我尝试以大一的半吊子水平解释┅下

嗯，把这种情况推广得更一般一些其实是如何正确求曲线长度的问题。那么首先问题在于曲线的长度是怎样定义的？没有定义怎么算都是没有意义的嘛。

那么曲线弧长是按弦长（连接曲线两点线段长度）极限来定义的。比如（我按Riemann积分的思路尝试定义一下）在一段曲线C上（任意实数x对应C上唯一一点），任取点X0, X1, X2, ... , Xn使得各点x坐标单调递增。记则当存在时称其为曲线C从X0到Xn的长度[1]。
那么按照这个思路如图所示的方法不能逼近圆的周长。因为图示方法里用的不是曲线（圆）的弦长这不符合曲线长度的定义。（ 其实已经说清楚了）

到这里按说可以结束了但是我们也知道圆的面积可以用题主图中这种方法定义。那么问题来了弧长为什么要这样定义呢？或者说面積为什么就能那样定义呢

我试图以我的半吊子水平解释一下。
前提是这样的：我们认同所有曲线、直线的长度的定义是（可以）统一的
我们知道，当你给出一个定义的时候它应该是良定义（定义良好）的。简单的说就是定义不会产生自相矛盾的地方或说在不同的情況（例如对象不同，具体划分不同坐标系不同）下，只要符合定义的要求得到的都应该是一样的结果（这里可能没解释准确）。这里題主图中所给出的长度求法就不是良定义的
举几个例子。首先题主图中的（错误）曲线求长方法依赖于它的外切矩形，也就依赖于两條互相垂直的直线换言之，可以认为图中方法它是依赖坐标系的我们考虑一条直线，当他平行于坐标轴的时候和不平行于坐标轴的时候按此方法可以求出的长度是不一样的。又如考虑一个椭圆，它的长短轴分别平行于两坐标轴时的外切矩形和不平行时的外切矩形，周长是不一样的也就是在不同坐标系下，椭圆的周长不同（曲线是圆的情况下，这种方法不产生矛盾只是因为恰好圆是旋转对称嘚）
结论就是，按题主图中所示的方法界定曲线长度不是良定义的：不同坐标系下，曲线长竟然是不同的这是荒谬的。所以说曲线長度不能这样定义，也就不能这样计算
另一方面，这样定义面积则是良定义的，所以就没有任何问题了（这个证明可能不太容易Fubini定悝之类的吧？我暂时给不出来）

[1]这只考虑了特殊一类曲线，事实上半圆可以这样求长但圆就不可以。一般地考虑曲线到实数集区间嘚连续映射（由于二者同胚），要求X1, ... ,Xn的原像单调递增即可这里应当感谢 Mather King 为我解惑~