在材料力学或结构力学中，我们经常需要计算结构在外力作用下某点发生的位移，如梁上某点的扰度或转角，钢架桁架结构在外力作用下某点的位移或转角。在力学中常用单位载荷法求结构某点的广义位移。单位载荷法很好用，在材料力学与结构力学里应用很广，而且单位载荷法是求解超静定结构力法的基础。单位载荷法的理论基础是力学中的能量原理。在前面的文章中，已经详细的介绍了力学中的能量原理，这里只是对单位载荷法做简单证明。虚功原理表示为：外力虚功等于虚应变能
W=W_{V} 。在材料力学与结构力学的杆系结构中，用轴力、剪力与弯矩三个内力表示的虚应变能为W=\sum_{}^{}{\int_{}^{}F_{N}du}+\sum_{}^{}{\int_{}^{}Md\varphi}+\sum_{}^{}{\int_{}^{}F_{s}\gamma ds} 要利用虚功原理来求解力学问题。就需要假设两个状态:力状态与位移状态。现在我们目的是要求出结构在给定载荷下某点的位移。所以我们以结构在真实的载荷作用下发生的位移作为结构的位移状态,并称为实际状态。此外,还需要建立一个力状态。由于力状态与位移状态是彼此独立无关的。所以力状态完全可以根据计算的需要进行假设。由于施加的力状态通常是单位载荷，所以我们用能量法求位移又叫单位载荷法。要求某点某方向的位移，就在该点该方向处施加单位载荷。这就是单位载荷法。只有在单位载荷作用处的点有外力虚功，其余各点即使有位移，也没有外力。这样由定义知道，整个结构的外力虚功为\Delta \times1 根据材料力学理论，拉伸长度、弯曲转角、与剪切位移的计算表达式：du=\frac{\bar{F}_{N}dx}{EA} d\varphi=\frac{\bar{M}dx}{EI} ds=\frac{\bar{F}_{s}dx}{GI_{p}} 注意这里的轴力、剪力、弯矩都是由施加的单位载荷引起的。上面都带一根横线在施加的单位载荷力状态与结构实际位移状态下，结构的虚应变能为W=\sum_{}^{}{\int_{}^{}F_{N}\frac{\bar{F}_{N}dx}{EA}}+\sum_{}^{}{\int_{}^{}M\frac{\bar{M}dx}{EI}}+\sum_{}^{}{\int_{}^{}F_{s}\gamma \frac{\bar{F}_{s}dx}{GI_{p}}} 由虚功原理，可以得到单位载荷法的计算公式\Delta=\sum_{}^{}{\int_{}^{}F_{N}\frac{\bar{F}_{N}dx}{EA}}+\sum_{}^{}{\int_{}^{}M\frac{\bar{M}dx}{EI}}+\sum_{}^{}{\int_{}^{}F_{s}\gamma \frac{\bar{F}_{s}dx}{GI_{p}}} 梁弯曲问题一般忽略轴力与剪力，所以单位载荷法公式简化为\Delta=\sum_{}^{}{\int_{}^{}\frac{M\bar{M}}{EI}}dx 桁架中的杆只有轴力，所以单位载荷法公式简化为 \Delta=\sum_{}^{}{\int_{}^{}\frac{F\bar{F}}{EA}}dx
上面已经推导出来了单位载荷法的计算公式。当不考虑轴力与剪力，要求某点的位移，只需要在某点施加单位载荷，分别求出结构在原载荷下的弯矩表达式与在单位载荷下的弯矩表达式，代入下式就可以得到要求点的位移。\Delta=\sum_{}^{}{\int_{}^{}\frac{M\bar{M}}{EI}}dx 但是这个过程不可避免要求积分，对于手动计算来说效率并不高，图乘法提出来就是为了避免积分运算的。{\int_{}^{}\frac{M\bar{M}}{EI}}dx=\frac{1}{EI}\ast？ 说到底图乘法就是代替积分运算的一种方法，这里我们不做图乘法的证明，只是说明用图乘法的条件以及图乘法的步骤。图乘法是用两个弯矩图其中一个的面积乘该面积的形心对应与另一个弯矩图的坐标。用乘积值来代替积分运算。图乘法图乘法的要求：图乘法要求 M \bar{M} 两个弯矩图至少要有一个是直线。而且坐标取值只可以在直线上。图乘段的 EI 是常数。杆为直杆有了图乘法，就省略了计算积分的过程，大大提高了手动计算效率，所以使得单位载荷法应用很广。有了单位载荷法与图乘法技巧，可以很方便求出结构在载荷作用下某点的广义位移。这里列举几个用单位载荷法求位移的例子。假设我们要计算简支梁在中间集中载荷F作用下中点的位移。根据前面介绍的单位载荷法，需要在中点作用单位载荷。分别画出在原载荷下的弯矩图M，与在单位载荷作用下弯矩图原载荷弯矩图与单位载荷作用弯矩图根据单位载荷法求位移的公式，只要进行积分运算就可以得到位移。积分运算还是很麻烦的，这里满足图乘法的条件，我们用图乘法来算积分得到中点位移图乘法对于钢架结构，图乘法照样适用，只需要将每一段进行图乘。对于结构受多种载荷作用，图乘法也照样适用，只不过结构的弯矩图复杂些。求钢架某点位移单位载荷法感谢阅读。工学楼阁。}

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