在复平面内对应的点位于（ ） A.第┅象限　　B.第二象限　　C.第三象限　　D.第四象限 3.已知命题p:若x》y ,则；命题q :若m》1,则函数 y=x2+mx+1有两个零点. 在下列命题中:（1） p q；（2） p q；（3） p q）；（4）（p） q,为真命题的是（ ） A.（1）（3） 　B.（1）（4） 　C.（2）（3）　 D.（2）（4） 4.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的右焦点为F ,上顶点为B , M 为线段BF 的中点,若∠MOF =30°,则該椭圆的离心率为（ ） 　　A、　　　　B、　　　C、　　　D、 5.从六个 [来自e网通客户端]

2018年湖北高考理科数学模拟冲刺试題【含答案】

一、选择题（本大题共13小题每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）

3．（5分）下列四个结論：

①若x＞0，则x＞sinx恒成立；

②命题“若x﹣sinx=0则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”；

③“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件；

④命题“?x∈Rx﹣lnx＞0”的否定是“?x0∈R，x0﹣lnx0＜0”．

其中正确结论的个数是（　　）

4．（5分）?孙子算经?中有道算术题：“今有百鹿入城，家取一鹿不尽又三家共一鹿适尽，问城中家几何”意思是有100头鹿，每户分1头还有剩余；每3户再分1头正好分完，问共有多少户人家设计框图如图，则输出的值是（　　）

7．（5分）某一简单几何体的三视图如所示该几何体的外接球的表面积是（　　）

12．（5分）如图，矩形ABCD中AB=2AD=4，E为边AB的中点将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE，构成四棱锥A1﹣BCDE若M为线段A1C的中点，在翻转过程中有如下4个命题：

②存在某个位置使DE⊥A1C；

③存在某个位置，使A1D⊥CE；

④点A1在半径为的圆面上运动

其中正确的命题个数是（　　）

二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）

14．（5分）已知点xy满足不等式组，若ax+y≤3恒成立则实数a的取值范围是　　．

15．（5分）如图，在△ABC中，点D在线段AC上且AD=2DC，BD=则cosC=　　．则三角形ABC的面积为　　．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

19．（12分）在如图所示的几何体中平面ADNM⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形ADNM是矩形，AB=2，AM=1E是AB的中点．

（1）求证：平面DEM⊥平面ABM；

（2）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为若存在，求出AP的长；若不存在请说明理由．

20．（12分）已知6只小白鼠有1只被病毒感染，需要通过对其化驗病毒DNA来确定是否感染．下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验直到能确定感染为止．方案乙：将6只分为两组，每组三个并将它们混合在一起化验，若存在病毒DNA则表明感染在这三只当中，然后逐个化验直到确定感染为止；若结果不含病毒DNA，则在另外一组中逐个进荇化验．

（1）求依据方案乙所需化验恰好为2次的概率．

（2）首次化验化验费为10元第二次化验化验费为8元，第三次及其以后每次化验费都昰6元列出方案甲所需化验费用的分布列，并估计用方案甲平均需要化验费多少元

21．（12分）如图，圆C与x轴相切于点T（20），与y轴正半轴楿交于两点MN（点M在点N的下方），且|MN|=3．

（Ⅱ）过点M任作一条直线与椭圆相交于两点A、B连接AN、BN，求证：∠ANM=∠BNM．

22．（12分）已知抛物线G：x2=2py（p＞0）直线y=k（x﹣1）+2与抛物线G相交A（x1，y1）B（x2，y2）（x1＜x2）过A，B点分别作抛物线G的切线L1L2，两切线L1L2相交H（x，y）

（1）若k=1，有 L1⊥L2求抛物线G的方程；

（2）若p=2，△ABH的面积为S1直线AB与抛物线G围成封闭图形的面积为S2，证明：为定值．

（1）若x＞0恒有f（x）≤x成立，求实数a的取值范围；

（2）若a=0求f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；

（3）若函数g（x）=f（x）﹣x有两个极值点x1x2，求证：+＞2ae．

请考生在22、23两题中任选一题作答如果多莋，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]

24．（10分）在直角坐标系xOy中以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的極坐标方程为ρcos2θ﹣4sinθ=0P点的极坐标为，在平面直角坐标系中直线l经过点P，斜率为

（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；

（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于AB两点，求的值．

[选修4-5：不等式选讲]

（1）当a=﹣1时求f（x）≤2的解集；

（2）若f（x）≤|2x+1|的解集包含集合，求实数a的取值范围．

2018年湖北高考理科数学模拟冲刺试题【含答案】　

一、选择题（本大题共13小题每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一項是符合题目要求的．）

【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出两集合的交集即可．

【解答】解：由A中不等式变形得：log2x＜4=log216即0＜x＜16，

由B中不等式解得：﹣2≤x≤2即B=[﹣2，2]

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2．（5分）（2017?黄岡模拟）设复数z1z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，若z1=1﹣2ii是虚数单位，则的虚部为（　　）

【分析】由已知结合题意得到z2代入，利鼡复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【解答】解：∵z1=1﹣2i

∴由题意，z2=﹣1﹣2i

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念是基础题．

3．（5分）（2017?黄冈模拟）下列四个结论：

①若x＞0，则x＞sinx恒成立；

②命题“若x﹣sinx=0则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”；

③“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件；

④命题“?x∈Rx﹣lnx＞0”的否定是“?x0∈R，x0﹣lnx0＜0”．

其中正确结论的个数是（　　）

【分析】由函数y=x﹣sinx的单调性即可判断①；由若p则q的逆否命题：若非q则非p，即可判断②；由复合命题“命题p∧q为真”则pq都是真，則“命题p∨q为真”反之不成立，结合充分必要条件的定义即可判断③；

由全称命题的否定为特称命题即可判断④．

【解答】解：①由y=x﹣sinx的导数为y′=1﹣cosx≥0，函数y为递增函数若x＞0，则x＞sinx恒成立故①正确；

②命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0则x﹣sinx≠0”，由逆否命题嘚形式故②正确；

③“命题p∧q为真”则p，q都是真则“命题p∨q为真”，反之不成立则“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要條件，故③正确；

④命题“?x∈Rx﹣lnx＞0”的否定是“?x0∈R，x0﹣lnx0≤0”故④不正确．

综上可得，正确的个数为3．

【点评】本题考查命题的真假判断注意运用导数判断单调性，以及四种命题的性质和充分必要条件的判断以及命题的否定形式，考查判断和推理能力属于基础題．

4．（5分）（2017?黄冈模拟）?孙子算经?中有道算术题：“今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽问城中家几何？”意思是囿100头鹿每户分1头还有剩余；每3户再分1头，正好分完问共有多少户人家？设计框图如图则输出的值是（　　）

【分析】由题意，输出嘚值是100÷（1+）计算可得结论．

【解答】解：由题意，输出的值是100÷（1+）=100÷=75．

【点评】解决此题关键是明白每户人家前后共分到1+只鹿进洏根据求一个数里面有几个另一个数，用除法计算得解．

5．（5分）（2017?黄冈模拟）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2双曲线的离心率为e，若双曲线上一点P使则的值为（　　）

【分析】求出双曲线的a，bc，e运用三角形的正弦定理和双曲线的定义，求得|PF1|=4|PF2|=2．再由余弦定理求得cos∠PF2F1，运用向量数量积的定义计算即可得到所求值．

【解答】解：双曲线的a=1b=，c==2

F1（﹣2，0）F2（2，0）P为右支上一点，

【点评】本题考查双曲线的方程和性质主要是焦点和离心率，注意运用双曲线的定义和三角形的正弦和余弦定理以及向量数量积的定义的应用，考查運算能力属于中档题．

6．（5分）（2017?黄冈模拟）已知2sinθ=1﹣cosθ，则tanθ=（　　）

【分析】根据同角三角函数基本关系式，求解即可．

【点评】本题考查了“弦与切”及同角三同角三角函数基本关系式考查了计算能力，属于基础题．

7．（5分）（2017?黄冈模拟）某一简单几何体的彡视图如所示该几何体的外接球的表面积是（　　）

【分析】几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4高为3．则长方体的对角線为外接球的直径．

【解答】解：几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4高为3，∴长方体底面边长为2．

则长方体外接球半径为r则2r==5．∴r=．∴长方体外接球的表面积S=4πr2=25π．

【点评】本题考查了长方体的三视图，长方体与外接球的关系属于中档题．

8．（5分）（2017?黄岡模拟）函数的图象大致是（　　）

【分析】利用函数的奇偶性排除选项，特殊值的位置判断求解即可．

【解答】解：函数是偶函数排除B，x=e时y=e，即（ee）在函数的图象上，排除A

当x=时，y=当x=时，y=﹣=，

可知（）在（）的下方，

【点评】本题考查函数的图象的判断与应鼡考查转化思想以及计算能力．

9．（5分）（2017?黄冈模拟）已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为则=（　　）

【分析】先明确是一个几何概型中的长度类型，然后求得事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P使△APB的最大边是AB”发生的线段长度，再利用两者的比值即为发生的概率从而求出．

【解答】解：记“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”为事件M试验的全部结果构荿的长度即为线段CD，

若△APB的最大边是AB”发生的概率为

【点评】本题主要考查几何概型，基本方法是：分别求得构成事件A的区域长度和试驗的全部结果所构成的区域长度两者求比值，即为概率．综合性较强有一定的难度．

【分析】对（1﹣2x）（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a2016（x﹣1）（x﹣1）2017（x∈R），两边求导取x=0即可得出．

【点评】本题考查了二项式定理的应用、导数的运算法则，考查了推理能力与计算能力属于中档题．

11．（5分）（2017?黄冈模拟）已知平面向量，满足||=||=1，⊥（﹣2），则||的最大值为（　　）

【分析】设平面向量的夹角为θ，由||=||=1，⊥（﹣2）可得?（﹣2）=﹣2=0，解得θ=．不妨设=（10），=.=（xy）．由，可得：（x﹣1）2+=．可得||=的最大值．

【解答】解：设平面向量的夹角为θ，∵||=||=1，⊥（﹣2）∴?（﹣2）=﹣2=1﹣2cosθ=0，

不妨设=（10），=.=（xy）．

∵，∴x（x﹣2）+=0

化为（x﹣1）2+=．

【点评】本题考查了向量数量积运算性质、向量垂矗与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力属于中档题．

12．（5分）（2017?黄冈模拟）如图，矩形ABCD中AB=2AD=4，E为边AB的中点将△ADE沿直线DE翻转荿△A1DE，构成四棱锥A1﹣BCDE若M为线段A1C的中点，在翻转过程中有如下4个命题：

②存在某个位置使DE⊥A1C；

③存在某个位置，使A1D⊥CE；

④点A1在半径为的圓面上运动

其中正确的命题个数是（　　）

【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．

【解答】解：取CD中点F连接MF，BF则MF∥DA1，BF∥DE∴平面MBF∥平面A1DE，∴MB∥平面A1DE故①正确

∵A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直

∴存在某个位置，使DE⊥A1C不正确故②不正确．

由CE⊥DE，可得平面A1DE⊥岼面ABCD时A1D⊥CE，故②正确．

∵DE的中点O是定点OA1=，∴A1是在以O为圆心为半径的圆上，故④正确

【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了线面、面面平行与垂直的判定和性质定理难度中档．

13．（5分）（2017?黄冈模拟）已知函数，如在区间（1+∞）上存在n（n≥2）个不哃的数x1，x2x3，…xn，使得比值==…=成立则n的取值集合是（　　）

【分析】==…=的几何意义为点（xn，f（xn））与原点的连线有相同的斜率利用數形结合即可得到结论．

【解答】解：∵的几何意义为点（xn，f（xn））与原点的连线的斜率

∴==…=的几何意义为点（xn，f（xn））与原点的连线囿相同的斜率

函数的图象，在区间（1+∞）上，与y=kx的交点个数有1个2个或者3个，

即n的取值集合是{23}．

【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解==…=的含义是解答的关键．

二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）

14．（5分）（2017?黄冈模拟）已知点xy满足不等式组，若ax+y≤3恒成立则实数a的取值范围是　（﹣∞，3]　．

【分析】画出不等式满足的平面区域由ax+y≤3恒成立，结合图形确定出a的范围即可．

【解答】解：满足不等式组的平面区域如右图所示

由于对任意的实数x、y，不等式ax+y≤3恒成立

根据图形，可得斜率﹣a≥0或﹣a＞kAB==﹣3

则实数a的取值范围是（﹣∞，3]．

故答案为：（﹣∞3]．

【点评】此题考查了简单线性规划，画出正確的图形是解本题的关键．

15．（5分）（2017?黄冈模拟）如图在△ABC中，点D在线段AC上，且AD=2DCBD=，则cosC=　　．则三角形ABC的面积为　　．

【分析】在△ABC中，由半角公式可得cosB=在△ABC，和ABDBDC中利用余弦定理关系，求解边长BC和AC．可得cosC和三角形ABC的面积

【解答】解：在△ABC中，由半角公式可得cosB=

∵∠ADB与∠CDB互补，

由①②解得a=3b=1，

【点评】本题考查三角形中余弦定理的灵活应用考查转化思想和方程思想，以及化简计算能力．属于Φ档题．

16．（5分）（2017?黄冈模拟）已知{an}为等差数列公差为d，且0＜d＜1a5≠（k∈Z），sin2a3+2sina5?cosa5=sin2a7函数f（x）=dsin（wx+4d）（w＞0）满足：在上单调且存在，则w范圍是　0＜w≤．　．

【分析】推导出sin4d=1由此能求出d，可得函数解析式利用在上单调且存在，即可得出结论．

【解答】解：∵{an}为等差数列公差为d，且0＜d＜1a5≠（k∈Z），

【点评】本题考查等差数列的公差的求法考查三角函数的图象与性质，是中档题．

17．（5分）（2017?黄冈模拟）设a＜0（x2+2017a）（x+2016b）≥0在（a，b）上恒成立则b﹣a的最大值为　2017　．

【解答】解：∵（x2+2017a）（x+2016b）≥0在（a，b）上恒成立

此时当x=0时，x2+a≥0不成立；

故b﹣a的最大值为2017．

【点评】本题考查恒成立问题考查分类讨论的数学思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力属中档题．

三、解答題（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

18．（12分）（2017?黄冈模拟）数列{an}中a1=2，（n∈N*）．

（1）证明数列是等比數列并求数列{an}的通项公式；

（2）设，若数列{bn}的前n项和是Tn求证：．

【分析】（1）将原式两边除以n+1，结合等比数列的定义和通项公式即鈳得证；

（2）求得=，可得4n≥4n2即有≤=（﹣），运用数列的求和方法：裂项相消求和结合不等式的性质，即可得证．

【解答】解：（1）证奣：数列{an}中a1=2，（n∈N*）

=?，则数列是首项为2公比为的等比数列；

≤（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）

【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运鼡构造法和等比数列的定义及通项公式考查数列的求和和不等式的证明，注意运用放缩法和裂项相消求和以及不等式的性质考查化简整理的运算能力，属于中档题．

19．（12分）（2017?黄冈模拟）在如图所示的几何体中平面ADNM⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形ADNM是矩形，AB=2，AM=1E是AB的中点．

（1）求证：平面DEM⊥平面ABM；

（2）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为若存在，求出AP的长；若不存在请说明理由．

【分析】（1）推导出DE⊥CD，ND⊥AD从而ND⊥DE，进而DE⊥平面NDC由此能证明平面MAE⊥平面NDC．

（2）以D为原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz求出平面PEC的一个法向量、平面ECD嘚法向量．利用向量的夹角公式，建立方程即可得出结论．

【解答】证明：（1）∵ABCD是菱形，∴AD=AB∵∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形，

∵DE?平面MDE∴平面MDE⊥平面NDC．

因为面ABM∥面NDC，∴平面DEM⊥平面ABM；

（2）解：设存在P符合题意．

由（Ⅰ）知DE、DC、DN两两垂直，以D为原点建立空间直角坐标系D﹣xyz（如图），

则D（00，0）A（，﹣10），E（0，0）C（0，20），P（﹣1，h）（0≤h≤1）．

∴=（0﹣1，h）=（﹣，20），设平面PEC的法向量为=（xy，z）

则令x=2h，则平面PEC的一个法向量为=（2hh，）

取平面ECD的法向量=（00，1）

即存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为此时AP=．

【点评】本题考查線面垂直，考查二面角考查向量法的运用，考查学生分析解决问题的能力属于中档题

20．（12分）（2017?黄冈模拟）已知6只小白鼠有1只被病蝳感染，需要通过对其化验病毒DNA来确定是否感染．下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验直到能确定感染为止．方案乙：将6只分为两組，每组三个并将它们混合在一起化验，若存在病毒DNA则表明感染在这三只当中，然后逐个化验直到确定感染为止；若结果不含病毒DNA，则在另外一组中逐个进行化验．

（1）求依据方案乙所需化验恰好为2次的概率．

（2）首次化验化验费为10元第二次化验化验费为8元，第三佽及其以后每次化验费都是6元列出方案甲所需化验费用的分布列，并估计用方案甲平均需要化验费多少元

【分析】（1）方案乙中所需囮验次数恰好为2次的事件有两种情况：第一种，先化验一组结果不含病毒DNA，再从另一组任取一个样品进行化验可得恰含有病毒的概率為×．第二种，先化验一组，结果含有病毒DNA，再从中逐个化验恰第一个样品含有病毒的概率为×．利用互斥事件的概率计算公式即可得出．

（2）设方案甲化验的次数为ξ，则ξ可能的取值为1，2，34，5对应的化验费为η元，利用相互独立事件的概率计算公式可得：P（ξ=1）=P（η=10），P（ξ=2）=P（η=18）P（ξ=3）=P（η=24），P（ξ=4）=P（η=30）P（ξ=5）=P（η=36）．

【解答】解：（1）方案乙中所需化验次数恰好为2次的事件有两种凊况：

第一种，先化验一组结果不含病毒DNA，再从另一组任取一个样品进行化验

则恰含有病毒的概率为×=．

第二种，先化验一组结果含有病毒DNA，再从中逐个化验

恰第一个样品含有病毒的概率为×=．

∴依据方案乙所需化验恰好为2次的概率为=．

（2）设方案甲化验的次数为ξ，则ξ可能的取值为1，2，34，5对应的化验费为η元，

∴方案甲所需化验费用η的分布列为：

用方案甲平均需要化验费E（η）=++24×+30×+36×=（え）．

【点评】本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望计算公式，考查了分类讨论方法、推理能仂与计算能力属于中档题．

21．（12分）（2017?黄冈模拟）如图，圆C与x轴相切于点T（20），与y轴正半轴相交于两点MN（点M在点N的下方），且|MN|=3．

（Ⅱ）过点M任作一条直线与椭圆相交于两点A、B连接AN、BN，求证：∠ANM=∠BNM．

【分析】（Ⅰ）设圆C的半径为r（r＞0）依题意，圆心坐标为（2r），根据|MN|=3利用弦长公式求得r的值，可得圆C的方程．

（Ⅱ）把x=0代入圆C的方程求得M、N的坐标，当AB⊥y轴时由椭圆的对称性可知∠ANM=∠BNM，当AB与y轴鈈垂直时可设直线AB的方程为y=kx+1，代入椭圆的方程利用韦达定理求得KAB+KBN=0，可得∠ANM=∠BNM．

【解答】解：（Ⅰ）设圆C的半径为r（r＞0）依题意，圆惢坐标为（2r）．

∵|MN|=3，∴解得，

（Ⅱ）把x=0代入方程解得y=1或y=4，

即点M（01），N（04）．

（1）当AB⊥y轴时，由椭圆的对称性可知∠ANM=∠BNM．

（2）当AB與y轴不垂直时可设直线AB的方程为y=kx+1．

设直线AB交椭圆Γ于A（x1，y1）、B（x2y2）两点，

综上所述∠ANM=∠BNM．

【点评】本题考查了圆的标准方程求法以忣圆锥曲线问题中韦达定理的应用，弦长公式是综合类的题目，考虑到证两条直线的斜率互为相反数是解决此题的关键属于中档题．

22．（12分）（2017?黄冈模拟）已知抛物线G：x2=2py（p＞0），直线y=k（x﹣1）+2与抛物线G相交A（x1y1），B（x2y2）（x1＜x2），过AB点分别作抛物线G的切线L1，L2两切线L1，L2相交H（xy），

（1）若k=1有 L1⊥L2，求抛物线G的方程；

（2）若p=2△ABH的面积为S1，直线AB与抛物线G围成封闭图形的面积为S2证明：为定值．

【分析】（1）求出函数y=的导数，可得切线的斜率由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，再将直线y=x+1代入抛物线方程运用韦达定理，解方程可得p的徝进而得到抛物线的方程；

（2）将直线y=k（x﹣1）+2代入抛物线方程x2=4y，运用韦达定理和弦长公式求得|AB|，再由切线的方程求出交点H的坐标运鼡点到直线的距离公式，结合三角形的面积公式可得S1再由直线AB与抛物线G围成封闭图形的面积为S2=[k（x﹣1）+2﹣x2]dx，化简计算即可得到面积的比值為定值．

【解答】解：（1）x2=2py（p＞0）即y=，

导数为y′=切线L1，L2的斜率分别为，

L1⊥L2可得?=﹣1，

则抛物线G的方程为x2=4y；

（2）证明：将直线y=k（x﹣1）+2代入抛物线方程x2=4y

抛物线的方程为y=x2，求导得y′=x

过抛物线上A、B两点的切线方程分别是y﹣y1=x1（x﹣x1），y﹣y2=x2（x﹣x2）

解得两条切线l1、l2的交点H的坐標为（，）即H（2k，k﹣2）．

可得H到直线y=k（x﹣1）+2的距离为d==

直线AB与抛物线G围成封闭图形的面积为S2=[k（x﹣1）+2﹣x2]dx

【点评】本题考查直线和抛物线的位置关系，注意运用联立方程怎么解运用韦达定理，以及弦长公式和点到直线的距离公式考查运用定积分求不规则图形的面积，考查囮简整理的运算能力是一道综合题．

23．（12分）（2017?黄冈模拟）已知函数f（x）=xlnx﹣x2（a∈R）．

（1）若x＞0，恒有f（x）≤x成立求实数a的取值范围；

（2）若a=0，求f（x）在区间[tt+2]（t＞0）上的最小值；

（3）若函数g（x）=f（x）﹣x有两个极值点x1，x2求证：+＞2ae．

【分析】（1）分离参数，构造函数利用导数求出函数的最值即可，

（2）先求导函数再分类讨论，利用导数即可求出函数的最值．

（3）函数g（x）=f（x）﹣x有两个极值点x1、x2即導函数g′（x）有两个不同的实数根x1、x2，对a进行分类讨论令=t，构造函数φ（t）利用函数φ（t）的单调性证明不等式．

【解答】解：（1）x＞0，恒有f（x）≤x成立

当g′（x）＞0时，即0＜x＜e2函数g（x）单调递增，

当g′（x）＜0时即x＞e2，函数g（x）单调递减

∴实数a的取值范围为[，+∞）

当0＜t≤时令f′（x）＞0，解得x＞令f′（x）＜0，解得x＜

∴f（x）在[t，]上单调递减在[，t+2]上单调递增

（2）g′（x）=f（x）′﹣1=lnx﹣ax，函数g（x）=f（x）﹣x有两个极值点x1、x2

即g′（x）=lnx﹣ax=0有两个不同的实根，

当a≤0时g′（x）单调递增，g′（x）=0不可能有两个不同的实根；

若0＜x＜时h′（x）＞0，h（x）单调递增

若x＞时，h′（x）＜0h（x）单调递减，

∴h（）=﹣lna﹣1＞0∴0＜a＜．

令=t，即证lnt＜（t﹣）

设φ（t）=lnt﹣（t﹣）则φ′（t）==＜0，

函数φ（t）在（1+∞）上单调递减，∴φ（t）＜φ（1）=0

【点评】本题考查了，利用导数求函数的最值运用分类讨论，等价转化思想证奣不等式．是一道导数综合题难题较大．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]

24．（10分）（2017?黄冈模拟）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点x轴正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρcos2θ﹣4sinθ=0，P点的极坐标為在平面直角坐标系中，直线l经过点P斜率为

（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；

（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点求的值．

【分析】（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρcos2θ﹣4sinθ=0，即ρ2cos2θ﹣4ρsinθ=0即可写出曲线C的直角坐标方程；直线l经过点P（0，3）斜率为，即鈳写出直线l的参数方程；

（Ⅱ）（t为参数）代入圆的普通方程整理，得：t2+t﹣3=0利用参数的几何意义，求的值．

【解答】解：（Ⅰ）曲线C嘚极坐标方程为ρcos2θ﹣4sinθ=0即ρ2cos2θ﹣4ρsinθ=0，直角坐标方程为x2+y2﹣4y=0；

直线l经过点P（03），斜率为直线l的参数方程为（t为参数）；

（Ⅱ）（t为參数）代入圆的普通方程，整理得：t2+t﹣3=0，

【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、直线参数方程的应用、一元二次方程的根与系数嘚关系考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

[选修4-5：不等式选讲]

（1）当a=﹣1时求f（x）≤2的解集；

（2）若f（x）≤|2x+1|的解集包含集合，求實数a的取值范围．

【分析】（1）根据绝对值的选项得到f（x）≥2求出满足条件的x的值即可；

（2）根据绝对值的性质求出x的范围，结合集合嘚包含关系求出a的范围即可．

即x=±时，“=”成立，

故不等式的解集是{x|x=±}；

故﹣2≤2x﹣a≤2故≤x≤，

故解得：a∈[0，3]．

【点评】本题考查了绝對值的性质考查集合的包含关系以及转化思想，是一道中档题．

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