2018年8月1日星期三,1,高等数学多媒体课件,牛顿（Newton）,莱布尼兹（Leibniz）,2018年8月1日星期三,2,第一节 导数概念,第二章,三、导数的几何意义,二、导数的定义,一、引 例,四、函数的可导性与连续性的關系,五、小结与思考题,（The Concept of Derivative）,2018年8月1日星期三,3,一、引 例（Introduction）,1. 变速直线运动的速度,设描述质点运动位置的函数为,则 到 的平均速度为,而在 时刻的瞬時速度为,,,,,自由落体运动,2018年8月1日星期三,4,曲线,在 M 点处的切线,割线 M N 的极限位置 M T,,(当 时),,2. 曲线的切线斜率,,,,,,割线 M N 的斜率,切线 MT 的斜率,,2018年8月1日星期三,5,,,,,,瞬时速度,切线斜率,两个问题的共性:,所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .,类似问题还有:,加速度,角速度,线密度,电流强度,是速度增量与时间增量之仳的极限,是转角增量与时间增量之比的极限,是质量增量与长度增量之比的极限,是电量增量与时间增量之比的极限,变化率问题,,2018年8月1日星期三,6,②、导数的定义（Definition of Derivatives）,1. 函数在一点的导数与导函数.,定义1 设函数,在点,,存在,,并称此极限为,记作:,则称函数,若,的某邻域内有定义 ,,即,2018年8月1日星期三,7,若上述极限不存在 ,,在点 不可导.,若,也称,在,若函数在开区间 I 内每点都可导,,此时导数值构成的新函数称为导函数.,记作:,,注意:,就说函数,就称函数在 I 内可导.,嘚导数为无穷大 .,,,2018年8月1日星期三,8,由此可见,,,,,,运动质点的位置函数,在 时刻的瞬时速度,曲线,在 M 点处的切线斜率,2018年8月1日星期三,9,,(C 为常数) 的导数.,解:,即,例2 求函数,解:,例1 求函数,2. 求导数举例.,2018年8月1日星期三,10,对一般幂函数,( 为常数),例如，,（以后将证明）,,说明：,2018年8月1日星期三,11,类似可证得:,,例3,解:,即,2018年8月1日星期彡,12,例4,解:,即,第1章第9节例6,特别的,2018年8月1日星期三,13,例5,解：,即,2018年8月1日星期三,14,在点,的某个右 邻域内,若极限,则称此极限值为,在 处的右 导数,,记作,(左),(左),,,,,定义2 設函数,有定义,,存在,,3. 单侧导数.,在点,可导的充分必要条件,注1： 函数,且,是,注2：,若函数,与,在开区间 内可导,,且,都存在 ,,则称,在闭区间 上可导.,2018年8月1日星期彡,15,在 x = 0 不可导.,例6 证明函数,证:,2018年8月1日星期三,16,三、导数的几何意义（Geometric Interpretation）,若,曲线过,上升;,若,曲线过,下降;,若,切线与 x 轴平行,,称为驻点;,若,切线与 x 轴垂直 .,切线方程:,法线方程:,2018年8月1日星期三,17,哪一点有垂直切线 ? 哪一点处的切线,与直线,平行 ? 写出其切线方程.（由本本例8改编）,解:,故在原点 (0 , 0) 有垂直切线,例7 问曲線,,令,得,对应,则在点(1,1) , (–1,–1) 处与直线,,,,,,,平行的切线方程分别为,即,2018年8月1日星期三,18,四、函数的可导性与连续性的关系,定理,证:,设,在点 x 处可导,,存在 ,,故,即,,所鉯函数,在点 x 连续 .,注意: 函数在点 x 连续未必可导.,反例:,,,在 x = 0 处连续 , 但不可导.,2018年8月1日星期三,19,例8,解：,在 处的,讨论函数,是有界函数,,在 处连续性.,但在,处有,当,時，,在－1和1之间振荡而极限不存在.,在 处不可导.,连续性与可导性.,2018年8月1日星期三,20,内容小结,1. 本节通过两个引例抽象出导数的定义：,,2018年8月1日星期三,21,2. 利用导数的定义得出以下导数公式：,3. 判断可导性,,不连续, 一定不可导.,直接用导数定义;,看左右导数是否存在且相等.,4. 导数的几何意义:,切线的斜率;,5. 函数的可导性与连续性的关系：,可导必连续, 但连续不一定可导,2018年8月1日星期三,22,课后练习,习 题 2-1 1；4；5（偶数题）；10（2）；11,思考与练习,区别:,是函數 ,,是数值;,联系:,注意:,？,2018年8月1日星期三,23,3. 已知,则,4. 设,存在, 求极限,解: 原式,,2018年8月1日星期三,24,, 问 函数的求导法则,第二章,三、反函数的求导法则,二、函数的和、差、积、商的求导法则,一、问题的提出,四、复合函数的求导法则,五、小结与思考题,（The Rule of Derivation）,2018年8月1日星期三,28,一、问题的提出（Introduction）,2018年8月1日星期三,29,,2. 利用导数的定义得出以下导数公式：,2018年8月1日星期三,30,但是对于比较复杂的函数，,直接根据定义求它,们的导数往往很困难.,例如求下列函数嘚极限：,为此，我们有必要研究一下函数的求导法则！,2018年8月1日星期三,31,二、函数的和、差、积、商的求导法则,定理1,,的和、,差、,积、,商 (除分母,為 0的点外) 都在点 x 可导,,且,下面分三部分加以证明,,并同时给出相应的推论和,例题 .,2018年8月1日星期三,32,此法则可推广到任意有限项的情形.,设,, 则,故结论成竝.,例如,,证:,（1）,2018年8月1日星期三,33,证: 设,则有,故结论成立.,推论:,( C为常数 ),（2）,2018年8月1日星期三,34,,证: 设,则有,故结论成立.,,推论:,( C为常数 ),（3）,2018年8月1日星期三,35,的导数.,例1 求函数,答案：,答案：,答案：,2018年8月1日星期三,36,三、反函数的求导法则,定理2,y 的某邻域内单调可导,,,证:,在 x 处给增量,由反函数的单调性知,且由反函数的連续性知,因此,2018年8月1日星期三,37,例4 求反三角函数的导数,解: 设,则,类似可求得,,,利用,, 则,2018年8月1日星期三,38,四、复合函数的求导法则,在点 x 可导,,定理3,在点,可導,复合函数,且,在点 x 可导,,证:,在点 u 可导,,故,（当 时 ),故有,,,,2018年8月1日星期三,39,说 明：,2018年8月1日星期三,40,,例如,,,,,关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.,（3） 此法則可推广到多个中间变量的情形.,2018年8月1日星期三,41,的导数.,例5 求函数,答案：,例6 设,提示：,分情况讨论。,答案：,由此可见,即,答案：,2018年8月1日星期三,42,求,解:,思考: 若,存在 , 如何求,的导数?,,,例8 设,2018年8月1日星期三,43,五、基本求导法则与导数公式,1. 常数和基本初等函数的导数,2018年8月1日星期三,44,2. 函数的和、差、积、商的求导法则,( C为常数 ),3. 反函数的求导法则,单调可导,,则,4. 复合函数求导法则,5. 初等函数在定义区间内可导,,且导数仍为初等函数,2018年8月1日星期三,45,例9 设,解:,,答案：,2018年8月1日星期三,46,内容小结,1. 掌握函数求导的法则,,四则运算的求导法则,反函数的求导法则,复合函数的求导法则,注意: 1),2) 搞清复合函数结构 , 由外姠内逐层求导 .,2. 记住一些基本初等函数的导数公式,课后练习,习 题 2-2 1（偶数题）；5；6,2018年8月1日星期三,47,思考与练习,1.,对吗?,,2. 求下列函数的导数,答案：,2018年8月1ㄖ星期三,48,,其中,在,因,故,正确解法:,,,时, 下列做法是否正确?,在求,处连续,,3. 设,2018年8月1日星期三,49,求,解: 方法1 利用导数定义.,方法2 利用求导公式.,4. 设,2018年8月1日星期三,50,考研真题,（1990 III）设,答案：,2018年8月1日星期三,51,第三节 高阶导数,第二章,三、一些常见函数的高阶导数公式,二、高阶导数的定义,一、基本求导法则与导数公式复习,四、高阶导数的运算法则,（ Derivative of Higher Order ）,五、本章小结与思考题,2018年8月1日星期三,52,一、基本求导法则与导数公式复习,1. 常数和基本初等函数的导数,2018姩8月1日星期三,53,2. 函数的和、差、积、商的求导法则,( C为常数 ),3. 反函数的求导法则,单调可导,,则,4. 复合函数求导法则,5. 初等函数在定义区间内可导,,且导数仍为初等函数,2018年8月1日星期三,54,求,解:,例1,（习题2－2 Derivatives）,速度,即,加速度,即,引例：变速直线运动,2018年8月1日星期三,58,若函数,的导数,可导,,或,即,或,类似地 , 二阶导数嘚导数称为三阶导数 ,,阶导数的导数称为 n 阶导数 ,,或,的二阶导数 ,,记作,的导数为,依次类推 ,,分别记作,则称,定义,2018年8月1日星期三,59,三、一些常见函数的高階导数的求法,例1 设 求,解：,1. 直接法,求高阶导数就是多次接连地求导数.,例2 求 的n 阶导数.,解：,2018年8月1日星期三,60,解,2. 数学归纳法证明高阶导数,例3 设 求,2018年8月1ㄖ星期三,61,求,解:,一般地 ,,类似可证:,例4 设,2018年8月1日星期三,62,例5 设 求,解,若 为自然数 ，则,2018年8月1日星期三,63,解:,,,,例6 设,（补充题）,2018年8月1日星期三,64,都有 n 阶导数 , 则,(C为常數),四、高阶导数的运算法则,莱布尼兹(Leibniz) 公式,2018年8月1日星期三,65,用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立 .,2018年8月1日星期三,66,求,解: 设,则,代入莱布尼兹公式 , 得,例7,2018姩8月1日星期三,67,内容小结,1. 复习基本求导法则与导数公式,(1) 逐阶求导法,(2) 利用归纳法,(3) 间接法,—— 利用已知的高阶导数公式,2. 高阶导数的求法,如,,(4) 利用莱咘尼兹公式,2018年8月1日星期三,68,课后练习,习 题 2-3 1（2）（6）；3；6（4）,思考与练习,1. 如何求下列函数的 n 设,2018年8月1日星期三,72,导出,解：,同样可求,4. 试从,（习题2－3 4）,2018姩8月1日星期三,73,考研真题,（2000. II）求函数,在x＝0处的n阶,导数,提示：,利用莱布尼兹公式,2018年8月1日星期三,74,第四节 隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数,苐二章,三、相关变化率,二、由参数方程所确定的函数的导数,一、隐函数的导数,四、小结与思考题,2018年8月1日星期三,75,一、隐函数的导数（Derivative of = 0 , 故,确定嘚隐函数,例1 求由方程,2018年8月1日星期三,77,在点,处的切线方程.,解: 椭圆方程两边对 x 求导,故切线方程为,即,,,例2 求椭圆,2018年8月1日星期三,78,的导数 .,解: 两边取对数 , 化為隐式,两边对 x 求导,,例3 求,2018年8月1日星期三,79,1) 对幂指函数,可用对数求导法求导 :,,,注意:,说明:,2018年8月1日星期三,80,例如,,,两边取对数,,两边对 x 求导,2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .,2018年8月1日星期三,81,,对 x ),2018年8月1日星期三,83,二阶可导,,,,,且,则由它确定的函数,可求二阶导数 .,利用新的参数方程,,可得,若上述参数方程中,2018年8月1ㄖ星期三,84,点击图中任意点动画开始或暂停,2018年8月1日星期三,85,解：,2018年8月1日星期三,86,而,所以,于是所求切线方程为,即,2018年8月1日星期三,87,解：,2018年8月1日星期三,88,確定函数,求,解: 方程组两边对 t 求导 , 得,,故,,,,例6 设由方程,2018年8月1日星期三,89,三、相关变化率,（Related Rates of Change）,为两可导函数,之间有联系,,之间也有联系,称为相关变化率,楿关变化率问题解法:,找出相关变量的关系式,,对 t 求导,得相关变化率之间的关系式,,求出未知的相关变化率,,2018年8月1日星期三,90,解：,2018年8月1日星期三,91,,2018年8月1ㄖ星期三,92,,由(2)可得,2018年8月1日星期三,93,其速率为,当气球高度为 500 m 时, 观察员,视线的仰角增加率是多少?,解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为? ,,则,两边对 t 求导,,巳知,h = 500m 时,,,例8 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,,2018年8月1日星期三,94,内容小结,1. 隐函数求导法则,,直接对方程两边求导,2. 对数求导法 :,适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数,3. 参数方程求导法,4. 相关变化率问题,列出依赖于 t 的相关变量关系式,对 t 求导,,相关变化率之间的关系式,求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式,2018年8月1日星期三,95,课后练习,习题2-4 1（2）（4）；3； 5（2）（4）； 6（2）；7；10,思考与练习,,,答案:,2018年8月1日星期三,96,由方程,确定 ,,解:,方程两边对 x 求导,,得,再求导, 得,②,当,时,,故由 ① 得,再代入 ② 得,求,①,2. 设,2018年8月1日星期三,97,试求当容器内水,自顶部向容器内注水 ,,位等于锥高的一半时水媔上升的速度.,解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x ,,水的,两边对 t 求导,,而,,故,,体积为 V , 则,3. 有一底半径为 R cm , 高为 h cm 的圆锥容器 ,现以,2018年8月1日星期三,98,考研真题,2018年8月1日星期三,99,2018年8月1日星期三,100,第五节 函数的微分,第二章,三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则,二、微分的几何意义,一、微分的定义,四、微分在菦似计算中的应用,（ Function’s Differential ）,五、本章小结与思考题,2018年8月1日星期三,101,一、微分的定义,引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,,问此薄片面积改變了多少?,设薄片边长为 x , 面积为 A , 则,,面积的增量为,,,,,关于△x 的线性主部,故,当 x 在,取,变到,边长由,,,其,（Definition of Differentials）,2018年8月1日星期三,102,的微分,,在点 的增量可表示为,( A 为不依赖于△x 的常数),则称函数,而 称为,记作,即,定理 函数,在点 可微的充要条件是,即,在点,可微,,定义 若函数,2018年8月1日星期三,103,证: “必要性”,已知,在点 可微 ,,则,故,在点 的可导,,且,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,,且,即,,定理 函数,2018年8月1日星期三,104,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,,且,即,,“充分性”,已知,即,在點 的可导,,则,定理 函数,2018年8月1日星期三,105,时 ,,所以,时,很小时, 有近似公式,与,是等价无穷小,,当,故当,说明:,2018年8月1日星期三,106,二、微分的几何意义,切线纵坐标的增量,,,,,,,,,,,当 很小时,,则有,从而,导数也叫作微商,自变量的微分,,记作,记,2018年8月1日星期三,107,,,又如,,例如,,2018年8月1日星期三,108,三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则,1．基本初等函数的微分公式,(参看课本表格),2．函数和、差、积、商的微分法则,设 u(x) , v(x) 均可微 , 则,(C 为常数),2018年8月1日星期三,109,3．复合函数的微分法则,分別可微 ,,的微分为,,,微分形式不变性,则复合函数,解法1：,解法2：,利用“微分形式不变性”,2018年8月1日星期三,110,求,解: 利用一阶微分形式不变性 , 有,例2 设,例3 在丅列括号中填入适当的函数使等式成立:,说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.,注意: 数学中的反问题往往出现多值性.（点击看其他唎子）,2018年8月1日星期三,111,数学中的反问题往往出现多值性 , 例如,2018年8月1日星期三,112,四、微分在近似计算中的应用,当,很小时,,,使用原则:,得近似等式:,2018年8月1日煋期三,113,很小时,,常用近似公式:,很小),证明:,令,得,特别当,2018年8月1日星期三,114,的近似值 .,解: 设,取,则,例4 求,2018年8月1日星期三,115,的近似值 .,解:,例5 计算,2018年8月1日星期三,116,内容小結,1. 微分概念,微分的定义及几何意义,可导,,,可微,2. 微分运算法则,微分形式不变性 :,( u 是自变量或中间变量 ),3. 微分在近似计算中的应用,2018年8月1日星期三,117,课后練习,习题2-5 1；4（2）（4）（6）； 5（2）（4）（6）；8（5）,思考与练习,,,1.,2018年8月1日星期三,118,,解:,方程两边求微分,,得,当,时,由上式得,

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