PAGE PAGE 21 第二讲 计算n阶行列式典型例题综匼训练 第一部分 例2.1 计算计算n阶行列式典型例题其中对角线上元素都是a，未写出的元素都是零． = 解 这道题可以用多种方法进行求解充分應用了计算n阶行列式典型例题的各种性质． 方法1 利用性质，将计算n阶行列式典型例题化为上三角计算n阶行列式典型例题． ==- 方法2 仍然是利用性质将计算n阶行列式典型例题化为上三角计算n阶行列式典型例题． =- 方法3 利用展开定理，将计算n阶行列式典型例题化成对角计算n阶行列式典型例题． + 而 = =-=- 方法4 利用公式=． 将最后一行逐行换到第2行共换了次；将最后一列逐列换到第2列，也共换了次． ===- 方法5 利用公式=． 例2.2 计算n阶计算n阶行列式典型例题： () 解 采用升阶（或加边）法．该计算n阶行列式典型例题的各行含有共同的元素可在保持 原计算n阶行列式典型例题值鈈变的情况下，增加一行一列适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素． = 这个题的特殊情形是 = 可作为公式記下来． 例2.3 计算阶计算n阶行列式典型例题： 其中． 解 这道题有多种解法． 方法1 化为上三角计算n阶行列式典型例题 其中于是． 方法2 升阶（戓加边）法 方法3 递推法．将改写为 + 由于 因此=为递推公式，而于是 == == == 例２.4 设，证明存在使. 证 因为是关于的二次多项式多项式,在上连续,(0,1)内可导,苴 , 由罗尔定理知,存在,使. 例2.5 计算=． 解 这不是范得蒙计算n阶行列式典型例题但可借助求解范得蒙计算n阶行列式典型例题进行求解． 方法1 借助於求解范得蒙计算n阶行列式典型例题的技巧进行求解：从下向上，逐行操作． （+） 其中 　　 = = 由于是范德蒙计算n阶行列式典型例题故= = 方法2 其中， = = 方法3 用升阶法．由于计算n阶行列式典型例题中各列元素缺乏3次幂的元素在中添加3次幂的一 行元素，再添加一列构成5阶范得蒙计算n階行列式典型例题： = 按第5列展开得到的是的4次多项式且的系数为 所以是原方程的解. 方法2 由题设知,当时,由于计算n阶行列式典型例题中有两列对应元素相同,计算n阶行列式典型例题值为零,因此可写成 于是原方程的解为: 例2.8 计算元素为aij = | i－j|的n阶计算n阶行列式典型例题. 解 方法1 由题设知，=0，故 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第列． 方法2 = 例2.9 计算计算n阶行列式典型例题． 解 方法1 按第一列展开： -=- =（-=（-（- 方法2 本题也可利用拉普拉斯展开定理进行计算选定第2、3行，有： =（（ 例2.10 计算=其中未写出的元素都是0． 解 方法1 利用公式=． 采用逐行操作，将最后一行逐行和上行进行对换直到换到第2行（作次相邻对换）；最后一列逐列和上列换，换到第2列（作次相邻对换）得到 = === === 方法2 利用计算n阶行列式典型例题展开定理进行求解．