高等数学曲线积分与曲面积分习題课非常有用.pdf

一、主要内容 二、典型例题 一、主要内容 二、典型例题 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 ★★★★ 2/28 2/28 （一）曲线积分与曲面积分（一）曲线积分与曲面积分 （二）各种积分之间的联系（二）各种积分之间的联系 （三）场论初步（彡）场论初步 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 ★★★★ 3/28 3/28 曲线积分曲线积分 曲线积分曲线积分 曲面积分曲面积分 曲面积分曲面积分 对面积的 曲面积分 对面积的 曲面积分 对面积的 曲面积分 对面积的 曲面积分 对坐标的 曲面积分 对坐标的 曲面积分 對坐标的 曲面积分 对坐标的 曲面积分 对弧长的 曲线积分 对弧长的 曲线积分 对弧长的 曲线积分 对弧长的 曲线积分 对坐标的 曲线积分 对坐标的 曲线积分 对坐标的 曲线积分 对坐标的 曲线积分 定义定义 定义定义 计算计算 计算计算 定义定义 定义定义 计算计算 计算计算 联系联系联系联系 聯系联系联系联系 （一）（一）曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十┿十 ★★★★ 4/28 4/28 曲 线 积 分曲 线 积 分 对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分 定 义 定 义∑∫∑∫ →λ→λ ΔηξΔηξ ],[ , 三代一定 β β α α ∫ ∫ ∫ ∫ β α β α ψ′ ψ? ?′ ψ? ψ′ ψ? ?′ ψ? dtQP QdyPdx L ],,[ 二代一定 与方向有关 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数學高等数学十十十十 ★★★★ 5/28 5/28 与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题 条 件 条 件 在单连通开区域在单连通开区域D上上,,,yxQyxP具有 连續的一阶偏导数,则以下四个命题成立. 具有 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立. ∫ ∫ L QdyPdxD与路径无关内在与路径无关内在1 ∫ ∫ ?? C DCQdyPdx闭曲线闭曲線, 02 QdyPdxduyxUD 使内存在在使内存在在,3 x Q y P D ? ? ? ? ? ? ? ? ,4内在 内在 等 价 命 题 等 价 命 题 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十┿ ★★★★ 6/28 6/28 曲 面 积 分曲 面 积 分 对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分 定 义 定 义 ∑∫∫∑∫∫ → Σ → Σ ΔΔ n i iiii sfdszyxf 1 0 ,,lim,,ζηξζηξ λ λ xyi n i iii SRdxdyzyxR 1],,,[ ∫ ∫∫ ∫ Σ Σ dxdyzyxR,, ∫∫ ∫∫ xy D dxdyyxzyxR],,,[ 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 ★★★★ 7/28 7/28 定积分定积分曲线积汾曲线积分 重积分重积分曲面积分曲面积分 计算 计算 计算 计算 计算 计算 Green公式公式 Stokes公式公式 Guass公式公式 （二）各种积分之间的联系（二）各种積分之间的联系 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 ★★★★ 8/28 8/28 点函数点函数,lim 1 0 MfMfdMf n i i∑∫∑∫ →Σ→Σ ΔΔσσσσ λ λ . ,],[ 1 ∫ ∫∫ ∫ Σ Σ → →Σ Σ b a dxxfdMf baR σ σ 时上区间当时上区间当 ., , 2 ∫∫∫∫∫∫ Σ Σ → →Σ Σ D dyxfdMf DR σσσσ 时上区域当时上区域当 积分概念的联系积分概念的聯系 定积分定积分 二重积分二重积分 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 ★★★★ 9/28 9/28 ∫∫∫∫∫∫∫∫ Σ Σ Ω Ω Ω→ Ω→Σ Σ dVzyxfdMf R ,, , 3 σ σ 时上区域当时上区域当 .,, , 3 ∫ ∫∫ ∫ Σ ΣΓ Γ Γ Γ→→Σ Σ dszyxfdMf R σ σ 时上空间曲线当时上空间曲线当 .,, , 3 ∫∫∫∫∫∫ Σ Σ → →Σ Σ S dSzyxfdMf SR σ σ 时上曲面当时上曲面当曲面积分曲面积分 曲线积分曲线积分 三重积分三重积分 ., , 2 ∫ ∫∫ ∫ Σ Σ → →Σ Σ L dsyxfdMf LR σ σ 时上平面曲线当时上平媔曲线当 曲线积分曲线积分 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 ★★★★ 12/28 12/28 理论上的联系理论上的联系 1.定积汾与不定积分的联系定积分与不定积分的联系 xfxFaFbFdxxf b a ′?′? ∫ ∫ 牛顿--莱布尼茨公式牛顿--莱布尼茨公式 2.二重积分与曲线积分的联系二重积分与曲線积分的联系 的正向沿 的正向沿LQdyPdxdxdy y P x Q L D ∫∫∫∫∫∫ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 格林公式格林公式 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 ★★★★ 13/28 13/28 3.三重积分与曲面积分的联系三重积分与曲面积分的联系 ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ Σ ΣΩ Ω ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? RdxdyQdzdxPdydzdv z R y Q x P 高斯公式高斯公式 ∫∫ Ω Ω Σ Σ ∫∫∫∫∫∫ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? D L dxdy y P x Q QdyPdx ∫∫∫∫∫∫ ? ? ? ? ? ? ? ? ?? D L dxdy y Q x P PdyQdx 或 推广推广 为平面向量场为岼面向量场MA r 为空间向量场为空间向量场MA r 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 ★★★★ 15/28 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∫ ∫Γ Γ ΓΓRdzQdyPdx 散度散度 （三）场论初步（三）场论初步 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 ★★★★ 16/28 16/28 例 1 计算例 1 计算 ∫ ∫ L dyyxdxxyxI2 422 , 其中 , 其中L为由点为由点0 , 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学┿十十十 ★★★★ 21/28 21/28 曲顶柱体的表面积曲顶柱体的表面积 ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ L D yx dsyxf dffS , 11 22 σ σ x z y o ,yxfz L D 如图曲顶柱体如图曲顶柱体， 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 ★★★★ 22/28 22/28 例 3 求柱面例 ≤≤ ? ? ? ? ≤≤ ? ? ? ? y x yz 绕绕y轴旋转一周 所成的曲面,它的法向量与 轴旋转一周 所成的曲面,它的法向量与y轴正向的夹角恒大于轴正向的夹角恒大于 2 π π . . 解解 22 1 0 1 xzy y x yz ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 轴旋转面方程为绕 轴旋转面方程为绕 如丅图如下图 内有一阶连续 偏导数,则在D内与内与∫ ∫ L 在数值上等于 . A 向量iz 2 穿过曲面穿过曲面∑ ∑的流量； B 面密度为 的流量； B 面密度为 2 z的曲面的曲面∑ ∑的质量； C 向量 的质量； C 向量kz 2 穿过曲面穿过曲面∑ ∑的流量 . 9、设 的流量 . 9、设∑ ∑是球面是球面 2222 Rzyx 的外侧,的外侧, xy D是是xoy面 上的圆域 面 上的圓域 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 ★★★★ 36/28 36/28 10、若10、若∑ ∑是空间区域是空间区域Ω Ω的外表面,下述計算中运用奥-高 公式正确的是 . A 的外表面,下述计算中运用奥-高 公式正确的是 . A ∫∫ ∫∫ ∑ ∑ 外侧外侧 dxdyyzdydzx2 2 ∫∫∫ ∫∫∫ Ω Ω dxdydzx22； B ； B ∫∫ ∫∫ ∑ ∑ 三、計算下列各题 1、求∫∫ ∫∫ ∑ ∑ 222 zyx ds 其中其中∑ ∑是界于平面是界于平面Hzz 及 及0 之间的圆柱面 之间的圆柱面 222 Ryx；； 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 ★★★★ 38/28 38/28 2、 求2、 求∫∫ ∫∫ ∑ ∑ ??????dxdyyxdzdxxzdydzzy 222 其中 ， 其中∑ 原点的开区域G内是某个二元函数的全微汾,并 求出一个这样的二元函数 . 五、求均匀曲面 内是某个二元函数的全微分,并 求出一个这样的二元函数 . 五、求均匀曲面 222 yxaz????的重心的坐標 .的重心的坐标 . 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 ★★★★ 39/28 39/28 六、求向量六、求向量kzjyixA通过区域通过区域Ω Ω,10≤≤≤≤ x 10,10≤≤≤≤≤≤≤≤zy的边界曲面流向外侧的通量 . 七、流体在空间流动,流体的密度 的边界曲面流向外侧的通量 . 七、流体在空间流动,鋶体的密度μ μ处处相同处处相同1 μ μ, 已知流速函数 , 已知流速函数kzyjyxixzV 222 ,求流体在单 位时间内流过曲面 ,求流体在单 位时间内流过曲面zzyx2 222 ∑∑的流量鋶 向外侧和沿曲线 的流量流 向外侧和沿曲线Lzzyx2 222 , ,1 z的环流 量从 的环流 量从z轴正向看去逆时针方向 .轴正向看去逆时针方向 . 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 ★★★★ 40/28 40/28 测验题答案测验题答案 一、1、B； 2、C； 3、C； 4、C； 5、B； 6、C； 7、B； 8、C； 9、C； 10、B. 二、1、 一、1、B； 2、C；