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对之前在问题下的回答不太满意故在此重新撰文。尽我所能全面具体详细地介绍双曲函数怎么来的相关的方方面面希望它能成为最好的讲解双曲函数怎么来的的文章。

除了第七部分高中生都应该可以看懂，因此我不希望大家回复「不明觉厉」而是看懂它并回复「受益匪浅」。

我希望想了解双曲函數怎么来的的知友看了我的文章都能有所收获

双曲函数怎么来的的起源是悬链线，首先提出悬链线形状问题的人是达芬奇他绘制《抱銀貂的女人》时曾仔细思索女人脖子上的黑色项链的形状，遗憾的是他没有得到答案就去世了

时隔170年之久，著名的雅各布·伯努利在一篇论文中又提出了这个问题，并且试图去证明这是一条抛物线。事实上，在他之前的伽利略和吉拉尔都猜测链条的曲线是抛物线。

一年之後雅各布的证明毫无进展（废话，证明错的东西怎么会有进展）而他的弟弟约翰·伯努利却解出了正确答案，同一时期的莱布尼茨也正确的给出了悬链线的方程。他们的方法都是利用微积分，根据物理规律给出悬链线的二次微分方程然后再求解。

18世纪，约翰·兰伯特开始研究这个函数，首次将双曲函数怎么来的引入三角学；19世纪中后期奥古斯都·德·摩根将圆三角学扩展到了双曲线，威廉·克利福德则使用双曲角参数化单位双曲线。至此双曲函数怎么来的在数学上已经占有了举足轻重的地位。

19世纪有一门学科开始了全面发展——复变函数伴随着欧拉公式的诞生，双曲函数怎么来的与三角函数这两类看起来截然不同的函数获得了前所未有的统一

在讲双曲函数怎么来嘚的定义之前，我们先看一看三角函数的定义如图所示：

在实域内，三角函数的值是通过单位圆和角终边上三角函数线的长度定义的當然这个「长度」是有正负的。

同理双曲函数怎么来的的值也是通过双曲线和角终边上的双曲函数怎么来的线的长度定义的。如图：

和對应的三角函数性质十分类似但又有一定的区别。

双曲函数怎么来的恒等式一定要结合着三角函数恒等式一起看真的是太像了：

欧拉公式是复变函数里几乎最重要的一个公式，它揭示了三角函数和指数函数之间的内在联系从形式上也十分简洁优美：

这样我们可以解出囸弦和余弦函数与指数函数的关系式：

再把双曲函数怎么来的拉过来看看

是不是非常接近了呢？很容易看出它们之间存在这样的关系：

先研究一下三角函数和双曲函数怎么来的的级数展开

双曲函数怎么来的和三角函数的区别仅仅在于是否有的幂这一项，双曲函数怎么来的僦是将三角函数改为非交错级数正是由于其无比相似的级数展开，才使得它们具有十分相似的性质

我们说了这么多，两类函数似乎各種相似却还是不一样那么三角函数和双曲函数怎么来的的关系到底是什么呢？

在复域上它们的形状其实是一样的！

不信？我们画一画圖像

直观地看，同一行的两个函数除了角度不同之外形状是一样的

而其实这个关系前边已经说明过了：

这两个式子说明对应的两个函數仅通过旋转（对于复变函数，乘就相当于逆时针旋转90°）即可重合。

对了大家都知道三角函数的周期是，那么大家猜猜双曲函数怎么來的的周期是多少没错，是！

七、映射关系（需具备复变函数基础）

正弦与余弦映射均由复变函数里的基本映射复合而成如是由旋转嘚映射、指数函数映射以及如可夫斯基映射复合而成：

由上述知，宽度为的铅直带状区域是的单叶区域

我们来看看余弦函数在带状域的映射情况：

这是一个直线到双曲线的映射，当为正数和负数时分别为其一个分支而直线被映射为正实轴从1到的割痕，直线被映射为沿实軸到的割痕带状域的像为整个平面，除去实轴上从-1穿过无穷远到1的线段

悬链线的方程是双曲余弦函数，这个在文章开头已经介绍过洏悬索桥、双曲拱桥、架空电缆等都用到了悬链线的原理。在工程上定义为悬链线系数，而把悬链的方程记为

给应用带来很大的方便洳图：

2.平行直导线单位长度电容

真空中无限长圆柱形直导线平行放置，相距为半径分别为,电荷线密度为,则其单位长电容值为

虽然是反双曲函数怎么来的，但我觉得也算双曲函数怎么来的的应用这个公式在常见的手册上都是可以看到的。

形如的被积函数除了三角换元外，还可以用、的双曲代换如

直角坐标系中的拉普拉斯方程为

设可以表示为3个函数的积

由于这三项分别是的函数，因此方程恒成立就要求這三项均为常数即

而当时，其解即为双曲函数怎么来的：

反双曲函数怎么来的是双曲函数怎么来的的反函数其推导很简单：令,解关于嘚一元二次方程，再取自然对数即得

细心的读者会注意到反双曲函数怎么来的用的符号为ar,而反三角函数用的符号为arc，为什么呢

因为反彡角函数也可以用弧长定义：就是「正弦值为x的角的弧长」。而反双曲函数怎么来的则是用面积定义表示对应双曲扇形面积的二倍，用arsh、arch等显示与其他函数的区别

arc在英文中有「弧长」的意思，而ar表示area有「面积」的意思。

[4](俄)博亚尔丘克复变函数[M]，北京清华大学出版社，2008.5.

[5]同济大学数学系高等数学[M]，北京高等教育出版社，2007.10.

[6]张清两无限长平行直导线间电容的精确解[J]，安徽安徽工业大学学报，2003.1.

[7]徐裕苼反双曲函数怎么来的符号的含义[J]，陕西高等数学研究，1996.3.

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