已知设n向量是曲面2x∧2+3ya，b不平行，求满足设n向量是曲面2x∧2+3y等式2xa+（8-y）b=（3y-6）a+xb的实数x，y的值
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已知线段AB,A点的坐标为(Xa,Ya)B点的坐标为(Xb,Yb).在AB之间有一点C，AC的距离是d，求点C的坐标。
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（1）由抛物线y=ax2+bx+c经过坐标原点可得， c=0， 由顶点M坐标为（1，2），可得A点坐标为（2，0）， 将他们的坐标值分别代入解析式可得， 2＝a+b0＝4a+2b， 解得，a＝?2b＝4， 故该抛物线的解析式为：y=-2x2+4x； （2）现将它向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线解析式为： y=-2（x-m）2+4（x-m）， 原抛物线与平移后的解析式交于P点， 则有y＝?2x2+4xy＝?2(x?m)2+4(x?m)， 解得，x＝ 分享 评论 | 给力1 不给力1 斑驳的夜7053 | 四级 采纳率64% 擅长： 暂未定制 其他类似问&br/&&br/&
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2016届高考（理）一轮课时限时检测：第8章 平面解析几何（人教A版）
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第八章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线方程
[考情展望] 1.考查直线的有关概念，如直线的倾斜角、斜率、截距等.2.考查不同条件下求直线的方程(点斜式、两点式及一般式等).3.题型多为客观题，多与两直线的位置关系、直线与圆的位置关系及圆锥曲线结合交汇命题．
一、直线的倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0，π)．
2．斜率公式
(1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝tan α.
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.
二、直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝ 不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0 平面内所有直线都适用
1．直线x－y＋a＝0的倾斜角为( )
A．30° B．60° C．150° D．120°
【答案】 B
2．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是( )
A．1 B．－1
C．－2或－1 D．－2或1
【答案】 D
3．已知A(3,5)，B(4,7)，C(－1，x)三点共线，则x＝
【答案】 －3
4．一条直线经过点A(2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y＝x的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是
，斜截式方程是
【答案】 x－y－2－3＝0 y＝x－2－3
5．(2014·福建高考)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则直线l的方程是( )
A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0
【答案】 D
6．(2013·辽宁高考)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若OAB为直角三角形，则必有( )
B．b＝a3＋
C．(b－a3)＝0
D．|b－a3|＋＝0
【答案】 C
考向一 [132] 直线的倾斜角和斜率
(1) 若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( )
A. B．－ C．－ D.
(2)直线xcos α＋y＋2＝0的倾斜角的范围是( )
【答案】 (1)B (2)B
规律方法1 1.解答本例(2)时极易错选D，出错的原因是忽视了正切函数在和上的变化情况．
2．已知倾斜角的范围，求斜率的范围，实质上是求k＝tan α的值域问题；已知斜率k的范围求倾斜角的范围，实质上是在上解关于正切函数的三角不等式问题．由于函数k＝tan α在上不单调，故一般运用数形结合思想解决此类问题．
对点训练 若直线l的斜率为k，倾斜角为α，而α∪，则k的取值范围是
【答案】 [－，0)
考向二 [133] 求直线的方程
已知点A(3,4)，求满足下列条件的直线方程．
(1)经过点A且在两坐标轴上截距相等；
(2)经过点A且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．
【尝试解答】 (1)设直线在x，y轴上的截距均为a.
若a＝0，即直线过点(0,0)及(3,4)
直线的方程为y＝x，即4x－3y＝0.
若a≠0，则设所求直线的方程为＋＝1，
又点(3,4)在直线上，
＋＝1，a＝7，
直线的方程为x＋y－7＝0.
综合可知所求直线方程为4x－3y＝0或x＋y－7＝0.
(2)由题意可知，所求直线的斜率为±1，
又过点(3,4)．由点斜式得y－4＝±(x－3)，
所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.规律方法2 1.截距不是距离，它可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解．
2．求直线方程的一种重要方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫做待定系数法，运用此方法，注意各种形式的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要．
对点训练 ABC的三个顶点为A(－3,0)，B(2,1)，
C(－2,3)，求：
(1)BC所在直线的方程；
(2)BC边上中线AD所在直线的方程；
(3)BC的垂直平分线DE的方程．
【解】 (1)因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，
由两点式得BC的方程为＝，即x＋2y－4＝0.
(2)设BC中点D的坐标(x，y)，则
x＝＝0，y＝＝2.
BC边的中线AD过点A(－3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD所在直线方程为＋＝1，即2x－3y＋6＝0.
(3)BC的斜率k1＝－，则BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2，由斜截式得直线DE的方程为y＝2x＋2.
考向三 [134] 直线方程的综合应用
已知直线方程为(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0.
(1)证明：直线恒过定点M；
(2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A、B两点，求AOB面积的最小值及此时直线的方程．
【尝试解答】 (1)(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0可化为(x－2y－3)m＝－2x－y－4.
直线必过定点M(－1，－2)．
(2)设直线的斜率为k(k＜0)，则其方程为y＋2＝k(x＋1)，
|OA|＝1－，|OB|＝2－k，
SAOB＝·|OA|·|OB|
＝(2－k)＝.
k＜0，－k＞0，
当且仅当－＝－k，即k＝－2时取等号，
AOB的面积最小值是4，
此时直线的方程为y＋2＝－2(x＋1)，即y＋2x＋4＝0.规律方法3 1.解答本题的关键是面积最小值的求法，解法中使用了均值不等式，仔细体会此解法．
2．利用直线方程解决问题，为简化运算可灵活选用直线方程的形式：一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距选择截距式．
对点训练 直线l经过点P(3,2)且与x，y轴的正半轴分别交于A、B两点，OAB的面积为12，求直线l的方程．
【解】 法一 设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，
A(a,0)，B(0，b)，解得
∴所求直线l的方程为＋＝1，即2x＋3y－12＝0.
法二 设直线l的方程为y－2＝k(x－3)，
令y＝0，得直线l在x轴的正半轴上的截距a＝3－，
令x＝0，得直线l在y轴的正半轴上的截距b＝2－3k，
(2－3k)＝24，
解得k＝－，
直线l的方程为y－2＝－(x－3)，即2x＋3y－12＝0.
易错易误之十五 求直线方程忽视零截距
—————————— [1个示范例] —————— 设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(aR)．
(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
【解】 (1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，a＝2，方程即为3x＋y＝0.
此处易忽视在x轴与y轴上的截距为零的情形．
当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.
＝a－2，即a＋1＝1.
a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.
(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
综上可知a的取值范围是a≤－1.【防范措施】 1.在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解．
2．常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形．注意分类讨论思想的运用．
————————— [1个防错练] ———————
求经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
【解】 设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，
l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.
若a≠0，则设l的方程为＋＝1，
l过点(3,2)，＋＝1，
a＝5，l的方程为x＋y－5＝0，
综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
课时限时检测(四十五) 直线的倾斜角与斜率、直线方程
(时间：60分钟 满分：80分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则参数m满足的条件是( )
A．m≠－ B．m≠0
C．m≠0且m≠1 D．m≠1
【答案】 D
2．直线xsin ＋ycos ＝0的倾斜角α是( )
A．－ B. C. D.
【答案】 D
3．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
【答案】 B
4．直线mx－y＋2m＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标是( )
A．(－2,1) B．(2,1)
C．(1，－2) D．(1,2)
【答案】 A
5．已知函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，当x＜0时，f(x)＞1，方程y＝ax＋表示的直线是( )
【答案】 C
6．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是( )
【答案】 B
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．若A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)，(ab≠0)三点共线，则＋的值为
【答案】 －
8．如图8－1－1，点A、B在函数y＝tan的图象上，则直线AB的方程为
【答案】 x－y－2＝0
9．已知A(3,0)，B(0,4)，动点P(x，y)在线段AB上移动，则xy的最大值等于
【答案】 3
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)过点P(－1，－1)的直线l与x轴、y轴分别交于A、B两点，若P恰为线段AB的中点，求直线l的斜率和倾斜角．
【解】 设A(a,0)，B(0，b)，则
即A(－2,0)，B(0，－2)，
kAB＝＝－1，故直线l的倾斜角为135°.
11．(12分)(1)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程．
(2)求经过点A(－，3)，且倾斜角为直线x＋y＋1＝0的倾斜角的一半的直线方程．
【解】 (1)当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y＝kx，
将(－5,2)代入y＝kx中，
得k＝－时，此时，直线方程为
y＝－x，即2x＋5y＝0.
当横截距、纵截距都不是零时，
设所求直线方程为＋＝1，将(－5,2)代入所设方程，
解得a＝－，此时，
直线方程为x＋2y＋1＝0.
综上所述，所求直线方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.
(2)由x＋y＋1＝0得此直线的斜率为－，
倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，
所求直线的斜率为.
又过点A(－，3)，
所求直线方程为y－3＝(x＋)，
即x－y＋6＝0.
12．(13分)已知定点P(6,4)与直线l1：y＝4x，过点P的直线l与l1交于第一象限的Q点，与x轴正半轴交于点M.求使OQM面积最小的直线l的方程．
【解】 Q点在l1：y＝4x上，可设Q(x0,4x0)，
则PQ的方程为＝.
令y＝0，得x＝(x0＞1)，M.
∴S△OQM＝××4x0＝10×
＝10×≥40.
当且仅当x0－1＝
即x0＝2时取等号，Q(2,8)．
PQ的方程为：＝，x＋y－10＝0.第二节 两条直线的位置关系
[考情展望] 1.考查由已知两条直线平行与垂直求参数.2.考查距离的计算及对称问题.3.本节内容客观题主要考查基础知识和基本能力，主观题主要在知识交汇处命题注重考查分类讨论与数形结合思想．
一、两条直线的位置关系
1．两条直线平行与垂直
(1)两条直线平行：
对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2?k1＝k2.
当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.
(2)两条直线垂直：
如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1l2?k1·k2＝－1.
当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1l2.
2．两条直线的交点
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．
1．一般地，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0；与之垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.
2．过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λR)，但不包括l2.
二、几种距离
1．两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝.
2．点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
3．两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝.
点到直线与两平行线间的距离的使用条件：
(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．
(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．
1．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
【答案】 A
2．已知点(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( )
【答案】 C
3．已知直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8平行，则实数m的值为( )
A．－7 B．－1
C．－1或－7
【答案】 A
4．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝
【答案】 1
5．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是
【答案】 －3
6．(2014·四川高考)设mR，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是
【答案】 5
考向一 [135] 两条直线的平行与垂直
已知直线l1：x＋my＋6＝0，直线l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，问当m为何值时，l1与l2：
(1)相交？(2)垂直？(3)平行？(4)重合？
【尝试解答】 (1)3≠m·(m－2)即m2－2m－3≠0，
所以m≠3且m≠－1.
当m≠3且m≠－1时，l1与l2相交．
(2)要使l1l2，
只要1·(m－2)＋m·3＝0即m＝.
当m＝时，l1l2.
(3)要使l1l2，只要
∴当m＝－1时，l1l2.
(4)由(3)知，当m＝3时，l1与l2重合．规律方法1 在研究直线平行与垂直的位置关系时，如果所给直线方程含有字母系数时，要注意利用两直线平行与垂直的充要条件：
(1)l1l2?A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)；
(2)l1l2?A1A2＋B1B2＝0，这样可以避免对字母系数进行分类讨论，防止漏解与增根．
对点训练 (1)(2015·威海模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则直线xsin A＋ay＋c＝0与直线bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．重合 D．相交但不垂直
(2)已知直线x＋a2y＋6＝0与直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0平行，则a的值为( )
A．0或3或－1 B．0或3
C．3或－1 D．0或－1
【答案】 (1)B (2)D考向二 [136] 两直线的交点与距离
(1)求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．
(2)已知点P(2，－1)，求过点P且与原点距离为2的直线l的方程；求过点P且与原点距离最大的直线l的方程，并求最大距离．
【尝试解答】 (1)法一 先解方程组得l1、l2的交点坐标为(－1,2)，
再由l3的斜率求出l的斜率为－，
于是由直线的点斜式方程求出l：
y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.
法二 由于ll3，故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条，而l过l1、l2的交点(－1,2)，
故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1，
故l的方程为5x＋3y－1＝0.
法三 由于l过l1、l2的交点，故l是直线系3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0中的一条，
将其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0，
其斜率－＝－，解得λ＝，
代入直线系方程即得l的方程为5x＋3y－1＝0.
(2)若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝2满足条件．
若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.
由已知，得＝2，解得k＝.
此时l的方程为3x－4y－10＝0.
综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
作图可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，如图．
由lOP，得klkOP＝－1，
所以kl＝－＝2.
由点斜式得y＋1＝2(x－2)，2x－y－5＝0.
直线2x－y－5＝0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为＝.规律方法2 求点到直线距离的最值问题的方法：(1)直接利用点到直线的距离公式建立距离关于斜率k的代数关系式求解；(2)从几何中位置关系的角度，利用几何关系求解．在解决解析几何问题时，要善于发现其中包含的几何关系，充分利用几何性质进行求解．
对点训练 直线l经过点P(2，－5)且与点A(3，－2)和点B(－1,6)的距离之比为12，求直线l的方程．
【解】 当直线l与x轴垂直时，此时l的方程为x＝2，A到l的距离为d1＝1，B到l的距离为d2＝3，不符合题意，故直线l的斜率必存在．
直线l过点P(2，－5)，设直线l的方程为y＋5＝k(x－2)，
即kx－y－2k－5＝0.
A(3，－2)到直线l的距离
B(－1,6)到直线l的距离
d1∶d2＝12，＝，
k2＋18k＋17＝0，k1＝－1，k2＝－17.
所求直线方程为x＋y＋3＝0和17x＋y－29＝0.考向三 [137] 对称问题
光线由点P(－1,3)射出，遇直线l：x＋y＋1＝0反射，反射光线经过点Q(4，－2)，求入射光线与反射光线所在的直线方程．
【尝试解答】 设P(－1,3)关于直线x＋y＋1＝0的对称点为P′(x1，y1)，点Q(4，－2)关于直线x＋y＋1＝0的对称点为Q′(x2，y2)．
所以P′(－4,0)．同理有Q′(1，－5)．这样，反射光线所在直线为P′Q，斜率k1＝＝－.
直线方程为x＋4y＋4＝0.
入射光线所在直线为PQ′，斜率k2＝＝－4，直线方程为4x＋y＋1＝0.
入射光线直线方程为4x＋y＋1＝0，反射光线直线方程为x＋4y＋4＝0.规律方法3 (1)求点M(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(AB≠0)的对称点N的方法：
设N(x，y)，
求出x，y，即得点N的坐标．
(2)两点关于点对称，两点关于直线对称的常见结论有：
点(x，y)关于x轴、y轴、直线x－y＝0、直线x＋y＝0及原点的对称点分别为(x，－y)、(－x，y)、(y，x)、(－y，－x)和(－x，－y)．
对点训练 已知点A的坐标为(－4,4)，直线l的方程为3x＋y－2＝0，求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线l关于点A的对称直线l′的方程．
【解】 (1)设点A′的坐标为(x，y)，由题意可知
解得x＝2，y＝6，
A′点的坐标为(2,6)．
(2)法一 在直线l′上任取一点P′(x，y)，其关于点A(－4,4)的对称点(－8－x,8－y)必在直线l上，
即3(－8－x)＋(8－y)－2＝0，即3x＋y＋18＝0，
所以所求直线的方程为3x＋y＋18＝0.
法二 由题意可知l′l，设l′的方程为3x＋y＋c＝0，
由题意可知＝，
解得c＝18或c＝－2(舍)，
所以所求直线的方程为3x＋y＋18＝0.
易错易误之十六 小视斜率不存在
—————————— [1个示范例] —————— 已知l1：3x＋2ay－5＝0，l2：(3a－1)x－ay－2＝0.求使l1l2的a的值．
【解】 法一 当直线斜率不存在，即a＝0时，有l1：3x－5＝0，l2：－x－2＝0，符合l1l2.
此处易误认为直线l1与l2的斜率一定存在，漏掉讨论直线斜率不存在的情形
当直线斜率存在时，l1l2，－＝＝a＝－，经检验，a＝－符合题意．
故使l1l2的a的值为0或－.
法二 由l1l2?3·(－a)－(3a－1)·2a＝0，得a＝0或a＝－，经检验，a＝0或a＝－均符合题意，故使l1l2的a的值为0或－.【防范措施】 在讨论含参数的两条直线的位置关系时，一定不要忘记两条直线的斜率是否存在的情况，否则会出现漏解．
————————— [1个防错练] ———————
已知直线l1：ax－y＋2a＝0，l2：(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直，则实数a的值是
【解析】 因为直线l1：ax－y＋2a＝0，l2：(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直，故有a(2a－1)＋a(－1)＝0，可知a的值为0或1.
【答案】 0或1
课时限时检测(四十六) 两条直线的位置关系
(时间：60分钟 满分：80分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为( )
A. B．－ C．2 D．－2
【答案】 A
2．直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则n的值为( )
A．－12 B．－2
C．0 D．10
【答案】 A
3．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )
【答案】 B
4．当0＜k＜时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】 B
5．若三条直线l1：4x＋y＝4，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my＝4不能围成三角形，则实数m的取值最多有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．6个
【答案】 C
6．若曲线y＝2x－x3在横坐标为－1的点处的切线为l，则点P(3,2)到直线l的距离为( )
【答案】 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．已知直线l1：x＋ay＋6＝0和l1：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1l2的充要条件是
【答案】 －1
8．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为
【答案】 x－y＋1＝0
9．若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则的值为
【答案】 ±1
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1l2，且直线l1过点(－3，－1)；
(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
【解】 (1)l1⊥l2，a(a－1)－b＝0.
又直线l1过点(－3，－1)，－3a＋b＋4＝0.
故a＝2，b＝2.
(2)直线l2的斜率存在，l1l2，直线l1的斜率存在．
k1＝k2，即＝1－a.
又坐标原点到这两条直线的距离相等．
l1，l2在y轴上的截距互为相反数，
故a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.
11．(12分)已知直线l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及点P(3,4)．
(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标．
(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程．
【解】 (1)证明 直线l的方程可化为a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0，
直线l恒过定点(－2,3)．
(2)设直线l恒过定点A(－2,3)，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大．
又直线PA的斜率kPA＝＝，
直线l的斜率kl＝－5.
故直线l的方程为y－3＝－5(x＋2)，即5x＋y＋7＝0.
12．(13分)过点A(3，－1)作直线l交x轴于点B，交直线l1：y＝2x于点C，若|BC|＝2|AB|，求直线l的方程．
【解】 当k不存在时B(3,0)，C(3,6)，
此时|BC|＝6，|AB|＝1，|BC|≠2|AB|.
直线l的斜率存在．
设直线l的方程为y＋1＝k(x－3)．
令y＝0，得B.
得C点横坐标xC＝.
若|BC|＝2|AB|，则|xB－xC|＝2|xA－xB|.
－－3＝或－－3＝－，
解得k＝－或k＝.
所求直线l的方程为：3x＋2y－7＝0或x－4y－7＝0.
第三节 圆的方程
[考情展望] 1.结合直线方程，考查运用待定系数法求圆的方程.2.考查运用圆的几何性质求动点的轨迹方程.3.多以选择题、填空题形式考查．
一、圆的定义及方程
定义 平面内到定点的距离等于定长的点集合 限定条件
标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 圆心：(a，b)，半径：r r＞0
一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 圆心：，半径： D2＋E2－4F＞0
确定圆的方程时，常用到的三个性质
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上
(2)圆心在任一弦的中垂线上
(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
二、点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系
1．若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.
2．若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
3．若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.
从位置看d，r的关系
判定点与圆的位置关系还可利用点到圆心的距离d与r的关系：d＞r点在圆外；d＝r点在圆上；d＜r点在圆内．
1．圆的方程为x2＋y2＋2by－2b2＝0，则圆的圆心和半径分别为( )
A．(0，b)，b B．(0，b)，|b|
C．(0，－b)，b D．(0，－b)，|b|
【答案】 D
2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是( )
A．a＜－2或a＞ B．－＜a＜0
C．－2＜a＜0 D．－2＜a＜
【答案】 D
3．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( )
A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1
C．a＞1或a＜－1 D．a＝±1
【答案】 A
4.已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为
【答案】 (x－2)2＋y2＝10
5．(2013·重庆高考)设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A．6 B．4
C．3 D．2
【答案】 B
6．(2014·课标全国卷)设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得OMN＝45°，则x0的取值范围是
【答案】 [－1,1]
考向一 [138] 求圆的方程
求圆心在直线2x－y－3＝0上，且过点A(5,2)和点B(3，－2)的圆的方程．
【尝试解答】 法一 圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，
圆心一定在线段AB的垂直平分线上．
线段AB的垂直平分线方程为y＝－(x－4)．
设所求圆的圆心坐标为C(a，b)，则有
C(2,1)，r＝|CA|＝＝.
所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
法二 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
法三 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
解得D＝－4，E＝－2，F＝－5，
所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0.规律方法1 求圆的方程有两种方法：
(1)代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a，b，r的方程组求解．若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D，E，F的方程组求解．
(2)几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．
对点训练 (2014·山东高考)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为
【答案】 (x－2)2＋(y－1)2＝4考向二 [139] 与圆有关的最值问题
已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值．
【尝试解答】 (1)原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，
表示以(2,0)为圆心，为半径的圆，的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率．
所以设＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，
此时＝，解得k＝±.
所以的最大值为，最小值为－.
(2)设y－x＝b，y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，
此时＝，解得b＝－2±.
所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，
由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离为＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，
x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.规律方法2 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：
(1)形如u＝型的最值问题，可转化为过点(a，b)和(x，y)的直线的斜率的最值问题；
(2)形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题．
对点训练 已知圆Q：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆上任一点．
(1)求的最大、最小值；(2)求x－2y的最大、最小值．
【解】 (1)设＝k，则kx－y－k＋2＝0.由于P(x，y)是圆上任一点，当直线与圆有交点时，如图所示：
两条切线的斜率分别是最大、最小值．
由d＝＝1，得k＝.
的最大值为，最小值为.
(2)令x－2y＝m，同理，两条切线在x轴上的截距分别是最大、最小值．
由d＝＝1，
得m＝－2±.
x－2y的最大值为－2＋，最小值为－2－.考向三 [140] 与圆有关的轨迹问题
设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，点O是坐标原点，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
【尝试解答】 四边形MONP为平行四边形，
设点P(x，y)，点N(x0，y0)，则
＝－＝(x，y)－(－3,4)＝(x＋3，y－4)．
又点N在圆x2＋y2＝4上运动，
(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
又当OM与ON共线时，O、M、N、P构不成平行四边形．
故动点P的轨迹是圆且除去点和.规律方法3 1.本例中点P是平行四边形MONP的一个顶点，因此在点M、O、N三点共线时，点P是不存在的，故所求的轨迹中应除去两点．
2．求与圆有关的轨迹问题的常用方法．
(1)直接法：由题设直接求出动点坐标所满足的关系式．
(2)定义法：利用定义写出动点的轨迹方程．
(3)代入法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可用Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程．
对点训练 (2014·课标全国卷)已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及POM的面积．
【解】 (1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.
设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y)．
由题设知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，
即(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆．
由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上．
又P在圆N上，从而ONPM.
因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，
故l的方程为y＝－x＋.
又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为，|PM|＝，所以POM的面积为.
规范解答之十三 破解圆的方程综合问题
—————————— [1个示范例] —————— (12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OAOB，求a的值．
【规范解答】 (1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0) ，(3－2，0)．
故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，
解得t＝1.则圆C的半径为＝3.
所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.6分
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组：
消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.
由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a2＞0.
从而x1＋x2＝4－a，x1x2＝. 8分
由于OAOB，可得x1x2＋y1y2＝0.
又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，
所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0. 10分
由，得a＝－1，满足Δ＞0，故a＝－1.12分【名师寄语】 (1)若已知条件容易求出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标列方程，通常选用圆的标准方程；若已知条件为圆经过三点，一般采用一般式．
(2)解决直线与圆的问题可以借助圆的几何性质；但也要理解掌握一般的代数法，利用“设而不求”的方法技巧，要充分利用一元二次方程根与系数的关系求解．
————————— [1个规范练] ———————
在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－y－4＝0相切．
(1)求圆的方程；
(2)圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求·的取值范围．
【解】 (1)设圆的方程为x2＋y2＝r2，则r＝＝2.
圆的方程为x2＋y2＝4.
(2)由(1)知A(－2,0)，B(2,0)，设P(x0，y0)，
则|PA|＝，
又|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，
|PO|2＝|PA|·|PB|，
整理得y＝x－2.
·＝(－2－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝(x－4)＋y＝2x－6.
又点P在圆内，x＋y＜4.
2≤x＜3，－2≤·＜0.
课时限时检测(四十七) 圆的方程
(时间：60分钟 满分：80分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是( )
A．(－∞，4) B．(－∞，0)
C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)
【答案】 A
2．若当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝( )
A. B.
C. D.
【答案】 A
3．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则ABC面积的最小值是( )
A．3－ B．3＋
【答案】 A
4．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C.(x＋4)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
【答案】 A
5．点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，则该圆的半径为( )
【答案】 C
6．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
【答案】 D
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．直线x－2y－2k＝0与2x－3y－k＝0的交点在圆x2＋y2＝9的外部，则k的范围是
【答案】
8．已知A、B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且|AB|＝6，若以AB的长为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是
【答案】 (x－1)2＋(y＋1)2＝9
9．已知圆C过点A(1,0)和B(3,0)，且圆心在直线y＝x上，则圆C的标准方程为
【答案】 (x－2)2＋(y－2)2＝5
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)已知圆的方程为(x－m)2＋(y＋m－4)2＝2.
(1)求圆心C的轨迹方程；
(2)当|OC|最小时，求圆C的一般方程(O为坐标原点)．
【解】 (1)设C(x，y)，
消去m，得y＝4－x.
圆心C的轨迹方程为x＋y－4＝0.
(2)当|OC|最小时，OC与直线x＋y－4＝0垂直，
直线OC的方程为x－y＝0.
由得x＝y＝2.
即|OC|最小时，圆心的坐标为(2,2)，m＝2.
圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.
其一般方程为x2＋y2－4x－4y＋6＝0.
11．(12分)已知点P(x，y)是圆(x＋2)2＋y2＝1上任意一点．
(1)求P点到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值和最小值；
(2)求x－2y的最大值和最小值；
(3)求的最大值和最小值．
【解】 (1)圆心C(－2,0)到直线3x＋4y＋12＝0的距离为
P点到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值为
d＋r＝＋1＝，
最小值为d－r＝－1＝.
(2)设t＝x－2y，
则直线x－2y－t＝0与圆(x＋2)2＋y2＝1有公共点．
∴－－2≤t≤－2.
tmax＝－2，tmin＝－2－.
即x－2y的最大值为－2.
最小值为－2－.
(3)设k＝，
则直线kx－y－k＋2＝0与圆(x＋2)2＋y2＝1有公共点，
∴kmax＝，kmin＝.
即的最大值为，最小值为.
12．(13分)已知圆C经过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，半径小于5.
(1)求直线PQ与圆C的方程；
(2)若直线lPQ，且l与圆C交于点A，B，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．
【解】 (1)直线PQ的方程为：x＋y－2＝0，设圆心O(a，b)，半径为r，
由于线段PQ的垂直平分线的方程是
y－＝x－，
即y＝x－1，所以b＝a－1.
又由在y轴上截得的线段长为4，
知(a＋1)2＋(b－3)2＝12＋a2.
由得：a＝1.b＝0或a＝5，b＝4.
当a＝1，b＝0时，r2＝13满足题意
当a＝5，b＝4时，r2＝37不满足题意，
故圆C的方程为(x－1)2＋y2＝13.
(2)设直线l的方程为y＝－x＋m，
A(x1，m－x1)，B(x2，m－x2)，
由题意可知OA⊥OB，即kOA·kOB＝－1，
整理得m2－m(x1＋x2)＋2x1x2＝0
将y＝－x＋m代入(x－1)2＋y2＝13
可得2x2－2(m＋1)x＋m2－12＝0.
x1＋x2＝1＋m，x1x2＝，
即m2－m·(1＋m)＋m2－12＝0.
m＝4或m＝－3，y＝－x＋4或y＝－x－3.
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
[考情展望] 1.考查根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.考查通过数形结合思想，充分利用圆的几何性质解决圆的切线、圆的弦长问题.3.从考查形式上看，以选择题、填空题为主，属中档题．
一、判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
1．几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：
d＜r相交；d＝r相切；d＞r相离．
2．代数法：
圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
二、圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0).
位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况
相离 d＞r1＋r2 无解
外切 d＝r1＋r2 一组实数解
相交 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 两组不同的实数解
内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解
内含 0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2) 无解
(1)两圆的位置关系与公切线的条数：内含：0条；内切：1条；相交：2条；外切：3条；外离：4条．
(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．
1．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为( )
A．x＋y－2＝0 B．x＋y－4＝0
C．x－y＋4＝0 D．x－y＋2＝0
【答案】 D
2．与圆C1：x2＋y2＋2x－6y－26＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0都相切的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
【答案】 A
3．若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围为
【答案】 (－，)
4．过点(－4，－8)作圆(x＋7)2＋(y＋8)2＝9的切线，则切线的方程为
【答案】 x＝－4
5．(2013·陕西高考)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
【答案】 B
6．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为
【答案】
考向一 [141] 直线与圆的位置关系
在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线：x－y＝4相切．
(1)求圆O的方程；
(2)若圆O上有两点M、N关于直线x＋2y＝0对称，且|MN|＝2，求直线MN的方程．
【尝试解答】 (1)依题意，圆O的半径r等于原点O到直线x－y＝4的距离，
所以圆O的方程为x2＋y2＝4.
(2)由题意，可设直线MN的方程为2x－y＋m＝0.
则圆心O到直线MN的距离d＝.
由垂径分弦定理得：＋()2＝22，即m＝±.
所以直线MN的方程为：2x－y＋＝0或2x－y－＝0.规律方法1 1.与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．
2．利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系．
对点训练 (1)直线x＋y＝0绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆x2＋y2－4x＋1＝0的位置关系是( )
A．直线与圆相切
B．直线与圆相交但不过圆心
C．直线与圆相离
D．直线过圆心
(2)(2014·安徽高考)过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】 (1)A (2)D
考向二 [142] 圆与圆的位置关系
圆O1的方程为：x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心坐标为(2,1)．
(1)若圆O1与圆O2相外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O1与圆O2相交于A、B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．
【尝试解答】 (1)圆O1的方程为：x2＋(y＋1)2＝4，
圆心O1(0，－1)，半径r1＝2.
设圆O2的半径为r2，由两圆外切知|O1O2|＝r1＋r2，
又|O1O2|＝＝2，
r2＝|O1O2|－r1＝2－2，
圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－8.
(2)设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，
又圆O1的方程为：x2＋(y＋1)2＝4，
两式相减得两圆公共弦AB所在的直线方程为：4x＋4y＋r－8＝0，
作O1HAB于H，则|AH|＝|AB|＝，
r1＝2，|O1H|＝＝，
又|O1H|＝＝，
＝，得r＝4或r＝20，
圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.规律方法2 1.圆与圆的位置关系取决于圆心距与两个半径的和与差的大小关系．
2．若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项即可得到．
3．若两圆相交，则两圆的连心线垂直平分公共弦．
对点训练 (1)(2014·北京高考)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得APB＝90°，则m的最大值为( )
A．7 B．6 C．5 D．4
(2)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的长为2，则a＝
【答案】 (1)B (2)1考向三 [143] 圆的切线与弦长问题
已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)过M点的圆的切线方程；
(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；
(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．
【尝试解答】 (1)圆心C(1,2)，半径为r＝2，
当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.
由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，
此时，直线与圆相切．
当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0.
由题意知＝2，解得k＝.
方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.
故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.
(2)由题意有＝2，解得a＝0或a＝.
(3)圆心到直线ax－y＋4＝0的距离为，
2＋2＝4，解得a＝－.规律方法3 1.过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法
(1)几何方法：当斜率存在时，设为k，切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径求解．
(2)代数方法：当斜率存在时，设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出．
2．求圆的弦长的常用方法：(1)几何法；(2)代数方法．
对点训练 (1)(2013·天津高考)已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝( )
A．－ B．1 C．2 D.
(2)(2013·安徽高考)直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为( )
【答案】 (1)C (2)C
规范解答之十四 与圆有关的探索问题求解策略
—————————— [1个示范例] —————— (12分)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.问在圆C上是否存在两点A、B关于直线y＝kx－1对称，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，说明理由．
【规范解答】 圆C的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心为C(1，－2)．假设在圆C上存在两点A、B满足条件，
则圆心C(1，－2)在直线y＝kx－1上，即k＝－1.3分
于是可知，kAB＝1.
设lABy＝x＋b，代入圆C的方程，整理得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，
则Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)＞0，即b2＋6b－9＜0.
解得－3－3＜b＜－3＋3.7分
设点A、B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－b－1，x1x2＝b2＋2b－2.
由题意知OAOB，则有x1x2＋y1y2＝0，
也就是x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝0.
2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0.10分
b2＋4b－4－b2－b＋b2＝0，化简得b2＋3b－4＝0.
解得b＝－4或b＝1，均满足Δ＞0，
即直线AB的方程为x－y－4＝0，或x－y＋1＝0.12分【名师寄语】 (1)本题是与圆有关的探索类问题，要注意充分利用圆的几何性质答题．(2)要注意解答这类题目的答题格式，使答题过程完整规范．(3)本题的易错点是转化方向不明确，思路不清晰．
———————— [1个规范练] ———————
在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2－12x＋32＝0的圆心为Q，过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B.
(1)求k的取值范围；
(2)是否存在常数k，使得向量＋与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．
【解】 (1)圆的方程可写成(x－6)2＋y2＝4，
所以圆心为Q(6,0)，半径为2.
过P(0,2)且斜率为k的直线方程为y＝kx＋2.
代入圆方程得，x2＋(kx＋2)2－12x＋32＝0，
整理得，(1＋k2)x2＋4(k－3)x＋36＝0.
直线与圆交于两个不同的点A，B等价于
Δ＝[4(k－3)]2－4×36×(1＋k2)＝42(－8k2－6k)＞0，
解得－＜k＜0，即k的取值范围为.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)．
由知，x1＋x2＝－.
又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4，
而P(0,2)，Q(6,0)，＝(6，－2)，
所以＋与共线等价于－2(x1＋x2)＝6(y1＋y2)．
将式代入式，解得k＝－.
因为k＝－，所以没有符合题意的常数k.
课时限时检测(四十八) 直线与圆、圆与圆的位置关系
(时间：60分钟 满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)
1．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是( )
A．相离 B．相切
C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心
【答案】 C
2．(2013·广东高考)垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是( )
A．x＋y－＝0 B．x＋y＋1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋＝0
【答案】 A
3．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2＝－2y＋3，直线的方程为ax＋y－1＝0，则直线与圆C的位置关系是( )
A．相离 B．相交
C．相切 D．相切或相交
【答案】 D
4．过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A、B两点，如果|AB|＝8，则直线l的方程为( )
A．5x＋12y＋20＝0
B．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0
C．5x－12y＋20＝0
D．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0
【答案】 B
5．(2013·山东高考)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )
A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
【答案】 A
6．(2013·重庆高考)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
【答案】 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．若O：x2＋y2＝5与O1：(x－m)2＋y2＝20(mR)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是
【答案】 4
8．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围为
【答案】 (－13,13)
9．已知P是直线l：kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，切点分别为A，B，若四边形PACB的最小面积为2，则k＝
【答案】 2
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)(2013·江西高考)若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，求圆C的方程．
【解】 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m)．又因为圆与直线y＝1相切，所以＝|1－m|，所以m2＋4＝m2－2m＋1，解得m＝－，所以圆的方程为(x－2)2＋2＝.
11．(12分)已知过点A(0,1)，且方向向量为a＝(1，k)的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M、N两点．
(1)求实数k的取值范围；
(2)若O为坐标原点，且·＝12，求k的值．
【解】 (1)直线l过点A(0,1)且方向向量a＝(1，k)，
直线l的方程为y＝kx＋1.
由＜1，得＜k＜.
(2)设M(x1，y1)、N(x2，y2)，
将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，
得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0，
x1＋x2＝，x1x2＝，
·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1.＋8＝12，＝4，解得k＝1.
12．(13分)(2013·江苏高考)如图8－4－1，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．
【解】 (1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0,3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3.
由题意，得＝1，解得k＝0或k＝－，
故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.
(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，
所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.
设点M(x，y)，因为MA＝2MO，
所以＝2，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．
由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，
则|2－1|≤CD≤2＋1，即1≤≤3.
整理，得－8≤5a2－12a≤0.
由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；
由5a2－12a≤0，得0≤a≤.
所以点C的横坐标a的取值范围为.
第五节 椭 圆
[考情展望] 1.考查利用椭圆的定义求椭圆的标准方程及利用椭圆的定义解决相关问题.2.考查椭圆的几何性质，主要考查椭圆的离心率，常以选择题、填空题形式出现.3.与向量、函数方程、不等式等知识结合考查直线与椭圆位置关系，常以解答题形式考查．
一、椭圆的定义
平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数．
(1)若2a＞|F1F2|，则集合P为椭圆；
(2)若2a＝|F1F2|，则集合P为线段；
(3)若2a＜|F1F2|，则集合P为空集．
二、椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
性质 范围 －a≤x≤a－b≤y≤b －b≤x≤b－a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)
离心率 e＝(0,1)
a，b，c的关系 c2＝a2－b2
点P(x0，y0)和椭圆的关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内＋＜1；
(2)点P(x0，y0)在椭圆上＋＝1；
(3)点P(x0，y0)在椭圆外＋＞1.
1．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】 D
2．“－3＜m＜5”是“方程＋＝1表示椭圆”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】 B
3．椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为( )
A．－21 B．21
【答案】 C
4．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴，离心率为，且过点P(－5,4)，则椭圆的方程为
【答案】 ＋＝1
5．(2013·大纲全国卷)已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为( )
【答案】 C
6．(2014·辽宁高考)已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝
【答案】 C
考向一 [144] 椭圆的定义与标准方程
(1)已知F1、F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且.若PF1F2的面积为9，则b＝
【答案】 3
(2)已知F1，F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，A，B分别是此椭圆的右顶点和上顶点，P是椭圆上一点，OPAB，PF1x轴，|F1A|＝＋，求椭圆的方程．
【尝试解答】 由题意，A(a,0)，B(0，b)，F1(－c,0)，O(0,0)．
OP∥AB，kOP＝kAB＝－，
因此直线OP的方程为y＝－x，
代入椭圆＋＝1，得x＝±a，
由PF1x轴，知x＝－a，
从而－a＝－c，即a＝c，
又|F1A|＝a＋c＝＋
联立，，得a＝，c＝，
b2＝a2－c2＝5，
所以该椭圆方程为＋＝1.规律方法1 1.(1)求椭圆的标准方程的方法：定义法；待定系数法；轨迹方程法．
(2)确定椭圆标准方程需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a、b的值．运用待定系数法时，常结合椭圆性质，已知条件，列关于a，b，c的方程．
2．涉及椭圆焦点三角形有关的计算或证明，常利用正(余)弦定理、椭圆定义，向量运算，并注意|PF1|＋|PF2|与|PF1|·|PF2|整体代换．
对点训练 (2014·安徽高考)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0<bb>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cosABF＝，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
(2)已知椭圆：＋＝1(0＜b＜3)，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若||＋||的最大值为8，则b的值是( )
【答案】 (1)B (2)D规律方法2 1.求椭圆的离心率，其法有三：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
2．e与a，b间的关系e2＝＝1－2.
对点训练 (1)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )
A．2 B．3 C．6 D．8
(2)(2014·江西高考)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若ADF1B，则椭圆C的离心率等于
【答案】 (1)C (2)考向三 [146] 直线与椭圆的位置关系
(2013·浙江高考)如图8－5－1，点P(0，－1)是椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)求ABD面积取最大值时直线l1的方程．
【尝试解答】 (1)由题意得
所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．
由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为y＝kx－1.
又圆C2：x2＋y2＝4，故点O到直线l1的距离d＝，
所以|AB|＝2＝2.
又l2l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.
由消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，
故方程的两根x1＝0，x2＝－，所以|PD|＝.
设ABD的面积为S，则S＝|AB|·|PD|＝，
＝，当且仅当k＝±时取等号．
所以所求直线l1的方程为y＝±x－1.规律方法3 直线与椭圆相交问题解题策略
当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长；涉及求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．其中，判别式大于零是检验所求参数的值有意义的依据．
对点训练 (2014·课标全国卷改编)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求椭圆C的方程．
【解】 (1)根据c＝及题设知M
由kMN＝，得＝，则2b2＝3ac.
将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，
解得＝，＝－2(舍去)．
故C的离心率为.
(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2y轴，
所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，
于是b2＝4a.
由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.
设N(x1，y1)，由题意知y12)，
其离心率为，故＝，解得a＝4.
故椭圆C2的方程为＋＝1.
(2)法一 A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，
由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，
将y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16，
又由＝2，得x＝4x，即＝，
解得k＝±1.故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
法二 A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，
由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，
由＝2，得x＝，y＝.
将x，y代入＋＝1中，得＝1，即4＋k2＝1＋4k2，
解得k＝±1.故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
课时限时检测(四十九) 椭 圆
(时间：60分钟 满分：80分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．2＜m＜6是方程＋＝1表示椭圆的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】 B
2．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为( )
A. B. C．2 D．4
【答案】 A
3．定义：关于x的不等式|x－A|＜B的解集叫A的B邻域．已知a＋b－2的a＋b邻域为区间(－2,8)，其中a、b分别为椭圆＋＝1的长半轴和短半轴．若此椭圆的一焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则椭圆的方程为( )
【答案】 B
4．已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到y轴的距离为( )
【答案】 B
5．(2013·大纲全国卷)椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是( )
【答案】 B
6．(2013·课标全国卷)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
【答案】 D
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么C的方程为
【答案】 ＋＝1
8．已知F1、F2是椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆上，且满足|PF1|＝2|PF2|，PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为
【答案】
9．已知对kR，直线y－kx－1＝0与椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是
【答案】 m≥1且m≠5
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)如图8－5－2所示，点P是椭圆＋＝1上的一点，F1和F2是焦点，且F1PF2＝30°，求F1PF2的面积．
【解】 在椭圆＋＝1中，a＝，b＝2.
又点P在椭圆上，
|PF1|＋|PF2|＝2.
由余弦定理知
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 30°
＝|F1F2|2＝(2c)2＝4.
①式两边平方得
|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20.
③－得(2＋)|PF1|·|PF2|＝16.
|PF1|·|PF2|＝16(2－)．
S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|sin 30°＝8－4.
11．(12分)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，＝2.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)如果|AB|＝，求椭圆C的方程．
【解】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意知y1＜0，y2＞0.
(1)直线l的方程为y＝(x－c)，
得(3a2＋b2)y2＋2b2cy－3b4＝0，
解得y1＝，y2＝，
因为＝2，所以－y1＝2y2.
即＝2·，得离心率e＝＝.
(2)因为|AB|＝|y2－y1|，
由＝得b＝a.
所以a＝，得a＝3，b＝.
椭圆C的方程为＋＝1.
12．(13分)(2013·北京高考)直线y＝kx＋m(m≠0)与椭圆W：＋y2＝1相交于A，C两点，O是坐标原点．
(1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；
(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明四边形OABC不可能为菱形．
【解】 (1)因为四边形OABC为菱形，
所以AC与OB互相垂直平分．
所以可设A，代入椭圆方程得＋＝1，
即t＝±.所以|AC|＝2.
(2)证明：假设四边形OABC为菱形．
因为点B不是W的顶点，且ACOB，所以k≠0.
由消去y并整理得
(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则
＝－，＝k·＋m＝，
所以AC的中点为M.
因为M为AC和OB的交点，且m≠0，k≠0，
所以直线OB的斜率为－.
因为k·≠－1，所以AC与OB不垂直．
所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾．
所以当点B在W上且不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．
第六节 双曲线
[考情展望] 1.考查双曲线的定义及标准方程.2.考查双曲线的几何性质(以渐近线的离心率为主).3.多以客观题形式考查，属中低档题目．
一、双曲线定义
平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a＜2c) ，则点P的轨迹叫做双曲线．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a＞0，c＞0.
(1)当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当2a＞|F1F2|时，P点不存在．
二、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴对称中心：原点 对称轴：坐标轴对称中心：原点
顶点 顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0) 顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e(1，＋∞)，其中c＝
a、b、c间的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
巧设双曲线方程
(1)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为＋＝1(mn＜0)．
1．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )A.
C. D．(，0)
【答案】 C
2．设双曲线－＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( )
【答案】 C
3．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于( )
A．1 B．17
C．1或17 D．以上答案均不对
【答案】 B
4．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则双曲线C的方程为
【答案】 x2－＝1
5．(2014·山东高考)已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为( )
A．x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
【答案】 A
6．(2014·课标全国卷)已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝( )
【答案】 D
考向一 [147] 双曲线的定义及应用
(1)已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cosF1PF2＝( )
A. B. C. D.
【答案】 C
(2)已知定点A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)；以点C为一个焦点作过A、B的椭圆，求另一个焦点F的轨迹方程．
【尝试解答】 设F(x，y)为轨迹上的任意一点，依题意，得
|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|＝2a(a表示椭圆的长半轴长)．
|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|
|FA|－|FB|＝2＜14.
由双曲线的定义知，F点在以A、B为焦点，2为实轴长的双曲线的下支上，
点F的轨迹方程是y2－＝1(y≤－1)．规律方法1 1.(1)抓住“焦点三角形PF1F2”中的数量关系是求解第(1)题的关键．(2)第(2)小题中，点F的轨迹是双曲线的下支，一定分清是差的绝对值为常数，还是差为常数．
2．利用双曲线定义求方程，要注意三点：(1)距离之差的绝对值，(2)2a＜|F1F2|，(3)焦点所在坐标轴的位置．
对点训练 已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
【解】 设动圆M的半径为r，
则由已知|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，
|MC1|－|MC2|＝2，
又C1(－4,0)，C2(4,0)，
|C1C2|＝8，
2＜|C1C2|.
根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线的右支．
又a＝，c＝4，
b2＝c2－a2＝14，
点M的轨迹方程是－＝1(x≥)．考向二 [148] 双曲线的标准方程
(1)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为
【答案】 －＝1
(2)已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．
【尝试解答】 椭圆D的两个焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.
设双曲线G的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25.
又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r＝3，
＝3，得a＝3，b＝4.
双曲线G的方程为－＝1.规律方法2 求双曲线的标准方程关注点：
(1)确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．
(2)利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．
若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1(AB＜0)．
若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)．
对点训练 (2014·江西高考改编)过双曲线C：－＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)．求双曲线C的方程．
【解】 由双曲线C：－＝1，知右顶点(a,0)，
不妨设双曲线C的一条渐近线为y＝x.
将x＝a代入上式，得交点A(a，b)，
记双曲线C的右焦点为F，则F(c,0)，
依题意，|OF|＝|FA|＝4，
故双曲线C的标准方程为－＝1.考向三 [149] 双曲线的几何性质
(1)(2014·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
【答案】 A
(2)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，x轴上有一点Q(2a,0)，若C上存在一点P，使·＝0，求此双曲线离心率的取值范围．
【尝试解答】 设P点坐标为(x，y)，
则由·＝0，得APPQ，
P点在以AQ为直径的圆上，
又P点在双曲线上，得－＝1.
由，消去y，得
(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0，
即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0.
当x＝a时，P与A重合，不符合题意，舍去．
当x＝时，满足题意的P点存在，
需x＝＞a，
化简得a2＞2b2，
即3a2＞2c2，＜.
又e＞1，离心率e＝.
规律方法3 求双曲线的离心率(取值范围)的策略
求双曲线离心率是一个热点问题．若求离心率的值，需根据条件转化为关于a，b，c的方程求解，若求离心率的取值范围，需转化为关于a，b，c的不等式求解，正确把握c2＝a2＋b2的应用及e＞1是求解的关键．
对点训练 (2014·重庆高考)设F1、F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C．4 D.
【答案】 D
思想方法之十九 分类讨论思想在判断直线与双曲线交点问题中的妙用
研究直线与圆锥曲线位置关系的问题，通常转化为研究方程组的解的问题，利用直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题(包括公共点个数、与交点坐标有关的问题)转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题，当一元二次方程中含有参数时，通常需要进行分类讨论，注意不要忽视了二次项系数的讨论．
—————————— [1个示范例]——————— 已知双曲线C：2x2－y2＝2与点P(1,2)
求过P(1,2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点．
【解】 (1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝1，与曲线C有一个交点，当l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，代入C的方程，并整理得
(2－k2)x2＋2(k2－2k)x－k2＋4k－6＝0.(*)
()当2－k2＝0，即k＝±时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点
()当2－k2≠0，即k≠±时，
Δ＝[2(k2－2k)]2－4(2－k2)(－k2＋4k－6)＝16(3－2k)
当Δ＝0，即3－2k＝0，k＝时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点．
当Δ＞0，即k＜，又k≠±，
故当k＜－或－＜k＜或＜k＜时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点．
当Δ＜0，即k＞时，方程(*)无解，l与C无交点．
综上知：当k＝±，或k＝，或k不存在时，l与C只有一个交点；
当＜k＜，或－＜k＜，或k＜－时，l与C有两个交点；
当k＞时，l与C没有交点．————————— [1个对点练] ———————
过点能作几条与双曲线－y2＝1有一个公共点的直线．
【解】 (1)当斜率不存在时，直线方程为x＝2，显然符合题意．
(2)当斜率存在时，设斜率为k，
则直线方程为y－＝k(x－2)，
联立－y2＝1得
(1－4k2)x2＋(16k2－4k)x－(16k2－8k＋5)＝0，
当1－4k2≠0时，令Δ＝0，解得k＝，一条．
当1－4k2＝0时，此时直线与渐近线平行，符合题意，两条．
课时限时检测(五十) 双曲线
(时间：60分钟 满分：80分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．设F1、F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且|PF1|＝5，则|PF2|＝( )
A．5 B．3 C．7 D．3或7
【答案】 D
2．(2013·课标全国卷)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
【答案】 C
3．(2013·福建高考)双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )
【答案】 C
4．(2013·湖北高考)已知0<θ0，b>0)的两个焦点，P是C上一点．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为
【答案】
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)设双曲线－＝1(b＞a＞0)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率．
【解】 由l过两点(a,0)、(0，b)，得l的方程为bx＋ay－ab＝0.
由原点到l的距离为c，得＝c.
将b＝代入，平方后整理，得
34－162＋16＝0，即3e4－16e2＋16＝0，又e＞1，故e＝或e＝2.
又0＜a＜b，e＝＝＝ ＞，
应舍去e＝，故所求离心率e＝2.
11．(12分)已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2＋y2＝10相交于点P(3，－1)，若此圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程．
【解】 切点为P(3，－1)的圆x2＋y2＝10的切线方程是3x－y＝10.
双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称，
两渐近线方程为3x±y＝0.
设所求双曲线方程为9x2－y2＝λ(λ≠0)．
点P(3，－1)在双曲线上，代入上式可得λ＝80.
所求的双曲线方程为－＝1.
12．(13分)已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为y＝x，右焦点F(5,0)，双曲线的实轴为A1A2，P为双曲线上一点(不同于A1，A2)，直线A1P，A2P分别与直线l：x＝交于M，N两点
(1)求双曲线的方程；
(2)·是否为定值，若为定值，求出该值；若不为定值，说明理由．
【解】 (1)由双曲线的渐近线方程为y＝x，
焦点F(5,0)可得：＝，c＝5，又c2＝a2＋b2，
a2＝9，b2＝16，双曲线方程为－＝1.
(2)A1(－3,0)，A2(3,0)，F(5,0)，设P(x，y)，M，
＝(x＋3，y)，，
因为A1，P，M三点共线，(x＋3)y0－y＝0，y0＝，
M，同理N，
·＝－·，＝，
故·为定值0.
第七节 抛物线
[考情展望] 1.考查与抛物线定义有关的最值、距离、轨迹问题.2.考查抛物线的标准方程及几何性质.3.考查直线与抛物线的位置关系、突出考查函数思想、数形结合思想．
一、抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
二、抛物线的标准方程与几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
范围 x≥0，yR x≤0，yR y≥0，xR y≤0，xR
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
离心率 e＝1
焦半径 |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋
抛物线的焦半径
抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋.
1．若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )
A. B. C. D．0
【答案】 B
2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是( )
A．y2＝－8x B．y2＝8x
C．y2＝－4x D．y2＝4x
【答案】 B
3．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为( )
A．4 B．－2
C．4或－4 D．12或－2
【答案】 C
4．双曲线－＝1的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为
【答案】 4
5．(2014·安徽高考)抛物线y＝x2的准线方程是( )
A．y＝－1 B．y＝－2
C．x＝－1 D．x＝－2
【答案】 A
6．(2014·课标全国卷)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝( )
C．12 D．7
【答案】 C
考向一 [150] 抛物线的定义及应用
(1)(2014·课标全国卷)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，点A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝( )
A．1 B．2 C．4 D．8
(2)过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|＜|BF|，则|AF|＝
【答案】 (1)A (2)规律方法1 1.(1)凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．(2)第(2)题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点A的坐标．
2．若P(x0，y0)为抛物线y2＝2px(p＞0)上一点，由定义易得|PF|＝x0＋；若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．
对点训练 已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A，求|PA|＋|PM|的最小值．
【解】 设抛物线的焦点为F，则|PF|＝|PM|＋，
|PM|＝|PF|－，
|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PF|－，
将x＝代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±，＜4，点A在抛物线的外部，
当P、A、F三点共线时，|PA|＋|PF|有最小值，
F，|AF|＝ ＝5，
|PA|＋|PM|有最小值5－＝.考向二 [151] 抛物线的标准方程与几何性质
(1)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A、B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为( )
A．18 B．24 C．36 D．48
(2)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )
A．x2＝y B．x2＝y
C．x2＝8y D．x2＝16y
【尝试解答】 (1)设抛物线方程为y2＝2px，
当x＝时，y2＝p2，|y|＝p，
p＝＝＝6，
又点P到AB的距离始终为6，
S△ABP＝×12×6＝36.
(2)双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，
＝＝2，b＝a，
双曲线的渐近线方程为x±y＝0，
抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为＝2，
p＝8.所求的抛物线方程为x2＝16y.
【答案】 (1)C (2)D规律方法2 1.抛物线有四种不同形式的标准方程，要掌握焦点与准线的距离，顶点与准线、焦点的距离，通径与标准方程中系数2p的关系．
2．求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0)．
3．焦点到准线的距离，简称焦准距，抛物线y2＝2px(p＞0)上的点常设为，便于简化计算．
对点训练 (2014·上海高考)若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为
【答案】 x＝－2
考向三 [152] 直线与抛物线位置关系
(2013·陕西高考)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是PBQ的角平分线，证明直线l过定点．
【尝试解答】 (1)如图，设动圆圆心O1(x，y)，由题意，|O1A|＝|O1M|.
当O1不在y轴上时，
过O1作O1HMN交MN于H，则H是MN的中点，
又|O1A|＝，
化简得，y2＝8x(x≠0)．
当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x，
∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.
(2)证明：如图，由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
将y＝kx＋b代入y2＝8x中，
得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0.
其中Δ＝－32kb＋64>0.
由根与系数的关系得，
x1＋x2＝，
∵x轴是PBQ的角平分线，
即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，
(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，
2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0，
将代入并整理得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，
k＝－b，此时Δ>0，
直线l的方程为y＝k(x－1)，即直线过定点(1,0)．规律方法3 解决抛物线与直线的相交问题，一般采取下面的处理方法：
设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，直线方程为Ax＋By＋C＝0，将直线方程与抛物线方程联立，消去x得到关于y的方程my2＋ny＋q＝0.
m≠0 Δ＞0 直线与抛物线有两个公共点
Δ＝0 直线与抛物线只有一个公共点
Δ＜0 直线与抛物线没有公共点
m＝0 直线与抛物线只有一个公共点，此时直线平行于抛物线的对称轴
对点训练 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(1，－2)．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
【解】 (1)将A(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，所以p＝2.
故所求的抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t.
由得y2＋2y－2t＝0.
因为直线l与抛物线C有公共点，
所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.
另一方面，由直线OA与l的距离d＝可得＝，解得t＝±1.
因为－1?，1，
所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.
思想方法之二十 等价转化思想在抛物线中的应用
等价转化思想在抛物线中应用广泛，如焦半径问题常利用抛物线的定义转化解决，与线段的长度、角等有关问题可转化为相应向量的模与夹角解决．
—————————— [1个示范例] —————— (1)已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值是( )
A.＋2 B.＋1
(2)已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，则a的取值范围为
【解析】 (1)因为抛物线的方程为y2＝4x，所以焦点坐标F(1,0)，准线方程为x＝－1.因为点P到y轴的距离为d1，所以到准线的距离为d1＋1，又d1＋1＝PF，所以d1＋d2＝d1＋1＋d2－1＝PF＋d2－1，焦点到直线的距离d＝＝＝，而PF＋d2≥d＝，所以d1＋d2＝PF＋d2－1≥d＝－1，选D.
(2)设C(x，x2)，由题意可取A(－，a)，B(，a)，
则＝(－－x，a－x2)，＝(－x，a－x2)，
由于ACB＝，所以·＝(－－x)(－x)＋(a－x2)2＝0，
整理得x4＋(1－2a)x2＋a2－a＝0，
即y2＋(1－2a)y＋a2－a＝0，
所以解得a≥1.————————— [1个对点练] ———————
(2013·江西高考)已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM||MN|＝( )
A．2 B．12
C．1∶ D．13
【解析】 如图所示，由抛物线定义知|MF|＝|MH|，所以|MF||MN|＝|MH||MN|.
由于MHN∽△FOA，则＝＝，
则|MH||MN|＝1，
即|MF||MN|＝1.
【答案】 C
课时限时检测(五十一) 抛物线
(时间：60分钟 满分：80分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为( )
A．－2 B．2 C．－4 D．4
【答案】 D
2．点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )
A．y＝12x2 B．y＝12x2或y＝－36x2
C．y＝－36x2 D．y＝x2或y＝－x2
【答案】 D
3．(2013·四川高考)抛物线y2＝8x的焦点到直线x－y＝0的距离是( )
【答案】 D
4．已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为( )
C．(1,2) D．(1，－2)
【答案】 A
5．(2013·课标全国卷)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则POF的面积为( )
【答案】 C
6．(2013·大纲全国卷)已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点．若·＝0，则k＝( )
【答案】 D
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程是
【答案】 x2＝12y
8．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为
【答案】 x＝－1
9．(2013·江西高考)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p＝
【答案】 6
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求该抛物线的方程．
【解】 依题意，设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，
则直线方程为y＝－x＋p.
设直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为C、D，则由抛物线定义得
|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|
＝x1＋＋x2＋，
即x1＋x2＋p＝8.
又A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线和直线的交点，由消去y，
得x2－3px＋＝0，所以x1＋x2＝3p.
将其代入得p＝2，所以所求抛物线方程为y2＝4x.
当抛物线方程设为y2＝－2px(p＞0)时，
同理可求得抛物线方程y2＝－4x.
综上，所求抛物线方程为y2＝4x或y2＝－4x.
11．(12分)已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.
(1)求该抛物线的方程．
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．
【解】 (1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，
从而有4x2－5px＋p2＝0，
所以x1＋x2＝.
由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，p＝4，
从而抛物线方程是y2＝8x.
(2)由p＝4知4x2－5px＋p2＝0可化为x2－5x＋4＝0，
从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，
从而A(1，－2)，B(4,4)．
设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)
＝(4λ＋1,4λ－2)，又y＝8x3，
所以[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，
解得λ＝0或λ＝2.
12．(13分)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)，O为坐标原点，F为抛物线的焦点，直线y＝x与抛物线C相交于不同的两点O、N，且|ON|＝4.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l过点F交抛物线于不同的两点A，B，交x轴于点M，且＝a，＝b，对任意的直线l，a＋b是否为定值？若是，求出a＋b的值；否则，说明理由．
【解】 (1)联立方程得x2－2px＝0，故O(0,0)，N(2p,2p)，|ON|＝＝2p，
由2p＝4得p＝2，抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)显然直线l的斜率一定存在且不等于零，设其方程为y＝kx＋1，则直线l与x轴交点为M，
记点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－4kx－4＝0，
Δ＝(4k)2－(－16)＝16(k2＋1)＞0，
x1＋x2＝4k，x1·x2＝－4.
由＝a，得＝a(－x1,1－y1)，
同理可得b＝－，
a＋b＝－＝－＝－1，
对任意的直线l，a＋b为定值－1.
第八节 曲线与方程
一、曲线与方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个}
已知线段AB,A点的坐标为(Xa,Ya)B点的坐标为(Xb,Yb).在AB之间有一点C，AC的距离是d，求点C的坐标。
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（1）由抛物线y=ax2+bx+c经过坐标原点可得， c=0， 由顶点M坐标为（1，2），可得A点坐标为（2，0）， 将他们的坐标值分别代入解析式可得， 2＝a+b0＝4a+2b， 解得，a＝?2b＝4， 故该抛物线的解析式为：y=-2x2+4x； （2）现将它向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线解析式为： y=-2（x-m）2+4（x-m）， 原抛物线与平移后的解析式交于P点， 则有y＝?2x2+4xy＝?2(x?m)2+4(x?m)， 解得，x＝ 分享 评论 | 给力1 不给力1 斑驳的夜7053 | 四级 采纳率64% 擅长： 暂未定制 其他类似问&br/&&br/&
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2016届高考（理）一轮课时限时检测：第8章 平面解析几何（人教A版）
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第八章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线方程
[考情展望] 1.考查直线的有关概念，如直线的倾斜角、斜率、截距等.2.考查不同条件下求直线的方程(点斜式、两点式及一般式等).3.题型多为客观题，多与两直线的位置关系、直线与圆的位置关系及圆锥曲线结合交汇命题．
一、直线的倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0，π)．
2．斜率公式
(1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝tan α.
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.
二、直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝ 不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0 平面内所有直线都适用
1．直线x－y＋a＝0的倾斜角为( )
A．30° B．60° C．150° D．120°
【答案】 B
2．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是( )
A．1 B．－1
C．－2或－1 D．－2或1
【答案】 D
3．已知A(3,5)，B(4,7)，C(－1，x)三点共线，则x＝
【答案】 －3
4．一条直线经过点A(2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y＝x的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是
，斜截式方程是
【答案】 x－y－2－3＝0 y＝x－2－3
5．(2014·福建高考)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则直线l的方程是( )
A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0
【答案】 D
6．(2013·辽宁高考)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若OAB为直角三角形，则必有( )
B．b＝a3＋
C．(b－a3)＝0
D．|b－a3|＋＝0
【答案】 C
考向一 [132] 直线的倾斜角和斜率
(1) 若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( )
A. B．－ C．－ D.
(2)直线xcos α＋y＋2＝0的倾斜角的范围是( )
【答案】 (1)B (2)B
规律方法1 1.解答本例(2)时极易错选D，出错的原因是忽视了正切函数在和上的变化情况．
2．已知倾斜角的范围，求斜率的范围，实质上是求k＝tan α的值域问题；已知斜率k的范围求倾斜角的范围，实质上是在上解关于正切函数的三角不等式问题．由于函数k＝tan α在上不单调，故一般运用数形结合思想解决此类问题．
对点训练 若直线l的斜率为k，倾斜角为α，而α∪，则k的取值范围是
【答案】 [－，0)
考向二 [133] 求直线的方程
已知点A(3,4)，求满足下列条件的直线方程．
(1)经过点A且在两坐标轴上截距相等；
(2)经过点A且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．
【尝试解答】 (1)设直线在x，y轴上的截距均为a.
若a＝0，即直线过点(0,0)及(3,4)
直线的方程为y＝x，即4x－3y＝0.
若a≠0，则设所求直线的方程为＋＝1，
又点(3,4)在直线上，
＋＝1，a＝7，
直线的方程为x＋y－7＝0.
综合可知所求直线方程为4x－3y＝0或x＋y－7＝0.
(2)由题意可知，所求直线的斜率为±1，
又过点(3,4)．由点斜式得y－4＝±(x－3)，
所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.规律方法2 1.截距不是距离，它可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解．
2．求直线方程的一种重要方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫做待定系数法，运用此方法，注意各种形式的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要．
对点训练 ABC的三个顶点为A(－3,0)，B(2,1)，
C(－2,3)，求：
(1)BC所在直线的方程；
(2)BC边上中线AD所在直线的方程；
(3)BC的垂直平分线DE的方程．
【解】 (1)因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，
由两点式得BC的方程为＝，即x＋2y－4＝0.
(2)设BC中点D的坐标(x，y)，则
x＝＝0，y＝＝2.
BC边的中线AD过点A(－3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD所在直线方程为＋＝1，即2x－3y＋6＝0.
(3)BC的斜率k1＝－，则BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2，由斜截式得直线DE的方程为y＝2x＋2.
考向三 [134] 直线方程的综合应用
已知直线方程为(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0.
(1)证明：直线恒过定点M；
(2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A、B两点，求AOB面积的最小值及此时直线的方程．
【尝试解答】 (1)(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0可化为(x－2y－3)m＝－2x－y－4.
直线必过定点M(－1，－2)．
(2)设直线的斜率为k(k＜0)，则其方程为y＋2＝k(x＋1)，
|OA|＝1－，|OB|＝2－k，
SAOB＝·|OA|·|OB|
＝(2－k)＝.
k＜0，－k＞0，
当且仅当－＝－k，即k＝－2时取等号，
AOB的面积最小值是4，
此时直线的方程为y＋2＝－2(x＋1)，即y＋2x＋4＝0.规律方法3 1.解答本题的关键是面积最小值的求法，解法中使用了均值不等式，仔细体会此解法．
2．利用直线方程解决问题，为简化运算可灵活选用直线方程的形式：一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距选择截距式．
对点训练 直线l经过点P(3,2)且与x，y轴的正半轴分别交于A、B两点，OAB的面积为12，求直线l的方程．
【解】 法一 设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，
A(a,0)，B(0，b)，解得
∴所求直线l的方程为＋＝1，即2x＋3y－12＝0.
法二 设直线l的方程为y－2＝k(x－3)，
令y＝0，得直线l在x轴的正半轴上的截距a＝3－，
令x＝0，得直线l在y轴的正半轴上的截距b＝2－3k，
(2－3k)＝24，
解得k＝－，
直线l的方程为y－2＝－(x－3)，即2x＋3y－12＝0.
易错易误之十五 求直线方程忽视零截距
—————————— [1个示范例] —————— 设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(aR)．
(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
【解】 (1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，a＝2，方程即为3x＋y＝0.
此处易忽视在x轴与y轴上的截距为零的情形．
当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.
＝a－2，即a＋1＝1.
a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.
(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
综上可知a的取值范围是a≤－1.【防范措施】 1.在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解．
2．常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形．注意分类讨论思想的运用．
————————— [1个防错练] ———————
求经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
【解】 设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，
l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.
若a≠0，则设l的方程为＋＝1，
l过点(3,2)，＋＝1，
a＝5，l的方程为x＋y－5＝0，
综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
课时限时检测(四十五) 直线的倾斜角与斜率、直线方程
(时间：60分钟 满分：80分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则参数m满足的条件是( )
A．m≠－ B．m≠0
C．m≠0且m≠1 D．m≠1
【答案】 D
2．直线xsin ＋ycos ＝0的倾斜角α是( )
A．－ B. C. D.
【答案】 D
3．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
【答案】 B
4．直线mx－y＋2m＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标是( )
A．(－2,1) B．(2,1)
C．(1，－2) D．(1,2)
【答案】 A
5．已知函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，当x＜0时，f(x)＞1，方程y＝ax＋表示的直线是( )
【答案】 C
6．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是( )
【答案】 B
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．若A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)，(ab≠0)三点共线，则＋的值为
【答案】 －
8．如图8－1－1，点A、B在函数y＝tan的图象上，则直线AB的方程为
【答案】 x－y－2＝0
9．已知A(3,0)，B(0,4)，动点P(x，y)在线段AB上移动，则xy的最大值等于
【答案】 3
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)过点P(－1，－1)的直线l与x轴、y轴分别交于A、B两点，若P恰为线段AB的中点，求直线l的斜率和倾斜角．
【解】 设A(a,0)，B(0，b)，则
即A(－2,0)，B(0，－2)，
kAB＝＝－1，故直线l的倾斜角为135°.
11．(12分)(1)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程．
(2)求经过点A(－，3)，且倾斜角为直线x＋y＋1＝0的倾斜角的一半的直线方程．
【解】 (1)当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y＝kx，
将(－5,2)代入y＝kx中，
得k＝－时，此时，直线方程为
y＝－x，即2x＋5y＝0.
当横截距、纵截距都不是零时，
设所求直线方程为＋＝1，将(－5,2)代入所设方程，
解得a＝－，此时，
直线方程为x＋2y＋1＝0.
综上所述，所求直线方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.
(2)由x＋y＋1＝0得此直线的斜率为－，
倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，
所求直线的斜率为.
又过点A(－，3)，
所求直线方程为y－3＝(x＋)，
即x－y＋6＝0.
12．(13分)已知定点P(6,4)与直线l1：y＝4x，过点P的直线l与l1交于第一象限的Q点，与x轴正半轴交于点M.求使OQM面积最小的直线l的方程．
【解】 Q点在l1：y＝4x上，可设Q(x0,4x0)，
则PQ的方程为＝.
令y＝0，得x＝(x0＞1)，M.
∴S△OQM＝××4x0＝10×
＝10×≥40.
当且仅当x0－1＝
即x0＝2时取等号，Q(2,8)．
PQ的方程为：＝，x＋y－10＝0.第二节 两条直线的位置关系
[考情展望] 1.考查由已知两条直线平行与垂直求参数.2.考查距离的计算及对称问题.3.本节内容客观题主要考查基础知识和基本能力，主观题主要在知识交汇处命题注重考查分类讨论与数形结合思想．
一、两条直线的位置关系
1．两条直线平行与垂直
(1)两条直线平行：
对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2?k1＝k2.
当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.
(2)两条直线垂直：
如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1l2?k1·k2＝－1.
当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1l2.
2．两条直线的交点
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．
1．一般地，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0；与之垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.
2．过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λR)，但不包括l2.
二、几种距离
1．两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝.
2．点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
3．两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝.
点到直线与两平行线间的距离的使用条件：
(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．
(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．
1．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
【答案】 A
2．已知点(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( )
【答案】 C
3．已知直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8平行，则实数m的值为( )
A．－7 B．－1
C．－1或－7
【答案】 A
4．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝
【答案】 1
5．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是
【答案】 －3
6．(2014·四川高考)设mR，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是
【答案】 5
考向一 [135] 两条直线的平行与垂直
已知直线l1：x＋my＋6＝0，直线l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，问当m为何值时，l1与l2：
(1)相交？(2)垂直？(3)平行？(4)重合？
【尝试解答】 (1)3≠m·(m－2)即m2－2m－3≠0，
所以m≠3且m≠－1.
当m≠3且m≠－1时，l1与l2相交．
(2)要使l1l2，
只要1·(m－2)＋m·3＝0即m＝.
当m＝时，l1l2.
(3)要使l1l2，只要
∴当m＝－1时，l1l2.
(4)由(3)知，当m＝3时，l1与l2重合．规律方法1 在研究直线平行与垂直的位置关系时，如果所给直线方程含有字母系数时，要注意利用两直线平行与垂直的充要条件：
(1)l1l2?A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)；
(2)l1l2?A1A2＋B1B2＝0，这样可以避免对字母系数进行分类讨论，防止漏解与增根．
对点训练 (1)(2015·威海模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则直线xsin A＋ay＋c＝0与直线bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．重合 D．相交但不垂直
(2)已知直线x＋a2y＋6＝0与直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0平行，则a的值为( )
A．0或3或－1 B．0或3
C．3或－1 D．0或－1
【答案】 (1)B (2)D考向二 [136] 两直线的交点与距离
(1)求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．
(2)已知点P(2，－1)，求过点P且与原点距离为2的直线l的方程；求过点P且与原点距离最大的直线l的方程，并求最大距离．
【尝试解答】 (1)法一 先解方程组得l1、l2的交点坐标为(－1,2)，
再由l3的斜率求出l的斜率为－，
于是由直线的点斜式方程求出l：
y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.
法二 由于ll3，故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条，而l过l1、l2的交点(－1,2)，
故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1，
故l的方程为5x＋3y－1＝0.
法三 由于l过l1、l2的交点，故l是直线系3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0中的一条，
将其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0，
其斜率－＝－，解得λ＝，
代入直线系方程即得l的方程为5x＋3y－1＝0.
(2)若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝2满足条件．
若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.
由已知，得＝2，解得k＝.
此时l的方程为3x－4y－10＝0.
综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
作图可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，如图．
由lOP，得klkOP＝－1，
所以kl＝－＝2.
由点斜式得y＋1＝2(x－2)，2x－y－5＝0.
直线2x－y－5＝0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为＝.规律方法2 求点到直线距离的最值问题的方法：(1)直接利用点到直线的距离公式建立距离关于斜率k的代数关系式求解；(2)从几何中位置关系的角度，利用几何关系求解．在解决解析几何问题时，要善于发现其中包含的几何关系，充分利用几何性质进行求解．
对点训练 直线l经过点P(2，－5)且与点A(3，－2)和点B(－1,6)的距离之比为12，求直线l的方程．
【解】 当直线l与x轴垂直时，此时l的方程为x＝2，A到l的距离为d1＝1，B到l的距离为d2＝3，不符合题意，故直线l的斜率必存在．
直线l过点P(2，－5)，设直线l的方程为y＋5＝k(x－2)，
即kx－y－2k－5＝0.
A(3，－2)到直线l的距离
B(－1,6)到直线l的距离
d1∶d2＝12，＝，
k2＋18k＋17＝0，k1＝－1，k2＝－17.
所求直线方程为x＋y＋3＝0和17x＋y－29＝0.考向三 [137] 对称问题
光线由点P(－1,3)射出，遇直线l：x＋y＋1＝0反射，反射光线经过点Q(4，－2)，求入射光线与反射光线所在的直线方程．
【尝试解答】 设P(－1,3)关于直线x＋y＋1＝0的对称点为P′(x1，y1)，点Q(4，－2)关于直线x＋y＋1＝0的对称点为Q′(x2，y2)．
所以P′(－4,0)．同理有Q′(1，－5)．这样，反射光线所在直线为P′Q，斜率k1＝＝－.
直线方程为x＋4y＋4＝0.
入射光线所在直线为PQ′，斜率k2＝＝－4，直线方程为4x＋y＋1＝0.
入射光线直线方程为4x＋y＋1＝0，反射光线直线方程为x＋4y＋4＝0.规律方法3 (1)求点M(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(AB≠0)的对称点N的方法：
设N(x，y)，
求出x，y，即得点N的坐标．
(2)两点关于点对称，两点关于直线对称的常见结论有：
点(x，y)关于x轴、y轴、直线x－y＝0、直线x＋y＝0及原点的对称点分别为(x，－y)、(－x，y)、(y，x)、(－y，－x)和(－x，－y)．
对点训练 已知点A的坐标为(－4,4)，直线l的方程为3x＋y－2＝0，求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线l关于点A的对称直线l′的方程．
【解】 (1)设点A′的坐标为(x，y)，由题意可知
解得x＝2，y＝6，
A′点的坐标为(2,6)．
(2)法一 在直线l′上任取一点P′(x，y)，其关于点A(－4,4)的对称点(－8－x,8－y)必在直线l上，
即3(－8－x)＋(8－y)－2＝0，即3x＋y＋18＝0，
所以所求直线的方程为3x＋y＋18＝0.
法二 由题意可知l′l，设l′的方程为3x＋y＋c＝0，
由题意可知＝，
解得c＝18或c＝－2(舍)，
所以所求直线的方程为3x＋y＋18＝0.
易错易误之十六 小视斜率不存在
—————————— [1个示范例] —————— 已知l1：3x＋2ay－5＝0，l2：(3a－1)x－ay－2＝0.求使l1l2的a的值．
【解】 法一 当直线斜率不存在，即a＝0时，有l1：3x－5＝0，l2：－x－2＝0，符合l1l2.
此处易误认为直线l1与l2的斜率一定存在，漏掉讨论直线斜率不存在的情形
当直线斜率存在时，l1l2，－＝＝a＝－，经检验，a＝－符合题意．
故使l1l2的a的值为0或－.
法二 由l1l2?3·(－a)－(3a－1)·2a＝0，得a＝0或a＝－，经检验，a＝0或a＝－均符合题意，故使l1l2的a的值为0或－.【防范措施】 在讨论含参数的两条直线的位置关系时，一定不要忘记两条直线的斜率是否存在的情况，否则会出现漏解．
————————— [1个防错练] ———————
已知直线l1：ax－y＋2a＝0，l2：(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直，则实数a的值是
【解析】 因为直线l1：ax－y＋2a＝0，l2：(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直，故有a(2a－1)＋a(－1)＝0，可知a的值为0或1.
【答案】 0或1
课时限时检测(四十六) 两条直线的位置关系
(时间：60分钟 满分：80分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为( )
A. B．－ C．2 D．－2
【答案】 A
2．直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则n的值为( )
A．－12 B．－2
C．0 D．10
【答案】 A
3．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )
【答案】 B
4．当0＜k＜时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】 B
5．若三条直线l1：4x＋y＝4，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my＝4不能围成三角形，则实数m的取值最多有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．6个
【答案】 C
6．若曲线y＝2x－x3在横坐标为－1的点处的切线为l，则点P(3,2)到直线l的距离为( )
【答案】 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．已知直线l1：x＋ay＋6＝0和l1：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1l2的充要条件是
【答案】 －1
8．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为
【答案】 x－y＋1＝0
9．若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则的值为
【答案】 ±1
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1l2，且直线l1过点(－3，－1)；
(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
【解】 (1)l1⊥l2，a(a－1)－b＝0.
又直线l1过点(－3，－1)，－3a＋b＋4＝0.
故a＝2，b＝2.
(2)直线l2的斜率存在，l1l2，直线l1的斜率存在．
k1＝k2，即＝1－a.
又坐标原点到这两条直线的距离相等．
l1，l2在y轴上的截距互为相反数，
故a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.
11．(12分)已知直线l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及点P(3,4)．
(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标．
(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程．
【解】 (1)证明 直线l的方程可化为a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0，
直线l恒过定点(－2,3)．
(2)设直线l恒过定点A(－2,3)，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大．
又直线PA的斜率kPA＝＝，
直线l的斜率kl＝－5.
故直线l的方程为y－3＝－5(x＋2)，即5x＋y＋7＝0.
12．(13分)过点A(3，－1)作直线l交x轴于点B，交直线l1：y＝2x于点C，若|BC|＝2|AB|，求直线l的方程．
【解】 当k不存在时B(3,0)，C(3,6)，
此时|BC|＝6，|AB|＝1，|BC|≠2|AB|.
直线l的斜率存在．
设直线l的方程为y＋1＝k(x－3)．
令y＝0，得B.
得C点横坐标xC＝.
若|BC|＝2|AB|，则|xB－xC|＝2|xA－xB|.
－－3＝或－－3＝－，
解得k＝－或k＝.
所求直线l的方程为：3x＋2y－7＝0或x－4y－7＝0.
第三节 圆的方程
[考情展望] 1.结合直线方程，考查运用待定系数法求圆的方程.2.考查运用圆的几何性质求动点的轨迹方程.3.多以选择题、填空题形式考查．
一、圆的定义及方程
定义 平面内到定点的距离等于定长的点集合 限定条件
标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 圆心：(a，b)，半径：r r＞0
一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 圆心：，半径： D2＋E2－4F＞0
确定圆的方程时，常用到的三个性质
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上
(2)圆心在任一弦的中垂线上
(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
二、点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系
1．若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.
2．若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
3．若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.
从位置看d，r的关系
判定点与圆的位置关系还可利用点到圆心的距离d与r的关系：d＞r点在圆外；d＝r点在圆上；d＜r点在圆内．
1．圆的方程为x2＋y2＋2by－2b2＝0，则圆的圆心和半径分别为( )
A．(0，b)，b B．(0，b)，|b|
C．(0，－b)，b D．(0，－b)，|b|
【答案】 D
2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是( )
A．a＜－2或a＞ B．－＜a＜0
C．－2＜a＜0 D．－2＜a＜
【答案】 D
3．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( )
A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1
C．a＞1或a＜－1 D．a＝±1
【答案】 A
4.已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为
【答案】 (x－2)2＋y2＝10
5．(2013·重庆高考)设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A．6 B．4
C．3 D．2
【答案】 B
6．(2014·课标全国卷)设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得OMN＝45°，则x0的取值范围是
【答案】 [－1,1]
考向一 [138] 求圆的方程
求圆心在直线2x－y－3＝0上，且过点A(5,2)和点B(3，－2)的圆的方程．
【尝试解答】 法一 圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，
圆心一定在线段AB的垂直平分线上．
线段AB的垂直平分线方程为y＝－(x－4)．
设所求圆的圆心坐标为C(a，b)，则有
C(2,1)，r＝|CA|＝＝.
所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
法二 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
法三 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
解得D＝－4，E＝－2，F＝－5，
所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0.规律方法1 求圆的方程有两种方法：
(1)代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a，b，r的方程组求解．若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D，E，F的方程组求解．
(2)几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．
对点训练 (2014·山东高考)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为
【答案】 (x－2)2＋(y－1)2＝4考向二 [139] 与圆有关的最值问题
已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值．
【尝试解答】 (1)原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，
表示以(2,0)为圆心，为半径的圆，的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率．
所以设＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，
此时＝，解得k＝±.
所以的最大值为，最小值为－.
(2)设y－x＝b，y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，
此时＝，解得b＝－2±.
所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，
由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离为＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，
x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.规律方法2 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：
(1)形如u＝型的最值问题，可转化为过点(a，b)和(x，y)的直线的斜率的最值问题；
(2)形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题．
对点训练 已知圆Q：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆上任一点．
(1)求的最大、最小值；(2)求x－2y的最大、最小值．
【解】 (1)设＝k，则kx－y－k＋2＝0.由于P(x，y)是圆上任一点，当直线与圆有交点时，如图所示：
两条切线的斜率分别是最大、最小值．
由d＝＝1，得k＝.
的最大值为，最小值为.
(2)令x－2y＝m，同理，两条切线在x轴上的截距分别是最大、最小值．
由d＝＝1，
得m＝－2±.
x－2y的最大值为－2＋，最小值为－2－.考向三 [140] 与圆有关的轨迹问题
设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，点O是坐标原点，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
【尝试解答】 四边形MONP为平行四边形，
设点P(x，y)，点N(x0，y0)，则
＝－＝(x，y)－(－3,4)＝(x＋3，y－4)．
又点N在圆x2＋y2＝4上运动，
(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
又当OM与ON共线时，O、M、N、P构不成平行四边形．
故动点P的轨迹是圆且除去点和.规律方法3 1.本例中点P是平行四边形MONP的一个顶点，因此在点M、O、N三点共线时，点P是不存在的，故所求的轨迹中应除去两点．
2．求与圆有关的轨迹问题的常用方法．
(1)直接法：由题设直接求出动点坐标所满足的关系式．
(2)定义法：利用定义写出动点的轨迹方程．
(3)代入法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可用Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程．
对点训练 (2014·课标全国卷)已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及POM的面积．
【解】 (1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.
设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y)．
由题设知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，
即(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆．
由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上．
又P在圆N上，从而ONPM.
因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，
故l的方程为y＝－x＋.
又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为，|PM|＝，所以POM的面积为.
规范解答之十三 破解圆的方程综合问题
—————————— [1个示范例] —————— (12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OAOB，求a的值．
【规范解答】 (1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0) ，(3－2，0)．
故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，
解得t＝1.则圆C的半径为＝3.
所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.6分
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组：
消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.
由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a2＞0.
从而x1＋x2＝4－a，x1x2＝. 8分
由于OAOB，可得x1x2＋y1y2＝0.
又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，
所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0. 10分
由，得a＝－1，满足Δ＞0，故a＝－1.12分【名师寄语】 (1)若已知条件容易求出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标列方程，通常选用圆的标准方程；若已知条件为圆经过三点，一般采用一般式．
(2)解决直线与圆的问题可以借助圆的几何性质；但也要理解掌握一般的代数法，利用“设而不求”的方法技巧，要充分利用一元二次方程根与系数的关系求解．
————————— [1个规范练] ———————
在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－y－4＝0相切．
(1)求圆的方程；
(2)圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求·的取值范围．
【解】 (1)设圆的方程为x2＋y2＝r2，则r＝＝2.
圆的方程为x2＋y2＝4.
(2)由(1)知A(－2,0)，B(2,0)，设P(x0，y0)，
则|PA|＝，
又|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，
|PO|2＝|PA|·|PB|，
整理得y＝x－2.
·＝(－2－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝(x－4)＋y＝2x－6.
又点P在圆内，x＋y＜4.
2≤x＜3，－2≤·＜0.
课时限时检测(四十七) 圆的方程
(时间：60分钟 满分：80分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是( )
A．(－∞，4) B．(－∞，0)
C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)
【答案】 A
2．若当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝( )
A. B.
C. D.
【答案】 A
3．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则ABC面积的最小值是( )
A．3－ B．3＋
【答案】 A
4．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C.(x＋4)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
【答案】 A
5．点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，则该圆的半径为( )
【答案】 C
6．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
【答案】 D
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．直线x－2y－2k＝0与2x－3y－k＝0的交点在圆x2＋y2＝9的外部，则k的范围是
【答案】
8．已知A、B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且|AB|＝6，若以AB的长为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是
【答案】 (x－1)2＋(y＋1)2＝9
9．已知圆C过点A(1,0)和B(3,0)，且圆心在直线y＝x上，则圆C的标准方程为
【答案】 (x－2)2＋(y－2)2＝5
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)已知圆的方程为(x－m)2＋(y＋m－4)2＝2.
(1)求圆心C的轨迹方程；
(2)当|OC|最小时，求圆C的一般方程(O为坐标原点)．
【解】 (1)设C(x，y)，
消去m，得y＝4－x.
圆心C的轨迹方程为x＋y－4＝0.
(2)当|OC|最小时，OC与直线x＋y－4＝0垂直，
直线OC的方程为x－y＝0.
由得x＝y＝2.
即|OC|最小时，圆心的坐标为(2,2)，m＝2.
圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.
其一般方程为x2＋y2－4x－4y＋6＝0.
11．(12分)已知点P(x，y)是圆(x＋2)2＋y2＝1上任意一点．
(1)求P点到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值和最小值；
(2)求x－2y的最大值和最小值；
(3)求的最大值和最小值．
【解】 (1)圆心C(－2,0)到直线3x＋4y＋12＝0的距离为
P点到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值为
d＋r＝＋1＝，
最小值为d－r＝－1＝.
(2)设t＝x－2y，
则直线x－2y－t＝0与圆(x＋2)2＋y2＝1有公共点．
∴－－2≤t≤－2.
tmax＝－2，tmin＝－2－.
即x－2y的最大值为－2.
最小值为－2－.
(3)设k＝，
则直线kx－y－k＋2＝0与圆(x＋2)2＋y2＝1有公共点，
∴kmax＝，kmin＝.
即的最大值为，最小值为.
12．(13分)已知圆C经过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，半径小于5.
(1)求直线PQ与圆C的方程；
(2)若直线lPQ，且l与圆C交于点A，B，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．
【解】 (1)直线PQ的方程为：x＋y－2＝0，设圆心O(a，b)，半径为r，
由于线段PQ的垂直平分线的方程是
y－＝x－，
即y＝x－1，所以b＝a－1.
又由在y轴上截得的线段长为4，
知(a＋1)2＋(b－3)2＝12＋a2.
由得：a＝1.b＝0或a＝5，b＝4.
当a＝1，b＝0时，r2＝13满足题意
当a＝5，b＝4时，r2＝37不满足题意，
故圆C的方程为(x－1)2＋y2＝13.
(2)设直线l的方程为y＝－x＋m，
A(x1，m－x1)，B(x2，m－x2)，
由题意可知OA⊥OB，即kOA·kOB＝－1，
整理得m2－m(x1＋x2)＋2x1x2＝0
将y＝－x＋m代入(x－1)2＋y2＝13
可得2x2－2(m＋1)x＋m2－12＝0.
x1＋x2＝1＋m，x1x2＝，
即m2－m·(1＋m)＋m2－12＝0.
m＝4或m＝－3，y＝－x＋4或y＝－x－3.
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
[考情展望] 1.考查根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.考查通过数形结合思想，充分利用圆的几何性质解决圆的切线、圆的弦长问题.3.从考查形式上看，以选择题、填空题为主，属中档题．
一、判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
1．几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：
d＜r相交；d＝r相切；d＞r相离．
2．代数法：
圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
二、圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0).
位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况
相离 d＞r1＋r2 无解
外切 d＝r1＋r2 一组实数解
相交 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 两组不同的实数解
内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解
内含 0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2) 无解
(1)两圆的位置关系与公切线的条数：内含：0条；内切：1条；相交：2条；外切：3条；外离：4条．
(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．
1．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为( )
A．x＋y－2＝0 B．x＋y－4＝0
C．x－y＋4＝0 D．x－y＋2＝0
【答案】 D
2．与圆C1：x2＋y2＋2x－6y－26＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0都相切的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
【答案】 A
3．若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围为
【答案】 (－，)
4．过点(－4，－8)作圆(x＋7)2＋(y＋8)2＝9的切线，则切线的方程为
【答案】 x＝－4
5．(2013·陕西高考)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
【答案】 B
6．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为
【答案】
考向一 [141] 直线与圆的位置关系
在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线：x－y＝4相切．
(1)求圆O的方程；
(2)若圆O上有两点M、N关于直线x＋2y＝0对称，且|MN|＝2，求直线MN的方程．
【尝试解答】 (1)依题意，圆O的半径r等于原点O到直线x－y＝4的距离，
所以圆O的方程为x2＋y2＝4.
(2)由题意，可设直线MN的方程为2x－y＋m＝0.
则圆心O到直线MN的距离d＝.
由垂径分弦定理得：＋()2＝22，即m＝±.
所以直线MN的方程为：2x－y＋＝0或2x－y－＝0.规律方法1 1.与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．
2．利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系．
对点训练 (1)直线x＋y＝0绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆x2＋y2－4x＋1＝0的位置关系是( )
A．直线与圆相切
B．直线与圆相交但不过圆心
C．直线与圆相离
D．直线过圆心
(2)(2014·安徽高考)过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】 (1)A (2)D
考向二 [142] 圆与圆的位置关系
圆O1的方程为：x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心坐标为(2,1)．
(1)若圆O1与圆O2相外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O1与圆O2相交于A、B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．
【尝试解答】 (1)圆O1的方程为：x2＋(y＋1)2＝4，
圆心O1(0，－1)，半径r1＝2.
设圆O2的半径为r2，由两圆外切知|O1O2|＝r1＋r2，
又|O1O2|＝＝2，
r2＝|O1O2|－r1＝2－2，
圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－8.
(2)设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，
又圆O1的方程为：x2＋(y＋1)2＝4，
两式相减得两圆公共弦AB所在的直线方程为：4x＋4y＋r－8＝0，
作O1HAB于H，则|AH|＝|AB|＝，
r1＝2，|O1H|＝＝，
又|O1H|＝＝，
＝，得r＝4或r＝20，
圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.规律方法2 1.圆与圆的位置关系取决于圆心距与两个半径的和与差的大小关系．
2．若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项即可得到．
3．若两圆相交，则两圆的连心线垂直平分公共弦．
对点训练 (1)(2014·北京高考)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得APB＝90°，则m的最大值为( )
A．7 B．6 C．5 D．4
(2)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的长为2，则a＝
【答案】 (1)B (2)1考向三 [143] 圆的切线与弦长问题
已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)过M点的圆的切线方程；
(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；
(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．
【尝试解答】 (1)圆心C(1,2)，半径为r＝2，
当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.
由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，
此时，直线与圆相切．
当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0.
由题意知＝2，解得k＝.
方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.
故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.
(2)由题意有＝2，解得a＝0或a＝.
(3)圆心到直线ax－y＋4＝0的距离为，
2＋2＝4，解得a＝－.规律方法3 1.过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法
(1)几何方法：当斜率存在时，设为k，切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径求解．
(2)代数方法：当斜率存在时，设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出．
2．求圆的弦长的常用方法：(1)几何法；(2)代数方法．
对点训练 (1)(2013·天津高考)已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝( )
A．－ B．1 C．2 D.
(2)(2013·安徽高考)直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为( )
【答案】 (1)C (2)C
规范解答之十四 与圆有关的探索问题求解策略
—————————— [1个示范例] —————— (12分)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.问在圆C上是否存在两点A、B关于直线y＝kx－1对称，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，说明理由．
【规范解答】 圆C的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心为C(1，－2)．假设在圆C上存在两点A、B满足条件，
则圆心C(1，－2)在直线y＝kx－1上，即k＝－1.3分
于是可知，kAB＝1.
设lABy＝x＋b，代入圆C的方程，整理得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，
则Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)＞0，即b2＋6b－9＜0.
解得－3－3＜b＜－3＋3.7分
设点A、B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－b－1，x1x2＝b2＋2b－2.
由题意知OAOB，则有x1x2＋y1y2＝0，
也就是x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝0.
2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0.10分
b2＋4b－4－b2－b＋b2＝0，化简得b2＋3b－4＝0.
解得b＝－4或b＝1，均满足Δ＞0，
即直线AB的方程为x－y－4＝0，或x－y＋1＝0.12分【名师寄语】 (1)本题是与圆有关的探索类问题，要注意充分利用圆的几何性质答题．(2)要注意解答这类题目的答题格式，使答题过程完整规范．(3)本题的易错点是转化方向不明确，思路不清晰．
———————— [1个规范练] ———————
在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2－12x＋32＝0的圆心为Q，过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B.
(1)求k的取值范围；
(2)是否存在常数k，使得向量＋与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．
【解】 (1)圆的方程可写成(x－6)2＋y2＝4，
所以圆心为Q(6,0)，半径为2.
过P(0,2)且斜率为k的直线方程为y＝kx＋2.
代入圆方程得，x2＋(kx＋2)2－12x＋32＝0，
整理得，(1＋k2)x2＋4(k－3)x＋36＝0.
直线与圆交于两个不同的点A，B等价于
Δ＝[4(k－3)]2－4×36×(1＋k2)＝42(－8k2－6k)＞0，
解得－＜k＜0，即k的取值范围为.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)．
由知，x1＋x2＝－.
又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4，
而P(0,2)，Q(6,0)，＝(6，－2)，
所以＋与共线等价于－2(x1＋x2)＝6(y1＋y2)．
将式代入式，解得k＝－.
因为k＝－，所以没有符合题意的常数k.
课时限时检测(四十八) 直线与圆、圆与圆的位置关系
(时间：60分钟 满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)
1．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是( )
A．相离 B．相切
C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心
【答案】 C
2．(2013·广东高考)垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是( )
A．x＋y－＝0 B．x＋y＋1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋＝0
【答案】 A
3．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2＝－2y＋3，直线的方程为ax＋y－1＝0，则直线与圆C的位置关系是( )
A．相离 B．相交
C．相切 D．相切或相交
【答案】 D
4．过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A、B两点，如果|AB|＝8，则直线l的方程为( )
A．5x＋12y＋20＝0
B．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0
C．5x－12y＋20＝0
D．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0
【答案】 B
5．(2013·山东高考)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )
A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
【答案】 A
6．(2013·重庆高考)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
【答案】 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．若O：x2＋y2＝5与O1：(x－m)2＋y2＝20(mR)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是
【答案】 4
8．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围为
【答案】 (－13,13)
9．已知P是直线l：kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，切点分别为A，B，若四边形PACB的最小面积为2，则k＝
【答案】 2
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)(2013·江西高考)若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，求圆C的方程．
【解】 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m)．又因为圆与直线y＝1相切，所以＝|1－m|，所以m2＋4＝m2－2m＋1，解得m＝－，所以圆的方程为(x－2)2＋2＝.
11．(12分)已知过点A(0,1)，且方向向量为a＝(1，k)的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M、N两点．
(1)求实数k的取值范围；
(2)若O为坐标原点，且·＝12，求k的值．
【解】 (1)直线l过点A(0,1)且方向向量a＝(1，k)，
直线l的方程为y＝kx＋1.
由＜1，得＜k＜.
(2)设M(x1，y1)、N(x2，y2)，
将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，
得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0，
x1＋x2＝，x1x2＝，
·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1.＋8＝12，＝4，解得k＝1.
12．(13分)(2013·江苏高考)如图8－4－1，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．
【解】 (1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0,3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3.
由题意，得＝1，解得k＝0或k＝－，
故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.
(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，
所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.
设点M(x，y)，因为MA＝2MO，
所以＝2，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．
由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，
则|2－1|≤CD≤2＋1，即1≤≤3.
整理，得－8≤5a2－12a≤0.
由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；
由5a2－12a≤0，得0≤a≤.
所以点C的横坐标a的取值范围为.
第五节 椭 圆
[考情展望] 1.考查利用椭圆的定义求椭圆的标准方程及利用椭圆的定义解决相关问题.2.考查椭圆的几何性质，主要考查椭圆的离心率，常以选择题、填空题形式出现.3.与向量、函数方程、不等式等知识结合考查直线与椭圆位置关系，常以解答题形式考查．
一、椭圆的定义
平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数．
(1)若2a＞|F1F2|，则集合P为椭圆；
(2)若2a＝|F1F2|，则集合P为线段；
(3)若2a＜|F1F2|，则集合P为空集．
二、椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
性质 范围 －a≤x≤a－b≤y≤b －b≤x≤b－a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)
离心率 e＝(0,1)
a，b，c的关系 c2＝a2－b2
点P(x0，y0)和椭圆的关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内＋＜1；
(2)点P(x0，y0)在椭圆上＋＝1；
(3)点P(x0，y0)在椭圆外＋＞1.
1．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】 D
2．“－3＜m＜5”是“方程＋＝1表示椭圆”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】 B
3．椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为( )
A．－21 B．21
【答案】 C
4．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴，离心率为，且过点P(－5,4)，则椭圆的方程为
【答案】 ＋＝1
5．(2013·大纲全国卷)已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为( )
【答案】 C
6．(2014·辽宁高考)已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝
【答案】 C
考向一 [144] 椭圆的定义与标准方程
(1)已知F1、F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且.若PF1F2的面积为9，则b＝
【答案】 3
(2)已知F1，F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，A，B分别是此椭圆的右顶点和上顶点，P是椭圆上一点，OPAB，PF1x轴，|F1A|＝＋，求椭圆的方程．
【尝试解答】 由题意，A(a,0)，B(0，b)，F1(－c,0)，O(0,0)．
OP∥AB，kOP＝kAB＝－，
因此直线OP的方程为y＝－x，
代入椭圆＋＝1，得x＝±a，
由PF1x轴，知x＝－a，
从而－a＝－c，即a＝c，
又|F1A|＝a＋c＝＋
联立，，得a＝，c＝，
b2＝a2－c2＝5，
所以该椭圆方程为＋＝1.规律方法1 1.(1)求椭圆的标准方程的方法：定义法；待定系数法；轨迹方程法．
(2)确定椭圆标准方程需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a、b的值．运用待定系数法时，常结合椭圆性质，已知条件，列关于a，b，c的方程．
2．涉及椭圆焦点三角形有关的计算或证明，常利用正(余)弦定理、椭圆定义，向量运算，并注意|PF1|＋|PF2|与|PF1|·|PF2|整体代换．
对点训练 (2014·安徽高考)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0<bb>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cosABF＝，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
(2)已知椭圆：＋＝1(0＜b＜3)，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若||＋||的最大值为8，则b的值是( )
【答案】 (1)B (2)D规律方法2 1.求椭圆的离心率，其法有三：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
2．e与a，b间的关系e2＝＝1－2.
对点训练 (1)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )
A．2 B．3 C．6 D．8
(2)(2014·江西高考)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若ADF1B，则椭圆C的离心率等于
【答案】 (1)C (2)考向三 [146] 直线与椭圆的位置关系
(2013·浙江高考)如图8－5－1，点P(0，－1)是椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)求ABD面积取最大值时直线l1的方程．
【尝试解答】 (1)由题意得
所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．
由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为y＝kx－1.
又圆C2：x2＋y2＝4，故点O到直线l1的距离d＝，
所以|AB|＝2＝2.
又l2l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.
由消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，
故方程的两根x1＝0，x2＝－，所以|PD|＝.
设ABD的面积为S，则S＝|AB|·|PD|＝，
＝，当且仅当k＝±时取等号．
所以所求直线l1的方程为y＝±x－1.规律方法3 直线与椭圆相交问题解题策略
当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长；涉及求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．其中，判别式大于零是检验所求参数的值有意义的依据．
对点训练 (2014·课标全国卷改编)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求椭圆C的方程．
【解】 (1)根据c＝及题设知M
由kMN＝，得＝，则2b2＝3ac.
将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，
解得＝，＝－2(舍去)．
故C的离心率为.
(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2y轴，
所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，
于是b2＝4a.
由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.
设N(x1，y1)，由题意知y12)，
其离心率为，故＝，解得a＝4.
故椭圆C2的方程为＋＝1.
(2)法一 A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，
由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，
将y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16，
又由＝2，得x＝4x，即＝，
解得k＝±1.故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
法二 A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，
由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，
由＝2，得x＝，y＝.
将x，y代入＋＝1中，得＝1，即4＋k2＝1＋4k2，
解得k＝±1.故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
课时限时检测(四十九) 椭 圆
(时间：60分钟 满分：80分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．2＜m＜6是方程＋＝1表示椭圆的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】 B
2．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为( )
A. B. C．2 D．4
【答案】 A
3．定义：关于x的不等式|x－A|＜B的解集叫A的B邻域．已知a＋b－2的a＋b邻域为区间(－2,8)，其中a、b分别为椭圆＋＝1的长半轴和短半轴．若此椭圆的一焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则椭圆的方程为( )
【答案】 B
4．已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到y轴的距离为( )
【答案】 B
5．(2013·大纲全国卷)椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是( )
【答案】 B
6．(2013·课标全国卷)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
【答案】 D
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么C的方程为
【答案】 ＋＝1
8．已知F1、F2是椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆上，且满足|PF1|＝2|PF2|，PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为
【答案】
9．已知对kR，直线y－kx－1＝0与椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是
【答案】 m≥1且m≠5
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)如图8－5－2所示，点P是椭圆＋＝1上的一点，F1和F2是焦点，且F1PF2＝30°，求F1PF2的面积．
【解】 在椭圆＋＝1中，a＝，b＝2.
又点P在椭圆上，
|PF1|＋|PF2|＝2.
由余弦定理知
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 30°
＝|F1F2|2＝(2c)2＝4.
①式两边平方得
|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20.
③－得(2＋)|PF1|·|PF2|＝16.
|PF1|·|PF2|＝16(2－)．
S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|sin 30°＝8－4.
11．(12分)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，＝2.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)如果|AB|＝，求椭圆C的方程．
【解】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意知y1＜0，y2＞0.
(1)直线l的方程为y＝(x－c)，
得(3a2＋b2)y2＋2b2cy－3b4＝0，
解得y1＝，y2＝，
因为＝2，所以－y1＝2y2.
即＝2·，得离心率e＝＝.
(2)因为|AB|＝|y2－y1|，
由＝得b＝a.
所以a＝，得a＝3，b＝.
椭圆C的方程为＋＝1.
12．(13分)(2013·北京高考)直线y＝kx＋m(m≠0)与椭圆W：＋y2＝1相交于A，C两点，O是坐标原点．
(1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；
(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明四边形OABC不可能为菱形．
【解】 (1)因为四边形OABC为菱形，
所以AC与OB互相垂直平分．
所以可设A，代入椭圆方程得＋＝1，
即t＝±.所以|AC|＝2.
(2)证明：假设四边形OABC为菱形．
因为点B不是W的顶点，且ACOB，所以k≠0.
由消去y并整理得
(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则
＝－，＝k·＋m＝，
所以AC的中点为M.
因为M为AC和OB的交点，且m≠0，k≠0，
所以直线OB的斜率为－.
因为k·≠－1，所以AC与OB不垂直．
所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾．
所以当点B在W上且不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．
第六节 双曲线
[考情展望] 1.考查双曲线的定义及标准方程.2.考查双曲线的几何性质(以渐近线的离心率为主).3.多以客观题形式考查，属中低档题目．
一、双曲线定义
平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a＜2c) ，则点P的轨迹叫做双曲线．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a＞0，c＞0.
(1)当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当2a＞|F1F2|时，P点不存在．
二、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴对称中心：原点 对称轴：坐标轴对称中心：原点
顶点 顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0) 顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e(1，＋∞)，其中c＝
a、b、c间的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
巧设双曲线方程
(1)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为＋＝1(mn＜0)．
1．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )A.
C. D．(，0)
【答案】 C
2．设双曲线－＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( )
【答案】 C
3．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于( )
A．1 B．17
C．1或17 D．以上答案均不对
【答案】 B
4．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则双曲线C的方程为
【答案】 x2－＝1
5．(2014·山东高考)已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为( )
A．x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
【答案】 A
6．(2014·课标全国卷)已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝( )
【答案】 D
考向一 [147] 双曲线的定义及应用
(1)已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cosF1PF2＝( )
A. B. C. D.
【答案】 C
(2)已知定点A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)；以点C为一个焦点作过A、B的椭圆，求另一个焦点F的轨迹方程．
【尝试解答】 设F(x，y)为轨迹上的任意一点，依题意，得
|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|＝2a(a表示椭圆的长半轴长)．
|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|
|FA|－|FB|＝2＜14.
由双曲线的定义知，F点在以A、B为焦点，2为实轴长的双曲线的下支上，
点F的轨迹方程是y2－＝1(y≤－1)．规律方法1 1.(1)抓住“焦点三角形PF1F2”中的数量关系是求解第(1)题的关键．(2)第(2)小题中，点F的轨迹是双曲线的下支，一定分清是差的绝对值为常数，还是差为常数．
2．利用双曲线定义求方程，要注意三点：(1)距离之差的绝对值，(2)2a＜|F1F2|，(3)焦点所在坐标轴的位置．
对点训练 已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
【解】 设动圆M的半径为r，
则由已知|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，
|MC1|－|MC2|＝2，
又C1(－4,0)，C2(4,0)，
|C1C2|＝8，
2＜|C1C2|.
根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线的右支．
又a＝，c＝4，
b2＝c2－a2＝14，
点M的轨迹方程是－＝1(x≥)．考向二 [148] 双曲线的标准方程
(1)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为
【答案】 －＝1
(2)已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．
【尝试解答】 椭圆D的两个焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.
设双曲线G的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25.
又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r＝3，
＝3，得a＝3，b＝4.
双曲线G的方程为－＝1.规律方法2 求双曲线的标准方程关注点：
(1)确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．
(2)利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．
若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1(AB＜0)．
若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)．
对点训练 (2014·江西高考改编)过双曲线C：－＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)．求双曲线C的方程．
【解】 由双曲线C：－＝1，知右顶点(a,0)，
不妨设双曲线C的一条渐近线为y＝x.
将x＝a代入上式，得交点A(a，b)，
记双曲线C的右焦点为F，则F(c,0)，
依题意，|OF|＝|FA|＝4，
故双曲线C的标准方程为－＝1.考向三 [149] 双曲线的几何性质
(1)(2014·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
【答案】 A
(2)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，x轴上有一点Q(2a,0)，若C上存在一点P，使·＝0，求此双曲线离心率的取值范围．
【尝试解答】 设P点坐标为(x，y)，
则由·＝0，得APPQ，
P点在以AQ为直径的圆上，
又P点在双曲线上，得－＝1.
由，消去y，得
(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0，
即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0.
当x＝a时，P与A重合，不符合题意，舍去．
当x＝时，满足题意的P点存在，
需x＝＞a，
化简得a2＞2b2，
即3a2＞2c2，＜.
又e＞1，离心率e＝.
规律方法3 求双曲线的离心率(取值范围)的策略
求双曲线离心率是一个热点问题．若求离心率的值，需根据条件转化为关于a，b，c的方程求解，若求离心率的取值范围，需转化为关于a，b，c的不等式求解，正确把握c2＝a2＋b2的应用及e＞1是求解的关键．
对点训练 (2014·重庆高考)设F1、F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C．4 D.
【答案】 D
思想方法之十九 分类讨论思想在判断直线与双曲线交点问题中的妙用
研究直线与圆锥曲线位置关系的问题，通常转化为研究方程组的解的问题，利用直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题(包括公共点个数、与交点坐标有关的问题)转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题，当一元二次方程中含有参数时，通常需要进行分类讨论，注意不要忽视了二次项系数的讨论．
—————————— [1个示范例]——————— 已知双曲线C：2x2－y2＝2与点P(1,2)
求过P(1,2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点．
【解】 (1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝1，与曲线C有一个交点，当l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，代入C的方程，并整理得
(2－k2)x2＋2(k2－2k)x－k2＋4k－6＝0.(*)
()当2－k2＝0，即k＝±时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点
()当2－k2≠0，即k≠±时，
Δ＝[2(k2－2k)]2－4(2－k2)(－k2＋4k－6)＝16(3－2k)
当Δ＝0，即3－2k＝0，k＝时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点．
当Δ＞0，即k＜，又k≠±，
故当k＜－或－＜k＜或＜k＜时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点．
当Δ＜0，即k＞时，方程(*)无解，l与C无交点．
综上知：当k＝±，或k＝，或k不存在时，l与C只有一个交点；
当＜k＜，或－＜k＜，或k＜－时，l与C有两个交点；
当k＞时，l与C没有交点．————————— [1个对点练] ———————
过点能作几条与双曲线－y2＝1有一个公共点的直线．
【解】 (1)当斜率不存在时，直线方程为x＝2，显然符合题意．
(2)当斜率存在时，设斜率为k，
则直线方程为y－＝k(x－2)，
联立－y2＝1得
(1－4k2)x2＋(16k2－4k)x－(16k2－8k＋5)＝0，
当1－4k2≠0时，令Δ＝0，解得k＝，一条．
当1－4k2＝0时，此时直线与渐近线平行，符合题意，两条．
课时限时检测(五十) 双曲线
(时间：60分钟 满分：80分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．设F1、F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且|PF1|＝5，则|PF2|＝( )
A．5 B．3 C．7 D．3或7
【答案】 D
2．(2013·课标全国卷)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
【答案】 C
3．(2013·福建高考)双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )
【答案】 C
4．(2013·湖北高考)已知0<θ0，b>0)的两个焦点，P是C上一点．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为
【答案】
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)设双曲线－＝1(b＞a＞0)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率．
【解】 由l过两点(a,0)、(0，b)，得l的方程为bx＋ay－ab＝0.
由原点到l的距离为c，得＝c.
将b＝代入，平方后整理，得
34－162＋16＝0，即3e4－16e2＋16＝0，又e＞1，故e＝或e＝2.
又0＜a＜b，e＝＝＝ ＞，
应舍去e＝，故所求离心率e＝2.
11．(12分)已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2＋y2＝10相交于点P(3，－1)，若此圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程．
【解】 切点为P(3，－1)的圆x2＋y2＝10的切线方程是3x－y＝10.
双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称，
两渐近线方程为3x±y＝0.
设所求双曲线方程为9x2－y2＝λ(λ≠0)．
点P(3，－1)在双曲线上，代入上式可得λ＝80.
所求的双曲线方程为－＝1.
12．(13分)已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为y＝x，右焦点F(5,0)，双曲线的实轴为A1A2，P为双曲线上一点(不同于A1，A2)，直线A1P，A2P分别与直线l：x＝交于M，N两点
(1)求双曲线的方程；
(2)·是否为定值，若为定值，求出该值；若不为定值，说明理由．
【解】 (1)由双曲线的渐近线方程为y＝x，
焦点F(5,0)可得：＝，c＝5，又c2＝a2＋b2，
a2＝9，b2＝16，双曲线方程为－＝1.
(2)A1(－3,0)，A2(3,0)，F(5,0)，设P(x，y)，M，
＝(x＋3，y)，，
因为A1，P，M三点共线，(x＋3)y0－y＝0，y0＝，
M，同理N，
·＝－·，＝，
故·为定值0.
第七节 抛物线
[考情展望] 1.考查与抛物线定义有关的最值、距离、轨迹问题.2.考查抛物线的标准方程及几何性质.3.考查直线与抛物线的位置关系、突出考查函数思想、数形结合思想．
一、抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
二、抛物线的标准方程与几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
范围 x≥0，yR x≤0，yR y≥0，xR y≤0，xR
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
离心率 e＝1
焦半径 |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋
抛物线的焦半径
抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋.
1．若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )
A. B. C. D．0
【答案】 B
2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是( )
A．y2＝－8x B．y2＝8x
C．y2＝－4x D．y2＝4x
【答案】 B
3．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为( )
A．4 B．－2
C．4或－4 D．12或－2
【答案】 C
4．双曲线－＝1的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为
【答案】 4
5．(2014·安徽高考)抛物线y＝x2的准线方程是( )
A．y＝－1 B．y＝－2
C．x＝－1 D．x＝－2
【答案】 A
6．(2014·课标全国卷)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝( )
C．12 D．7
【答案】 C
考向一 [150] 抛物线的定义及应用
(1)(2014·课标全国卷)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，点A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝( )
A．1 B．2 C．4 D．8
(2)过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|＜|BF|，则|AF|＝
【答案】 (1)A (2)规律方法1 1.(1)凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．(2)第(2)题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点A的坐标．
2．若P(x0，y0)为抛物线y2＝2px(p＞0)上一点，由定义易得|PF|＝x0＋；若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．
对点训练 已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A，求|PA|＋|PM|的最小值．
【解】 设抛物线的焦点为F，则|PF|＝|PM|＋，
|PM|＝|PF|－，
|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PF|－，
将x＝代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±，＜4，点A在抛物线的外部，
当P、A、F三点共线时，|PA|＋|PF|有最小值，
F，|AF|＝ ＝5，
|PA|＋|PM|有最小值5－＝.考向二 [151] 抛物线的标准方程与几何性质
(1)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A、B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为( )
A．18 B．24 C．36 D．48
(2)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )
A．x2＝y B．x2＝y
C．x2＝8y D．x2＝16y
【尝试解答】 (1)设抛物线方程为y2＝2px，
当x＝时，y2＝p2，|y|＝p，
p＝＝＝6，
又点P到AB的距离始终为6，
S△ABP＝×12×6＝36.
(2)双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，
＝＝2，b＝a，
双曲线的渐近线方程为x±y＝0，
抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为＝2，
p＝8.所求的抛物线方程为x2＝16y.
【答案】 (1)C (2)D规律方法2 1.抛物线有四种不同形式的标准方程，要掌握焦点与准线的距离，顶点与准线、焦点的距离，通径与标准方程中系数2p的关系．
2．求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0)．
3．焦点到准线的距离，简称焦准距，抛物线y2＝2px(p＞0)上的点常设为，便于简化计算．
对点训练 (2014·上海高考)若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为
【答案】 x＝－2
考向三 [152] 直线与抛物线位置关系
(2013·陕西高考)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是PBQ的角平分线，证明直线l过定点．
【尝试解答】 (1)如图，设动圆圆心O1(x，y)，由题意，|O1A|＝|O1M|.
当O1不在y轴上时，
过O1作O1HMN交MN于H，则H是MN的中点，
又|O1A|＝，
化简得，y2＝8x(x≠0)．
当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x，
∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.
(2)证明：如图，由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
将y＝kx＋b代入y2＝8x中，
得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0.
其中Δ＝－32kb＋64>0.
由根与系数的关系得，
x1＋x2＝，
∵x轴是PBQ的角平分线，
即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，
(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，
2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0，
将代入并整理得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，
k＝－b，此时Δ>0，
直线l的方程为y＝k(x－1)，即直线过定点(1,0)．规律方法3 解决抛物线与直线的相交问题，一般采取下面的处理方法：
设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，直线方程为Ax＋By＋C＝0，将直线方程与抛物线方程联立，消去x得到关于y的方程my2＋ny＋q＝0.
m≠0 Δ＞0 直线与抛物线有两个公共点
Δ＝0 直线与抛物线只有一个公共点
Δ＜0 直线与抛物线没有公共点
m＝0 直线与抛物线只有一个公共点，此时直线平行于抛物线的对称轴
对点训练 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(1，－2)．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
【解】 (1)将A(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，所以p＝2.
故所求的抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t.
由得y2＋2y－2t＝0.
因为直线l与抛物线C有公共点，
所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.
另一方面，由直线OA与l的距离d＝可得＝，解得t＝±1.
因为－1?，1，
所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.
思想方法之二十 等价转化思想在抛物线中的应用
等价转化思想在抛物线中应用广泛，如焦半径问题常利用抛物线的定义转化解决，与线段的长度、角等有关问题可转化为相应向量的模与夹角解决．
—————————— [1个示范例] —————— (1)已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值是( )
A.＋2 B.＋1
(2)已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，则a的取值范围为
【解析】 (1)因为抛物线的方程为y2＝4x，所以焦点坐标F(1,0)，准线方程为x＝－1.因为点P到y轴的距离为d1，所以到准线的距离为d1＋1，又d1＋1＝PF，所以d1＋d2＝d1＋1＋d2－1＝PF＋d2－1，焦点到直线的距离d＝＝＝，而PF＋d2≥d＝，所以d1＋d2＝PF＋d2－1≥d＝－1，选D.
(2)设C(x，x2)，由题意可取A(－，a)，B(，a)，
则＝(－－x，a－x2)，＝(－x，a－x2)，
由于ACB＝，所以·＝(－－x)(－x)＋(a－x2)2＝0，
整理得x4＋(1－2a)x2＋a2－a＝0，
即y2＋(1－2a)y＋a2－a＝0，
所以解得a≥1.————————— [1个对点练] ———————
(2013·江西高考)已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM||MN|＝( )
A．2 B．12
C．1∶ D．13
【解析】 如图所示，由抛物线定义知|MF|＝|MH|，所以|MF||MN|＝|MH||MN|.
由于MHN∽△FOA，则＝＝，
则|MH||MN|＝1，
即|MF||MN|＝1.
【答案】 C
课时限时检测(五十一) 抛物线
(时间：60分钟 满分：80分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为( )
A．－2 B．2 C．－4 D．4
【答案】 D
2．点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )
A．y＝12x2 B．y＝12x2或y＝－36x2
C．y＝－36x2 D．y＝x2或y＝－x2
【答案】 D
3．(2013·四川高考)抛物线y2＝8x的焦点到直线x－y＝0的距离是( )
【答案】 D
4．已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为( )
C．(1,2) D．(1，－2)
【答案】 A
5．(2013·课标全国卷)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则POF的面积为( )
【答案】 C
6．(2013·大纲全国卷)已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点．若·＝0，则k＝( )
【答案】 D
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程是
【答案】 x2＝12y
8．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为
【答案】 x＝－1
9．(2013·江西高考)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p＝
【答案】 6
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求该抛物线的方程．
【解】 依题意，设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，
则直线方程为y＝－x＋p.
设直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为C、D，则由抛物线定义得
|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|
＝x1＋＋x2＋，
即x1＋x2＋p＝8.
又A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线和直线的交点，由消去y，
得x2－3px＋＝0，所以x1＋x2＝3p.
将其代入得p＝2，所以所求抛物线方程为y2＝4x.
当抛物线方程设为y2＝－2px(p＞0)时，
同理可求得抛物线方程y2＝－4x.
综上，所求抛物线方程为y2＝4x或y2＝－4x.
11．(12分)已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.
(1)求该抛物线的方程．
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．
【解】 (1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，
从而有4x2－5px＋p2＝0，
所以x1＋x2＝.
由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，p＝4，
从而抛物线方程是y2＝8x.
(2)由p＝4知4x2－5px＋p2＝0可化为x2－5x＋4＝0，
从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，
从而A(1，－2)，B(4,4)．
设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)
＝(4λ＋1,4λ－2)，又y＝8x3，
所以[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，
解得λ＝0或λ＝2.
12．(13分)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)，O为坐标原点，F为抛物线的焦点，直线y＝x与抛物线C相交于不同的两点O、N，且|ON|＝4.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l过点F交抛物线于不同的两点A，B，交x轴于点M，且＝a，＝b，对任意的直线l，a＋b是否为定值？若是，求出a＋b的值；否则，说明理由．
【解】 (1)联立方程得x2－2px＝0，故O(0,0)，N(2p,2p)，|ON|＝＝2p，
由2p＝4得p＝2，抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)显然直线l的斜率一定存在且不等于零，设其方程为y＝kx＋1，则直线l与x轴交点为M，
记点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－4kx－4＝0，
Δ＝(4k)2－(－16)＝16(k2＋1)＞0，
x1＋x2＝4k，x1·x2＝－4.
由＝a，得＝a(－x1,1－y1)，
同理可得b＝－，
a＋b＝－＝－＝－1，
对任意的直线l，a＋b为定值－1.
第八节 曲线与方程
一、曲线与方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个}
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