拉普拉斯方程组是由皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）首先提出而得名嘚拉普拉斯则是一位世界著名的法国数学家，在维基百科上甚至有数个被冠以他的名字的页面

在1799年，他证明了在天文时间单位里太陽系是一个稳定的系统，推翻了一个世纪前牛顿的假设在这个过程中，拉普拉斯方程组诞生了

对一个一边长为dl1、dl2的面元，若其曲率不等于零则表面张力的合力在曲面法线方向有分量，表面两侧应有与之平衡的压差压差和表面张力之间的关系由下列拉普拉斯公式给出：

R1、R2是曲面上任意两个正交方向上的曲率半径。

根据规定凸面的曲率半径取正值，凹面的曲率半径取负值；所以凸面的附加压力指向液体，凹面的附加压力指向气体（外部）即附加压力总是指向球面的球心的。

（1）当R1=R2 时即，为球面时就有：

即，我们教材中介绍的附加压力计算公式

（2）当是平面液体时，R1和R2都是趋近于∞对应的附加压力为0.

（3）如果是一个圆柱体，则对应的只有一个R1R2=∞，ΔP = γ/R

（4）如果是一个液膜气泡，则内外有两个球型界面所以ΔP = 4γ/R.

（5）如果是一个马鞍形面，在马鞍点上当R1=-R2，ΔP=0.

用极坐标、直角坐标变换公式+拉普拉斯方程组得来

极坐标系中一个重要的特性是，平面直角坐标中的任意一点可以在极坐标系中有无限种表达形式。

极坐标系也囿两个坐标轴：r（半径坐标）和θ（角坐标、极角或方位角，有时也表示为φ或t）r坐标表示与极点的距离，θ坐标表示按逆时针方向坐标距离0°射线（有时也称作极轴）的角度，极轴就是在平面直角坐标系中的x轴正方向。

用相应的两个曲率半径来描述曲面即在曲面上某点莋垂直于表面的直线，再通过此线作一平面此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相切的圆半径称为该曲线的曲率半径R1

通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2用 R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。

在闵可夫斯基空间中拉普拉斯算子变为达朗贝尔算子。达朗贝尔算子通常用来表达克莱因-高登方程组以及四维波动方程组