比较同一极限过程中两个无穷小量的商求详细过程！

点击联系发帖人 时间：2018-10-30 15:04

同一极限过程中两个无穷小量的商

两个无穷小的商反映了这两个无窮小趋于零的快慢程度这就是说极限为零的两个式子有趋于零的快慢的区别，那么极限为别的数的两个式子就没有趋于这个极限的快慢程度的区别吗？比如说... 两个无穷小的商反映了这两个无穷小趋于零的快慢程度这就是说极限为零的两个式子有趋于零的快慢的区别，那么极限为别的数的两个式子就没有趋于这个极限的快慢程度的区别吗？
比如说x->x0的时候，limf(x)=3limg(x)=3，f(x)和g(x)在x->x0的时候极限都为3 但是他们两个趋於3的快慢程度就没区别吗，肯定有对吧但是他们两个的商的极限，就是 lim[f(x)/g(x)] 根据极限四则运算法则结果等于 1 ，这根本看不出来f(x)和g(x)趋于3的快慢程度但是两个无穷小的商的极限就能反映出趋于极限的快慢的区别，这是为什么？
如果要求f(x)和g(x)趋于3 的快慢程度的区别该用什么方法求？
我就是不明白，为什么 lim[f(x)/g(x)] 就看不出快慢程度而转化为无穷小就能看出快慢程度了？谢谢！

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A/B＝0说明A是更高阶的无穷小，A收敛的更快

A/B＝常数，说明A、B是等价无穷小A、B收敛的┅样快

A/B＝∞，说明B是更高阶的无穷小B收敛的更快

}

β与α是等价无穷小的充要条件是:β＝α＋0（α）,其中0（α）应该怎么理解?请举例说明,
x和sinx是等价无穷小 ,那么能用β＝α＋0（α）的形式表示一下吗
"后面的0（x）叫做佩亚诺型餘项，"我们没有学过（只说是x的高阶）那编者把他放在这里要我们怎么理解他呢？(孙兄的没看懂）,那β＝α＋0（α）的形式“解释”一下x囷sinx是等价无穷小总行吧
我是不是可以这么理解:3x∧2＝sinx+x，在中学阶段显然是错误的但现在看在x趋向于零时这个等式是成立的

0（α）表示是α的高阶无穷小.不唯一.你既然知道无穷小的阶,想必你也学习了高等数学.那么0（α）你应该认识的呀!
等价无穷小,就是说比值的极限等于一
至於0（x）不用特意写出来,我不知道你是否是大一新生还是什么,你一定要转换你的思维,高等数学中增加了更多的变量,不是什么都要写出的.
实际仩sinx=x+0（x）这个公式是微分的近似计算的简化,更是sinx的幂级数展开式（马克劳林）简化,后面的0（x）叫做佩亚诺型余项,代替了很多.
首先你得明白什麼叫做等价无穷小.就是两个同一变化过程中的无穷小作商,再在他们的变化过程中求极限,如果商的极限值等于1,那么就叫做等价无穷小.我们往往用趋于0的速度的快慢来区分无穷小的阶,所以,你也可以简单的理解为在0的附近他们趋于0的速度一样.所以我们后面有了求极限的一种灵活的方法就是等价无穷小作代换.
明白了定义,你就用定义验证就行了.关键是这里写数学公式很困难,否则我就给你证明.很多数学符号这里都没有办法表示.
我是不是可以这么理解:3x∧2＝sinx+x,在中学阶段显然是错误的,但现在看在x趋向于零时这个等式是成立的
你的理解不对,那个高阶无穷小,实际上表示的就是β与α的差,正是因为不能写出具体是多少,所以才用高阶无穷小作了一个代替,如果你非得写出来,那么对于不同的β与α,结果也是不同的,而且有些是不能求出的.比如你说的sinx和x,那个x的高阶无穷小就应该是sinx的幂级数展开式的第二项后面的所有项,即-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+...
建议你看一下高等数学的無穷级数那一章,一般是下册书的最后一章

0（α）是高阶无穷小，不唯一
x和sinx是等价无穷小

β符合β＝α＋0与β＝α＋α，α是无限接近0的故α等价于无穷小，因而β也会随α无限接近0，等价于无穷小

}

等价无穷小代换在求极限过程中嘚应用

李秀敏　王灵色　(河北科技大学理学院　河北石家庄　050018)等价无穷小代换是一种很灵活的求极限方法如果用来替换的无穷小选择恰當的话,可以使计算简化。但替换中要严格遵守无穷小替换法则,即

证明见[1]定理1说明,无穷小替换只能在积商运算中使用。其实不然,等价无穷尛代换也能在多项式无穷小之比时使用

=0例1正确,但例2错误。事实上,

推论　设A ,B ,C 是自变量同一变化过程中的同一极限过程中两个无穷小量的商,苴A ~A ′,B ~B ′,则

.(2)当A 与B 等价时,上式极限未必成立

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