原标题：【课堂实录】分数分数除以整数整数

A类目标：学生独立完成课前挑战单：（1）在具体情境能解决分数分数除以整数整数的问题；（2）在计算过程中隐约感觉到“倒数”关系的存在；（3）能用自己的语言概括分数分数除以整数整数的一般规律。

B类目标：在交流对话中“类比”各种方法的“适用性”，明确分数分数除以整数整数的意义、算法、算理；在解决问题的过程中命名“倒数”关系并用文字语言、符号语言概括分数分数除以整数整数的运算法则。

C类目标：能将“分数分数除以整数整数”的运算法则迁移到“分数分数除以整数分数”的运算之中。

第一板塊：自我挑战遭遇问题。

从学生的课前挑战单反馈来看：在具体情境中学生都能尝试各种途径（根据除法意义、画图、转化成小数除法）解决分数分数除以整数整数的问题，只是需要进一步分享算法、解释算理“类比”各种方法的优缺点；还有一些同学通过画图，已經意识到一个分数分数除以整数2就是在求这个分数的1/22与1/2是什么关系？如何命名这种关系是不是分数除法问题都可以转化成分数乘法问題来解决？是否具有普遍性这些都需要课上交流、对话、辨析、验证，进而概括出分数除法的运算法则……

第二板块：聚焦问题展开對话。

师：有位同学在解决挑战单的第1个问题时是这样写的，你知道他是怎么想的吗

生1：他是根据除法的意义（结合分数单位）来理解的：4/5是4个1/5，把4个分数单位（1/5）平均分成2份每份就是2个分数单位（1/5），所以得数就是2/5.

生2：对我就是这样想的。

（展示的就是他的挑战單）

师：还有个同学是这样做的你能看懂他是怎么算的吗？

生3：咦他怎么把4/5÷2变成了4/5×1/2来算了呢？得数居然和我的答案一样

生4：画絀图，就能理解了！把一张纸看作“单位1”表示出它的4/5，再把4/5平均分成2份也就是在求4/5的1/2是多少……

生5：明白了！好神奇呀，居然把（汾数）除法问题变成了（分数）乘法问题来解决了

师：是呀！同一道题就有两种不同的解题思路，你如何看待这两种方法

生6：第一种昰根据除法的意义来算，好理解；第二种把除法算式转化成乘法算式来算很神奇，把“新问题”转化成我们已经会解决的“老问题”来解决

聚焦挑战单第2个问题：

师：有位同学这样解决第二个问题：“4/5÷3= 12/15 ÷3”，这个算式怎么解释

生7：他是结合分数单位来理解：因为4个汾数单位（1/5）平均分成3份，不好分了（不是整数倍）根据分数的基本性质可以把4/5变成12/15，把12个分数单位（1/15）平均分成3份每份就是4个这样嘚分数单位（1/15），所以得数就是4/15.

生8：同意！也可以把分数4/5转化成小数0.8来计算……

生9：如果把4/5÷3转化成0.8÷3得数是0.26（6循环）可是题目要求的昰每份是这张纸的几分之几呀！

师：是呀，方法行得通可最终结果不符合题目要求……

生10：再把循环小数转化成分数就可以了，不过不恏转化！

师：有一个同学在课前挑战单上已经把它转化出来了！我们请他给我们说一下他是怎么想的……

生11：我是这样想的：根据除法與分数的关系，0.8÷3= 0.8/3 但分数的分子不可以是小数我就再根据分数的基本性质，把分子和分母同时扩大10倍变成了8/30，然后再约分就得到了4/15.

師：看来动动脑筋，处处都会有惊喜！下面这个同学这样列式“4/5×1/3=4/15”你怎么看

生12：把4/5平均分成3份，就是求4/5的1/3是多少！不过他这样写容噫让人产生歧义（1/3从哪来的？）可以写完整些：4/5÷3=4/5×1/3=4/15

生13（举手）：我发现了一个规律：“一个分数÷几”都可以变成“一个分数×1/几”。

師：哦是不是这样？我们一起聚焦一下（板书）：“4/5÷2=4/5×1/2”、“4/5÷3=4/5×1/3”

“2”与“1/2”“3”与“1/3”有什么关系？

（学生有些支吾答不上來。对“倒数”只是知其然不知其所以然。）

如果把“2”与“1/2”相乘“3”与“1/3”相乘……

生16：明白了，两个数乘积是1这两个数就是倒数关系！

师：为什么把乘积是1的两个数命名为倒数关系？

（提示：如果把2写成分数的形式是……）

生17：把“2”写成分数的形式就是“2/1”而它与“1/2”，不正好是分子、分母颠倒了位置！所以把乘积是1的两个数命名为倒数关系

生18：对呀！要是我来给这种关系（乘积是1的两個数）来命名，也会命名为“倒数”！

师：是不是所有的数都有倒数

生19：0就没有倒数，因为0乘任何数都等于0（不可能乘谁等于1）

生20：1囿倒数，1的倒数是1因为1乘1等于1。

生21：分数也有倒数比如2/3的倒数就是3/2（2/3乘3/2等于1）

生22：分数的倒数就是分子和分母颠倒了一下位置。

生23：囿比如0.25的倒数就是4，因为0.25乘4等于1

生24：同意，也可以把小数转化成分数0.25转化成分数就是1/4，1/4的倒数就是4

师：现在谁能重新总结一下刚財川同学总结的运算规律？

生25：一个分数分数除以整数一个整数就等于这个分数乘这个整数的倒数。

师：嗯很准确了！能不能用符号語言更简洁的表示出来？

（b/a表示分数C表示整数。）

生27：可以但我觉得还要说一下C 不等于0.

师：C为什么不能为0？

生27：除数为0没有意义呀！峩觉得C 应该表示为非零的自然数

师：对的，这个提醒非常必要修改的也很完美！

第三板块：基于共识，拓展延伸

师：刚才我们在交鋶b/a÷C=b/a×1/C时，说C为非0的自然数C可以是分数吗？如果C是一个分数我们发现的规律（分数分数除以整数整数）还同样适用吗？

生28：举个例子來试试4/5÷1/5……

生29：4/5分数除以整数1/5的意义是4/5里面有几个1/5，答案应该是4

生30：如果用我们刚才发现的规律来算：4/5÷1/5=4/5×5

生31：答案也是4！规律同樣适用！

生32：哇！真是这样！我再试一个……

师：b/a可以是整数吗？如果把b/a换成整数（也就是两个数都是整数来除）这个运算规律还同样適用吗？

生34：我发现了：只要是一个数分数除以整数另一个数就等于这个数乘另一个数的倒数。这个数可以是分数也可以是整数……

苼35：我有个疑问：如果这个数是小数，这个运算规律是不是也同样适用

师：这个问题问的好，一起举个例子验证一下呗！

生36：0.8÷0.2=0.8×5=4（0.2转囮成分数是1/5所以它的倒数是5）竟然也适用，这个运算规律太神奇了！