一点. 因为后答也是方程 x=asinx+b 的一个不超过 a+b 的根.aw案若 f(a+b)&0, 则 f(0)f(a+b)&0, 由零点定理, 至少存在一点ξ∈(0, a+b), 使 f(ξ)=0, 这说明 x=ξ网若 f(a+b)=0, 则说明 x=a+b 就是方程 x=asinx+b 的一个不超过 a+b 的根;.c o2. 证明方程 x=asinx+b, 其中 a&0, b&0, 至少有一个正根, 并且它不超过 a+b.m因此方程x53x=1 至少有一个根介于 1 和 2 之间.f ( x1 ) + f ( x 2 ) +
+ f ( x n ) ≤M . n 由介值定理推论, 在[x1, xn]上至少有一点ξ
使 f ( x1 ) + f ( x 2 ) +
+ f ( x n ) f (ξ ) = . n m≤5. 证明: 若 f(x)在(∞, +∞)内连续, 且 lim f (x) 存在, 则 f(x)必在(∞, +∞)内有界.x →∞x →∞www. kh d课aw后答案.c o|f(x)A|&ε , 即 Aε&f(x)&A+ε . 又由于 f(x)在闭区间[X, X]上连续, 根据有界性定理, 存在 M&0, 使|f(x)|≤M, x∈[X, X]. 取 N=max{M, |Aε|, |A+ε|}, 则|f(x)|≤N, x∈(∞, +∞), 即 f(x)在(∞, +∞)内有界. 6. 在什么条件下, (a, b)内的连续函数 f(x)为一致连续?网m证明 令 lim f (x) = A , 则对于给定的 ε&0, 存在 X&0, 只要|x|&X, 就有总习题一 1. 在&充分&&必要&和&充分必要&三者中选择一个正确的填入下列空 , 格内: (1)数列{xn}有界是数列{xn}收敛的________条件. 数列{xn}收敛是数列{xn} 有界的________的条件. (2)f(x)在x0的某一去心邻域内有界是 lim f ( x) 存在的________条件.lim f ( x) 存在是f(x)在x0的某一去心邻域内有界的________条件.x → x0x→ x0(3) f(x)在x0的某一去心邻域内无界是 lim f ( x) = ∞ 的________条件.x → x0lim f ( x) = ∞ 是f(x)在x0的某一去心邻域内无界的________条件.(4)f(x)当x→x0时的右极限f(x0+)及左极限f(x0)都存在且相等是 lim f ( x) 存在 的________条件. 解 (1) 必要, 充分. (2) 必要, 充分. (3) 必要, 充分. (4) 充分必要. 2. 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论: 设f(x)=2x+3x2. 则当x→0 时, 有( ). (A)f(x)与 x 是等价无穷小; (B)f(x)与 x 同阶但非等价无穷小; (C)f(x)是比 x 高阶的无穷小; (D)f(x)是比 x 低阶的无穷小. x x x x f ( x) = lim 2 + 3
2 = lim 2 1 + lim 3 1 解 因为 lim x →0 x→0 x →0 x →0 x x x x = ln 2 lim t + ln 3lim u = ln 2 + ln 3 (令 2x1=t, 3x1=u) . t → 0 ln( + t ) u → 0 ln( + u) 1 1 所以 f(x)与 x 同阶但非等价无穷小. 故应选 B. 3. 设 f(x)的定义域是[0, 1], 求下列函数的定义域: (1) f(ex); (2) f(ln x); (3) f(arctan x); (4) f(cos x). 解 (1)由 0≤ex≤1 得x≤0, 即函数f(ex)的定义域为(∞, 0]. (2) 由 0≤ ln x≤1 得 1≤x≤e , 即函数 f(ln x)的定义域为[1, e]. (3) 由 0≤ arctan x ≤1 得 0≤x≤tan 1, 即函数 f(arctan x)的定义域为[0, tan 1]. (4) 由 0≤ cos x≤1 得 2nπ
π ≤ x ≤ 2nπ + π (n=0, ±1, ±2,
), 2 2www. kh d课aw后答案.c ox→ x0网mx→ x0即函数 f(cos x)的定义域为[ 2nπ
π , nπ + π ], (n=0, ±1, ±2,
). 2 2 4. 设0 f ( x) =
x x≤0 0 , g ( x) =
x x≤0 , x &0因为 g(x)≤0, 所以 g[g(x)]=0; 因为 g(x)≤0, 所以 f[g(x)]=0;www. kh dh = R2
r 2 = R2 圆锥的体积为V = 1π
32 R 2 (2π α )2
R 4πα α 2π 4π 25. 利用 y=sin x 的图形作出下列函数的图形: (1)y=|sin x|; (2)y=sin|x|; x (3) y = 2 sin . 2 6. 把半径为 R 的一圆形铁片, 自中心处剪去中心角为α的一扇形后围成一 无底圆锥. 试将这圆锥的体积表为α的函数. 解 设围成的圆锥的底半径为 r, 高为 h, 依题意有 R(2π α ) R(2πα)=2πr , r = , 2π课2 R2 (2π α )2 = R 4πα α . 2π 4π 23 = R 2 (2π α )2
a 2 (0&α&2π). 24π 2 7. 根据函数极限的定义证明 lim x
6 = 5 . x →3 x 3 2 证明 对于任意给定的ε &0, 要使 | x
5|& ε , 只需|x3|&ε , 取δ=ε , x 3aw后答案网0 因为f(x)≥0, 所以g[f(x)]=f 2(x) =
xx≤0 . x&0.c o0 解 因为 f(x)≥0, 所以 f[f(x)]=f(x) =
x x≤0 ; x &0m求 f[f(x)], g[g(x)], f[g(x)], g[f(x)].2 2 当 0&|x3|&δ时, 就有|x3|&ε , 即 | x
5|& ε , 所以 lim x
6 = 5 . x →3 x 3 x 3 8. 求下列极限: 2 (1) lim x
x +1 ; x →1 ( x 1 2 )(2) lim x( x 2 +1
x) ; (3) lim( 2x + 3) x +1 ; x → ∞ 2 x +1 (4) x→0 x3 x x x 1 (5) lim( a + b + c ) x (a&0, b&0, c&0); x →0 3 (6) lim(sin x) tan x .www. kh d= limx → +∞x → +∞x 1 = lim =1 . x +1 + x x →+∞ 1+ 1 +1 2 x222 x +1 + 1 (3) lim( 2x + 3) x +1 = lim(1+ 2 ) x +1 = lim(1+ 2 ) 2 2 x →∞ 2x +1 x →∞ x →∞ 2x +1 2x +1 2 x +1 2 x +1 1 1 = lim(1+ 2 ) 2 (1+ 2 ) 2 = lim(1+ 2 ) 2
lim(1+ 2 ) 2 = e . x →∞ x →∞ x →∞ 2x +1 2x +1 2x +1 2x +1课(2) lim x( x 2 +1
x) = lim(4) lim tan x
sin x = lim x →0 x →0 x3sin x
2 sin 2 x 2x ( x )2 2 = lim 2 = 1 (提示: 用等价无穷小换) . = lim x →0 x →0 x3 cos x x3 23 a x + b x + c x 3 3xx x x 1 x x x
(5) lim( a + b + c ) x = lim(1+ a + b + c
3) a x +b x +c x 3 x →0 x →0 3 3x x x lim(1+ a + b + c
3) a x +b x + c x 3 = e , x →0 3 3后答解 (1)因为 lim2 ( x 1)2 = 0 , 所以 lim x
x +1 = ∞ . 2 x →1 x
x +1 x →1 ( x 1) 2x( x 2 +1
x)( x 2 +1 + x) x → +∞ ( x 2 +1 + x)sin x( 1 1) sin x(1 cos x) cos x = lim 3 x →0 x x3 cos xaw, 因为案x→π 2.c o网mx → +∞x x x x x x lim a + b + c
3 = 1 lim( a 1+ b 1+ c 1) x →0 3x 3 x →0 x x x = 1 [ln a lim 1 + ln b lim 1 + ln c lim 1 ] t → 0 ln( + t ) u → 0 ln( + u) v → 0 ln( + v) 3 1 1 1(6) lim(sin x)tan x = lim[1+ (sin x 1)]sin x 1x→π 2 x→π 2 11(sin x 1) tan xx→π2www. kh d所以lim(sin x)tan x = e0 = 1 .x→π 2x sin 1 x &0
9. 设 f ( x) =
, 要使 f(x)在(∞, +∞)内连续, 应怎样选择数 a ? x a + x 2 x≤0
解 要使函数连续, 必须使函数在 x=0 处连续. 因为 f(0)=a, lim f ( x) = lim (a + x 2 ) = a , lim f ( x) = lim x sin 1 = 0 , x→0 x→0 x →0 + x →0+ x 所以当 a=0 时, f(x)在 x=0 处连续. 因此选取 a=0 时, f(x)在(∞, +∞)内连续.
x 1 x & 0 , 求 f(x)的间断点, 并说明间断点所属类形. 10. 设 f ( x) = e ln(1+ x) 1& x ≤ 0
解 因为函数 f(x)在 x=1 处无定义, 所以 x=1 是函数的一个间断点. 1 因为 lim f ( x) = lim e x 1 = 0 (提示 lim 1 = ∞ ), x →1 x →1 x →1 x 1 1 lim f ( x) = lim e x 1 = ∞ (提示 lim 1 = +∞ ), x →1+ x →1+ x →1+ x 1 所以 x=1 是函数的第二类间断点.1课= limsin x(sin 2 x 1) =
lim sin x cos x = 0 , π cos x(sin x +1) x→ x → π sin x +1 2 2后答lim(sin x 1) tan x = limx→πawsin x(sin x 1) cos x 2案x→π 2网lim[1+ (sin x 1)]sin x 1 = e ,.c o, 因为= 1 (ln a + ln b + ln c) = ln 3 abc , 3 x x x 1 3 lim( a + b + c ) x = eln abc = 3 abc . 所以 x →0 3 提示: 求极限过程中作了变换ax1=t, bx1=u, cx1=v.mwww. kh dk=x →∞ ( x → +∞, x → ∞)又因为 lim f ( x) = lim ln( x +1) = 0 , lim f ( x) = lim e x 1 = 1 , x →0 + x→0+ x →0 x→0 e 所以 x=0 也是函数的间断点, 且为第一类间断点. )= 1 . 11. 证明 lim( 1 + 1 +
+ 1 n →∞ n2 +1 n2 + 2 n2 + n n ≤( 1 + 1 +
+ 1 )≤ n , 且 证明 因为 2 2 2 2 n +n n +1 n +2 n +n n2 +1 n = lim 1 =1 , lim n = lim 1 = 1 , lim 2 n →∞ n + n n →∞ n →∞ n 2 +1 n →∞ 1+ 12 1+ 1 n n )= 1 . 所以 lim( 1 + 1 +
+ 1 n →∞ n2 +1 n2 + 2 n2 + n 12. 证明方程 sin x+x+1=0 在开区间 ( π , π ) 内至少有一个根. 2 2 证明 设 f(x)=sin x+x+1, 则函数 f(x)在 [ π , π ] 上连续. 2 2 因为 f ( π ) = 1 π +1=
π , f ( π ) =1+ π +1= 2 + π , f ( π )
f ( π ) & 0 , 2 2 2 2 2 2 2 2 所以由零点定理, 在区间 ( π , π ) 内至少存在一点ξ , 使 f(ξ)=0. 这说明方程 sin 2 2 x+x+1=0 在开区间 ( π , π ) 内至少有一个根. 2 2 13. 如果存在直线 L: y=kx+b, 使得当 x→∞(或 x→+∞, x→∞)时, 曲线 y=f(x) 上的动点 M(x, y)到直线 L 的距离 d(M, L)→0, 则称 L 为曲线 y=f(x)的渐近线. 当 直线 L 的斜率 k≠0 时, 称 L 为斜渐近线. (1)证明: 直线 L: y=kx+b 为曲线 y=f(x)的渐近线的充分必要条件是1课limf ( x) , b = lim [ f ( x)
kx] . x →∞ x ( x → +∞, x → ∞)1(2)求曲线 y = (2x 1)e x 的斜渐近线.证明 (1) 仅就 x→∞的情况进行证明. 按渐近线的定义, y=kx+b 是曲线 y=f(x)的渐近线的充要条件是lim[ f ( x)
(kx + b)] = 0 .x→∞ x→∞必要性: 设 y=kx+b 是曲线 y=f(x)的渐近线, 则 lim[ f ( x)
(kx + b)] = 0 , 于是有lim x[x →∞f (x) f (x) f ( x)
k = lim , x →∞ x x →∞ x x xaw后答案.c o网m同时有lim[ f ( x)
b = lim[ f ( x)
kx] .x →∞ x→∞充分性: 如果 k = limx →∞x →∞f (x) , b = lim[ f ( x)
kx] , 则 x →∞ xx →∞ x →∞lim[ f ( x)
(kx + b)] = lim[ f ( x)
b] = lim[ f ( x)
b = 0 ,1 y (2)因为 k = lim = lim 2x 1e x = 2 , x →∞ x x →∞ x 1b = lim[ y
2x] = lim[(2x 1)e x
2x] = 2 lim x(e x 1) 1 = 2 limx →∞ x →∞ x →∞ t →0www. kh d课aw后答案网所以曲线 y = (2x 1)e x 的斜渐近线为 y=2x+1.1.c o1t 1 =1 , ln(1+ t)m因此 y=kx+b 是曲线 y=f(x)的渐近线.
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