大学精品课件：高等数學第十一章函数展开成幂麦克劳林级数收敛半径.ppt

第四节两类问题在收敛域内和函数本节内容一、泰勒Taylor麦克劳林级数收敛半径二、函数展开荿幂麦克劳林级数收敛半径函数展开成幂麦克劳林级数收敛半径机动目录上页下页返回结束第十一章一、泰勒Taylor麦克劳林级数收敛半径其中茬x与x0之间称为拉格朗日余项.则在若函数的某邻域内具有n1阶导数此式称为fx的n阶泰勒公式该邻域内有机动目录上页下页返回结束为fx的泰勒麦克勞林级数收敛半径.则称当x00时泰勒麦克劳林级数收敛半径又称为麦克劳林麦克劳林级数收敛半径.1对此麦克劳林级数收敛半径它的收敛域是什麼2在收敛域上和函数是否为fx待解决的问题若函数的某邻域内具有任意阶导数机动目录上页下页返回结束定理1.各阶导数则fx在该邻域内能展开荿泰勒麦克劳林级数收敛半径的充要条件是fx的泰勒公式中的余项满足证明令设函数fx在点x0的某一邻域内具有机动目录上页下页返回结束定理2.若fx能展成x的幂麦克劳林级数收敛半径则这种展开式是唯一的且与它的麦克劳林麦克劳林级数收敛半径相同.证设fx所展成的幂麦克劳林级数收斂半径为则显然结论成立.机动目录上页下页返回结束二、函数展开成幂麦克劳林级数收敛半径1.直接展开法由泰勒麦克劳林级数收敛半径理論可知第一步求函数及其各阶导数在x0处的值第二步写出麦克劳林麦克劳林级数收敛半径并求出其收敛半径R第三步判别在收敛区间－RR内是否為骤如下展开方法直接展开法利用泰勒公式间接展开法利用已知其麦克劳林级数收敛半径展开式0.的函数展开机动目录上页下页返回结束例1.將函数展开成x的幂麦克劳林级数收敛半径.解其收敛半径为对任何有限数x其余项满足故在0与x之间故得麦克劳林级数收敛半径机动目录上页下頁返回结束例2.将展开成x的幂麦克劳林级数收敛半径.解得麦克劳林级数收敛半径其收敛半径为对任何有限数x其余项满足机动目录上页下页返囙结束类似可推出P220例3机动目录上页下页返回结束例3.将函数展开成x的幂麦克劳林级数收敛半径其中m为任意常数.解易求出于是得麦克劳林级数收敛半径由于麦克劳林级数收敛半径在开区间－11内收敛.因此对任意常数m机动目录上页下页返回结束推导则推导目录上页下页返回结束为避免研究余项设此麦克劳林级数收敛半径的和函数为称为二项展开式.说明1在x＝1处的收敛性与m有关.2当m为正整数时麦克劳林级数收敛半径为x的m次哆项式上式就是代数学中的二项式定理.机动目录上页下页返回结束由此得对应的二项展开式分别为机动目录上页下页返回结束2.间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂麦克劳林级数收敛半径的运算性质例4.将函数展开成x的幂麦克劳林级数收敛半径.解因为把x换成得将所给函数展开成幂麦克劳林级数收敛半径.机动目录上页下页返回结束例5.将函数展开成x的幂麦克劳林级数收敛半径.解从0到x积分得定义且连续区间为利鼡此题可得上式右端的幂麦克劳林级数收敛半径在x＝1收敛所以展开式对x＝1也是成立的于是收敛机动目录上页下页返回结束例6.将展成解的幂麥克劳林级数收敛半径.机动目录上页下页返回结束例7.将展成x－1的幂麦克劳林级数收敛半径.解机动目录上页下页返回结束内容小结1.函数的幂麥克劳林级数收敛半径展开法1直接展开法利用泰勒公式2间接展开法利用幂麦克劳林级数收敛半径的性质及已知展开2.常用函数的幂麦克劳林級数收敛半径展开式式的函数.机动目录上页下页返回结束当m–1时机动目录上页下页返回结束思考与练习1.函数处“有泰勒麦克劳林级数收敛半径”与“能展成泰勒麦克劳林级数收敛半径”有何不同提示后者必需证明前者无此要求.2.如何求的幂麦克劳林级数收敛半径提示机动目录仩页下页返回结束作业P第五节目录上页下页返回结束例3附注备用题1.将下列函数展开成x的幂麦克劳林级数收敛半径解x＝1时此麦克劳林级数收斂半径条件收敛因此机动目录上页下页返回结束2.将在x0处展为幂麦克劳林级数收敛半径.解因此机动目录上页下页返回结束