一元三次方程求根公式的置换群解法_百度知道
一元三次方程求根公式的置换群解法
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出门在外也不愁手算一元三次方程的几种解法（原方程不能因式分解的）_数学吧_百度贴吧
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手算一元三次方程的几种解法（原方程不能因式分解的）收藏
方法2 ：传统卡丹公式法：一元三次标准形式：ax^3+bx^2+cX+d=0 原方程为：x^3-2..x＋18.对比，可知，a=1,b=-2.1446,c=-26.,d=18.令y=x-b/(3a)=y+0.代入一元三次标准形式ax^3+bx^2+cX+d=0 得出y^3+〔c/a-bb/(3aa)〕y+〔2bbb/(27aaa)-bc/(3aa)+d/a〕=0令p=c/a-bb/(3aa)=-28.&&&& q=2bbb/(27aaa)-bc/(3aa)+d/a=-0.可以将一元三次方程标准形式化为y^3+py+q=0即y^3-28..Δ=(q/2)^2+(p/3)^3=-836.所以原方程有三不等实根又因为Δ^0.5=28.i-q/2=0.所以令α=(-q/2+Δ^0.5)^(1/3)=(0..i)^(1/3)&&&&&& β=(-q/2-Δ^0.5)^(1/3)=(0..i)^(1/3)涉及到对0.±28.i进行开立方运算可以先将复数0.±28.i由一般形式转换为三角形式r(cosθ±isinθ)r=(0.+28.)^(1/2)=28.9250316θ=artan(28..)=1.θ/3=0.因此(忽略2π周期性，因为2π周期后重合)(0.±28.i)^(1/3)=r^(1/3)*〔cos(θ/3)±isin(θ/3)〕&&&&&&&&&&&&&& =28./3)*〔cos0.±isin0.〕 &&&&&&&&&&&&&& =3.*(0.±0.i)&&&&&&&&&&&&&& =2.±1.i所以α=(0..i)^(1/3)=2..iβ=(0..i)^(1/3)=2..iy1=α+β=5.y2=(-0.5+i3^0.5/2)α+(-0.5-i3^0.5/2)β=-5.y3=(-0.5-i3^0.5/2)α+(-0.5+i3^0.5/2)β=-0.x1=y1-b/(3a)=y+0..0473x2=y2-b/(3a)=y+0.=-4.5862x2=y2-b/(3a)=y+0..6835
方法3：双曲函数法任意一元三次方程标准形式：ax^3+bx^2+cX+d=0&&&& ①式原方程x^3-2..x＋18.&&&&&&&中 a=1,b=-2.1446,c=-26.,d=18.在①式中令y=kx-b/3 可得：(ky)^3+(ck-bbK/3)y=-2bbb/27+bc/3-d&&&& ②式 (k为做线性变换的参数，可以为任意实数)这里引进双曲函数y=sh(x),y=ch(x)其中双曲正弦函数y=sh(x)=〔e^(x)-e^(-x)〕/2&&&& 双曲余弦函数y=ch(x)=〔e^(x)+e^(-x)〕/2双曲函数三倍角公式如下：4*〔sh(x)〕^3+3*sh(x)=sh(3x)&&&&&&& ③式4*〔ch(x)〕^3-3*ch(x)=ch(3x)&&&&&&& ④式对比②式：引进不为0的参数k,将&&& ②式左右两端同时乘以4/(k^3),（根据方程性质：新方程左右两端仍然相等并与k的取值无关）4y^3+〔(12*c-b^2)/(3k^2)〕y=4*(9bc-27d-2b^3)/(27K^3)&&& ⑤式&&因为(12*c-b^2)/3=-113.&&& 所以适用于&& ③式当x是原方程的根时,方程⑤左右两端仍然相等与K无关不妨设〔(12*c-b^2)/(3k^2)〕=-3&&&&& 求出k=6.将k=6.代入右边4*(9bc-27d-2b^3)/(27K^3)&& 得右边=0.因此方程⑤化为：4y^3-3y=0.令y=ch(z)&& 化为:4*〔ch(z)〕^3-3*ch(z)=ch(3z) =0.因为-1&ch(3z) =0.所以3z为纯虚数(忽略周期性，只取一个值) 3z=iacos0..iz=0.iy1=ch(z)=ch(0.i)=cos0..为方程②的一个根。所以x1=ky1-b/(3a)=6..-(-2..0473原方程已知其中的一个实数根x1=6.0473（已经求出）那么根据根与系数的关系x2+x3=-b-x1=-(-2.3=-3.9027x2x3=-d/x1=-18..6677因此方程x2 x3是一元二次方程x^2+3.6677的两个根解得：x2=0.5(-3.)=0.6835&&&&&& x3=0.5(-3.)=-4.5862
方法4：待定系数法任意一元三次方程标准形式：ax^3+bx^2+cX+d=0&&& ①式原方程x^3-2..x＋18.&&&&&&&中 a=1,b=-2.1446,c=-26.,d=18.根据韦达定理根与系数关系，可设方程①的三个根为：&&&& x1=(-b+α+β)/(3a)&&&& x2=(-b+ωα+ω^2*β)/(3a)&&&& x3=(-b+ω^2*α+ωβ)/(3a)式中ω=(-1+i*3^0.5)/2&& ω^2=ω*ω=(-1-i*3^0.5)/2&&& α,β为待定系数且有α^3,β^3是以下一次二次方程的两个根z^2+(2b^3-9abc+27da^2)z+(b^2-3ac)^3=0&&& ②式 又因为2b^3-9abc+27da^2=-23.&&&&&&&&&&&& (b^2-3ac)^3=3所以方程 ②化为：z^2-23. Δ=-&0&& 有一对共轭复根解得：z=11.0.8841173i即：α^3=11..8841173i&&&& β^3=11..8841173i分别对α^3,β^3进行开立方运算（忽略周期，只取一个根）r=(11.+780.)^0.5=780.9758532θ=artan(780...故 r^(1/3)=9.&&& θ/3=0.因此α=(11..8841173i)^(1/3)&&&&&& ={780.9758532[cos(θ)+isin(θ)]}^(1/3)&&&&&& =9.[cos(θ/3)+isin(θ/3)]&&&&&& =9.(cos0.+isin0.)&&&&&& =9...i)&&&&&& =7.69407i同理β=7.69407i最终：x1=(-b+α+β)/(3a)=(1/3)*(2.65+7.93x2=(-b+ωα+ω^2*β)/(3a)=(1/3)*{[(-1+i*3^0.5)/2 ]*(7.69407i)+[(-1-i*3^0.5)/2 ]*(7.69407i)}=-4.5862x3=(-b+ω^2*α+ωβ)/(3a)=(1/3)*{[(-1-i*3^0.5)/2 ]*(7.69407i)+[(-1+i*3^0.5)/2 ]*(7.69407i)}=0.6835
方法5：“狂人”李煌公式一元三次标准形式：ax^3+bx^2+cX+d=0 原方程为：x^3-2..x＋18.对比，可知，a=1,b=-2.1446,c=-26.,d=18.令y=x-b/(3a)=x+0.代入一元三次标准形式ax^3+bx^2+cX+d=0 得出y^3+〔c/a-bb/(3aa)〕y+〔2bbb/(27aaa)-bc/(3aa)+d/a〕=0令p=c/a-bb/(3aa)=-28.&&& q=2bbb/(27aaa)-bc/(3aa)+d/a=-0.可以将一元三次方程标准形式化为y^3+py+q=0即y^3-28..&&&&&&&&&&& ①按照李煌公式：y=2*(-p/3)^0.5sinθ 是方程 ①的一个根&&&&&&&&&&&&&&&&& ②其中θ 满足(p^3/27)^0.5*[e^(3iθ)-e^(-3iθ)]+q=0&&&&&&&& ③引入双曲正弦函数y=sh(z)=[e^z-e^(-z)]/2令z=3iθ&& 代入③ 可以得到：sh(3iθ)=(-q/2)/(p^3/27)^0.5&&&&&&&& =0./(-836..5&&&&&&&& =0..9250316i&&&&&&&& =-0.i又根据双曲函数和指数函数的关系sh(3iθ)=isin(3θ)=-0.i因此sin(3θ)=-0.3θ=arsin(-0.)=-0.θ=(-0.)/3=-0.sin(θ)=sin(-0.)=-0.&& 代入②y=2*(-p/3)^0.5sinθ=6.*(-0.)=-0.又因为y=x-b/(3a)=x+0.故x=y+0.=-0...6835原方程已知其中的一个实数根x1=0.6835（已经求出）那么根据根与系数的关系x2+x3=-b-x1=-(-2.5=1.4611x2x3=-d/x1=-18..12726因此方程x2 x3是一元二次方程x^2-1.12726=0的两个根解得：&&&& x2=0.5(1.)=6.0473&&&&&&&&&& x3=0.5(1.)=-4.5862&&&&
上传完毕 任意一元三次方程（不能目测因式分解）都可以用以上5种方法进行手算。
如果有哪位数学帝能提出其他的解法，在下不胜感激！！
发帖的目的是大家都知道公式，但是不用因式分解和迭代法，亲手仔细手算过的人不多。 还有很多中学生对一元三次方程也产生很大的兴趣，有不少人发帖求问，这里列出几种方法求解的详细计算过程，便于参考。
偷偷告诉LZ，数学战士的BLOG里就有了..好像附带支持复数计算的程序
我的2 楼 3楼 怎么都消失了
消失的方法1重发一次 方法1：盛金公式法：A=bb-3ac=84.B=bc-9ad=-113.2696047C=cc-3bd=836.7459991Δ=BB-4AC=-4&0所以原方程有三个实根T=(2Ab-3aB)/(2A^1.5)=-0.θ=arccosT=1.θ/3=0.因此X1=〔-b-2A^0.5*cos(θ/3)〕/(3a)=-4.5862X2=｛-b+A^0.5*〔cos(θ/3)+3^0.5*sin(θ/3)〕｝/(3a)=6.0473X3=｛-b+A^0.5*〔cos(θ/3)-3^0.5*sin(θ/3)〕｝/(3a)=0.6835
刘备：军师，此次伐魏你有何妙计？
回14楼我的想法是通过x^3-2..x＋18.这个方程（这个方程具有一般代表性，不能目测因式分解，不求导，不选择用迭代法），来详细说明每种公式的计算过程。帮助大家熟悉一下三次方程的求根过程，有一定的参考意义。枯燥的一元三次方程求根公式大家都清楚，但是实际上大家真正能动手计算的人并不多，更谈不上完全把公式记忆下来了。至于程序输入电脑，是一个比较简单的过程，以上几种方法，我都已经完全程式化了，包括内置复数计算模块。这里抛砖引玉，盼望高手们能提出更新颖的方法！
方法6 群置换法，具体过程参见图片一元三次方程(三次项系数为1)标准形式为：x^3-σ1x^2+σ2x-σ3=0原方程为：x^3-2..x＋18.对比，可知σ1=x1+x2+x3=2.1446σ2=x1x2+x2x3+x1x3=-26.σ3=x1x2x3=-18.ω^3=1&&& (此处ω=-0.5+3^0.5/2&&& ω^2=-0.5-3^0.5/2)&&&(x1+ω*x2+ω^2*x3)^3+(x1+ω^2*x2+ω*x3)^3=2σ1^3-9σ1σ2+27σ3=-23.=X+Y=α&&& ①(x1+ω*x2+ω^2*x3)*(x1+ω^2*x2+ω*x3)=(σ1^2-3*σ2)^3=3=X*Y=β&&&&&&&&&&&&& ②由①②可以解得：X=11..8841173iY=11..8841173i因此x1&& x2&& x3&& 是以下三元一次线性方程组的解&&&&&&& x1+ω*x2+ω^2*x3=11..8841173i&&&&&&& x1+ω^2*x2+ω*x3=Y=11..8841173i&&&&&&& x1+x2+x3=2.1446可以求出x1=6.0473&&&& x2=-4.5862&&& x3=0.6835为原方程的三个根。
留着回家看
lz好强&#x22EF;&#x22EF;&#x22EF;&#x22EF;&#x22EF;&#x22EF;要是我碰到无法因式分解的三次方程，我基本就不管了&#x22EF;&#x22EF;&#x22EF;&#x22EF;&#x22EF;&#x22EF;
李煌的那个 确实挺酷
呵呵 由于百度莫名其妙的抽楼
20楼的补上1楼 16楼的补上2楼
膜拜啊。能不能教下我啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊
最最简单的就是卡丹法和三角法。。。。 卡丹法计算模型：
三角法 计算模型：
这个没见过 膜拜一下 ，研究中
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