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高数论文――二重积分的应用
二重积分的应用电自 092 班 ―张凯强 摘要：重积分是微积分学中的主要概念之一，许多物理、几何中的量都要用它来描述和计算。 本文首先介绍定积分应用中的元素法， 从而利用重积分的元素法来讨论重积分在几何 物理上的一些应用。关键词：二重积分的应用 前言：元素法一、 元素法 二、 二重积分在几何问题中的应用 三、 二重积分在物理问题中的应用 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. 若要计算的某个量 U 对与闭区域 D 具有可加性（即当闭区域 D 分成许多小区域时，所求量 U 相应地分成许多部分量，且 U 等于部分量之和） ，相应地部分量可近似地表示为 f（x，y） dδ 的形式，其中（x，y）在 dδ 内。这个 f（x，y）dδ 称为所求量 U 的元素，记为 dU,所 求量的积分表达式为 U=∫∫f（x，y）dδ 。几何应用：曲面和面积 设曲面 S 由方程z ? f ( x, y ) 给出, Dxy 为曲面 S 在 xoy 面上的投影区域,函数f ( x, y ) 在 Dxy 上具有连续偏导数 f x ( x , y ) 和 f y ( x , y ) ,现计算曲面的面积 A 。在闭区域 点Dxy上任取一直径很小的闭区域 d? (它的面积也记作 d? ),在 d? 内取一P( x, y ) ,对应着曲面 S 上一点 M ( x, y, f ( x, y)) ,曲面 S 在点 M 处的切平面设为以小区域 dT。? 的边界为准线作母线平行于 z 轴的柱面,该柱面在曲面 S 上截下一小片曲面,在切平面 T 上截下一小片平面,由于 d 于那一小片曲面面积。 曲面 S 在点? 的直径很小,那一小片平面面积近似地等M 处的法线向量(指向朝上的那个 )为? n ? { ? f x ( x , y ), ? f y ( x , y ), 1 }它与 z 轴正向所成夹角?的方向余弦为cos ? ?12 1 ? f x2 ( x , y ) ? f y ( x , y )dA ?而d? cos ?所以2 dA ? 1 ? f x2 ( x, y ) ? f y ( x, y ) ? d?这就是曲面 S 的面积元素, 故A ? ?? 1 ? f x2 ( x, y ) ? f y2 ( x, y )d?DxyA ? ??故Dxy? ?z ? ? ?z ? 1? ? ? ?? ? dxdy ? ?x ? ? ?y ?22【例 1】 求球面 x2? y 2 ? z 2 ? a 2 含在柱面 x 2 ? y 2 ? ax ( a ? 0 )内部的面积。2 2 xoy 面的投影区域 Dxy ? {( x, y )| x ? y ? ax } 解:所求曲面在曲面方程应取为z ? a2 ? x2 ? y2 ,则zx ??x a2 ? x2 ? y2,zy ??y a2 ? x2 ? y22 1 ? zx ? z 2 ? ya a2 ? x2 ? y2曲面在xoy 面上的投影区域 Dxy 为据曲面的对称性,有A ? 2 ??Dxya a ? x2 ? y22dxdy?? 2 ? d??2a cos ???0a a2 ? r 2? rdr2?2? 2a ? ? a 2 ? r 2????a cos ? 0d?2?? 2a ? ( a ? a sin ? ) d??2?2?? 4a ? (a ? a sin ? ) d?02? 2a 2 (? ? 2)若曲面的方程为x ? g( y, z ) 或 y ? h( z , x ) ,可分别将曲面投影到 yoz 面或zox 面,设所得到的投影区域分别为 D yz 或 Dzx ,类似地有A ? ??D yz? ?x ? 1? ? ? ? ?y ?2? ?x ? ?? ? dydz ? ?z ?2或A ? ??Dzx? ?y ? 1? ? ? ? ?z ?2? ?y ? ?? ? dzdx ? ?x ?2物理应用一、平面薄片的重心 1、平面上的质点系的重心其质点系的重心坐标为x?My m?i ?1 n? mi xii ?1n? mi,M y? x ? mi ?1 n? mi yii ?1n? mi2、平面薄片的重心 设有一平面薄片,占有 假定xoy 面上的闭区域 D ,在点 ( x , y ) 处的面密度为 ?( x, y ) ,?( x, y ) 在 D 上连续,如何确定该薄片的重心坐标 ( x , y ) 。这就是力矩元素,于是M x ? ?? y?( x, y )d? ,DM y ? ?? x?( x , y )d?Dm ? ?? ?( x, y )d?又平面薄片的总质量D从而,薄片的重心坐标为x?My m??? x?( x , y )d?D?? ?( x , y )d?D,?? y?( x , y )d? Mx D y? ? m ?? ?( x , y )d?D特别地,如果薄片是均匀的,即面密度为常量,则x?1 1 ?? xd? , y ? ?? yd? AD AD( A ? ?? d?D为闭区域D的面积)十分显然, 这时薄片的重心完全由闭区域的形状所决定, 因此, 习惯上将均匀薄片的 重心称之为该平面薄片所占平面图形的形心。 【例 2】设薄片所占的闭区域 D 为介于两个圆 r (0 ?? a cos ? , r ? b cos ?a ? b )之间的闭区域,且面密度均匀,求此均匀薄片的重心(形心)。解: 由 D 的对称性可知:y?0b cos ??2A ? ?? d? ? ? d? ? rdr ?D ??4??( b2 ? a 2 )a cos ?22 b cos ?M y ? ?? xd? ? ? d?D而?2??a cos?r ?2cos? dr22 ?1 ? ?1 ? ? ? ? r 3 cos? ? d? ? ? ? (b 3 ? a 3 ) cos 4 ? ? d? ? ?3 ? ?3 ? a cos? ? ? ? 2 2b cos??2 2 2 (4 ? 1)!! ? ? (b 3 ? a 3 ) ? cos 4 ?d? ? (b 3 ? a 3 ) ? 3 3 4!! 2 0??x?故?8(b 3 ? a 3 )b 2 ? ba ? a 2 2(b ? a )My A?二、平面薄片的转动惯量 1、平面质点系对坐标轴的转动惯量 设平面上有 n 个质点, 它们分别位于点 质量分别为( x1, y1 ),( x2 , y2 ),?,( xn , yn ) 处,m1 , m2 , ?, mn 。y 轴的转动惯量依次为n设质点系对于 x 轴以及对于I x ? ? y i mi2 i ?1n,I y ? ? x 2 mi ii ?12、平面薄片对于坐标轴的转动惯量 设有一薄片,占有xoy 面上的闭区域 D ,在点 ( x, y ) 处的面密度为 ? ( x, y ) ,现要求该薄片对于 x 轴、假定? ( x, y ) 在 D 上连续。y 轴的转动惯量 I x , I y 。与平面薄片对坐标轴的力矩相类似,转动惯量元素为【例 3】求由抛物线y ? x 2 及直线 y ? 1所围成的均匀薄片(面密度为常数 ? )对于直线y ? ?1的转动惯量。解: 转动惯量元素为dI ? ( y ? 1)2 ?d?I ? ?? ( y ? 1)2 ?d?D? ? ? dx ? ( y ? 1)2 dy?1 x211?1 ?1 3? ? ? ? ? ( y ? 1) ? dx ? ? 8 ? ( x 2 ? 1)3 dx 3 ?1 ?x2 ?1? 31 1???16 64 368 ?? ?? ? 3 35 105三、平面薄片对质点的引力设有一平面薄片,占有 定xoy 面上的闭区域 D ,在点 ( x, y )处的面密度为? ( x, y ) ,假? ( x, y ) 在 D 上连续,现计算该薄片对位于 z 轴上点 M 0 (0,0,1) 处的单位质量质点的引力。? F 在三个坐标轴上的分力 Fx , Fy , Fz 的力元素为 于是,薄片对质点的引力dFx ? dFy ? dFz ?故k? ( x, y ) xd? r3 k? ( x, y ) yd? r3 k? ( x, y )(0 ? 1)d? r3? ( x, y ) xd?Fx ? k ? ??Dr3 ? ( x, y ) yd? Fy ? k ? ?? r3 D ? ( x, y )d? Fz ? ? k ? ?? r3 D总结：本文主要讨论了二重积分在几何、物理上的一些应用，对重积 分的应用可利用公式直接求解， 也可采用元素法， 利用物理公式寻找 所求量的微元，推导应用的公式，选择恰当的坐标系，然后在相应的 积分区域上计算重积分。 参考文献： 【1】 高等数学. 下册 / 同济大学数学系边. C6 版.―北京：高等教育出版社，2007.6 【2】 同济大学 彭辉 张天德. 高等数学辅导（同济第六版） 【3】 2010 全国硕士研究生入学统一考试.高等数学.辅导教材 （主编： 黄庆怀）
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2017考研高等数学必看核心考点：二重积分
11:50:46 来源：网络
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利用极坐标计算二重积分
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& &本课程主要针对考研数学一且基础较为薄弱的考生复习备考使用。
&&& 雷老师由浅入深，循序渐进地讲解了考研高数涉及的所有知识点，然后通过剖析历年考研真题，细致、系统、全面地传授了解题方法，寓思路、方法、技巧于详细、透彻、易懂的解题过程之中，针对历年真题核心考点，给出范例并做出了评注和小结，揭示了所论知识点的内涵与外延，通过对典型题目的归纳分析，把考点、题型分类，在讲解中把握题目精髓，分析到位，讲解透彻！
&&& 通过本阶段课程的学习，考生对考研《高等数学》的考点应该有了全面的掌握，并且对常见题型基本能够达到见题有思路、解题有方法！同时为下阶段强化课程的学习打好基础。
第1章【考研数学】《高等数学》历年真题核心考点精讲（数学一）
利用极限的四则运算法则求极限
可试听整节
无穷小、无穷大、有界量、无界量
极限存在的充要条件
极限的几个重要定理
利用两个重要极限求极限
利用两边夹逼准则求极限
利用单调有界准则求极限
无穷小阶的比较
利用无穷小替换法则求极限
函数连续性概念
连续函数的几个重要定理
复合函数求导法
可试听整节
隐函数求导法
参数方程所确定函数的求导法、相关变化率
微分及其应用
利用罗尔定理证明方程根的存在性
拉格朗日中值定理及其应用
柯西定理与泰勒中值定理
泰勒中值定理的应用
洛必达法则
可试听整节
函数的单调性判别法及其应用
极值与最值求法
极值判别法的应用
曲线的凹凸与拐点
曲线的渐近线
曲率、曲率圆
原函数、不定积分
原函数、不定积分
第二换元法
可试听整节
分部积分法
定积分定义及性质
变上限函数（一）
变上限函数（二）
定积分计算法
定积分常用公式
换元证题与分部积分证题法
平面图形的面积
曲线弧长、侧面积
定积分在物理方面的应用
可分离变量的微分方程
齐次方程、一阶线性微分方程
可降阶的高阶微分方程
高阶微分方程解的结构
二阶常系数非齐次线性方程
平面与直线
曲线与曲面
多元函数的概念、极限与连续性
偏导数、高阶偏导数
多元复合函数求偏导
隐函数的偏导数
多元函数的极值
方向导数与梯度
微分学在几何上的应用
二重积分的定义及性质
利用直角坐标计算二重积分
利用极坐标计算二重积分
二重积分综合题选讲
利用直角坐标计算三重积分
利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
重积分的应用
对弧长的曲线积分的计算
对坐标的曲线积分的计算
对面积的曲面积分计算法
对坐标的曲面积分
斯托克斯公式
级数敛散的定义及性质
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0/0型，用的是洛必达法则，（其中：分子求导用到变上限函数求导公式），就得。
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图片中手写的极限(即图片书中第二行的极限)求法参考：步①，对二重积分换序，得到该二重积分=∫&0到t&#178;&【∫&0到√y&arctancos(3x+5√y)dx】dy★步②，对式★中【…】内的积分换元，令u=3x+5√y，则du=3dx，得到【…】=(1/3)∫&5√y到8√y&arctancosudu☆然后把☆代入★再代回原极限式。步③，对代入所得的极限式用洛必达法则两次，求得本题极限=π/6。可参看
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擅长：暂未定制
洛必达，上下都求导
您好，可以帮我写下发我嘛？不是太理解。
非常感谢！
图片中手写的极限(即图片书中第二行的极限)求法参考：步①，对二重积分换序，得到该二重积分=∫【∫arctancos(3x+5√y)dx】dy★步②，对式★中【…】内的积分换元，令u=3x+5√y，则du=3dx，得到【…】=(1/3)∫arctancosudu☆然后把☆代入★再代回原极限式。步③，对代入所得的极限式用洛必达法则两次，求得本题极限=π/6。可参看/question/4220667
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