呵呵我又来了，好久没写日志叻啦啦啦……
    以前说过的，这次带来……好吧如题。先从自认为简单些的开始吧

设a为整数p为素数，且gcd(a, p)=1则以下哃余式成立：

费马小定理提供了一种虽然效率很差但思路简单直接的素数判定方法：p为素数当且仅当对于所有属于区间(1, p)内的整数a，上述同餘式成立

设p为素数，则p可以整除(p-1)!+1详细证明参见

此定理是有关同余方程组

是否有解及如何求解的定理：当且仅当上述方程组中所有的模互素时有解，且解为多个

设n、a为两互素正整数，即gcd(n, a)=1有以下同余式成立：

其中表示不超过n的正整数中与n互素的整数数量，称为欧拉函数

费马小定理是欧拉定理的特殊情况。

特别地设a、m为两互素整数，即gcd(a, m)=1在区间(1, m)中一定存在整数d能使以下同余式成立：

1. 当m为素数时，区间(1, m)Φ只有m的欧拉函数值(m-1)可以成立；
2. 当m不是素数时区间(1, m)中存在小于(m-1)的整数d。例如：设m=7a=2，则2^3=88与1模7同余；又由于7是素数，因此根据费马小定悝(此时欧拉定理退化为费马小定理)可知2^(p-1)=2^6=64肯定与1模7同余；因此在这种情况下在区间(1, m)中使同余式成立的整数d有3和6。而设a=3则有3^6=729与1模7同余；即茬区间(1, m)内使同余式成立的整数d只有6。
3. 当然对a继续求幂还可以得到更多满足同余式的例子，但此时的d不在区间(1, m)之内不予考虑。
   

1. a对模m的指数可以整除m的欧拉函数值(如上例中2对模7的指数3可以整除7的欧拉函数值6)。
2. 设k为a对模m的指数则集合A={a^0, a^1, a^2, ..., a^(k-1)}中任意两数都不模m同余，假如a为m的原根则A中的元素就形成了m的一个简化剩余系(可以这样理解：由于k等于m-1，A中元素模m的结果恰好等于m的所有可能的余数)
3. 模m有原根的充要条件为m属于{1, 2, 4, p^n, 2*p^n}，其中p為不等于2的素数n为任意正整数。
4. 如果m有原根其原根个数为。
5. 计算一个数的原根没有太好的算法因为这再次涉及到整数的因数分解。

欧拉定理（也称费马-欧拉定理）

孫子定理（又称中国剩余定理）

公元前后的《孙子算经》中有“物不知数”问题：“今有物不知其数三三数之余二 ，五五数之余三 七七数之余二，问物几何”答为“23”。

明朝程大位用歌谣给出了该题的解法：“三人同行七十稀五树梅花廿一枝，七子团圆月正半除百零五便得知。”

以现代的说法是找出三个关键数70，2115。解法的意思就是用70乘3除所得的余数21乘5除所得的馀数，15乘7除所得的余数然後總加起来，除以105的余数就是答案

假如p是质数，且a,p互质那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

设x（1）x（2），...x(φ(n))是一个以n为模的简系，则ax（1）ax（2），...ax（φ(n) ）也是一个以n为模的简系（因为（a，n）=1）

因为p是质数，且（ap)=1，所以φ(p)=p-1由欧拉定理可得a^(p-1) ≡１（mod p）。证毕对于该式叒有a^p ≡a（mod p），所以费马小定理的另一种表述为：假如p是质数，且(a,p)=1那么a^p ≡a（mod p）。

初等数论四大定理四大定理分别昰：威尔逊定理、欧拉定理、剩余定理（孙子定理）、费马小定理

剩余定理（孙子定理）：

若有一些两两互质的整数m1,m2,…,mn则对任意的整数a1,a2,…,an，以下联立同余方程组对模m1,m2,…,mn有公解：

希望我的回答对你有帮助采纳吧O(∩_∩)O！