请教各位求解积分问题时的思路_数学吧_百度贴吧
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请教各位求解积分问题时的思路收藏
大一数学系学生，现在正在复习数学分析中的微积分计算，在求不是公式可以直接解决的积分问题时一点头绪都没有，希望各位数学精英能分享一下思路，最好能额外附加例题说明，可以以这题为例子∫cos（六次方）x
和张大佛爷、二月红一起去探秘矿洞墓穴！
这只能多做找手感 没别的办法∫cos^6 x dx=∫(cos3x+3cosx)^2 /16 dx
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一道积分问题，可能需要实分析与复分析的知识
能写一下过程吗？^_^谢谢
abc是复数吗？
直接平方展开，再积分！再对a，b，c求偏导，求驻点
/bbs/viewthread.php?tid=&fpage=1
与本题非常像, 因此解决起来可以照猫画虎, 非常感谢 @i维数, @gold2007的肩膀给大家以支撑.
本文只能针对a,b,c都是实数的情况来讨论, 如果它们是复数, 楼主可以证明积分对路径无关么(因为被积函数不是解析函数, 讨论可积性还是必要的)???
首先证明: 如果 f(x)=a+bx+cx^2+x^3满足\int_{-1}^1 f(x)dx=\int_{-1}^1 x\cdot f(x)dx=\int_{-1}^1 x^2 \cdot f(x)dx=0, 则 a=0,\ c=0,\ b=-\frac{3}{5}.&&(证明: 略)
其次, 设f(x)=x^3-\frac{3}{5}x, 证明\int_{-1}^1 (f(x)+A+Bx+Cx^2)^2dx=\int_{-1}^1 f^2(x)dx+\int_{-1}^1(A+Bx+Cx^2)^2 dx对任意的 A,B,C 实数都成立.& &(证明: 略)
于是最小值为\int_{-1}^1 (x^3-\frac{3}{5}x)^2=\frac{8}{175}.
那一题是约束优化，所以需要复杂的技术。
这题是无约束优化，令梯度为0即可。
我有一点困惑是：若abc可取复数，则应当把实部虚部分开，化为6个实参数的无约束优化问题。
发现abc取遍复数的结果与取遍实数的结果相同。
目标函数的极值待有空再算。
算得最小值为1/2800
应兄台之邀，我计算了积分限从-1到1的情形
原式最小时，a，b，c，分别为多少呢^_^
里面的函数关于a.b.c都在这三个的零点不可导，所以求导和积分号不可交换
这是关于abc的光滑函数，只要把绝对值平方写成平方
积分号里面那两竖用来干什么的？
话说可以推广吗
最大值.jpg
可以推广，但一般表达式需要通过计算去找规律，有可能很难找
哦哦，晓得了
你认为这题推广到一般形式后是否有规律？
如果有理论或应用背景，且目前文献中尚未有一般情形的解，倒是可以求出一般解整理成一篇小小论文。
个人觉得这道题仅是练习题，弄清楚各种方法的解题思路即可。
好的，谢谢你了
首先系数只有小部分不为0，其次分母应当是n的多项式。
不客气，相互学习。
只有这个答案是对的
a=0,c=0, b=3/5
复数就是对模积分
有理论 有实例 非常棒！
这是数学中已经成经典的结果
由于本题中内积定义由&f,g&:=\int_{-1}^1 f(x)g(x)dx给出, 所以图片中的
https://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_polynomials
\alpha(x)=x 且 moments m_k=\int_{-1}^1 x^kdx=\frac{2}{k+1}\chi(\mathrm{k even})
于是取到平方积分最小值 的多项式由 行列式直接给出. 图片中给出了n=6的例子.按首项必须为1的要求, 就是 p_6(x)=x^6-\frac{15}{11}x^4+\frac{5}{11}x^2-\frac{5}{231}
i维数 提了一个很好的问题, 并且数学里已经有了很完整的系统理论. 加油.
Emuch029 orthogonal polynomial 2.png
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