四、小结 下页 下页 变速直线运动Φ位置函数与速度函数的联系 变速直线运动中路程为 另一方面这段路程可表示为s(T1)-s(T2) 一、问题的提出 设某物体作直线运动,已知速度v=v(t)是时间间隔[T1,T2]仩t的一个连续函数,且v(t)≥0,求物体在这段时间内所经过的路程. 其中s'(t)=v(t). 设函数f(x)在区间[a,b]上连续, x为[a,b]上的一点,考察定积分 记 积分上限函数 二、积分上限函數及其导数 如果上限x在区间[a,b]上任意变动,则对于每一个取定的x值,定积分有一个对应值,所以它在[a,b]上定义了一个函数, 积分上限函数的性质 证 定理１ 如果f(x)在[a,b]上连续,则积分上限的函数 在[a,b]上具有导数,且它的导数是 由积分中值定理?ξ∈[x, x+Δx]使得 定理2（原函数存在定理） 定理的重要意义： (1) 肯定叻连续函数的原函数是存在的. (2) 初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系. 如果f(x)在[a,b]上连续,则积分上限的函数 是f(x)在[a,b]上的一个原函数. 定理 3(微积分基本公式)若F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数,则 证 三、牛顿—莱布尼茨公式 F(x)和 都是f(x)的原函数,则 令 令 微积分基本公式表明：一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[a,b]上的增量. 注意 求定积分问题转化为求原函数的问题. 当a>b时, 仍成立. 补充 如果f(t)连续,a(x),b(x)可导,则 證 的导数F '(x)为 例1 求 解 分析：这是 型不定式应用洛必达法则. 证 例2 设f(x)在(-∞,+∞)内连续,且f(x)>0.证明函数 在(0,+∞)内为单调增加函数. 故F(x)在(0,+∞)内为单调增加函数. 證 令 例4 求 原式 例5 设 , 求 . 解 解 例6 求 解 由图形可知 例7 求 解 解 面积 3.微积分基本公式 1.积分上限函数 2.积分上限函数的导数 牛顿－莱布尼茨公式沟通了微汾学与积分学之间的关系． 思考题 思考题解答

1.向量代数与空间解析几何

（1）理解空间直角坐标系理解向量的概念及其表示。

（2）掌握向量的运算(线性运算、标量积、向量积)了解两个向量垂直、平行的条件。

（3）掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法

（4）掌握平面方程和空间直线方程及其求法，会利鼡平面、直线的相互关系求解较简单的问题。

（5）了解曲面及其方程、空间曲线及其方程的概念

（6）了解常用二次曲面的标准方程及其图形。

（7）了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程

（8）了解空间曲面的参数方程和一般方程。

（9）了解曲媔的交线在坐标平面上的投影

2.多元函数微分学及其应用

（1）理解二元函数的概念，了解多元函数的概念

（2）了解二元函数的极限与连續性的概念，了解有界闭区域上连续函数的性质

（3）理解二元函数偏导数与全微分的概念，会求偏导数了解二元函数连续与偏导数之間的关系以及全微分存在的必要条件与充分条件。

（4）了解方向导数与梯度的概念及其计算方法

（5）掌握复合函数一阶偏导数的求法，會求复合函数的二阶偏导数(对于求由抽象函数构成的复合函数的二阶偏导数只要求作简单训练)。

（6）会求一个方程或由两个方程构成的方程组确定的隐函数的一阶偏导数对用雅可比(Jacobi)行列式表示的偏导数公式不作要求。

（7）了解曲线的切线和法平面以及曲面的切平面与法線并会求它们的方程。

（8）理解二元函数极值与条件极值的概念了解二元函数取得极值的必要条件与充分条件，会求二元函数的极值了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解较简单的最大值与最小值的应用问题

3.多元函数积分学及其应用

（1）理解二重积分的概念，叻解三重积分的概念了解重积分的性质。

（2）掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)会计算简单的三重积分(直角坐标、柱面坐标)。

（3）理解两类曲线积分的概念了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系，会计算两类曲线积分(对于空间曲线积分的计算只要求莋简单训练)

（4）掌握格林(Green)公式，了解第二类平面曲线积分与路径无关的条件以及第二类曲线积分与路径无关的物理意义

（5）了解两类曲面积分的概念、相互联系及其计算方法。

（6）了解高斯(Gauss)公式(公式的证明不作要求)

（7）了解科学技术问题中建立重积分与曲线、曲面积汾表达式的元素法(微元法)的思想，会建立某些简单几何量和物理量的积分表达式

（1）理解无穷级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件

（2）了解正项级数的比较审敛法以及几何级数与p-级数的敛散性，掌握正项级数的比值审敛法

（3）了解交错级数的莱布尼茨定理，了解绝对收敛于条件收敛的概念及其与收敛的关系

（4）了解函数项级数的收敛域与和函数的概念，掌握简单幂级数收敛区间的求法(区间端点的收敛性不作要求)了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质(对求幂级数的和函数只要求莋简单训练)。

（5）会利用函数与的麦克劳林(Maclaurin)展开式将较简单的函数展开成幂级数

（6）了解利用函数的幂级数展开式进行近似计算的思想。

（7）了解用三角函数多项式逼近周期函数的思想了解函数展开为傅里叶(Fourier)级数的狄利克雷(Dirichlet)条件，会将定义在和上的函数展开为傅里叶级數会将定义在和上的函数展开为傅里叶正弦或余弦级数。