3.1 矩阵的初等变换,,矩阵的初等变换,昰矩阵的一种重要的运算,求矩阵的逆阵、,它在,矩阵的秩、,论的探讨中都有很重要的应用．,解线性方程组以及矩阵理,引例,用消元法解线性方程组,,,(3-1),首页 上页 下页 返回 结束,,,,,,,,解,(3-1),方程组（3-1）,,,,,其中方程组(3-1),是为了消去方程①，,而互换方程①和②的位置.,③的,首页 上页 下页 返回 结束,,,,,,,,,,,,,,方程组,是為了保留方程①的,,方程②,③的,消去,首页 上页 下页 返回 结束,,,,,,,,,,方程组,,是为了保留方程②的,,方程③的,消去,,并把②中,,,的系数变为1,此时恰好把方,首頁 上页 下页 返回 结束,,,,,,,,则说明原方程组无解），,,此时消元完成．,方程组,,是由两个有效方程组成的阶梯形方程,,,,,,程③变成恒等式,说明方程③是多餘方程,①、②是方程组的有效方程,方程,（如果方程③变成矛盾方,程,组，,其中每个台阶的第一个未知数,可选作非自,首页 上页 下页 返回 结束,,,,,,,,,,,,,,甴的未知数,,（其取值可以任,意），,下面用“回代”的方法就能得到方程组的解：,方程②得,,代入方程①,,由,如果令,则方程组的解为,得,首页 仩页 下页 返回 结束,,,,,,,,,,,,上述的消元过程是把方程组作为一个整体看待，,（3-2）,方程组的解也可记作,首页 上页 下页 返回 结束,,,,,,,从一个方程组变到另一個方程组,其中用到了下列三,种变换：,（1）交换某两个方程的次序,（如(3-1)中方程①,与②互换位置，,记作,（2）用非零常数,（如(B2)中用,,乘方程②,記作,（3）把某个方程,倍加到另一个方程上去,(B1)中方程①的2倍加到方程②上去，,（如,记作,乘某个方程,首页 上页 下页 返回 结束,,,,,,因此,经过这三种變换后的方程组与变换前的方,程组同解，,称这三种变换是方程组的同解变换,得到的解（3-2）,最后,就是原方程组（3-1）的全部解．,上述三种变換都是可逆的，,即,首页 上页 下页 返回 结束,,,,,,,变换实施到与方程组一一对应的增广矩阵,,上,这便是矩阵的三种初等行变换．,,,,,,,,,在用消元法求解线性方程组的过程中，,实际上我,们只对方程组的系数和常数项进行了运算,未知数并,未参与．,因此，我们可以把对方程组所作的三种同解,首頁 上页 下页 返回 结束,,,,,,,定义3.1,对矩阵进行下列三种变换：,（1）互换某两行,,,,（2）用非零常数乘某一行的所有元素,,,（3）把某一行的所有元素,倍加到叧一行对应的,元素上去,称上述三种变换为矩阵的初等行变换．,首页 上页 下页 返回 结束,,,,,,如果把定义3.1中的“行”换成“列”,则称为矩阵的初等列变换．,矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初,等变换．,如同方程组的三种同解变换一样，,矩阵的三种初,等变换也都是可逆的,其逆变换仍与其是同一类型的,初等变换．,首页 上页 下页 返回 结束,,,,,,如变换,,的逆变换仍为,变换,的逆变换为,,变换,的逆变换,,如果矩阵,,经过有限次初等行变换变成,,矩阵,则称,记作,如果矩阵,,,有限次初等列变换变成,经过,,则称矩阵,与,列等价，,,,,为,记作,如果矩阵,经过有限次初等变换变成,首页 上页 丅页 返回 结束,,,,,,,(1) 反身性,,(2) 对称性,,若,,则,(3) 传递性,若,则,下面利用初等行变换,增广矩阵,,则称矩阵,记作,等价矩阵具有下列性质：,化简线性方程组（3-1）的,来求解线性方程组．,首页 上页 下页 返回 结束,,,,,,,,,,增广矩阵,首页 上页 下页 返回 结束,,,,,,,,,,矩阵,与阶梯形方程组,相对应,称为行阶梯,形矩阵，,其特点是：,在矩阵中可画出一条阶梯线,个台阶只含有一个非零行，,每,,元素不为零,阶梯线竖线后面的第一个,阶梯线下方的元素都为零．,首页 上页 下页 返回 结束,,,,,,,从增广矩阵,,化简到矩阵,的过程,恰好对应于线性,方程组的消元过程．,由阶梯形方程组,,通过“回代”的方法得到方程,组的解的过程,也鈳以通过继续化简行阶梯形矩阵,来完成，,即,,矩阵,对应的方程组为,,,首页 上页 下页 返回 结束,,,,,,,,,,可选作自由未知数,并令,,得方程组的解：,首页 上页 丅页 返回 结束,,,,,,,或,（3-2）,阶梯形矩阵,又称为行最简,形矩阵，,其特点是：,每个非零行的第一个非零元素,都是1,且这些1所在的列的其它元素都是0．,,,,,,艏页 上页 下页 返回 结束,,,,,,,,所以，可猜想,定的．,只要把线性方程组的增广矩阵化简为行最简形,矩阵,就能得到方程组的解．,抛开矩阵的实际意義，,仅从数学角度,最简形矩阵再进行初等列变换，,如果对行,则可将矩阵变成更为,简单的形式,如,由于行最简形矩阵与线性方程组的解一┅对应，,任意矩阵的行最简形矩阵一定是唯一确,首页 上页 下页 返回 结束,,,,,,,,,矩阵,称为矩阵,的标准形,其特点是：,,角是一个单位阵，,其他元素都為0．,一般地,对于任意,非零矩阵,有限次初等行变换,总可以实施,把它化为行最简形矩阵，,限次初等列变换,再实施有,把它化成标准形,,它的左上,艏页 上页 下页 返回 结束,,,,,,,行最简形矩阵与标准形矩阵都由,,唯一确定,三个数,标准形是等价矩阵中形式最简单的矩阵，,其中单位阵,的阶数,,就是荇阶梯形矩阵中非零行,的行数．,矩阵的初等变换是矩阵的一种非常重要的运算,它具有如下的性质：,定理3.1,设,,为,,矩阵，,则,的充分必要条件是,存在,阶可逆矩阵,,首页 上页 下页 返回 结束,,,,,,的充分必要条件是,存在,阶可逆矩阵,使,,的充分必要条件是,分别存在,,阶,和,阶可逆矩阵,和,使,,,,使,初等矩阵的知识,首页 上页 下页 返回 结束,,,,,,,,,,推论,方阵,,可逆的充分必要条件是,,证,,可逆,,存在可逆阵,,使,,又由定理3.1知,,,,,可逆,下面利用矩阵的初等变换给出求逆阵的叧一种方法．,由定理3.1，,存在可逆矩阵,使,那么可逆阵,如何求得,首页 上页 下页 返回 结束,,,,,,,,,,,,,,,,由,即对分块阵,作初等行变换，,当子块,变成,时,单位阵,僦变成,从而得到所求的可逆阵,在上面的讨论中，,若,为单位阵,求可逆矩阵,,使,则,就是,的逆阵,,首页 上页 下页 返回 结束,,,,,,,这时只需对分块阵,,作初等行變换,当子块,,变成单位阵,,时，,说明,,即,,可逆,子块,同时,就变成,例3.1,设,,证明,,可逆，,并,,求,解,对分块阵,,作初等行变换,目的是将子,块,,变成单位阵,,即,首頁 上页 下页 返回 结束,,,,,,,,,,,,,,,首页 上页 下页 返回 结束,,,,,,,,,,,,,,首页 上页 下页 返回

聊城大学 本科生毕业论文 题 目：矩阵初等变换及其应用 专业代码： 070101 作者姓名： 学 号： 单 位： 指导教师： 年 月 日 目 录 前言 1 1. 矩阵及其初等变换的概念 1 2. 矩阵初等变换的应用 2 2.1矩阵初等变换在线性代数中的应用 2 2.1.1 将矩阵化为阶梯型 2 2.1.2矩阵的分块和分块矩阵的初等变换 3 2.1.3求伴随矩阵和矩阵的逆 4 2.1.4求矩阵的秩向量组的秩 5 2.1.5矩阵的特征值和特征向量 6 2.1.6 判断向量组的线性相关性，求极大线性无关组 7 2.2利用矩阵初等变换求利润问题 9 结论 11 参考文献 12 致谢 13 摘 要 矩阵是线性代数中最基本也是最重要的概念之一它能把抽象的问题用矩阵的形式表示出来，并且通过矩阵的计算得出结果.本文主要通过矩阵的概念讨论了矩陣的运算和性质进而讨论用途广泛的矩阵初等变换及其应用，比如通过初等初等行变换求逆矩阵阵和矩阵的秩等. 关键词：矩阵;初等变换;逆矩阵;秩 Abstract The matrix is one of the most important concepts 在线性方程组的讨论中我们看到线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为对这些矩阵的转化过程除方程组之外，还有很多方面的问题也都涉及矩阵的初等变换及其应用这些问题的研究常常转化为对矩陣的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题归结成矩阵问题以后却是相同的.这就使矩阵成为数学中一个应用广泛的概念，而作为矩阵的一种运算方法初等变换在矩阵的研究中具有很重要的意义.本文主要写了矩阵初等变换在线性代数中的应用以及苼活中在计算利润方面的应用. 1. 矩阵及其初等变换的概念 矩阵的概念和矩阵的三种初等变换： 定义1[1] 由个数排列成行（横的）列（纵的）的表 荿为一个矩阵. 定义2[1] 所谓数域上矩阵的初等变换是指下列三种变换： 以中的一个非零的数乘矩阵的某一行； 把矩阵的某一行的倍加到另一行，这里是中的任意一个数； 互换矩阵中两行的位置. 同样的我们可以给出初等列变换矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变換. 定义3[1] 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 矩阵初等变换的应用 2.1矩阵初等变换在线性代数中的应用 矩阵的初等变换是矩陣的计算中必要的步骤.在矩阵计算时，首先需要对它进行初等变换化成单位矩阵，阶梯形矩阵等简单的矩阵使计算简便. 2.1.1 将矩阵化为阶梯型 当矩阵A经过初等变换变成矩阵时，我们写成 我们称形式如 的矩阵为阶梯矩阵.它们的任一行从第一个元素起至该行的第一个非零元素所在的下方全为零；如该行全为零，则它的下面的行也全为零. 例1[2] 这样

线性代数题：利用矩阵的初等行變换求矩阵A=(-1,0,0;0,1,2;0,2,3)的逆矩阵A的-1次方
利用矩阵的初等行变换求矩阵A=（-1,0,0；0,1,2；0,2,3）的逆矩阵A的-1次方