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利用微积分解一道全国物理竞赛题
中学物理　Ｖ ｏ １ ． ２ ８ 　Ｎ ｏ ． ０ ３ 　２ ０ ｌ Ｏ年 ２月 　利 用 微 积 分 解 一 道 全 国物 理 竞 赛 题　物理竞赛 　徐建年　（ 广西师范大学附属中学 广西 桂林 ５ ４ １ ０ ０ １ ） 　全国中学生物理竞赛明文规定 ， 在处理竞赛问　 题时 ， 要学完 中学阶段全部初等数学 ， 但可以不要求　用微积分进行推导和运算 ， 但近几年的一些试题 ， 如　 果用“ 　 ” 求和的形式加 以推导 ， 显得非常繁琐 ， 如　 能用微积分的观念来解决就显得轻而易举 ， 如第 ２ ２ 　 届全 国中学生物理预赛第九题就是一例 ． 　原题　 如 图 １ 所示， 水 平放 置的金属 细 圆环半　于磁 感应 强度 大小 为 Ｂ ＝ ｋ ｒ 、 方 向竖直 向上 的恒定　磁场 中， 式中 ｋ为大于零的常量， ， ． 为场点到轴线的 　 距 离． 金 属 细 圆柱 与 圆环 用导线　 连 接 ． 不计棒 与　 轴及与细圆柱端面的摩擦 ， 也不计细圆柱、 圆环及导　线的 电阻和感应 电流产 生的磁 场． 问沿垂 直 于棒 的　 方向 以多大的 水 平 外 力作 用 于棒 的 Ａ 端 才能使 棒　以角速度 ｃ ｏ匀速 转动 ． 　径 为 ａ， 竖 直放 置 的 金 属 细 圆柱 （ 其 半 径 比 ｎ 小得　注： （ 　 ＋△ 　） 　＝ 　（ 缸 ） 。 ． 　＋３ ｚ 　 △ 　＋３ 　（ △ ｚ） 　＋ 　多） 的端面与金属 圆环的上表面在 同一平面 内， 圆 　柱 的细轴通 过 圆环 的 中心 ０． 一质 量 为　 ， 电 阻为　 Ｒ 的均 匀导体 细棒 被 圆环和 细 圆柱 端 面支撑 ， 棒 的　一解 法一　 （ 常规 方法 ） 　 将整个 导 体棒 分 割成 个小 线 元 ， 小 线元 端点 到　 轴线 的距离 分别 为 ｒ ｏ （ ＝Ｏ ） ， ｒ 。 ， ｒ ２ ， …， ｒ 卜 ｌ ， ｒ ｉ ， …， 　端有一 小孔套在 细 轴 ０ 上 ， 另一 端 Ａ 可绕轴 线 沿　圆环作 圆周 运动 ， 棒 与 圆环的摩擦 系数 为 　． 圆环 处　ｒ 　 一 ， ， ｒ 　 （ ：ａ ） ， 第ｉ 个线元的长度为△ 　 ＝ｒ 　 ―ｒ 』 一 １ ， 　 当△ 　很小时 ， 可以认为该线元上各 点的速度都为　＝ｃ ｕ 　， 该 线 元 因 切 割 磁 感 应 线 而 产 生 的 电 动　 势为　△ Ｅ ＝Ｂ ｙ 　 Ａ ｒ ｉ＝ ｋ ｒ ｉ ￣ ｒ 　 Ｊ △ ｒ ｆ＝ 愚 　 ｒ ２ △ 　 　 （ １ ） 　整个棒上的电动势为　ｌ 　ｅ　 石　 石　 ｅ　 岔 　 穹　Ｅ＝∑ △ Ｅ ｉ ＝ｋ ｏ Ｊ ∑ｒ ￣ Ａ ｒ ； 　＝ｌ 　ｅ　 ｅ　 石　（ ２ ） 　０　 、 　＝ｌ 　ｅ　 石　 ｅ　（ ７ ） 制成 的偏振 观察 仪如 图 １ 所示 ． 　３ ． ２ 使 用　３ ． ２ ． １ 　 演示 起偏 和检偏 现象　 （ １ ） 先 将偏振 观 察 仪 的端 盖 和 筒 身分 开 ， 单 独　筒身至适当的角度， 使透过筒身偏振片的光强度最　 强； 然后继续转动筒身到 ３ ６ ０ 。 的过程 中， 可观察到　 透 过筒 身偏振 片 的光亮 度 的变化规 律是 ： 亮 一 较 暗　一亮 一 较暗 一 亮 ， 这说 明反射 光 （ 或折 射光 ） 是偏　用筒身底部对着窗外观察 ， 不论怎样转动筒身 ， 透过　 偏振片的光强度不变化， 表明从窗 口进来 的光是 自 　 然光． 　 （ ２ ） 把端盖和筒身重新组合起来观察从窗户射　 入的光 ， 让筒身底部对着窗户 ， 从端盖上观察 ， 保持　端 盖不动 ， 把 筒身 从 ０ ｏ 旋转到 ３ ６ ０ 。 的过程 中 ， 观 察　振光 ． 　需要说明的是 ： 在演示起偏和检偏现象 ， 当两偏　 振片 的偏振 化方 向互 相 垂直 时 ， 由于 没有 光透 过 端　盖 的偏振片 ， 故在 端 盖 的偏 振 片上 观 察 到的 是黑 暗　的消光现象 ； 但是一般情况下 的反射光 （ 或折射光 ） 　 是部分偏振光 ， 所 以不会 出现消光现象 ， 光亮度的　 “ 较暗” 是指相对最暗． 　 手机在物理实验中的应用远不止这些 ， 本文只　 是抛砖引玉， 希望大家能用手机开发 出更多的物理　 实验 ， 让学生感受生活与物理的紧密联系 ， 更好地体　 现“ 从生活走向物理 ， 从物理走向社会”的新课程教　 育 理念 ． 　?透过端盖的光亮度的变化规律是 ： 亮 一 暗 一 亮 一　 暗一 亮， 由此演示 自然光的起偏和检偏现象 ． 　３ ． ２ ． ２ 　 验证 反射光 和 折射光 均为 偏振 光　将偏振观察仪的端盖和筒身分开 ， 单独用筒身　 底部观察物体在 自然光照射下， 经平面镜反射所成　 的像或经放大镜折射所成的像 ： 保持端盖不动 ， 旋转　２１ 　? 　２ ０ １ ０年 ２月 　Ｖ ｏ １ ． ２ ８ 　Ｎ ｏ ． ０ ３ 　中学物理　由（ ｒ 十ａ ｔ ） 。＝ ｒ 　 ＋３ ｒ 　 △ ｒ＋３ ｒ （ Ａ ｒ ） 　＋（ ａ ｒ ） 　 ， 　 略去高阶小量（ △ ｒ ） 　 及（ Ｚ Ｘ ｒ ） 　 ， 可得　 ｒ 　 Ａ ｒ＝ 　 ［ （ ， － 十△ ｒ ） 。 一ｒ 。 ］ 　 代入（ ２ ） 式， 得　导体棒 Ａ端受到的摩擦力矩　１ 　Ｍ　＝寺　 ， 　方向与导体棒的运动方向相反． 　 导体棒 Ａ 端受到的外力矩　＝ 　（ ２ ） 　Ｅ＝ 　＝∑（ ｒ ； 一 。 ３ 　 ） 　（ ３ ） 　方向与导体棒运动方向相同． 　 而导体棒 Ａ受到的安培力矩 Ｍ 求法可用微积　 分将整个导体棒分割成几个小线元的 ， 每个小线元　 的长度 为 △ ｒ 　 （ ｉ ＝１ ， ２ ， ３ ， …， ７ ｚ ） 每个小 线元到轴 的　 距离为 ｃ ｏ ｔ ｉ ， 可 以改 为线元上各点 的速度为　 ＝ 　（ ４ ） 　告 　［ （ ｒ 　 一 ｒ 　 ） ＋ （ ｒ ｉ ― ｒ 　 ） ＋ …＋ （ ｒ ： 一 ｒ ： 一 。 ］ 　（ ３ ） 　＝ 　 足 ｃ 帔　 ． 　由全电路欧姆定律 ， 导体棒通过的电流为　Ｊ＝ 　 ＝ 　ｚ ｏ ？ － ｉ ， 该线元因切割磁感应线产生的电动势为　△ Ｅ ＝ Ｂｙ 　 Ａ ｒ ｆ 　 ｋ ｒ 　 ￣ ｒ ｉ Ａ ｒ ｉ 　 惫 叫 ｒ ２ △ 　 　， 　导体棒 受 到 的安 培力 方 向与棒 的运 动方 向　相反 ． 　写成微 分形式　ｄ Ｅ ＝ 忌 ｃ ｃ Ｊ ｒ ２ ｄ ｒ 　第 ｉ 个 线元 △ 　 受到 的安培力 为　△ Ｌ 　 ＝Ｂ ｌ ｚ ｌ ｆ ｒ ；＝ ｋ ｒ 　 Ｉ Ｚ ￣ ｒ ； 　 （ ５ ） 　（ ４ ） 　整个 导体棒 的 电动 势就是积　作用于该线元 的安培力对轴线的力矩为　△Ｍ 　＝　 ?ｒ ｉ＝ 志 　２ △　 ， 　 　Ｅ 　ｊ ： Ｊ ｆ 　 。 ０ 扭 　 ： ＝ Ｊ ｆ 　 　 ０ 如 ｒ 　 ｄ ｒ ： 丢 吉 Ｊ 　 　。 　根据用合 电路 的欧姆定 律 ， 导 体棒 的电流　（ ５ ） 　作用于棒上各线元的安培力对轴线的总力矩为　Ｊ ＝ 簧＝ 　又小线元 △ 　 受到 的安培力　＝（ ６ ） 　（ ７ ） 　Ｍ ＝∑　＝＝ｋ Ｉ ∑ｒ ￣ ， Ａ ｒ 　扣妻 ＝ Ｉ 　 （ ｒ ； 一 　 ＝ ｛ 一 　 　． 　Ｍ ＝ 　 （ ６ ） 　Ｂ Ｉ Ａ ｒ 　＝ ｋ ｌ ｒ 　 Ａ ｒ 　作用 于该线元 的安培 力对轴成 的力矩　即　△ Ｍｆ ＝△ 　 ＝ｋ ｌ ｒ ｚ △ 　写成微 分形式　ｄ Ｍ ＝ｋ ｌ ｒ 　 ｄ ｒ 　（ ８ ） 　（ ９ ） 　因棒 Ａ 端对导体 圆环的正压力为去ｍ ｇ ， 所以 　作用 于整个导 体棒 的安培力 矩就是 积分　摩擦力为告 　， 对轴的摩擦力矩为　１ 　＝ 　Ｍ ＝Ｉ 　 ｄ Ｍ ＝Ｊ Ｉ 　 ｋ Ｉ ｒ 　 ｄ ｒ 　 Ｊ 　 ０ 　 　 ０ 　（ ７ ） 　 ＝了 １ 走 　。＝ 　 ９ Ｒ 　 。 　 （ 、 　 １ ０ ） 　ｚ 譬 ｎ 　其方 向与安 培力 矩相 同 ， 均 为阻力矩 ． 为使 棒在　水平面内作匀角速转动 ， 要求棒对于 ０ 轴所受的合　 力矩为零 ， 即外力矩 与阻力矩相等 ， 设在 Ａ 点施加　垂 直于棒 的外 力为 ，， 则 有　ｆ ａ＝ Ｍ ＋ Ｍ“ 　 （ ８ ） 　＝　方 向与导体棒 的运 动方 向相 反 ． 　由（ １ ） ， （ ２ ） ， （ ３ ） ， （ １ ０ ） 得导体棒 Ａ 端受到垂直　于棒 的外力　ｆ＝ 　１ 　 ＋ 　 （ １ １ ） 　由（ ６ ） 、 （ ７ ） 、 （ ８ ） 式得　，： 　Ｊ― ９ Ｒ 　ｔ 　２ 　 ｜ 　 ｇ 　 解 法二　 （ 微积 分法 ） 　十一 １（ ＼ 　 ９ ） 　从以 上 两种 解法比 较可以 看出， 利用“ ∑” 求 　解所 占篇 幅较 大 ， 而用微积分 处理来 得 比较 简单 ． 可　由于 均 匀 细棒 Ｏ Ａ 匀速转动， 合力矩为零． 即　∑ Ｍ ＝０ ， 或 　＝知， 今后若我们在竞赛中碰到求和问题， 应尽量化为 　“ 微积分” 问题来进行求解 ， 这样可以极大的提高解　题速 度 ． 　Ｍ ＋ 　（ １ ） 　?２ ２ ? 　
微积分与物理竞赛 - Sslgz 物理奥赛培训讲义 专题: 专题:微积分在物理竞赛中的应用 求解在立体斜面上滑动的物体的速度 一物体放在斜面上,物体与斜面间的摩擦因数...高二物理竞赛 指导教师:刘益民 微积分在物理竞赛中的应用 (一)微元法例 1:...解析: 若要直接求整个圆对质点 m 的万有引力比较难, 当若要用到圆的对称性...物理竞赛| 微积分|高中物理竞赛微积分基础_学科竞赛_高中教育_教育专区。1、常用...求 f(x)的定积分 就可以归结为求它的逆导数或原函数(不定积分)。 4、不...微积分在物理竞赛中的应用 - 求解在立体斜面上滑动的物体的速度 一物体放在斜面上,物体与斜面间的摩擦因数 ? 恰好满足 ? ? tg? ,? 为斜面的倾角。 今使物体...物理竞赛中的微积分_学科竞赛_高中教育_教育专区。...常见的函数可以用公式来表达,例如: A Bilingual ...?热学、光学和近代物理学 第 52 页 求解在立体...微积分在物理竞赛中的应用整理-人教版 - 1 2 3 4 5 6 求解在立体斜面上滑动的物体的速度 一物体放在斜面上,物体与斜面间的摩擦因数 ? 恰好满足 ? ? tg?...微积分讲义(高中物理竞赛辅导) - 奥林匹克物理双语教程?热学、光学和近代物理学 第 1 页 高等数学初步之一 微积分 物理学研究的是物质的运动规律,因此我们以常...物理竞赛数学知识――微积分_学科竞赛_高中教育_教育...利用求导数的办法可以判定函数 的增减性。在画复杂...(例 6 过度题,主要例 6 的数学计算容易分散初学...物理竞赛讲义-5.2微积分初步 - 5.2 微积分初步 一、微积分的基本概念 1、极限 极限指无限趋近于一个固定的数值 两个常见的极限公式 lim x ?0 sin x ?1...高中物理竞赛辅导讲义-微积分初步 - 物理竞赛讲义--微积分初步 微积分初步 一、微积分的基本概念 1、极限 极限指无限趋近于一个固定的数值 两个常见的极限公式 ...
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《微积分》（第三版）配套教辅书·经济应用数学基础（一）：微积分习题解答与注释（第三版）
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iframe(src='//www.googletagmanager.com/ns.html?id=GTM-T947SH', height='0', width='0', style='display: visibility:')中国第一学霸：用33种方言解读相对论，用微积分学音乐，用心理学把妹，胡适自愧不如
你是不是也有这样的时候
作为一个工科生
当别人在讨论诗歌、哲学的时候
你在内心觉得。。
哇靠，每个字都看得懂
连在一起变成了什么鬼。。
作为一个文科生
当别人讨论量子物理、哥德巴赫猜想时
你在内心觉得。。
哇靠，这堆鬼画符。。
连在一起竟然还有含义。。
文科和理科的分界
似乎是现代世界最遥远的距离
一个人不能同时精通文科和理科
就好像一个人不能同时是男人和女人。。
（唔。。这比喻是什么鬼）
不过今天蛋蛋姐却发现一位
玩数学玩哲学玩音乐还玩语言的人
他居然同时成为了
数学家哲学家和语言学家
这个人就是被誉为“清华四导师”的
赵元任1892年出生于天津一个书香门第
祖上是写出过
“江山代有才人出，各领风骚数百年”
的著名诗人赵翼
父亲曾中过举人
被称为“晚清公子”
所以赵元任小时候就被叫
“公子中的公子”
这位公子哥不愧是城里人
从小就特别会玩
据说他说话特别早
不止是时间尚早
而且一般人只有在婴儿时期
学语言特别快
过了婴儿时期，
学语言能力似乎就冻结了
但赵元任的语言学习能力
似乎一直停留在了巅峰状态
只要他去过一阵的地方
他几乎都能学会当地的方言
不管哪个地方的方言
他都能说的像本地人
1907年15岁的赵元任成绩优异
考上南京江南高等学堂预科
赵元任从小在天津长大
在南方同学眼里
大家都有点看不起
这个北方来的土包子
于是在一次同学聚会的时候
大家故意说着各自的方言
“哇!..系你啊! 好耐无见啦,过得好唔好啊?”
（广东话：哇！是你呀！好久不见了，过得好吗？）
“满好额 想色特弄了 弄古了好伐”
（上海话：不错。想死你了。那，你过得好吗？）
“一样够 一样的 切 外两叙叙旧切 偶请卡”
（萧山话：一样一样，走，咱俩叙叙旧去。我请客。）
但是赵元任完全不在乎
一顿饭下来
竟然可以用八种方言跟同学们挨个儿交流
听得同学们都是 黑人问号.jpg
于是就算南京的老师喜欢用方言上课
赵元任在17岁时
还是考上了清华留美研究生班
在72名学生中名列第2
排在他后面的同学
还有后来的新派领袖胡适
到美国之后去了康奈尔大学
招生的老师听说他语言天赋奇高
建议他报考原来没学过的语言
赵元任觉得很有道理
他想听从老师的建议
仔细地想了想
究竟还有哪些语言我没学过呢？
最后他终于想到了
于是他主修了数学语言
选修了音乐语言和哲学语言
老师：Exo me?
开始留学生活的赵元任
发现留学这档子事情还真好玩
拿到数学学士之后
他跑到哈佛大学拿了个哲学博士
同时还继续辅修着音乐
所以赵元任当时的生活的
真实写照就是
用三角板测量出吉他的音准
看着柏拉图的《理想国》
然后用二进制把这本书唱出来
当这种生活被其他同学知道之后
除了“卧槽”之外就是滔滔不绝的敬佩之情
胡适在他的留学日记上说：
“每与人评论留美人物，
辄推常州赵君元任为第一。”
胡适和赵元任
当然这种名气也传到了
康奈尔大学的教授那里
于是他们就聘请赵元任回来教书
大概是这个时候爱因斯坦太火了
你要说不知道啥叫“光子假说”
你都不好意思和人打招呼
年轻的赵元任觉得物理也挺好玩的
于是就开始教大学物理
这跨界也是没谁了
玩了一年物理之后的赵元任
突然想起该结婚了
于是就在1920年回到了中国
不过赵元任虽然爱玩
但是在28年的生活里
他并没有接触过爱情
于是，他这个学数学出身的物理学老师
决定跑到清华教心理学。。
我想这也许是他深知
“女人心，海底针”
想要研习心理学
顺便掌握撩妹的正确姿势。。
果然，不久之后
他就成功找到了自己的妻子
所以他和妻子杨步伟的爱情
也是一段佳话
他们举办了中国第一个文明婚礼：先到当年定情的中山公园照张相，再向亲友发了一份结婚通知书，声明概不收礼。新娘掌勺，宴请证婚人胡适。吃完饭，新郎拿出结婚证书，大家签名，为了合法化，结婚证书上还贴了四角钱印花税。
他们的婚姻被全中国的知识分子羡慕，即便徐志摩曾经诱惑赵元任离婚，赵元任完全不为所动，并声称一直和太太“在恋爱”。
新婚的赵元任夫妻
当然结婚之后的赵元任
也没有就这样放弃自己的“玩咖”人生
1921年赵元任夫妇到了美国
赵元任又在哈佛大学
任哲学和中文讲师
四年之后赵元任受到清华大学的邀请
回国开始培养下一代有为青年
看着赵元任简历的
清华大学校长曹云祥
一股脑给他安排了
数学、物理学、中国音韵学
普通语言学、中国现代方言
中国乐谱乐调和西洋音乐欣赏等课程。。
喂喂，不能这么欺负老实人！
从左到右分别为赵元任、梁启超、王国维、陈寅恪、吴宓
大概是繁杂的课程
让赵元任累觉不爱
他开始认真考虑自己
到底最想做的是什么
在1916年元月的日记中他写道：“我大概是个天生的语言学家、数学家或
音乐家。”
在他的日记中，他也曾表示“索性做一个语言学家比任何其他都好”。
想起自己从小最擅长
也最爱学的是语言
虽然自己后来学过
数学音乐物理心理哲学balabala
但是不能白瞎了自己这口活
赵元任终于决定把语言作为终身事业
1927年，赵元任开始第一次
系统的汉语方言调查
他用了两个月的时间
在用吴语说话的地区进行了实地调查
记录了吴语区33个地方的方言
1928年，这次调查的研究成果
《现代吴语的研究》
由清华学校研究院印发出版
这部巨著的问世
在汉语方言研究历史上
是具有划时代意义的
它是中国第一部用
现代语言学方法研究方言的著作
是现代汉语方言学诞生的标志
而此后出现的方言学著作
都沿着它开辟的道路前进发展
它奠定了现代汉语方言
调查研究的基础
开创了科学化研究汉语方言的新道路
赵元任玩语言可不仅仅是做研究
他的绝活就是到哪都能被认作老乡
他还曾专门编过一个绕口令
叫《施氏食狮史》
整篇故事只有一个读音——“shi”
“石室诗士施氏，嗜狮，誓食十狮。氏时时适市视狮。十时，适十狮适市。是时，适施氏适市。氏视是十狮，恃矢势，使是十狮逝世。氏拾是十狮尸，适石室。石室湿，氏使侍拭石室。石室拭，氏始试食十狮尸。食时，始识十狮尸，实十石狮尸。试释是事。”
赵先生竟然如此偏爱 shǐ 这个字
果然品位不俗
当然爱玩的赵元任虽然专精了语言
但是并没有丧失对其他的爱好
在这段时间他编写创作了
大量耳熟能详的歌曲
最出名的就是《叫我如何不想他》
著名音乐家萧友梅评价说他
“替中国音乐界开了一个新纪元”
并把他誉为“中国的舒伯特”
爱玩的赵元任并不喜欢长居一地
于是1938年赵元任夫妇又回到了美国
赵元任先后在夏威夷大学教音乐
在耶鲁大学教语言
又到哈佛大学任教
同时参加燕京字典编辑
1945年赵元任当选
美国语言学学会主席
但是赵元任虽然爱玩
却从来没想过玩政治
1946年当得知中国抗争胜利之后
赵元任夫妇就想着回国的事宜
但是因为时任教育部长朱家骅发电报
请赵元任出任南京中央大学校长
赵元任直接回电：“干不了。谢谢！”
于是本来都已经到了伯克利
就要回国的赵元任
就在伯克利停了下来
期间他至少有五次拒绝当
清华大学、东南大学、中央大学
这些当时名校的校长
“他是个纯粹的学者，安身立命之所是学问，而不是官职。他深知自己的性格不适合当校长，也害怕繁杂的行政事务”。
在伯克利期间他不仅教授语言
还选为中国中央研究院第一届院士
和美国艺术与科学院（AAAS）院士
又荣任阿加细（Aggasiz）基金会
东方语和语文学教授
并且当选为美国东方学会（AOS）会长
虽然已经获得了如此多的荣誉
甚至已经获得了美国国籍
但是赵元任内心还是挂念着祖国
1973年，中美关系正常化刚起步
赵元任夫妇就携外孙女昭波
和女婿迈克回国探亲
并受到周恩来总理的亲切接见
看完赵元任的故事
蛋蛋姐突然觉得
为了能成为一个真正的作家
我还是要好好学数学
万一学成了好声音导师呢？
酷玩实验室整理编辑
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今日搜狐热点一直在读《陶哲轩实分析》，陶的书非常的严谨，环环相扣，但是也有个缺点就是计算性的例子和应用方面的例子太少了。所以就又找了本柯朗的《微积分与数学分析》搭配着看。柯朗的书的习题与陶的风格完全不同，里面有大量的考察技巧性的习题，有些题相当有难度，第一卷又没有提供习题答案。我试着解了一小部分习题，放到这里，供有需要的同学参考。能力有限，有些题确实搞不定，有些题给的答案可能是错的。所以仅供参考。
柯朗微积分与数学分析习题选解(1.1 节 a)
反证法：如果 a + x 是有理数，那么可以表示为两个整数之比 pax/qax。又因为 a 是 有理数，所以可以写为 pa/qa。那么：
x=paxqax-paqa=paxqa-paqaxqaxqa
所以 x 也是有理数，矛盾。
设 a 和 b 是不相等的两个有理数。那么:
a&a+(b-a)2√&b
是无理数。
试证明下列各数不是有理数。
反证法：如果 3√ 是有理数，那么可以表示为 3√=p/q
3=p2q2→p2=3q2
所以 p2 含有因子 3，也就是说 p含有因子 3，也就是说 p 可以写为:
9n2=3q23n2=q2
所以 q 也含有因子 3，这与 p,q 是最简分数矛盾。
反证法：如果 n√ 是有理数，那么可以表示为 n√=p/q
n=p2q2→p2=nq2
所以 p2 含有因子 n，又因为 n 不是完全平方数，所以 p 含有因子 n，也就是说 p 可以写为:
n2m2=nq2nm2=q2
所以 q 也含有因子 n，这与 p,q 是最简分数矛盾。
反证法：如果 2√3 是有理数，那么可以表示为 2√3=p/q
2=p3q3→p3=2q3
所以 p3 含有因子 2，所以 p 含有因子 2，也就是说 p 可以写为:
8m3=2q34m3=q3
所以 q 也含有因子 2，这与 p,q 是最简分数矛盾。
2(d) n√p 其中 n 不是完全 p 次幂。
反证法：如果 n√p 是有理数，那么可以表示为 n√p=P/Q
n=PpQp→Pp=nQp
所以 Pp 含有因子 n，所以 P 含有因子 n，也就是说 P 可以写为:
npmp=nQpnp-1mp=Qp
所以 Q 也含有因子 n，这与 p,q 是最简分数矛盾。
3(a) 对于整系数多项式
anxn+an-1xn-1+?+a1x+a0=0
如果有有理根，若记其为既约分数 p/q 那么，证明 p 是 a0 的因子， q 是 an 的因子。
将 x=p/q 带入原式子中，有：
anpnqn+an-1pn-1qn-1+?+a1pq+a0=0anpn+an-1qpn-1+?+a1qn-1p+a0qn=0
a0qnp=-(anpn-1+an-1pn-2q+?+a1qn-1)anpnq=-(an-1pn-1+?+a1qn-2p+a0qn-1)
所以 a0 含有因子 p，an 含有因子 q。
3(b) 证明 2√+2√3 和 3√+2√3 都是无理数。
这道题难度很大，我是借助数学软件才凑出答案的。
x=2√y=2√3z=x+y=2√+2√3
那么可以验算：
z=x+yz2=2+2xy+y2z3=2+2x+6y+3xy2z4=4+8x+2y+8xy+12y2z5=40+4x+20y+10xy+2y2+20xy2z6=12+80x+60y+24xy+60y2+12xy2z7=280+36x+60y+140xy+84y2+84xy2
先想办法去掉含有 y2 的项：
z=x+yz3=2+2x+6y+3xy2z4-12z2=-20+8x+2y-16xyz5-2z2=36+4x+20y+6xy+20xy2z6-60z2=-108+80x+60y-96xy+12xy2z7-84z2=112+36x+60y-28xy+84xy2
再想办法去掉含有 xy2 的项：
z=x+yz4-12z2=-20+8x+2y-16xy3(z5-2z2)-20z2=8-28x-60y+18xyz6-60z2-4z3=-116+72x+36y-96xy3(z7-84z2)-84z3=168-60x-324y-84xy
再想办法去掉含有 xy 的项：
z=x+y8(3(z5-2z2)-20z2)+9(z4-12z2)=364-152x-462y(z6-60z2-4z3)-6(z4-12z2)=4+24x+24y4(3(z7-84z2)-84z3)-21(z4-12z2)=1092-408x-1338y
再想办法去掉含有 y 的项：
8(3(z5-2z2)-20z2)+9(z4-12z2)+462z=364+310x(z6-60z2-4z3)-6(z4-12z2)-24z=44(3(z7-84z2)-84z3)-21(z4-12z2)+1338z=1092+930x
再想办法去掉含有 x 的项：
(z6-60z2-4z3)-6(z4-12z2)-24z=44(3(z7-84z2)-84z3)-21(z4-12z2)+1338z-3(8(3(z5-2z2)-20z2)+9(z4-12z2)+462z)=0
这两个式子化简后的结果是：
-4-24z+12z2-4z3-6z4+z6=012z+48z2-84z3-12z4-18z5+3z7=0
上面第一个式子比较简单，我们就分析这第一个式子。
因为 a6=1 所以如果上面方程有有理数解，那么解的分母只能是 1，也就是说解只能是整数。所以2√+2√3 是无理数。
设 x=3√+2√3 用类似的方法，可以凑出：
x6-9x4-4x3+27x2-36x-23=0
因为 a6=1 所以如果上面方程有有理数解，那么解的分母只能是 1，也就是说解只能是整数。所以3√+2√3 是无理数。
柯朗微积分与数学分析习题选解(1.3 节 c)
柯朗微积分与数学分析习题选解(1.1 节 e)
柯朗微积分与数学分析习题选解(1.2 节 d)
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