迭代是一种数值方法，具体指從一个初始值一步步地通过迭代过程，逐步逼近真实值的方法
与之相对的是直接法，也就是通过构建解析解一步求出问题的方法。
 


 

 通常情况下我们总是喜欢一步得到问题的结果，因此直接法总是优先考虑的
但是，当遇到复杂的问题时特别在未知量很多，方程非線性时无法得到直接解法（例如五次方程并没有解析解）。
这时候我们需要使用迭代算法，一步步逼近得到问题的答案。
 


 

 迭代算法通常需要考虑如下问题：
- 确定迭代变量
- 确定迭代关系式
- 确定迭代终止条件
 


 

 

 牛顿迭代法，求解如下问题的根x
 
 

 
 

 
 

 
 

 方法中迭代變量是根x，迭代关系式如上迭代终止条件是|f(xn)?0|<error。
 
 

 牛顿迭代法需要满足的条件是：
f′(x)是连续的并且待求的零点x是孤立的。
那么在零点x周围存在一个区域，只要初始值x0位于这个邻域内那么牛顿法必然收敛。
并且如果f′(x)不为0，那么牛顿法将具有平方收敛的特性也就是，每迭代一次其结果的有效倍数将增加一倍。
 
 

 

 
 
 

 

 
 

 

 
 

 对于平方根问题假设f(x)=x2?n，代入上式有

 

 
 

 其图像含义是：通过对接近零点的领域點做切线，不断逼近零点最终十分靠近零点。
 
 

 

 上面的式子同样，可以用泰勒公式推导出来

 

 
 

 只取等号右边的前两项，有
 


 
 

 

 


 
 

 

 

 


 
 

 夲质上牛顿迭代法就是利用了泰勒公式的前两项和，是泰勒公式的简化
 
 

 

 同样的，牛顿迭代法同样可以求n次方根对于f(x)=xm?n
有