数学教学研究本公众号内容均由邵勇本人独创，可以转发，但转载则需获得邵勇本人的授权。每周推送两到三篇内容上有份量的数学文章，但在行文上力争做到深入浅出。几分钟便可读完，轻松学数学。
亚历山大里亚的托勒密（Claudius Ptolemy）生活于大约公元2世纪。今天讲以他的名字命名的托勒密定理及它的证明，再讲几个由这个定理导出的有趣的结论。
托勒密定理：圆内接四边形两条对角线的乘积等于两对对边乘积之和。
如下图所示，ABCD为圆内接四边形，则对角线AC与BD的乘积等于一对对边AB与CD的乘积加上另一对对边AD与BC的乘积，即AC·BD=AB·CD+AD·BC。
（1）如下图所示。不妨设∠ACB大于∠ACD（其实也无所谓，见下图图2，先不用管它）。于是，在∠ACB内作一个以点C为顶点、以CB为一边的∠BCE，使∠BCE=∠ACD（图(1)中的红色角）。又由于∠CAD=∠CBE（同弧同侧的圆周角相等），所以三角形ACD与BCE相似。于是有AD
（1）如下图所示，点P位于等边三角形ABC外接圆的劣弧AB上，则有PC=PA+PB。（证明很简单：由托勒密定理，在四边形APBC中，PC·AB=PA·BC+CA·PB。而等边三角形三边相等，即AB=BC=CA，所以，PC=PA+PB。证毕。）
（2）如下图所示，点P位于正方形ABCD外接圆的劣弧AB上，则有(PA+PC)PC=(PB+PD)PD。（证明不难：由托勒密定理，在四边形APCD中，PD·AC=PA·DC+PC·AD；在四边形BPDC中，PC·BD=PB·DC+PD·BC；因为正方形四边相等，我们设它为a。于是，上两式成为：PD·AC=PA·a+PC·a
（3）对正五边形和正六边形，应用托勒密定理，可以得到类似的结论。我只给出结论，证明您自己试一试，试的时候，需要画图就画图，不必要“空”想。
《数学文化小丛书》第一、二、三辑书目（丛书介绍中只含每本小册子的书名，不含作者，我一本一本搜索，查出每本小册子的作者，我认为作者也很重要，我购书一定要看作者。结果如下，都是名家。）
《遥望星空(一)：人类怎样开始认识太阳系》（齐民友）
《遥望星空(二)：牛顿·微积分·万有引力定律的发现》（李大潜）
《几何学在文明中所扮演的角色：纪念陈省身先生的辉煌几何人生》（项武义）
《圆周率π漫话》（李大潜）
《黄金分割漫话》（李大潜）
《从赵爽弦图谈起》（李文林）
《费马大定理的证明与启示》（周明儒）
《二战时期密码决战中的数学故事》（王善平 张奠宙）
《数学中之类比：一种富有创造性的推理方法》（王培甫）
《连分数与历法》（徐诚浩）
《认识博弈的纳什均衡》（王则柯）
《笛卡儿之梦》（李文林）
《奇妙的无穷》（李忠）
《并不神秘的非欧几何》（李忠）
《从欧拉的数学直觉谈起：纪念伟大数学家欧拉诞辰300周年》（周明儒）
《走近高斯》（周明儒）
《同余式及其应用》（徐诚浩）
《千古第一定理：勾股定理》（蔡宗熹）
《从多面体到水立方》（齐民友）
《统计知玄妙》（杨虎）
《圆锥截线的故事：数学与文明的一个重大篇章》（项武义）
《堆球的故事》（宗传明）
《开启航天大门的金钥匙：齐奥尔科夫斯基公式》（李大潜）
《漫步数学之美》（张士军）
《数学与音乐》（周明儒）
《谈天说地话历法》（徐诚浩）
《探秘古希腊数学》（王能超）
《分形：颠覆传统的几何学》（邱维元）
}
最大最全最精的教育资源网 学年四川省绵阳一中八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每题3分，共36分） 1．以下“QQ表情”中属于轴对称图形的是（） A．B．C．D． 2．以下计算正确的选项是（） A．a5﹣a3=a2B．（﹣a5）2=a10C．a5?a3=a15D．=a2 A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（2，﹣1）
6．以下列图，在△ABC中，AC⊥BC，AE为∠BAC的均分线，DE⊥AB，AB=7cm，AC=3cm，则 BD等于（） A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm 7．等腰三角形底边上的高为腰的一半，则它的顶角为（） A．120°B．90°C．100°D．60° 8．如图：DE是△ABC中AC边的垂直均分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则△EBC的周长为（） 厘米．
全国中小学教育资源门户网站|天量课件、教学设计、试卷、教案免费下载| 最大最全最精的教育资源网 A．16B．18C．26D．28 9．如图，∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于（） A．5 B．4 C．3 D．2 nm mn ） 10．当（﹣6） =﹣6成立，则（ A．m、n一定同时为正奇数 B．m、n一定同时为正偶数 C．m为奇数D．m为偶数
，x=4．则x= 14．一个多边形的每一个外角都等于 36°，则该多边形的内角和等于 度． 15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°．将△ACD沿CD翻折，点A恰好落在BC边上的 A′处，则∠A′DB= ． 16．一个多边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的内角和为2520°，则原多边形有条边．
17．如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC 的边长为4，AE=2，则BD的长为． 全国中小学教育资源门户网站|天量课件、教学设计、试卷、教案免费下载| 最大最全最精的教育资源网 18．以下列图，三角形ABC的面积为1cm2．AP垂直∠B的均分线BP于点P．则三角形PBC的面 积是． 三、解答题（本大题 6个小题，共 46分）
19．（8分）计算： 1）（10a8﹣6a5+2a）÷（﹣2a） 2）3a（2a2﹣9a+3）﹣4a（2a﹣1） 20．（5分）按要求用尺规作图：（要求：不写作法，但要保留作图印迹，并写出结论） 已知：直线AB及AB上一点P． 求作：直线PQ⊥AB于点P． 2 21．（7分）先化简，再求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣3x（x﹣1）﹣（3x﹣1），此中x=﹣1．
求证：AD是∠BAC的均分线． 23．（8分）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证： 1）△AEF≌△CEB； 2）AF=2CD． 全国中小学教育资源门户网站|天量课件、教学设计、试卷、教案免费下载| 最大最全最精的教育资源网 24．（10分）如图，BD和CD分别均分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于F，连接AD．
（1）求证：∠BDC=∠BAC； 2）若AB=AC，请判断△ABD的形状，并证明你的结论； 3）在（2）的条件下，若AF=BF，求∠EBA的大小． 全国中小学教育资源门户网站|天量课件、教学设计、试卷、教案免费下载| 最大最全最精的教育资源网 学年四川省绵阳一中八年级（上）期中数学试卷 参照答案与试题解析 一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2016秋?涪城区校级期中）以下“QQ表情”中属于轴对称图形的是（） A．B．C．D． 【考点】轴对称图形． 【解析】依据轴对称图形的观点对各选项解析判断即可得解． 【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确； 、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误． 应选
}
点击联系发帖人
