???knkne12li10．设 是连续函数，且 求 。??xf ???????102dtfxf ??xf11．若 求 。???2ln61xted?12．证明 ???21dx13．已知 ，求常数 ?????????????axxx e24lima14．设 ，求 ?????????0,12xef ???31dxf15．设 有一个原函数为 ，求 xf x2sin??20?f16．设 ，在 上 求出常数 ， 使??xbafl????3,1???fab最小?31dxf317．已知 ，求 ??2xef??????10dxf18．设 ，求 ?f ??f19． 。?????????0 2sincoscoxxf20．设 时 的导数与 是等价无穷小，试求?x?dtftFx????0 2x??f?C 层次1．设 是任意的二次多项式， 是某个二次多项式已知??xf ??xg，求 ???????????????124060 fffdf dba?2．设函数 在闭区间 上具有连续的二阶导数，则在 内存在 ??xf??, ??ba,?使得 。???fabafbdfba ???????????? 32413． 在 上二次可微且 ， 试证??xf??, 0??xf???xf。????2fabdabb????4．设函数 茬 上连续 在 上存在且可积，xf??,xf???ba,试证 。??0?f????dfba??1?5．设 在 上连续 ， 求证存在一点 ，x??, 00?xf??11??dxf x使 。10???4?f6．设 可微 ， ，求 xf??1?f txtfF??02??40limxF?7．设 在 上连续可微，若 则??f??ba, ???bfa。???xfdxfabbab????m4248．设 在 上连续 ，求证 ??xf??BA, Bba???dxkfxfbak????0limabf??9．设 为奇函数，在 内连续且单调增加??xf?????,，证明1 为奇函数；2 在 上单调减少dtF?03xF??xF???,010．设 可微苴积分 的结果与 无关，试求 ??xf????dtff??10 ??xf11．若 在 连续， ，证明???,2???1???????0 3sinxfx12．求曲线 在点0,0处的切线方程。??dtty113．设 为连续函数对任意实数 有 ，求证??xf a??????adxf?0sin?f??214．设方程 ，求 ??????yxtdtgx02sec22xy15．设 在 上连续，求证?f??ba, ????afxdtfhtfxh ?????1lim0 bx?16．当 时 连续，且满足 求 。?dt???102 ??2f17．设 在 连续且递减证明??xf??1,，其中 ???????00dxf??1,??18．设 连续， ， 试证??xf? dtaftF???20?f??1af。?12??aF19．设 是 上的连续函数 ，试证在 内方程??xg??b, ??tgxfa???b,至少有一个根??0?abfx520．设 在 连续，且 又 ，证明??xf??ba,??0?xf????dtftfxFxba???11 2 在 内有且仅有一个根??2??xF???x?ba,21．设 在 上连续，则 f??a,0???????????adxfxdxf020 222．设 是以 为周期的连续函数，证明??x?????????020sinxfxf23．设 在 上正值，连续则在 内至少存在一点 ，使??xf??ba, ?ba, ???????baa dxfd21??24．证明 。??????10010 lnlnln dufuftxf25．设 在 上连续且严格单调增加则 。?f??ba, ?????babadxfxf226．设 在 上可导且 ， 则?xf,??Mxf????0?f。??2abMdfba???27．设 处处二阶可导且 ，又 为任一连续函数则?xf ????xf??tu， ???????????aadtufdtuf00110?28．设 在 上二阶可导，且 则?xf??b, ??0??xf。???????????2afdfba29．设 在 上连续且 ， 证明在 上必?xf??b,??0?xf??0??badxf??ba,有 。?0?f30． 在 上连续且对任何区间 有鈈等式?xf??a, ??b,,???6 ， 为正常数试证在 上 。??????????1Mdxf ??ba,??0?xf第五章 定积分100道例题及解答分A1． ?203cosin?xd解原式 41cos20203???????x2． ?adxx0解令 则tsintdacos当 时 ，当 ??402???xdB1．求由 所决定的隐函数 对 的导数 0cos00???xyttde yxdy解将两边对 求导得sxdy14∴ yexdcos??2．当 为何值时，函数 有极值?????xtdeI02解 令 得??2xI???当 时，0???I当 时?x?x∴当 时，函数 有极小值???I3． 。?xdtdcosin2?解原式 ?????????taax 处取最小值2xey??1?y2xe?1??21?e故 ???????212121 dxedxex即 ??21x13．已知 ，求常数 ??????????????axxx de24lima解左端xx 21li??右端 ????????????axax dede22????????axe2???ae2????????????axxde22??aea21?∴ 2??解之 或 ，在 上 求出常数 ， 使??xbaxfl??3,1???xfab最小?31df解当 最小，即 最小由???31xf?????31lndxbax知， 在 的上方其间所夹面积最小，则??0ln????baxf y?y是 的切线而 ，设切点为 则切线yyx???0ln,x，故 是等价无穷尛，试求?x??dtftxF????022x??0f?解????20302limlimxtfxdtftxx ????????????xfxtfxx ?????li2li00 ?,0?1?f故 ??2020C1．设 是任意的二次多项式， 是某个二次哆项式已知??xf ??xg，求 ???????????????124060 fffdf dba?解设 ，则??atbx????????10dtbtgdIa??令 ??tftbg??于是 ，??af?0???????????21abgf??bgf?1由已知得 ?????????bI462．设函数 在闭区间 上具有连续的二阶导数则在 内存在 ，??xf??a, ??ba,?使得 ???fbfbdfba ???????????? 3241证由泰勒公式??????2000 xfxfxf ??其中 ， 位于 与 之间ba,,??两边积分得????????dxfdxfdxfxf babababa 2000 ??????????? ??????3032206a???令 ，则20 x?? ?????????????????????????????????????? 2221babbaffabdfba?????????3326f?21 。?????fabafb???????????3241??ba,?3． 在 上二次可微且 ， 试证xf??, 0??xf?xf。??????2fabdabb????证明当 时甴 ， 知 是严格增及严格凹的x,??xf???xf??f从而 及??f???abf ??故 ??fadxxbaba ??????????????baba dxff???21abff ??????2ba4．设函数 茬 上连续， 在 上存在且可积?xf??,??xf???,，试证 ??0?bfa?dfba??1ba?证明因为在 上 可积，故有??a,?x?????????? bxb tftfdxf而 ??a??dx???于是 ?????????????bxtfdtff21???????baax tfx215．设 在 上连续， ，求证存在一点 ??f??1,0?010??f ?dxx，使 10?x4?x证假设 ，???f??,?由已知 ，得??10dx??110??dxf?????????????01010 22xfff22????????dxdxfx41210 ?????????????????????故 ??dxdxfx?????101042从而 10f∴ ??4??xf因为 在 连续则 或 ??bfa。?????xfdxfabbab????42证因 在 上连续可微则 在 和 上均满足f??, ??xf???????2,ba??????,拉格朗日定理条件，设 则有fMbxa???m???????????baba dfdfdxf 22???? ?????baba dxbfxf2221 ??23???????? ?????baba dxbfdxf221???222 ???????kakkbkak dxfxxkxf 1limlilim000f9．设 为奇函数，在 内连续且单调增加??xf?????,，证明1 为奇函数；2 在 上单调减少dtF???03xF??xF???,0证1 ?????? ?????xutx dufdft00 33?xf为 奇 函 数 ????xF?∴ 为奇函数。??F2 ???????????? ??xxdtftf003??ffdtfx?x20?24??????xfdtftx???0由于 是奇函数且單调增加当 时， f 0???0 xf，故 ，即 在 上????0???xdttf??xt????F???,F????,单调减少10．设 可微且积分 的结果与 无关，试求 xf??dtff??10 x?xf解记 ，则????Cdtf???10??Cufxfxf ??0由 可微于是??0???xff解之 （ 为任意常数）??ke?11．若 在 连续， ，证明xf????,??2f?1??f????0 3sinxdxf解因 ????????00sinfdf???cosxx?????0csf?????????0sincsoxdfxfxd??????0indf????0si3s21xfx所以 。????????0if12．求曲线 茬点0,0处的切线方程??xdtty解 ，则 故切线方程为 ，??21? ??20?y ??02??xy即 xy2513．设 为连续函数，对任意实数 有 求证??xf a??????adxf?0sin。?f???2证两边对 求导a?????0sin1sin ????aff ??即 ?令 即得 。xa???xff214．设方程 求 ??????FxhFh???li0???????????ax0lim右边。??afx16．当 时 连续，且满足 求 。????xdtfx???102 ??2f解等式两边对 求导得x?13212??f令 得?x26将 代入得1?x??152??f故 。??52f17．设 在 连续且遞减证明x??,0，其中 ?????????1dxff ??1,0??证 ?????????100 xfdx则 ????????1xff??01df， ????21??f????1,??????,02??1f?由于 递减，??xf??2??故 0010???dxf即 ????xf18．设 连续， ， 试证? ?dtaftFx????20?0?f?1af。??12??aF证 ???????? ???aa dtfttft020 2????aa fdft020??????????aa tfttt02?????aa dtffft 02在第一个积分中令 ，则ut??????????aa dfdtft02 2而 ??12??afa故 ??1?F2719．设 是 上的连续函數 ，试证在 内方程??xg??ba, ??dtgxfa????ba,至少有一个根??0??bfx证由积分中值定理，存在 使??b,??????baagdtf即 0??g?故 是方程 的一個根??abfx20．设 在 连续，且 又 ，证明f??,??0?xf????dtftfxFxba???11 2 在 内有且仅有一个根??2??xF???x?ba,证1 21???f2 ，??0??abdtfF??0???badtfF又 在 连续由介值定理知 在 内至少有一根。x??, ???x?ba,又 则 单增，从而 在 内至多有一根??0??F??x0F,故 在 内有且仅有一个根。?xba,21．设 在 上连续则 。??f??2, ????????????aa dxfxdxf020 2证 ?????aaadxfx020令 ，则u?????????? ?aaa dxfuff 002 22故 ?????xfxdx022．设 是以 为周期的連续函数证明??f?28。???????????020 严格单增t???fb,∴ ??0?xf则 从而?F??0?aF即 ??2?????babadtftf故 ??xx26．设 在 上可导，且 ，则??xf??b, Mf????0?af2aMdfba???证由假设对 ，可知 在 上满足微分中值定理则有??x,????xf??,，????aff ?????x?又因 x?b,故 ??aMf于是 。????2aMdxdxbba ????3027．设 处处二阶可导且 ，又 为任一连续函数则??xf ??0??xf??tu， ?????????aadtufdtuf0011?证由泰勒公式，有??????200021xfxfxf ????????其中 在 与 之间?又因 故????xf????021200 ???????xfxff ?即 ??00fxf???令 ，tu????adtu01则 ?? ???? ???????????????aaaa dtuftfdtf 0000 1??tuat????????01即 ?????????????aa dtfdtf0028．设 在 上二阶可导，且 则xf??b, ??0??xf。????????????2afdfba证对 将 在 处展开，得??bx,????xf20ba???? ??212 ???????????????????????????? baxffaf ?其中 在 与 之间?xb