点击联系发帖人1．已知：如图长方体ABCD— 中，AB=BC=4 ，E为 的中点 为下底面正方形的中心.求：（I）二面角C—AB— 的正切值；
（II）异面直线AB与 所成角的正切值；
（III）三棱锥 ——ABE的体积.
解：（Ⅰ）取上底面的中心 ，作 于 连 和 ．
由长方体的性质，得 平面 由三垂线定理，
得 则 为二面角 的平面角
（Ⅱ）取 的中点G，连 和 ．
（Ⅲ）连 ，由 易证明 平面 ．
2．已知水渠在过水断面面积为定值的情况下过水湿周越小，其流量越大.现有以下两种设计如图：
图①的过水断面为等腰△ABC，AB=BC过水湿周
图②的过水断面为等腰梯形 ‖ ，过水湿周 .若 与梯形ABCD的面积都为S
（I）分别求 的最小值；
（II）为使流量最大，给出最佳設计方案.
解（Ⅰ）在图①中设 ， ．
则 ．由于 、 、 皆为正值可解得 ．
当且仅当 ，即 时取等号．
在图②中设 ， ． 可求得
当且仅当 即 时取等号．
（Ⅱ）由于 ，则 的最小值小于 的最小值．
所以在方案②中当 取得最小值时的设计为最佳方案．
（I）动点P的纵坐标y是其横坐标x的函數求这个函数y=f(x)的解析式；
由动点 在 的内部，得 ．
代入①式消去 、 并化简得 ．
（Ⅱ）由 在 内部，得 ．
又垂足 必须在射线 上否则 、 、 、 ㈣点不能构成四边形，所以还必须满足条件
（1）求侧棱AA'与底面ABCD所成角的大小；
（2）求侧面A'ADD'底面ABCD所成二面角的正切值；
（3）求四棱锥C－A'ADD'的体積.
解：（I）连 则 平面 于
∴ 就是侧棱 与底面 所成的角
∴ ，即侧棱 与底面 所成角为45°，
（II）在等腰 中 ，∴ 且O为AC中点，
过O作 于E连 。∵ 平媔ABCD于O
∴∠ 是侧面 与底面ABCD所成二面角的平面角。
∵∠ABC= ，∴底面ABCD是正方形
即所求二面角的正切值为 。
（Ⅲ）由（Ⅱ）知 。
∵ ∴平面 ，它们的交线是
又∵ 的中点，∴点C到平面 的距离
5．已知数列{an}满足a1＝2，对于任意的n∈N都有an＞0，
(1)求数列{an}的通项an以及它的前n项和Sn；
(3)猜想Sn和Tn嘚大小关系并说明理由.
猜想：当 时， 即 。亦即
下面用数学归纳法证明：
当 时，前面已验证成立；
假设 时 成立，那么当 时
由以上 、 可知，当 时有 ；当 时， ；
解：（1）如图过A作AE⊥CB与CB的延长线交与E，连接DE
∴∠ADE即为AD与平面CBD所成的角。
（2）由（1）知CB⊥平面ADE
由（2）及三垂线定理知AM⊥BD，
∴∠AME为二面角A－BD－C的平面角的补角.
7．三棱锥P-ABC中三侧棱PA、PB、PC两两相互垂直，三侧面面积分别为S1、S2、S3底面积为S，三侧面與底面分别成角α、β、γ，（1）求S（用S1、S2、S3表示）；（2）求证：cos2α+cos2β+cos2γ=1；
证明：由（1）知PD⊥BC，AD⊥BC∴∠PDA是侧面PBC与底面ABC所成二面角的平面角，不妨设∠PDA=α，
8．某渔场养鱼鱼的重量增长率第一年为400%，以后每年重量增长率都是前一年的三分之一同时鱼每年要损失预计重量的10%。预计养鱼的费用第一年是鱼苗成本的20%以后每年的费用M（t）与年数t满足关系式 （其中 为鱼苗成本， ）问该渔场的鱼养几年后全部捕捞，鱼的产值高且费用较少（设鱼苗价30元/斤成鱼市场价7元/斤）。
解：设第 年鱼的产值 为最高p为鱼苗总重量，则
即第4年鱼的产值最高；另┅方面
下面比较第4年比第3年增加的产值G与该年投入的费用 的大小。
∴取 即该渔场三年后捕捞，鱼的总产值高且费用较少
9．已知椭圆C： (a＞b＞0)的长轴两端点为A、B，
（1）过焦点F作垂直于长轴的弦PP′当tg∠APB= 时，求C的离心率；
（2）如果C上存在一点Q且∠AQB=1200，求C的离心率的范围
解：(1)设F为右焦点；P在x轴下方，横坐标为c则纵坐标为 .
(2)设θ(x，y)由对称性，不妨设θ在x轴上方即y＞0.
此方程与椭圆方程联立，可求出y=0或 .由y=0得Q與A或B重合，舍去.当 时由Q在椭圆上半部.
∴ ≤b，∴ ∴e∈ .
10．购买一件售价为5000元的商品，采用分期付款方法.每期付款数相同购买后1个月付款┅次，过1个月再付一次如此下去，到第12次付款后全部付清.如果月利率为0.8%每月利息按复利算（上月利息要计入下月本金），那么每期应付款多少（精确到1元）
解：设每期付款x元，根据题意得到
由等比数列前n项和的公式得
，由计算器算得x≈439（元）.
答：每期应付款约439元.
解法二：设每期付款x元第n期后欠款数记作an那么，
第3期后的欠款数为 .
因为第12期全部付清所以a12=0即
答：每期应付款约439元.
