* 1. 有理式的不定积分 3-3 有理式的不定積分与有理化方法 有理函数: 时, 为假分式; 时, 为真分式 有理函数 相除 多项式 + 真分 式 分解 若干部分分式之和 其中部分分式的形式为 部分分式: 有理函数积分法 如果 有一个 重实根 , 则 的部分分式中一定包含下列形式的 项部分分式之和: 如果 中包含因子 时 , 则 的部分分式中一定包含下列形式的 項部分分式之和: 例如 将真分式 分解成部分分式. 四种典型部分分式的积分: 变分子为 再分项积分 而最后一个积分可以用上上一节例6中的递推公式. 说明: 递推公式 已知 利用递推公式可求得 例如, 例1 求 解 第一种方法: 待定系数法 可以用如下的方法求出待定系数. 上式通分后得 比较恒等式两端同次幂的系数，得一方程组： 从而解得 故有 于是 化简并约去两端的公因子 后为 得 例 2 求 第二种方法 (赋值法) 两端去分母,得 或 比较两端的各同佽幂的系数及常数项有 解之得 解 补例 解 例 3 求 解 即有 即 用递推公式求 或 总之,有理函数分解为多项式及部分分式之和以后,各个部分 都能积出,苴原函数都是初等函数.此外,由代数学知道,从理论上说 ,多项式Q(x)总可以在实数范围内分解成为一次因式及二次因式的 乘积,从而把有理函数 分解為多项式与部分分式之和.因此, 有理函数的原函数都是初等函数. 但是,用部分分式法求有理函数的积分,一般说来计算比较繁 ,只是在没有其它方法的情况下,才用此方法. 例4 求 解 补例 求 解 原式 注意本题技巧 按常规方法较繁 (1) 三角有理式： ——由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数．三角函数有理式可记为 2. 三角函数有理式的不定积分 (2) 三角有理式的积分法： 令 万能替换公式： 例 4 求 解 令

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