第三章 多维随机变量及其分布

第三章 多维随机变量及其分布1 二维随机变量教学目的掌握多维随机变量的概念，掌握二维随机变量的分布函数及其性质．掌握离散型二维随机变量及其联合分布，掌握连续型二维随机变量的联合分布.教学重点多维随机变量的定义，二维随机变量的分布函数及其性质．离散型二维随机变量及其联合概率分布，连续型二维随机变量的概念与联合分布.教学难点正确理解多维随机变量、其分布函数及联合分布．教学内容1、多维随机变量的定义 ,,21nX?时，二维随机变量记为 ,Y 2n?2、二维随机变量的分布函数定义 设 是二维随机变量,对任意实数 ,二元函数YXyx},{}{}{, yYXPYxPyxF???记 为?称为二维随机变量 的分布函数或称为随机变量 和 的联合分布函数.,Y3、二维随机变量分布函数的性质（1） 0,1xy?（2） ,0,,0,,1,FF??????????（3） 关于变量 和 分别为不减函数．,xyxy（4） 关于变量 和 分别为右连续函数．（5） ，有1212,xy??212211,,,,0FxyFxy???4、定义 如果二维随机变量 全部可能取到的值是有限对或可列无限对,则称YX为二维离散型随机变量.,YX易知, 为二维离散型随机变量当且仅当 均为一维离散型随机变量., Y,定义 设二维离散型随机变量 所有可能的取值为 则称,YX,jiyx,21??,21,},{???jipyxPijji为二维离散型随机变量 的分布律也称概率分布,或 的联合分布律.,YYX与5、定义 设 为二维随机变量, 为其分布函数,若存在一个非负可积的二XyxF元函数 ,使对任意实数 ,有yxf yx,????xydtsfF,则称 为二维连续型随机变量,并称 为 的概率密度函数,或 边缘分布教学目的掌握离散型及连续型二维随机变量的边缘分布，会求边缘分布．教学重点离散型及连续型二维随机变量的边缘分布．教学难点正确理解边缘分布．教学内容1、边缘分布函数可以由 的分布函数 所确定,,YXyxF,},{} ?????PxxFX即 .?X同理 .,yFY2、对于离散型随机变量,易知 的分布律为, 1,2,,?????1}{jijii pxXPp的分布律为Y , 1,2,,?????1}{ijjj pyYPp3、对于连续型随机变量 ,设它的概率密度函数为 ,由于Xyxf,,?xFX???xdtsf对上式两边关于 求导数,即得 的概率密度函数为. ?yffX,同理, 的概率密度函数为Y. ????dxfyfY,4、设二维随机变量 的概率密度函数为,X.2 12exp1, 221 212??????????????????????????yxxyxf其中 均为常数,且 ,则称 服从参数为???,,21 |,0,21???,YX的二维正态分布,记为 .试求证两个边缘分布都,,21 ,,,212??NYX是一维正态分布,且 , .21??NX?教学时数2 学时作 业习题三 8、9.3 条件分布教学目的掌握二维离散型与连续型随机变量的条件分布，会求条件分布．教学重点边二维离散型与连续型随机变量的条件分布．教学难点正确理解条件分布，连续型随机变量条件概率密度函数的计算．教学内容1、定义 设 是二维离散型随机变量,对于固定的 , ,则称YXj0}{??j yYP,}{jiyxP??21,}{,??ipyPYxjji为在 的条件下随机变量 的条件分布律.jyYX同理定义在 的条件下随机变量 的条件分布律.i xX?Y2、定义 设 为二维连续型随机变量,其概率密度函数为 .对固定的 ,若YX x,yfy,则称0 ?yf Y , | yfxfYYX?为在 的条件下随机变量 的条件概率密度函数.此处 .称 yY? ????dx, yfyfY为在 的条件下 的条件分布函数,记为 或记作dxfxX ??-| y?X}{XP?.|yFY同理可定义在 的条件下随机变量 的条件概率密度函数 及 x?Y ,| xfyyfXXY?条件分布函数 .|yXY教学时数2 学时作 业习题三、14.4 相互独立的随机变量教学目的掌握随机变量独立性的意义、定义，判断独立性的充分必要条件，会用意义和充分必要条件判断随机变量的独立性．教学重点随机变量独立性的定义，判断独立性的充分必要条件．教学难点正确理解由独立性意义所给出的独立性定义．教学内容1、随机变量独立性的概念定义 相互独立.XY3、连续型情况对于二维连续型随机变量 ,其独立性的定义等价于等式YX,yfxyfYX?在平面上几乎处处成立.4、推广（1）以上二维随机变量 中 和 独立性的三个充分必要条件都可以推广到,YX维随机变量 中分量 独立性的情况．n,21n? nX,,21?（2） 相互独立的意义是 的取值情况互相无任何影响，X,? ?也可由此判断其独立性．教学时数2 学时作 业习题三 18．5 两个随机变量的函数的分布教学目的掌握离散型二维随机变量函数的分布，求连续型二维随即变量函数的一般方法，和的分布．教学重点求离散型、连续型二维随机变量函数分布的一般方法，和的分布．教学难点连续型二维随机变量函数的分布．教学内容1、离散型二维随机变量函数的分布设 是二维离散型随机变量, 是一个二元函数,则 作为 的函数YXyxg,YXg,是一个随机变量,如果 关于的边缘概率密度函数分别为 , ,则YX,YXxfXyfY5.1,5.2分别化为????dyfzfzf YXZ或 . xx3、设 相互独立,且 , ,则 仍然服从正YX,21??NX2??NYYXZ??态分布,且 .更一般地,可以证明有限个相互独立的正态随机变,2121??Z量的线性组合仍然服从正态分布,即若 且它们相互独立,则对任,21,niii ??意不全为零的常数

一、 二维随机变量

1、二维随机变量的定义：设E是一个随机试验，它的样本空间是， 是定义在S上的随机变量，则叫做二维随机向量或二维随机变量。

2、二维随机变量的分布函数的定义：设是二维随机变量，对于任意实数，二元函数：

称为二维随机变量的分布函数，或称为二维随机变量和的联合分布数.

3、二维随机变量的分布函数的性质：

（2），且对于任意固定的对于任意固定的，，.

(3) 关于变量和的分别右连续

需要注意的是：只要满足这四条的二元函数一定是分布函数。

4、设二维随机变量的全部可能取到得值是有限对或无限可列对记则称为二维离散型随机变量的分布律，或称为随机变量的联合分布律。

二维离散型随机变量的分布函数为：

5、对于二维随机变量的分布函数，如果存在非负的可积函数使对于任意实数有

则称是连续的二维随机变量，函数称为二维随机变量的概率密度，或称为随机变量的联合概率密度。

6、二维连续型随机变量的概率密度的性质：

(3) 设是面上的区域，点落内的概率为

注意：类似二维随机变量，我们可以定义多维随机变量及其分布函数，并讨论分布函数的性质。

二、条件分布和边缘分布

   1、二维随机变量作为一个整体，具有分布函数，而X和Y作为随机变量，分布函数分别记为和，并依次称为二维随机变量关于X和关于Y的边缘分布函数，并且。

（1）二维离散型随机变量，分布律，则Ｘ和Ｙ的分布律分别为

和分别称为关于和关于的边缘分布律．

为在条件下随机变量的条件分布律。

为在条件下随机变量的条件分布律。

（2）二维连续型随机变量，概率密度为，则和的概率密度分别为

和分别称为关于X和关于Y的边缘概率密度．

为在条件下随机变量的条件概率密度。

为在条件下随机变量的条件分布函数。

为在条件下随机变量的条件概率密度。

为在条件下随机变量的条件分布函数。

注意：关于联合分布函数，边缘分布，条件分布的概念可以类似推广到维随机变量上。

1、二维随机变量的分布函数为，边缘分布函数分别为和，若对于任意实数，有

则称随机变量与称是相互独立的。

当是离散型随机变量时，与相互独立的充要条件是对于的所有可能取值有

当是连续型随机变量时，与相互独立的充要条件是等式

注：所谓“几乎处处成立”是指平面上除去面积为零的以外，处处成立。

2、设是维随机变量，其分布函数为

若维随机变量的分布函数是已知，则的维边缘分布函数就随之确定。例如维随机变量的分布函数为

    若是维连续型随机变量的概率密度，则的维边缘概率密度就随之确定。例如维随机变量的概率密度为

若与相互独立，则与相互独立，其中是连续函数。

四、多个随机变量的函数的分布

1、设是离散型随机变量，分布律为

设是连续型随机变量，密度函数为,的分布函数为

2、设是连续型随机变量，密度函数为,的分布函数为

特别地,当和相互独立, 分布密度分别为和,的分布函数为

3、设离散型随机变量，和相互独立, 分布律分别为和 ,则的分布律为

4、设是个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为，记， ，则的分布函数为

特别地，当具有相同的分布函数时有，

例1、 设二维随机变量的联合概率密度函数为

其中，则称服从参数为的二维正态分布，记为。

则的边缘分布和条件分布都是正态分布，且，

对于给定的实数在下的条件分布为

于给定的实数在下的条件分布为

对于给定的实数在下的条件概率密度函数为

对于给定的实数在下的条件概率密度函数为

所以，二维正态变量的边缘分布和条件分布都是正态分布。

例2、 设随机变量具有概率密度为

（1）求，并判定随机变量是否相互独立；

(2)求的概率密度函数.

（2）的概率密度函数为

例3、 设随机变量具有概率密度

例4、设随机变量相互独立，具有相同的概率密度

例5、若,且相互独立,则

下面我们用数学归纳法，证明 。

当结论成立。假设有，。

由于相互独立,则相互独立,且，，所以有

例6、随机变量的概率密度函数为

证明和不相互独立，和相互独立.

所以，任意对于实数，有，于是和相互独立。

一、填空题（每空3分，共21分）

(1)随机变量和相互独立，且，则随机变量的分布律为　　　　

(2)设和是两个随机变量，，，则．

（3）已知随机变量具有概率密度

（4）已知随机变量具有概率密度

（5）设相互独立，且，

二.（9分） 设随机变量具有概率密度为

三（10分）．随机变量和相互独立，它们的概率密度函数分别为

四、（10分）设随机变量和相互独立， ，求

五、（10分）设随机变量具有概率密度为

六、（10分）设随机变量相互独立，具有相同的概率密度

七、（10分）随机变量和相互独立，它们的概率密度函数分别为

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