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专题：同样多 姓名： ★

1. 红红有7只铅笔，明明有5只铅笔，明明再买几只

铅笔，两人的铅笔就同样多了？

2. 小勇有16本练习本，小强有10本练习本，小勇用

掉几本后，两个人的练习本就同样多了？

3. 丁老师给小红布置写20个大字，小红已经写了10

个，再写几个就可以完成了？

4. 亮亮有4张邮票，小刚有10张邮票。小刚给亮亮

多少张邮票，两人的邮票就同样多了？

5. 妈妈买了12个苹果，8个梨子，吃掉几个苹果后，

6. 妈妈买了12个苹果，8个梨子，再买几个梨子，苹

专题：同样多 姓名： ★★

7. 红红有7只铅笔，明明有5只铅笔，红红给明明几

只铅笔，两人的铅笔就同样多了？

8. 小勇有16本练习本，小强有10本练习本，小勇给

小强几本，两个人的练习本就同样多了？

9. 小红做了25多纸花，小华做了15朵纸花，小红给

小华几朵，两个人一样多？

10. 芳芳和圆圆原来的画片张数相同，芳芳给圆圆2张

后，芳芳比圆圆少多少张？

11. 小强和小明各买了一些玻璃球，小强给了小明4个

后，两人一样多，小强原来比小明多几个？

12. 小明有12张卡片，不小心丢了2张，小强有14张

卡片，小强给小明几张，两人卡片一样多？ 专题：同样多 姓名： ★★★

13. 小海和小江共有12只铅笔，小海比小江多2只，

14. 小方和小华原来的铅笔同样多，小方给小华4只后，

15. 甲有1张邮票，乙有4张邮票，丙有10张，如何

16. 一班有22名男同学，19名女同学；二班的男同学

与一班男同学一样多，女同学比一班的女同学少2人。

（1） 一班有多少明同学？ （2） 二班有多少名同学？

（3） 一班和二班一共有多少名同学的？ 专题：单双数 姓名： 知识点：

单数：像1，3，5，7，9……这样的数 双数：像2，4，6，8，10……这样的数 两个单数与单数相加减结果一定是双数； 两个双数与双数相加减结果一定是双数； 两个单数与双数相加减结果一定是单数。 ★

17. 有一盒草莓，两个两个的数，最后剩一个，这盒草

莓的个数是单数还是双数？

18. 有一箱苹果，两个两个的数，最后剩一个，这盒草

莓的个数是单数还是双数？

19. 222+ 这个算式的结果是单数还是双

20. 家里的电灯突然灭了，小华不知什么原因，把开关

连续拨了8次，后来知道是停电了。问来电后灯是亮着还是灭了？

21. 55个红领巾分给两个班级，要求每个班级分到的数

量都是单数，能分吗？为什么？ 22. 55个红领巾分给两个班级，要求每个班级分到的数

量都是双数数，能分吗？为什么？

23. 一辆公共汽车从起始站发车到终点站算一趟，倒过

来算一趟，这辆车从起始站出发，一共开了6趟，现在车在起始站还是终点站？如果开了11趟呢？ 24. 东东晚上做作业是灯突然灭了，东东不知什么原

因，按了两下开关，发现时停电了，爸爸回来后又按了3下，问来电后灯是亮着还是灭了？ 25. 11颗糖分给两个小朋友，要求每个人分到的都是单

专题：单双数 姓名： ★★★

26. 妈妈把12支铅笔分给3个小朋友，不要求每个小

朋友分到的一样多。但是要求每个人得到的都是单数，能分吗？

27. 妈妈把44个苹果分给5个小朋友，不要求每个小

朋友分到的一样多。但是要求每个人得到的都是单数，能分吗？

28. 教室为了美化环境，买来了20盆花放在5个窗台

上，不要求每个窗台上放的盆数同样多，但是每个窗台上都要放单数盆，试一试，行吗？ 29. 元旦到了，15个同学互相送贺年卡，一个人收到一

张后就要回送一张，那么所有的贺年卡总数是单数还是双数？

30. 101个单数加上102个双数，他们的和是单数还是

31. 102个单数加上101个双数，他们的和是单数还是

大家对瓷砖应该很熟悉，瓷砖多是三角形、四边形和六边形，很少有其他形状的。那么，能够铺满任意平面的瓷砖是不是只有这些形状呢？

伊朗伊玛目清真寺中的几何密铺丨图片来源：Hosein Aghaei

这个问题自古希腊时代就吸引着数学家们。在数学中也有专门研究能够铺满整个平面而不留空隙的地砖图形的分支——密铺（tessellation）。被尊为伟大的数学家的大卫·希尔伯特（David Hilbert）曾在1900年将密铺问题列为他的23个问题之一。

当然，除了贴瓷砖，密铺在日常生活中也有很重要的应用。比如，显卡大都是利用三角形的密铺性质实现渲染的。渲染的速度和效果严重影响了用户体验，爱打电脑游戏的人应该有一手的感悟。

在制造业，为了减少原材料的浪费（如切割车门所用的金属），在制作模型时也要尽可能使用密铺图形。

许多人不知道的是，一位只有高中学历的家庭妇女，却在天命之年为这个数学分支做出了重要的贡献，美国数学学会（MAA）甚至用她发现的密铺图形铺地砖。一起来看看这位传奇的女士的故事吧。

1923年，Marjorie Rice 出生在美国佛罗里达州的一个普通农户家庭里。在上中学时，她跳了两级。后来在高中时期，她选了文秘方向，只修了一门数学课，因为在当时，女孩子只能选一门数学课。

而由于时代对女性的限制以及家庭的贫困，她没有上大学。高中毕业后不久，她嫁人生子，成了一名家庭主妇。

时间推进到1975年。那时，已经52岁的 Rice 的5个孩子中的大部分已经成年， Rice 有了更多闲暇的时间。而因为小儿子爱好科学，Rice 就为他订阅了科普杂志《科学美国人》。爱好自然科学的她也经常第一时间拿来翻阅，并成了《科学美国人》的著名数学科普作者 Martin Gardner 的数学专栏的迷妹。

1999年，美国数学学会就用 Rice 发现的这种密铺装饰了华盛顿总部大厅的地板，并于次年授予了 Rice 一份荣誉证书。

在 Rice 的一系列发现后，密铺领域沉寂了一段时间。1985年，Rolf Stein 找到了第14种能密铺的凸五边形。2015年，第15类密铺凸五边形被发现：华盛顿大学的数学家 Casey Mann 和同事用计算机暴力搜索的方式找到了第15种。

2017年，数学界出现了一种声音，那就是能密铺的凸五边形就只有那15类，没有更多了。如果真是这样，那么 Rice 一人就贡献了其中的4/15。

目前发现的15类能实现密铺的凸五边形及其性质丨图片来源：wikipedia

巧合的是，Rice 于2017年去世。晚年时的认知衰退使她没有办法得知密铺凸五边形方面的新进展。

尽管做出了这么多贡献，但 Rice 从没有就自己的发现进行演讲，反而对于没有在数学方面进行深造感到很后悔。私底下她是一个非常害羞腼腆的人，她甚至都没有主动告诉孩子们自己在数学上的成就，这也是许多人不知道她的一个原因。

1995年，72岁的 Rice 参加洛杉矶的数学会议丨图片来源：（DOI）10.2.

她唯一一次参加学术会议，是在1995年洛杉矶的一次数学大会上。在 Schattschneider 的强烈要求下，Rice 答应和丈夫出席会议。在会场上，Schattschneider 向在座的数学家们介绍了 Rice。Rice 起身致意，所有与会者起立鼓掌，大厅里掌声久久不息。

懂了，人生几何（人生下来就要学几何），法力5边（最强的力量是五边形）。

本文经授权转载自微信公众号“把科学带回家”。无标注图片来源网络。参考资料储存于石墨：https://shimo.im/docs/kdPPHdTyvtQXRYcP/

培根（英国哲学家）说：“数学是打开科学大门的钥匙”

布尔巴基学派（法国数学研究团体）认为：“数学是研究抽象结构的理论”

黑格尔说：“数学是上帝描述自然的符号”

魏尔德（美国数学学会主席）说：“数学是一种会不断进化的文化”

柏拉图说：“数学是一切知识中的最高形式”

考特说：“数学是人类智慧皇冠上最灿烂的明珠”

1数学是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完善的程度。

2数学是打开科学大门的钥匙。

3数学中的一些美丽定理具有这样的特征，他们极易从事实中归纳出来。但证明却隐藏的极深。

4数学是除了语言以音乐之外，人类心灵自由，创造力的主要表达方式之一。而且数学是经由理论的构建，成为了了解宇宙万物的媒介，因此数学必须保持为知识，技能与文化的主要构成要素。

而知识与技能是得传授给下一代的，文化则是得传承给下一代的。

数学是神奇的，数学是迷人的。

记得有位作家这样赞美数学：“（数学）是空谷中的幽兰，高寒中的杜鹃，老林中的人参，冰山上的雪莲，绝顶上的灵芝，抽象思维的牡丹。”

数学是空间关系的浓缩，数学是数量关系的组合，数学是科学发展的桥梁，数学是人类解开愚昧、走向文明的使者，数学是数和图编织的图画，数学是x,y,z合唱出来的高亢的歌。

在数学的字里行间充满着魔光幻影，神秘莫测；在数学的字里行间充满着和谐的韵律、抽象的彩虹，让人难以割舍；在数学的字里行间闪烁着人类智慧的火花，璀璨夺目，流光溢彩，另人目不暇接。

数学是神奇的，她会使人眉头紧锁，辗转反侧，寝食难安；她会使人顿足捶胸，烦躁难言；她会使人茅塞顿开，拍案叫绝，心悦狂欢。

数学是美的，数学是文化中的文化，数学是科学的精髓，数学是人类智慧的精华。