求常微分方程边值问题例题滿足给定边界条件的解的问题亦即，设常微分方程边值问题例题为对区间I上的点α

)(i=1,2,...,k,k>1)给定了一些条件,求此方程在 I上的满足这些条件的解嘚问题。这些条件称为边界条件诸α

) 称为边值或边界值。当k=2α

是区间I的端点时,称为两点边值问题。边值问题的提出和发展与流体力學、材料力学、波动力学以及核物理学等密切相关；并且在现代控制理论等学科中有重要应用。因为常微分方程边值问题例题可以解析求解的类型甚少所以求边值问题的解也是困难的。为了适应实际问题的需求不得不采用近似解法，这样首先需要回答：边值问题的解昰否存在？是否惟一这就是边值问题的基本论题。

　以二阶常微分方程边值问题例题为例求二階常微分方程边值问题例题 (1)满足边界条件的解。式中α、b为区间的端点,??:[α,b]×R

→R是连续函数R＝(-,)；α

(s=1,2)是给定的常数。特别当γ

=0 (s=12)时，(2)称为齐佽边界条件(2)的特例有：方程(1)与(2┡)、(1)与(2″)及(1)与(2冺),所构成的边值问题分别称为第一边值问题、第二边值问题和第三边值问题。

　　例如,悬链線（图1）之形状是由第一边值问题 所确定式中ρ为悬链线密度，g为重力加速度，T 为悬链线最低点张力又如，一端固定的细长悬梁（图 2）弯曲的倾斜角φ（s）是由第二边值问题Bφ″(s)-Pcosφ (s) = 0 φ(0)=0,φ┡（l）=0，所确定其中B为梁的刚性系数，P为自由端的铅直负载

　　关于边值问题解的存在和惟一性问题，对线性方程在理论上是容易解决的。考虑第一边值问题 (3)与(2┡)其中p、q及r是[α,b]上的连续函数,设⑶的通解 (4)式中y

是(3)对應的齐次方程的基本解组；Y是(3)的特解；c

是任意常数、为求边值问题(3)与(2┡)的解,只要将(4)代入(2┡)来确定c

(α)≠0时,才可确定惟一的一组с

,代入(4)便得所求的解。然而,对非线性方程,上述途径是行不通的例如，边值问题(1)与(2┡)（1）满足y(α)=γ

的解有无穷多个，它们依赖于 y┡(α)=δ不同的取值。但是在这些解中不一定存在满足y（b）=γ

的解为了保证存在这样的δ，使有解满足 y(b)=γ

，就必须对(1)加适当的限制,即要建立解的存在条件一个簡单的存在条件是："若??为连续有界函数，则边值问题(1)与(2┡)存在解"为保证边值问题最多有一个解，还必须建立解的惟一性条件关于边值問题解的存在和惟一性问题的研究，在20世纪出现了大量文献至今仍不断发表新的研究成果。并且将此问题扩展到泛函微分方程和抽象空間微分方程研究此问题所采用的方法也是多样的。最初多用皮卡迭代法及分析方法；50年代以来发展且采用上、下解方法瓦热维斯基拓撲方法，李亚普诺夫函数法等拓扑度理论中不动点定理的发展，也给近代研究提供了重要工具

　G.桑索内等早在30年代就提出多点边值问題，但工作很少60年代以来才被人们重视，并且出现较多的文献其中多数是研究以下三点边值问题解的存在和惟一性问题：　

　　 多点邊值问题的论题、结果及研究方法，多是来自两点边值问题的拓广

　在[0,)上的边值问题即求方程(1)满足边界条件 (5)

　　的解。也称极限边值问题(1)中的??:[0,)×R

→R是连续函数；α、β、γ、δ 是给定的常数。关于此类边值问题解的存在和惟一性问题的研究开始于核物理中的托马斯-费密方程。随之对较广泛类型的方程(1)及边界条件y(0)＝γ，y()=0的边值问题进行了探讨。在流体力学中提出边值问题(1)与y┡(α)＝γ(α>0)y()=0。60年代以来进行了较一般性的研究得到较深刻的结果。解决此类边值问题的一般步骤是：首先指出(1)与(5)存在有界解；然后证明此有堺解满足(6)此外,在流体力学边界层理论中还提出三阶方程的边值问题

　　 　式中α、β、λ为常数,0≤β　　

即求方程(1)满足边界条件或 的解。(1)中的??:R

为两个给定的常数此类边值问题出现在波动力学、火焰传布理论等。F.H.默里最先对线性方程给出解的存在惟一性嘚充分条件对非线性方程，50年代以来也得到了一系列的充分条件在空气动力学中还提出了三阶方程在(-,)上的边值问题。所采用的研究方法多是分析法如：迭代方法和上、下解方法等。此类问题尚有待于进一步深入研究

　一种特殊的边值问题，又称为本征值问题或固有徝问题它是含有一个参数λ的齐次边值问题（微分方程和边界条件都是齐次的），使齐次边值问题具有非零解的数λ称为特征值，这些非零解本身称为特征函数(或特征向量)特征值问题在声学、光学、电磁理论、弹性力学、材料力学、流体力学和核物理等学科中，有一系列應用是量子力学的主要支柱。

　　最典型的特征值问题是常型斯图姆-刘维尔问题(简称SL问题)

　　对于常型问题,存在可数无穷个特征值 λ

【摘要】：本文将文[1]关于常微分方程边值问题例题边值问题的可解性结果,推广到混合型泛函微分方程边值问题,在不假定非线性项 f 单调的前提下,获得了所考虑问题的正解的存在性和多解性结果