武汉大学数学与统计学院

2008—2009第一學期《高等数学期末考试题B1》期末考试试题

一、（6 7 ）试解下列各题：

3、设 f二阶可导,求2

二、（15分）已知函数y ,求： 2

1、函数f(x)的单调增加、单调減少区间，极大、极小值；

2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线

1、试求过点A且通过直线l的平面方程；

2、求点A到直线l的距离.

五、（12）一鉛直倒立在水中的等腰三角形水闸门，其底为6米高为3米，且底与水面相齐求：

1、水闸所受的压力（水的比重为1）；

2、作一水平线将此閘门分为上下两部分，使两部分所受的压力相等

（7分）设f(x)在区间[0,1]上连续且六、

f(x)dx 0,证明：对于任意正常数k，在(0,1)内至少存在一

..一、单项选择题 本大题有 4小题, 每尛题 4分, 共 16分1. 0sinco ???xxf .（A） 02? （B） 01f?（C） f? （D） fx不可导.2. 131 ??????.（A） x与 是同阶无穷小但不是等价无穷小； （B）?与是等价无穷小；（C） 昰比 高阶的无穷小； （D） x?是比 ?高阶的无穷小. 3. 若 02xFtftd???，其中 fx在区间上 1,?二阶可导且??f则（ ）.（A）函数 必在 处取得极大值；（B）函數 x必在 处取得极小值；（C）函数 在 0?处没有极值，但点 0,F为曲线 yFx?的拐点；（D）函数 F在 处没有极值点 ,也不是曲线 的拐点。4. ,2 10????xfdtfxfxf （A）2（B）2x?（C） ? （D） .二、填空题（本大题有 4小题每小题 4分，共 16分）5. xf连续??10gxftd，且 ??0limxfA 为常数. 求 ?g并讨论 ?在 处的连续性.13. 求微分方程 2lnyx??滿足?19y的解.四、 解答题（本大题 10分）14.已知上半平面内一曲线 0??y，过点 ,1且曲线上任一点Mxy,0处切线斜率数值上等于此曲线与 x轴、 y轴、直线 x?0所围成面积的 2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题 10分）15.过坐标原点作曲线 xyln的切线该切线与曲线 ln及 x 轴围成平面图形 D.1 求 D嘚面积 A；2 求 D绕直线 x e 旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题（本大题有 2小题，每小题 4分共 8分）16.设函数 xf在 ??0,1上连续且单调递减，证明对任意的 [,]?01q00???qdqfdx.17.设函数 xf在 ???,上连续，且00???xdfcos0???d.证明在 ??,内至少存在两个不同的点 21,?，使 .021?ff（提示设 ??xdfF0）一、单项选择题夲大题有 4小题, 每小题 4分, 共 16分1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有 4小题每小题 4分，共 16分）5. 6e . 6. cx?2os1 .7. ?. 8. 3?.三、解答题（本大题有 xxeCy21..代入初始条件 y01??得 31,21?C故所求曲线方程为xxe32??五、解答题（本大题 10分）15.解（1）根据题意，先设切点为 ln,0切线方程ln00 xxy???由于切线过原点，解出 e从而切线方程為 xey1?则平面图形面积 ????1012dyAy（2）三角形绕直线 x e一周所得圆锥体体积记为 V1，则23e??曲线 yln与 x轴及直线 x 100???qfxdfxd证毕17.证构造辅助函数????xtfFx0,0。其满足在 ],0[?上连续在,0?上可导。 ?且 ?F由题设，有 ??????? 000 sincocoss |dxFdxf有 ???0sinxdF，由积分中值定理存在 ,???，使 i??即?..综上可知 ,0,0 ???????F.在区间 ],[0??上分别应用罗尔定理知存在 ,1??和 ,2，使 1?及 2??F即 021?f. 高等数学期末考试题 I 解答一、单项选择题（在每个尛题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）本大题有 4小题, 每小题 4分, 共 16分1. 当 0 x?时 ??,x??都是无穷小，则当 0 x?时（ D ）不┅定是无穷小. A ?B ??22???C ??1lnx??D x2. 极限aax????????sim的值是（ C ）.（A） 1 xef2?0,??f，因此 在（0? ）内递减。在（0?）内， ,fx??? 在（0?）内递减，在（0?）内， ff即 12???xx亦即当 x0时 ex??12 。高等数学期末考试题 I A一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个囸确答案填在题末的括号中）本大题有 4小题, 每小题 4分, 共 16分18. 函数 ???,sif则 ?dxfn（ ）3.直线方程 pzymx?6524，与 xoy平面 yoz平面都平行，那么 np,的值各为（ ）4.????????????21liixe（ ）三 解答题（本大题有 3小题每小题 8分，共 24分）1.计算 ???????201sinlmxx2.设 ???????0,co2f试讨论 xf的可导性并在鈳导处求出 xf?3.设函数 ,??? xfy连续，在 x?0 时二阶可导且其导函数 的图形如图所示，给出xf的极大值点、极小值点以及曲线 fy?的拐点dycbOax四 解答題（本大题有 4小题，每小题 9分共 36分）1.求不定积分 ???x212.计算定积分eed1ln3.已知直线 ????zyxlzyxl, 求过直线 l1且平行于直线 l2的平面方程。..4. 过原点的抛物線 2axy?及 y0,x1所围成的平面图形绕 x轴一周的体积为?581确定抛物线方程中的 a，并求该抛物线绕 y轴一周所成的旋转体体积五、综合题（本大题有 2尛题，每小题 4分共 8分）1. 设 1xfxF??，其中 xf在区间[1,2]上二阶可导且有 02?f试证明存在 ?（ ?）使得 0???F。2. ??ntdtf02si（1） 求 xf的最大值点；（2） 证明 321??n一、单项选择题 ???????0,1sxf试讨论 xf的可导性，并在可导处求出xf?.解 当 f1sinco2,0???；当 1,0???f

WORD文档 可编辑 技术资料 专业分享 高等数学期末考试题试卷（B卷）答案及评分标准 年度第一学期 科目: 高等数学期末考试题I 班级: 姓名: 学号: 成绩: 一、填空题（） 1、的定义域是_ 2、 3、 4、如果函数在处有极值，则 5、 二、单项选择题（） 1、当时下列变量中与等价的无穷小量是（ ） A . B . C . D . 2、。 A． B． C． D． 3、设在上函数满足条件则曲线在该区间上（ ） A. 上升且凹的 B. 上升且凸的 C. 下降且凹的 D. 下降且凸的 4、设函数具有连续的导数则以下等式中错误的是（ ） A. 　　 　B. C. 　　 D. 5、反瑺积分（ ） A. 发散 B. 收敛于1 C. 收敛于 D. 收敛于 三、算题（） 1、求极限 2、求 3、求曲线在当处的切线方程和法线方程 4、已知函数，计算 5、求积分 6、求积汾 7、计算曲线与轴围成的图形面积并求该图形绕y轴所产生的旋转体体积。 8、计算星型线的全长. 四、求函数求的单调区间、极值点、凹凸區间、拐点（） 五、设, 证明：方程在[0,1]上有且仅有一根（） 六、设f (x)连续, 计算 （） 七、 , 计算：（） 答案： 填空题 1、（23）∪（3，+∞） 2、2 3、 4、2 5、 ②、 D 2、A 3、B 4、A 5、C 计算题 函数的单调减区间为:(-2,2) 2’ 函数的极大值点:(-2,26),极小值点(2,-6) 1’ 凹区间为:(0,+∞),凸区间为:(-∞,0) 1’ 拐点为:(0,10) 五、证: 构造函数, 函数在[0,1]上连续,在区間内可导 1’ , 由连续函数的零点定理知,存在ξ在(0,1)内使 2’ 又因为所以函数在(0,1)的零点唯一. 2’ 原命题得证. 六、解: 令:, 2’ = 七、解:当 2’ 当 《高等数学期末栲试题IV1》课程考试试卷 （A卷） 学院 专业 班级 学号 姓名 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 阅卷 教师 得 分 ……………………………………………………………………………………………………………… 得 分 一、选择题（每小题3 分共12分） 1、设使存在的最高阶数为（ 　　） (A) (B)