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已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（　　）①y=f（|x|）；②y=f（-x）；③y=xf（x）；④y=f（x）+x．A．①③B．②③C．①④D．②④
题型：单选题难度：中档来源：不详
由奇函数的定义：f（-x）=-f（x）验证①f（|-x|）=f（|x|），故为偶函数②f[-（-x）]=f（x）=-f（x），为奇函数③-xf（-x）=-xo[-f（x）]=xf（x），为偶函数④f（-x）+（-x）=-[f（x）+x]，为奇函数可知②④正确故选D
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据魔方格专家权威分析，试题“已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（）①y=..”主要考查你对&&函数的奇偶性、周期性&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的奇偶性、周期性
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|
发现相似题
与“已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（）①y=..”考查相似的试题有：
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7x=14这一类线性方程的解法。两侧同时除以x项系数即可。这一节还讲了多个例子，并深通俗地进行了讲解。
3x+5=17这类线性方程的解法。两侧同时减去5，然后得到上一节中的方程求解。这一节还讲了多个例子，并深通俗地进行了讲解。
2x+3=5x-2这类线性方程的解法。需要同时加2，然后得到上一节中的方程求解。这一节还讲了多个例子，并深通俗地进行了讲解。
3/x=5这类，形如分式的方程的求法。这类方程本质上仍然是线性方程。这一节还讲了多个例子，并深通俗地进行了讲解。
如3x+2&1这类不等式的求法，这类不等式同线性方程求法一样，只是需要注意两侧同时乘以或除以负数时，不等号要改变。这一节还讲了多个例子，并深通俗地进行了讲解。
6 直线绘图
直线方程的一般表示为y=mx+b。一元线性方程，在坐标系中的几何表示为直线同x轴交点，即y=0。这一节讲解直线的绘图方法，图解对代数问题非常重要。这一节还讲了多个例子，并深通俗地进行了讲解。
7 斜率及y轴截距程序演示
这一节用可汗网站上的一个自主开发程序演示了斜率m变化，和y轴截距b变化时，直线所产生的变化。让学生对直线方程y=mx+b有更深刻的认识。
8 斜率求法
已知两点(x1,y1)和(x2,y2)，连接两点的直线，斜率m为(y2-y1)/(x2-x1)，或者说Δy/Δx。这一节就是以多个例题通俗讲解这一内容。
9 y轴截距求法
求出斜率后，通过将其中任意一点代入已知斜率的直线方程，就能求出y轴截距。这一节就是以多个例题通俗讲解这一内容。
10 直线方程
斜率m和y轴截距b求出后，直线方程y=mx+b就能求出。这一节就是以多个例题通俗讲解这一内容。
11 直线方程(续)
这一节是上一节的延续，继续通过多个例题通俗讲解并教熟练掌握直线方程求法。
12 直线方程程序演示
这一节使用可汗网站上的自主开发程序演示直线方程的变化，并同之前讲的直线方程求法综合起来。进一步加深学生对直线方程的认识。
已知4次考试后，平均分为84分，第5次要考多少分，才能让平均分达到88分？通过这样的问题讲解平均值，关键是代数在其中的运用。
14 整数求和
5个连续整数之和为200，那么其中最小的整数是多少？通过这样的问题，这一节讲解了整数求和的问题，关键还是代数的运用。
40的15%是多少？多少的15%是40？这两个题千万别搞混。这一节讲百分比问题，关键还是代数的运用。如何设未知数，如何解方程。
16 百分比增长
股市中价格会增长或减少，你在股市中的钱也会增值或缩水，具体怎么通过百分比来计算呢？这就是这一节的内容。
17 打折问题
水果店今天水果优惠30%，买6个12.60美元。明天不打折，我还要按原价买2个，那需要多少钱？这是一个百分数问题，也是一个代数问题，如何列方程求解就是这一节的内容。
18 更多百分数问题
股市今天上涨15%，明天下跌15%，你股市中的钱是涨是跌还是没变？这一节中将揭开答案。这一节还有其它一些百分数问题，帮助更深刻认识百分数。
y＝ax＋b，y＝cx＋d是两条直线方程，将其联立就是一个线性方程组。解线性方程组的本质就是求直线交点。这一节通过多个例子讲解这一问题。
农场的马和狗之比，班上的男女生之比，这就是比率。这一节讲了比率的表示，以及基本运算方法。举了一些通俗易懂的例子。
班上有55名学生，男女的比率是4：7，然后班上要新来多少女生，才能让男女比变成1：2？这是一个比率问题，同时是一个代数问题，这类问题就是这一节的主题。
苹果和橘子之比为5：8，拿走15个苹果，比率变成1：4，拿走苹果后总共有多少水果？这是一个比率问题，同时是一个代数问题，这类问题就是这一节的主题。
苹果和橘子之比为5：8，拿走15个苹果，比率变成1：4，拿走苹果后总共有多少水果？还是这个题，为了让大家跟深刻理解，这一节用了与上一节截然不同的方法，这种方法显然更加有效。
这一节依然是比率的代数问题，使用列方程组的方法比一般代数方法更直观明了，观看这一节之后，对比率的求法会更清晰。
比率问题稍微变化一下，形式可以非常多样，这一节又深入浅出地讲了一些比率问题，加深对比率的认识。
4年后，阿里的年龄将是今天的3倍，问阿里今年多少岁？这类问题是这一节的主题，关键还是在于列方程解题这种代数应用。
萨尔曼108岁，乔纳森24岁，多少年后萨尔曼是乔纳森年龄的4倍？这类问题是这一节的主题，关键还是在于列方程解题这种代数应用。
现在塔鲁什年龄是阿尔曼的5倍，85年前塔鲁什年龄是阿尔曼的10倍，问现在阿尔曼多大年纪？这类问题是这一节的主题，关键还是在于列方程解题这种代数应用。
（x＋2）（x＋3）怎么求，想想A（x＋3）就清楚了，可以将x＋2看作A。这类问题是这一节的主题，这一节还讲了其它几个例子。
x²＋6x＋8＝0怎么求，因式分解为（x＋A）（x＋B）＝0，然后x＝－A或x＝－B，具体求法这一节给出了一种需要练习的方法，具体原因还需要后面视频来了解。
i不是实数，它是比π、e这些更难懂，更奇妙的数。定义为根号－1。这一节求出i的0次方、1次方、2次方、3次方、4次方…并找出这些次幂的规律所在。
i的任意次方，在1、i、－1、－i之间循环。根据这个规律i的7321次方等于多少呢？这一节讲了很多这样的例子。
很多人说i不能定义为－1的算术平方根，因为－1＝i·i＝根号－1乘以根号－1等于根号（－1·（－1））＝根号1＝1。－1＝1显然矛盾。这是为什么呢？这就是这一节的主题。
复数也就是实数和虚数复合在一起的数，形如a＋bi，其中a和b都是实数。a称作复数的实部、bi称作复数的虚部。两个复数相加、相减、相乘如何求解是这一节的主题。
这一节仍然讲复数，是上一节的延续。这一节主要关注复数除法，复数除法比实数除法复杂得多。并需要引入共轭复数的概念。这一节会给出例子。
之前学习过使用因式分解解二次方程Ax²＋Bx＋C＝0。这一节引入公式法解二次方程，这才是二次方程的一般方法。然后举出了一些公式法解方程的例子。
这一解还是讲解二次公式【－B±根号（B²－4AC）】／（2A），这是二次方程中最重要的公式。这一节继续举了一些例子，便于大家更好掌握二次公式。
（x＋a）²＝x²＋2ax＋a²，这个式子是配方的基础。配方也就是将任意一个二次方程，配成（x＋a）²＝b的形式，然后两侧同时开方求解。这是二次方程解法的基础，也是原理。这一节举了几个通俗的例子。
二次公式【－B±根号（B²－4AC）】／（2A），这是二次方程的一般解法。这一节通过上一节讲的配方，证明了二次公式是怎么来的。
Ax²＋Bx＋C＜0或Ax²＋Bx＋C＞0这样的不等式，解法基于对应二次方程Ax²＋Bx＋C＝0，先求出方程两根，然后根据不等式关系求解。这一节举了几个深入浅出的例子。
这一节是上一节的延续，继续讲二次不等式。不同的是，这一节引入图解，让学生更直观地感受为什么二次不等式的解是那样。这一节举了几个深入浅出的例子。
这一节讲函数的概念，说明其实函数就是黑箱，往其中输入一个内容，它会经过黑箱操作，输出一个内容。还讲到了函数的几种特殊用途。
[第43课]函数二
f（x）＝x²＋1，g（x）＝2x＋f（x－3），h（x）＝5x，求h（g（3））。这一类问题就是这一解的函数问题，主要落脚于数例，帮助更好理解函数的概念。
这一节继续讲函数例题，通过图像定义了一个函数，然后和其它代数式定义的函数结合，讲解一些例题。
函数概念难懂且类型丰富，所以函数例题越多越有助于理解。这一节继续讲函数例题：f（g（x））＝（2倍根号（x＾2＋1）－1）／（根号（x＾2＋1）＋1），而f（x）＝（2x－1）／（x＋1），求g（x）。
函数的定义域，也就是让函数有定义的所有x的集合。比如f（x）＝1／x时，定义域为｛x∈R|x≠0｝；比如根式下为非负数，这些。这一节详细讲解了一些例题。
这一节开始证明对数的第一个性质，即logA＋logB＝logAB。对数的本质也就是求幂中的指数，同底两式相乘，底数不变，指数相加，这一指数性质，表示在对数中就是logA＋logB＝logAB。这一节给出了详细的证明。
这一节证明对数的另外两个性质，AlogB＝log（B＾A）和logA－logB＝log（A／B）。对数的本质也就是求幂中的指数，同底两式相乘，底数不变，指数相加。鉴于此，这一节给出了对数性质的详细证明。
这一节证明对数的另外一个性质，log＿A（B）＝（log＿x（B））／（log＿x（A））。对数的本质也就是求幂中的指数，同底两式相乘，底数不变，指数相加。鉴于此，这一节给出了对数性质的详细证明。
8x³－7x²＋10x－5除以2x＋1怎么算？这一节通过一个例子讲解多项式除法的运算，指出它同整数除法的相似之处。讲清楚了这种除法的具体意义。
圆锥曲线也就是圆、椭圆、抛物线、双曲线的统称。为什么这么叫，这些曲线之间有什么关联呢？这一节通过图像直观讲解了这些问题。
圆的方程是x²＋y²＝r²，其中r为半径。平移之后圆的方程为（x－a）²＋（x－b）²＝r²，圆心的坐标是（a，b）。这一节从图像平移的观点解释了这个内容。
椭圆方程为x²／a²＋y²／b²＝1，其中a为x半轴长、b为y半轴长。圆是椭圆的特例。这一节讲解了椭圆的方程，以及平移等问题，以及其它基础性内容。
双曲线方程为x²／a²－y²／b²＝1或－x²／a²＋y²／b²＝1，可能是上下开口，也可能是左右开口。这一节讲解了渐近线的求法，以及判别开口方向的直观方法。
双曲线方程为x²／a²－y²／b²＝1或－x²／a²＋y²／b²＝1，可能是上下开口，也可能是左右开口。这一节主要是通过一个特定的双曲线例子，讲解了上一节所使用的方法。
这一节讲双曲线平移后的绘图方法，首先求平移后的中心位置，然后作渐近线，然后确定开口方向，然后绘图。这一节仍然是通过实例讲解。
9x²+4y²+54x-8y+49=0是哪种圆锥曲线的方程？这一节讲了快速辨别圆锥曲线种类的办法，同时讲了如何化成标准形式以及如何绘图。
4y²-50x=25x²+16y+109是哪种圆锥曲线的方程？这一节以此为例讲了双曲线的辨别方法，同时讲了如何化成标准形式以及如何绘图。
x²+y²-2x+4y=4是哪种圆锥曲线的方程？2x²+y+12x+16=0又是哪种圆锥曲线的方程？这一节以此为例讲了圆和抛物线的辨别方法，同时讲了如何化成标准形式以及如何绘图。
椭圆的定义是，到两定点距离之和等于常值的所有点的轨迹；两定点称为焦点，关于椭圆中心对称。x²/a²+y²/b²=1，a&b时，半焦距c=根号(a²-b²)。涉及到焦点之后，圆锥曲线才逐渐体现出了特殊之处和奇妙之处。
双曲线的定义是，到两定点距离之差的绝对值等于常值的所有点的轨迹；这两定点称为焦点，关于双曲线中心对称。x²/a²-y²/b²=1时，半焦距c=根号(a²+b²)。涉及到焦点之后，圆锥曲线才逐渐体现出了特殊之处和奇妙之处。
通过双曲线定义：到两定点距离之差的绝对值等于常值的所有点的轨迹；经过复杂的代数运算，这一节证明出了半焦距c=根号(a2+b2)这一公式。
部分分式展开，又叫部分分式分解。如(x+3)/(x2-3x-40)分成2/13/(x+5)和11/13/(x-8)的形式，这在未来微积分中求积分和求解微分方程等地方非常有用。
这一节讲另一种类型的部分分式展开，例：(10x2+12x+20)/(x3-8)=7/(x-2)+(3x+4)/(x2+2x+4)，待定系数时分母为n次，分子需要是n-1次。这在未来微积分中求积分和求解微分方程等地方非常有用。
这一节讲另一种类型的部分分式展开，例：(6x2-19x+15)/[(x-1)(x-2)2]。分母中有重复因式。其待定形式为A/(x-1)+B/(x-2)+C/(x-2)2。这在未来微积分中求积分和求解微分方程等地方非常有用。
抛物线是到焦点和准线等距的所有点的轨迹；任意取直线y=k，焦点(a,b)，这一节证明了任意满足到焦点和准线等距的点(x,y)，轨迹是一条抛物线。
这一节讲，已知抛物线的情况下，如何求焦点坐标和准线方程。对于抛物线y-y1=A(x-x1)2，顶点为(x1,y1)，焦点横坐标同顶点一样，纵坐标比顶点纵坐标高出1/(4A)，准线位置比顶点纵坐标低1/(4A)。
安和贝蒂骑自行车同时出发，安从A出发，贝蒂从B出发，相向而行，两人都是恒定速度，30分钟后相遇。相遇后两人继续向前骑行。安花20分钟到达B，问多少分钟后，贝蒂到达A。
一位女人沿铁路骑车去上班，时速6公里，每天在道口正好被同向火车追上。某日，女人晚出50分钟，被火车追上时，离道口还有6公里。问之后火车需要多少分钟到达道口。
两火车A和B轨道平行，以恒定速度形式。A长200米，B长400米。同向行驶时，A追上B（A头追上B尾部）到A完全超过B（A尾部超过B头部）需要15秒；相向行驶时，A与B头部相遇到两者尾部完全驶离需要5秒。问两车的速度。
爱丽丝、比尔、切尔西站在同一路线上，爱丽丝前面100米是比尔，比尔前面300米是切尔西，三人朝着同一方向前进。6分钟后，爱丽丝追上比尔，又过了6分钟，她追上切尔西。问比尔需要多久追上切尔西。
贝夫4点上火车，6点火车到站。她丈夫开车来接她，正好6点到火车站，开车速度不变。接到后立刻反方向回家。一天，她早一个小时上火车，5点就到火车站，但丈夫还是照常出来接她，她到站见丈夫没来就先往回走。中途碰到丈夫，然后一起回家，这一天回家比平时早了20分钟。问贝夫走了多久。
军官骑马从队列最后到最前，然后又从队列最前回到最后，骑马速度是步行的3倍，队列是100米长。问军官回到队列末尾时，队伍行进了多远。
这一节讲分式不等式，形如(x-1)/(x+2)&0，它有两种解法，这一节详细讲解两种解法，以及考虑方法。解出来结果是x&1或x&-2。
这一节讲分式不等式，形如(x-3)/(x+4)≥2。比起上一节，大于变成了大于等于，而且不等式右侧不为0。这一节对这种题目进行了详细讲解。
假设f(x)=ax3+bx2+cx+d，已知有零点(-1,0)和(2,0)，y轴截点为(0,-2)，求a+b+c+d。这个题其实有无穷多种情况，课堂最后绘图证明了这一点。
住房抵押贷款是每个人都要经历的事物，一般是查表来看每个月的还款额是多少。那么这下面的数学运算是怎样的呢？其实并不复杂，这一节课将教你如何计算。
函数是一种映射，将输入值映射为输出值。那反向的逆操作，将原来的输入值映射回输入值，这就是逆函数。视频中介绍了函数及其逆函数关于y=x的对称关系。
例题：求f(x)=-x+4和g(x)=-2x-1的逆函数。求逆函数大体思路是这样的：原函数表示为y等于x的表达式，进行代数运算，用y表示出x 得到逆函数，然后把自变量由y改成x。
例题：f(x)=(x+2)2+1，其中x≥-2。求其逆函数。求逆函数大体思路是这样的：原函数表示为y等于x的表达式，进行代数运算，用y表示出x 得到逆函数，然后把自变量由y改成x。
例题：函数f(x)=(x-1)2-2，其中x≤1。求其逆函数。求逆函数大体思路是这样的：原函数表示为y等于x的表达式，进行代数运算，用y表示出x 得到逆函数，然后把自变量由y改成x。
若两个量的变化关系符合其中一个量是另一个量乘以一个常数，则称两者是成正比，即y=kx。若两个量的变化关系符合其中一个量是另一个量的倒数乘以一个常数，则称两者是成反比，即y=k/x。
这一节是正比关系和反比关系的应用部分。课上举出了各种关系式，然后判别关系式是正比关系、反比关系、或既非正比也非反比。
奇函数为f(-x)=-f(x)的函数，它关于原点对称，比如y=x3就是奇函数；偶函数是为f(-x)=f(x)的函数，它关于y轴对称，比如y=x2就是偶函数。这一节告诉大家如何判断函数的奇偶性。
这一节探究了函数奇偶性称呼的来源，这同奇数或偶数的称谓之间有什么关系呢？关键在于幂函数y=xⁿ上，这一节将清楚讲解这一知识点。
除了加减乘除之外，我们还可以定义自己的运算，这也是题目中经常出现的考点。比如定义x☆y=5x-y，a◇b=a/(a+b)，问-1◇(0☆5)。
数学归纳法的一般步骤是：首先证明基本情况；然后假设n=k时成立，再证明n=k+1的情况也成立。这一节通过计算1+2+…+n之和，来演示数学归纳法。
设S(n)=1+2+…+n，即所有小于等于n的正整数之和。上一节用归纳法证明了S(n)=n(n+1)/2。这一节继续讲这个问题，给出了不用归纳法的简单代数证明。
9支记号笔价格11.50美元，问7支笔的价格是多少钱。7个苹果价格是5美元，8美元能买多少苹果。5个人吃的蛋糕需要2个蛋，15个人吃的需要多少鸡蛋。这些关于比例的问题就是这一节的主题。
所有循环小数都可以化成分数形式，那7.7777…化成分数是多少呢？1.2222…化成分数又是多少呢？这就是这一节的主题。
所有循环小数都可以化成分数形式，这一节接着上一节，讲解了循环位数不止一位的循环小数，比如0.36(36循环)，0.714(14循环)，3.257(257循环)。
学校：可汗学院
讲师：Salman Khan
授课语言：英文
类型：数学 可汗学院
课程简介：这是为没有代数基础的学生准备的代数课程，包含方程及求解、不等式求解、作图、百分比、比值问题、因式分解、虚数和复数、二次方程、二次不等式、函数、对数及运算、圆锥曲线的坐标运算(椭圆、双曲线、抛物线)、分式、应用问题等内容。视频由可汗学院免费提供，详见：（All Khan Academy materials are available for free at ）
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2015年电大专科微积分初步期末考试试题及答案
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高等数学(微积分学)专业术语名词、概念、定理等英汉对照
目第一部分 Part 1第一章 Chapter 1 第二章 Chapter 2 第三章 Chapter 3录英汉微积分词汇English-Chinese Calculus Vocabulary函数与极限 function and Limit………………………………………………1 导数与微分 Derivative and Differential………………………………………2 微分中值定理 Mean Value theorem of differentials and the Application of Derivatives………………………………………3 第四章 不定积分 Chapter 4 Indefinite Intergrals………………………………………………3 第五章 定积分 Chapter 5 Definite Integral…………………………………………………3 第六章 定积分的应用 Chapter 6 Application of the Definite Integrals……………………………4 第七章 空间解析几何与向量代数 Chapter 7 Space Analytic Geomertry and Vector Algebra…………………4 第八章 多元函数微分法及其应用 Chapter 8 Differentiation of functions Several variables and Its Application………………………………………………5 第九章 重积分 Multiple Integrals………………………………………………6 第十章 曲线积分与曲面积分 Chapter 10 Line(Curve ) Integrals and Surface Integrals……………………6 第十一章 无穷级数 Chapter 11 Infinite Series……………………………………………………6 第十二章 微分方程 Chapter 12 Differential Equation……………………………………………7第二部分 定理定义公式的英文表达 Part 2 English Expression for Theorem, Definition and Formula第一章 函数与极限 Chapter 1 Function and Limit………………………………………………19 t 1.1 映射与函数(Mapping and Function ) ………………………………19 数列的极限(Limit of the Sequence of Number) ……………………20 1.2 1.3 函数的极限(Limit of Function) ……………………………………21 1.4 无穷小与无穷大(Infinitesimal and Inifinity) ………………………23 1.5 极限运算法则(Operation Rule of Limit) ……………………………24 1.6 极限存在准则 两个重要的极限(Rule for the Existence of Limits Two Important Limits) …………………………25 1.7 无穷小的比较(The Comparison of infinitesimal) ……………………26 1.8 函数的连续性与间断点(Continuity of Function And Discontinuity Points) ……………………………………………28 1.9 连续函数的运酸与初等函数的连续性(Operation Of Continuous Functions and Continuity of Elementary Functions) …………………………………………………28 1.10 闭区间上联系汗水的性质(Properties of Continuous Functions on a Closed Interval) …………………………30第二章 导数与数分Chapter2 Derivative and Differential……………………………………………31 2.1 导数的概念(The Concept of Derivative) ………………………………31 2.2 函数的求导法则(Rules for Finding Derivatives) ………………………33 2.3 高阶导数(Higher-order Derivatives) ……………………………………34 2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率(Derivatives of Implicit Functions and Functions Determined by Parametric Equation and Correlative Change Rate) …34 2.5 函数的微分(Differential of a Function) ………………………35 第三章 微分中值定理与导数的应用 Chapter 3 Mean Value Theorem of Differentials and the Application of Derivatives………………………………………36 3.1 微分中值定理(The Mean Value Theorem) ……………………………36 3.2 洛必达法则(L'Hopital's Rule) ……………………………………………38 3.3 泰勒公式(Taylor's Formula) ……………………………………………41 3.4 函数的单调性和曲线的凹凸性(Monotonicity of Functions and Concavity of Curves) …………………………………43 3.5 函数的极值与最大最小值(Extrema, Maxima and Minima of Functions) ……………………………………………46 3.6 函数图形的描绘(Graphing Functions) ………………………………49 3.7 曲率(Curvature) ………………………………………………………50 3.8 方程的近似解(Solving Equation Numerically) ………………………53 第四章 不定积分 Chapter 4 Indefinite Integrals…………………………………………………544.1 不定积分的概念与性质(The Concept and Properties of Indefinite Integrals) ………………………………………54 4.2 换元积分法(Substitution Rule for Indefinite Integrals) ………………56 4.3 分部积分法(Integration by Parts) ………………………………………57 4.4 有理函数的积分(Integration of Rational Functions) …………………58 第五章 定积分 Chapter 5 Definite Integrals…………………………………………………61 5.1 定积分的概念和性质(Concept of Definite Integral and its Properties) ………………………………………………………61 5.2 微积分基本定理(Fundamental Theorem of Calculus) ………………67 5.3 定积分的换元法和分部积分法(Integration by Substitution and Definite Integrals by Parts) ……………………………………………69 5.4 反常积分(Improper Integrals) …………………………………………70 第六章 定积分的应用 Chapter 6 Applications of the Definite Integrals……………………………75 6.1 定积分的元素法(The Element Method of Definite Integra……………75 6.2 定积分在几何学上的应用(Applications of the Definite Integrals to Geometry) ………………………………………………76 6.3 定积分在物理学上的应用(Applications of the Definite Integrals to Physics) ……………………………………………………79 第七章 空间解析几何与向量代数 Chapter 7 Space Analytic Geometry and Vector Algebar……………………80 7.1 向量及其线性运算(Vector and Its Linear Operation) …………………80 7.2 数量积 向量积(Dot Product and Cross Product) ……………………86 7.3 曲面及其方程(Surface and Its Equation)………………………………89 7.4 空间曲线及其方程(The Curve in Three-space and Its Equation………91 7.5 平面及其方程(Plane in Space and Its Equation) ……………………93 7.6 空间直线及其方程(Lines in and Their Equations) ……………………95 第八章 多元函数微分法及其应用 Chapter 8 Differentiation of Functions of Several Variables and Its Application………………………………………99 8.1 多元函数的基本概念(The Basic Concepts of Functions of Several Variables) ………………………………………………………99 8.2 偏导数(Partial Derivative) ………………………………………………102 8.3 全微分(Total Differential) ………………………………………………103 8.4 链式法则(The Chain Rule) ……………………………………………104 8.5 隐函数的求导公式(Derivative Formula for Implicit Functions). ………104 8.6 多元函数微分学的几何应用(Geometric Applications of Differentiation of Ffunctions of Severalvariables) ……106 8.7 方向导数与梯度(Directional Derivatives and Gradients) …………………1078.8 多元函数的极值(Extreme Value ofFunctions of Several Variables) ……108第九章 重积分 Chapter 9 Multiple Integrals……………………………………………………111 9.1 二重积分的概念与性质(The Concept of Double Integrals and Its Properities) …………………………………………………………111 9.2 二重积分的计算法(Evaluation of double Integrals) ………………………114 9.3 三重积分(Triple Integrals) …………………………………………………115 9.4 重积分的应用(Applications of Multiple Itegrals) ………………………120 第十章 曲线积分与曲面积分 Chapte 10 Line Integrals and Surface Integrals………………………………121 10.1 对弧长的曲线积分(line Intergrals with Respect to Arc Length) ………121 10.2 对坐标的曲线积分(Line Integrals with respect to Coordinate Variables) ……………………………………………………123 10.3 格林公式及其应用(Green's Formula and Its Applications) ………………124 10.4 对面积的曲面积分(Surface Integrals with Respect to Aarea) ……………126 10.5 对坐标的曲面积分(Surface Integrals with Respect to Coordinate Variables) ………………………………………………………128 Flux and Divirgence) …… 130 10.6 高斯公式 通量与散度(Gauss's Formula 10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度(Stokes's Formula Circulation and Rotation) ………………………………………………………………131 第十一章 无穷级数 Chapter 11 Infinite Series…………………………………………………………133 11.1 常数项级数的概念与性质(The concept and Properties of The Constant series) ………………………………………………………133 11.2 常数项级数的审敛法(Test for Convergence of the Constant Series) ……137 11.3 幂级数(power Series). ……………………………………………………143 11.4 函数展开成幂级数(Represent the Function as Power Series) ……………148 11.5 函 数 的 幂 级 数 展 开 式 的 应 用 (the Appliacation of the Power Series representation of a Function) …………148 11.6 函 数 项级 数的 一致 收 敛性 及 一致 收敛级 数 的基 本 性质 (The Unanimous Convergence of the Series of Functions and Its properties) …149 11.7 傅立叶级数(Fourier Series)………………………………………152 11.8 一般周期函数的傅立叶级数(Fourier Series of Periodic Functions) …153 第十二章 微分方程 Chapter 12 Differential Equation……………………………………………155 12.1 微分方程的基本概念(The Concept of DifferentialEquation) ……155 12.2 可分离变量的微分方程(Separable Differential Equation) ………156 12.3 齐次方程(Homogeneous Equation) ………………………………156 12.4 一次线性微分方程 (Linear Differential Equation of the First Order) …15712.5 12.6 12.7 12.8 12.9 12.10 12.11全微分方程(Total Differential Equation) …………………………158 可降阶的高阶微分方程(Higher-order Differential Equation Turned to Lower-order DifferentialEquation) ……………159 高阶线性微分方程(Linear Differential Equation of Higher Order) …159 常系数齐次线性微分方程(Homogeneous Linear Differential Equation with Constant Coefficient) …………………163 常系数非齐次线性微分方程(Non Homogeneous Differential Equation with Constant Coefficient) …………………164 欧拉方程(Euler Equation) …………………………………………164 微分方程的幂级数解法(Power Series Solution to Differential Equation) ……………………………………………164第三部分 Part 3常用数学符号的英文表达 English Expression of the Mathematical Symbol inCommon Use第一部分 英汉微积分词汇 Part1 English-Chinese Calculus Vocabulary 映射 mapping X 到 Y 的映射 mapping of X ontoY 满射 surjection 单射 injection 一一映射 one-to-one mapping 双射 bijection 算子 operator 变化 transformation 函数 function 逆映射 inverse mapping 复合映射 composite mapping 自变量 independent variable 因变量 dependent variable 定义域 domain 函数值 value of function 函数关系 function relation 值域 range 自然定义域 natural domain 单值函数 single valued function 多值函数 multiple valued function 单值分支 one-valued branch 函数图形 graph of a function 绝对值函数 absolute value 符号函数 sigh function 整数部分 integral part 阶梯曲线 step curve第一章 函数与极限Chapter1 Function and Limit 集合 set 元素 element 子集 subset 空集 empty set 并集 union 交集 intersection 差集 difference of set 基本集 basic set 补集 complement set 直积 direct product 笛卡儿积 Cartesian product 开区间 open interval 闭区间 closed interval 半开区间 half open interval 有限区间 finite interval 区间的长度 length of an interval 无限区间 infinite interval 领域 neighborhood 领域的中心 centre of a neighborhood 领域的半径 radius of a neighborhood 左领域 left neighborhood 右领域 right neighborhood当且仅当 if and only if(iff) 分段函数 piecewise function 上界 upper bound 下界 lower bound 有界 boundedness 无界 unbounded 函数的单调性 monotonicity of a function 单调增加的 increasing 单调减少的 decreasing 单调函数 monotone function 函数的奇偶性 parity(odevity) of a function 对称 symmetry 偶函数 even function 奇函数 odd function 函数的周期性 periodicity of a function 周期 period 反函数 inverse function 直接函数 direct function 复合函数 composite function 中间变量 intermediate variable 函数的运算 operation of function 基本初等函数 basic elementary function 初等函数 elementary function 幂函数 power function 指数函数 exponential function 对数函数 logarithmic function 三角函数 trigonometric function 反三角函数 inverse trigonometric function 常数函数 constant function 双曲函数 hyperbolic function 双曲正弦 hyperbolic sine 双曲余弦 hyperbolic cosine 双曲正切 hyperbolic tangent 反双曲正弦 inverse hyperbolic sine 反双曲余弦 inverse hyperbolic cosine 反双曲正切 inverse hyperbolic tangent 极限 limit 数列 sequence of number 收敛 convergence 收敛于 a converge to a 发散 divergent 极限的唯一性 uniqueness of limits 收敛数列的有界性 boundedness of a子列 函数的极限convergent sequence subsequence limits of functions limit of函数 f ( x ) 当 x 趋于 x0 时的极限 functions f ( x ) as x approaches x0左极限 left limit 右极限 right limit 单侧极限 one-sided limits 水平渐近线 horizontal asymptote 无穷小 infinitesimal 无穷大 infinity 铅直渐近线 vertical asymptote 夹逼准则 squeeze rule 单调数列 monotonic sequence 高阶无穷小 infinitesimal of higher order 低阶无穷小 infinitesimal of lower order 同阶无穷小 infinitesimal of the same order 等阶无穷小 equivalent infinitesimal 函数的连续性 continuity of a function 增量 increment 函数 f ( x ) 在 x0 连续 the function f ( x ) is continuous at x0 左连续 left continuous 右连续 right continuous 区间上的连续函数 continuous function 函数 f ( x ) 在该区间上连续 function f ( x ) is continuous on an interval 不连续点 discontinuity point 第一类间断点 discontinuity point of the first kind 第 二 类 间 断 点 discontinuity point of the second kind 初等函数的连续性 continuity of the elementary functions 定义区间 defined interval 最大值 global maximum value (absolute maximum) 最小值 global minimum value (absolute minimum) 零点定理 the zero point theorem介值定理intermediate value theorem相对误差relative error第二章 导数与微分Chapter2 Derivative and Differential 速度 velocity 匀速运动 uniform motion 平均速度 average velocity 瞬时速度 instantaneous velocity 圆的切线 tangent line of a circle 切线 tangent line 切线的斜率 slope of the tangent line 位置函数 position function 导数 derivative 可导 derivable 函数的变化率问题 problem of the change rate of a function 导函数 derived function 左导数 left-hand derivative 右导数 right-hand derivative 单侧导数 one-sided derivatives第三章 微分中值定理与导数的应用Chapter3 MeanValue Theorem of Differentials and the Application of Derivatives 罗马定理 Rolle's theorem 费马引理 Fermat's lemma 拉格朗日中值定理 Lagrange's mean value theorem 驻点 stationary point 稳定点 stable point 临界点 critical point 辅助函数 auxiliary function 拉格朗日中值公式 Lagrange's mean value formula 柯西中值定理 Cauchy's mean value theorem 洛必达法则 L'Hospital's Rule 0/0 型不定式 indeterminate form of type 0/0 不定式 indeterminate form 泰勒中值定理 Taylor's mean value theorem 泰勒公式 Taylor formula 余项 remainder term 拉格朗日余项 Lagrange remainder term 麦克劳林公式 Maclaurin's formula 佩亚诺公式 Peano remainder term 凹凸性 concavity 凹向上的 concave upward, cancave up 凹向下的,向上凸的 concave downward' concave down 拐点 inflection point 函数的极值 extremum of function 极大值 local(relative) maximum 最大值 global(absolute) mximum 极小值 local(relative) minimum 最小值 global(absolute) minimum 目标函数 objective function 曲率 curvature 弧微分 arc differential 平均曲率 average curvature 曲率园 circle of curvature 曲率中心 center of curvature 曲率半径 radius of curvaturef ( x) 在 闭 区 间 【 a,b 】 上 可 导f ( x) isderivable on the closed interval [a,b] 切线方程 tangent equation 角速度 angular velocity 成本函数 cost function 边际成本 marginal cost 链式法则 chain rule 隐函数 implicit function 显函数 explicit function 二阶函数 second derivative 三阶导数 third derivative 高阶导数 nth derivative 莱布尼茨公式 Leibniz formula 对数求导法 log- derivative 参数方程 parametric equation 相关变化率 correlative change rata 微分 differential 可微的 differentiable 函数的微分 differential of function 自变量的微分 differential of independent variable 微商 differential quotient 间接测量误差 indirect measurement error 绝对误差 absolute error渐屈线 evolute 渐伸线 involute 根的隔离 isolation of root 隔离区间 isolation interval 切线法 tangent line method第四章 不定积分Chapter4 Indefinite Integrals 原函数 primitive function(antiderivative) 积分号 sign of integration 被积函数 integrand 积分变量 integral variable 积分曲线 integral curve 积分表 table of integrals 换元积分法 integration by substitution 分部积分法 integration by parts 分部积分公式 formula of integration by parts 有理函数 rational function 真分式 proper fraction 假分式 improper fraction递推公式 recurrence formula 反常积分 improper integral 反常积分发散 the improper integral is divergent 反常积分收敛 the improper integral is convergent 无穷限的反常积分 improper integral on an infinite interval 无界函数的反常积分 improper integral of unbounded functions 绝对收敛 absolutely convergent第六章 定积分的应用Chapter6 Applications of the Definite Integrals 元素法 the element method 面积元素 element of area 平面图形的面积 area of a luane figure 直角坐标又称&笛卡儿坐标 (Cartesian coordinates)& 极坐标 polar coordinates 抛物线 parabola 椭圆 ellipse 旋转体的面积 volume of a solid of rotation 旋转椭球体 ellipsoid of revolution, ellipsoid of rotation 曲线的弧长 arc length of acurve 可求长的 rectifiable 光滑 smooth 功 work 水压力 water pressure 引力 gravitation 变力 variable force第五章 定积分Chapter5 Definite Integrals 曲边梯形 trapezoid with 曲边 curve edge 窄矩形 narrow rectangle 曲边梯形的面积 area of trapezoid with curved edge 积分下限 lower limit of integral 积分上限 upper limit of integral 积分区间 integral interval 分割 partition 积分和 integral sum 可积 integrable 矩形法 rectangle method 积分中值定理 mean value theorem of integrals 函数在区间上的平均值 average value of a function on an integvals 牛顿-莱布尼茨公式 Newton-Leibniz formula 微 积 分 基 本 公 式 fundamental formula of calculus 换元公式 formula for integration by substitution空间解析几何与向量代数 第七章 空间解析几何与向量代数Chapter7 Space Analytic Geometry and Vector Algebra 向量 vector 自由向量 free vector 单位向量 unit vector 零向量 zero vector 相等 equal 平行 parallel 向量的线性运算 linear poeration of vector 三角法则 triangle rule平行四边形法则 parallelogram rule 交换律 commutative law 结合律 associative law 负向量 negative vector 差 difference 分配律 distributive law 空间直角坐标系 space rectangular coordinates 坐标面 coordinate plane 卦限 octant 向量的模 modulus of vector 向量 a 与 b 的夹角 angle between vector a and b 方向余弦 direction cosine 方向角 direction angle 向量在轴上的投影 projection of a vector onto an axis 数量积,外积,叉积 scalar product,dot product,inner product 曲面方程 equation for a surface 球面 sphere 旋转曲面 surface of revolution 母线 generating line 轴 axis 圆锥面 cone 顶点 vertex 旋转单叶双曲面 revolution hyperboloids of one sheet 旋转双叶双曲面 revolution hyperboloids of two sheets 柱面 cylindrical surface ,cylinder 圆柱面 cylindrical surface 准线 directrix 抛物柱面 parabolic cylinder 二次曲面 quadric surface 椭圆锥面 dlliptic cone 椭球面 ellipsoid 单叶双曲面 hyperboloid of one sheet 双叶双曲面 hyperboloid of two sheets 旋转椭球面 ellipsoid of revolution 椭圆抛物面 elliptic paraboloid 旋转抛物面 paraboloid of revolution 双曲抛物面 hyperbolic paraboloid 马鞍面 saddle surface椭圆柱面 elliptic cylinder 双曲柱面 hyperbolic cylinder 抛物柱面 parabolic cylinder 空间曲线 space curve 空间曲线的一般方程 general form equations of a space curve 空间曲线的参数方程 parametric equations of a space curve 螺转线 spiral 螺矩 pitch 投影柱面 projecting cylinder 投影 projection 平面的点法式方程 pointnorm form eqyation of a plane 法向量 normal vector 平面的一般方程 general form equation of a plane 两平面的夹角 angle between two planes 点到平面的距离 distance from a point to a plane 空间直线的一般方程 general equation of a line in space 方向向量 direction vector 直 线的点 向式方 程 pointdirection form equations of a line 方向数 direction number 直线的参数方程 parametric equations of a line 两直线的夹角 angle between two lines 垂直 perpendicular 直线与平面的夹角 angle between a line and a planes 平面束 pencil of planes 平面束的方程 equation of a pencil of planes 行列式 determinant 系数行列式 coefficient determinant第八章 多元函数微分法及其应用Chapter8 Differentiation of Functions of Several Variables and Its Application 一元函数 function of one variable 多元函数 function of several variables 内点 interior point外点 exterior point 边界点 frontier point,boundary point 聚点 point of accumulation 开集 openset 闭集 closed set 连通集 connected set 开区域 open region 闭区域 closed region 有界集 bounded set 无界集 unbounded set n 维空间 n-dimentional space 二重极限 double limit 多元函数的连续性 continuity of function of seveal 连续函数 continuous function 不连续点 discontinuity point 一致连续 uniformly continuous 偏导数 partial derivative 对自变量 x 的偏导数 partial derivative with respect to independent variable x 高阶偏导数 partial derivative of higher order 二阶偏导数 second order partial derivative 混合偏导数 hybrid partial derivative 全微分 total differential 偏增量 oartial increment 偏微分 partial differential 全增量 total increment 可微分 differentiable 必要条件 necessary condition 充分条件 sufficient condition 叠加原理 superpostition principle 全导数 total derivative 中间变量 intermediate variable 隐函数存在定理 theorem of the existence of implicit function 曲线的切向量 tangent vector of a curve 法平面 normal plane 向量方程 vector equation 向量值函数 vector-valued function 切平面 tangent plane 法线 normal line 方向导数 directional derivative 梯度 gradient数量场 scalar field 梯度场 gradient field 向量场 vector field 势场 potential field 引力场 gravitational field 引力势 gravitational potential 曲面在一点的切平面 tangent plane to a surface at a point 曲线在一点的法线 normal line to a surface at a point 无条件极值 unconditional extreme values 条件极值 conditional extreme values 拉格朗日乘数法 Lagrange multiplier method 拉格朗日乘子 Lagrange multiplier 经验公式 empirical formula 最小二乘法 method of least squares 均方误差 mean square error第九章 重积分Chapter9 Multiple Integrals 二重积分 double integral 可加性 additivity 累次积分 iterated integral 体积元素 volume element 三重积分 triple integral 直角坐标系中的体积元素 volume element in rectangular coordinate system 柱面坐标 cylindrical coordinates 柱面坐标系中的体积元素 volume element in cylindrical coordinate system 球面坐标 spherical coordinates 球面坐标系中的体积元素 volume element in spherical coordinate system 反常二重积分 improper double integral 曲面的面积 area of a surface 质心 centre of mass 静矩 static moment 密度 density 形心 centroid 转动惯量 moment of inertia 参变量 parametric variable第十章 曲线积分与曲面积分Chapter10 Line(Curve)Integrals and Surface Integrals对弧长的曲线积分 line integrals with respect to arc hength 第一类曲线积分 line integrals of the first type 对坐标的曲线积分 line integrals with respect to x,y,and z 第二类曲线积分 line integrals of the second type 有向曲线弧 directed arc 单连通区域 simple connected region 复连通区域 complex connected region 格林公式 Green formula 第一类曲面积分 surface integrals of the first type 对面的曲面积分 surface integrals with respect to area 有向曲面 directed surface 对坐标的曲面积分 surface integrals with respect to coordinate elements 第二类曲面积分 surface integrals of the second type 有向曲面元 element of directed surface 高斯公式 gauss formula 拉普拉斯算子 Laplace operator 格林第一公式 Green's first formula 通量 flux 散度 divergence 斯托克斯公式 Stokes formula 环流量 circulation 旋度 rotation,curl第十一章无穷级数Chapter11 Infinite Series 一般项 general term 部分和 partial sum 余项 remainder term 等比级数 geometric series 几何级数 geometric series 公比 common ratio 调和级数 harmonic series 柯西收敛准则 Cauchy convergence criteria, Cauchy criteria for convergence 正项级数 series of positive terms 达朗贝尔判别法 D'Alembert test 柯西判别法 Cauchy test交错级数 alternating series 绝对收敛 absolutely convergent 条件收敛 conditionally convergent 柯西乘积 Cauchy product 函数项级数 series of functions 发散点 point of divergence 收敛点 point of convergence 收敛域 convergence domain 和函数 sum function 幂级数 power series 幂级数的系数 coeffcients of power series 阿贝尔定理 Abel Theorem 收敛半径 radius of convergence 收敛区间 interval of convergence 泰勒级数 Taylor series 麦克劳林级数 Maclaurin series 二项展开式 binomial expansion 近似计算 approximate calculation 舍入误差 round-off error,rounding error 欧拉公式 Euler's formula 魏尔斯特拉丝判别法 Weierstrass test 三角级数 trigonometric series 振幅 amplitude 角频率 angular frequency 初相 initial phase 矩形波 square wave 谐波分析 harmonic analysis 直流分量 direct component 基波 fundamental wave 二次谐波 second harmonic 三角函数系 trigonometric function system 傅立叶系数 Fourier coefficient 傅立叶级数 Forrier series 周期延拓 periodic prolongation 正弦级数 sine series 余弦级数 cosine series 奇延拓 odd prolongation 偶延拓 even prolongation 傅立叶级数的复数形式 complex form of Fourier series第十二章微分方程Chapter12 Differential Equation 解微分方程 solve a dirrerential equation 常微分方程 ordinary differential equation偏 微 分 方 程 partial differential equation,PDE 微分方程的阶 order of a differential equation 微分方程的解 solution of a differential equation 微 分方 程的通 解 general solution of a differential equation 初始条件 initial condition 微分方程的特解 particular solution of a differential equation 初值问题 initial value problem 微分方程的积分曲线 integral curve of a differential equation 可分离变量的微分方程 variable separable differential equation 隐式解 implicit solution 隐式通解 inplicit general solution 衰变系数 decay coefficient 衰变 decay 齐次方程 homogeneous equation 一阶线性方程 linear differential equation of first order 非齐次 non-homogeneous 齐次线性方程 homogeneous linear equation 非齐次线性方程 non-homogeneous linear equation 常数变易法 method of variation of constant 暂态电流 transient stata current 稳态电流 steady state current 伯努利方程 Bernoulli equation 全微分方程 total differential equation 积分因子 integrating factor 高阶微分方程 differential equation of higher order 悬链线 catenary 高阶线性微分方程 linera differentialequation of higher order 自由振动的微分方程 differential equation of free vibration 强迫振动的微分方程 differential equation of forced oscillation 串联电路的振荡方程 oscillation equation of series circuit 二阶线性微分方程 second order linera differential equation 线性相关 linearly dependence 线性无关 linearly independce 二阶常系数齐次线性微分方程 second order homogeneour linear differential equation with constant coefficient 二阶变系数齐次线性微分方程 second order homogeneous linear differential equation with variable coefficient 特征方程 characteristic equation 无阻尼自由振动的微分方程 differential equation of free vibration with zero damping 固有频率 natural frequency 简谐振动 simple harmonic oscillation,simple harmonic vibration 微分算子 differential operator 待定系数法 method of undetermined coefficient 共振现象 resonance phenomenon 欧拉方程 Euler equation 幂级数解法 power series solution 数值解法 numerial solution 勒让德方程 Legendre equation 微分方程组 system of differential equations 常 系 数 线 性 微分 方 程 组 system of linera differential equations with constant coefficient第二部分 定理定义公式的英文表达 Part2 English Expression for Theorem, Definition and Formula第一章 函数与极限 Chapter Chapter 1 Function and Limit 1.1 映射与函数 (Mapping and Function)一,集合 (Set) 二,映射 (Mapping) 映射概念 (The Concept of Mapping) 设 X , Y 是两个非空集合 , 如果存在一个法 则 f , 使得对 X 中每个元素 x , 按法则 f , 在 Y 中有唯一确定的元素 y 与之对应 , 则 称 f 为从 X 到 Y 的映射 , 记作 f : X → Y . Let X , Y be two nonempty sets, if there exists a rule f that associates a unique element y of Y to every element x in X , then f from X to Y ,denoted by f : X → Y . 三,函数 (Function) 函数概念 (The Concept of Function) 设数集 D
R , 则称映射 f : X → Y 为定义 在 D 上的函数 , 通常简记为 y = f ( x) , x ∈ D , 其中 x 称为自变量, y 称为因变 量, D 称为定义域 , 记作 D f = D . Let the number set D
R , then the mapping f : X → Y is called a function defined on D , usually denoted by y = f ( x) , x ∈ D , where x is called an independent variable, y is called a dependent variable, D is called a domain, denoted by D f = D . is called a mapping1.2 数列的极限 (Limit of the Sequence of Number)一,数列极限的定义 (Definition of the Limit of Sequence of Number)设 {xn } 为一一数列 , 如果存在常数 a ,对于任意给定的正数 ε ( 不论它多么小 ) , 总存在正整数 N ,使得当 n & N 时 ,不等式 xn
a & ε 都成立 , 那么就称常数 a 是数列{xn } 的极限 , 或者称数列 {xn } 收敛于 a ,记为lim xn = a 或 xn → a (n → ∞) .n →∞Let {xn } be a sequence of number, If there exists a constant a , such that for any given positive numberε , there exists a positive integer N , such thatfor every n & N , xn -a &ε ,then the constant a is called the limit of the sequence{ xn } ,orwe call that the sequence{ xn } convergesto a , denoted bylim xn = a or xn → a (n → ∞)n →∞二,收敛数列的性质 (Properties of Convergent Sequence) 定理 1 ( 极限的唯一性 ) 如果数列 {xn } 收敛 , 那么它的极限唯一. Theorem 1 (Uniqueness of Limit) If the sequence {xn } is convergent, then its limit is unique. 定理 2 ( 收敛数列的有界性 ) 如果数列 {xn } 收敛 , 那么数列 {xn } 必定有界. (B Theorem 2 (Boundedness of a Convergent Sequence) If the sequence {xn } is convergent, then {xn } is bounded. 定理 3 如果 lim xn = a ,且 a & 0 (或 a & 0 ),那么存在正整数 N & 0 ,当 n & N 时,都n →∞有 xn & 0 (或 xn & 0 ). Theorem 3 If lim xn = a ,and a & 0 (or a & 0 ),then there exists a positiven →∞integer N ,such that xn & 0 (或 xn & 0 ),for every n & N . 定理 4(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列 { xn } 收敛于 a , 4(收敛数列与其子数列间的关系) 那么它的任一子数列 收敛数列与其子数列间的关系 也收敛,且极限也是 a . Theorem 4(Relation of a Convergent Sequence between its Subsequence) If the sequence{ xn } converges toa ,then any of its subsequence is also convergent, andthe limit is also a .1.3 函数的极限 (Limit of Function)一,函数极限的定义 (Definition of Limit of Function) 1. 自变量趋于有限值时函数的极限 (Definition of Limit of Function (as x Tends to a Real Number x0 )). 定义 1 设函数 f ( x ) 在某个包含 x0 的邻域内有定义(可能在 x0 无定义),如果存在常数A ,对于任意给定的正数 ε ,总存在正数 δ ,使得当 x 满足不等式 0 & x
x0 & δ 时,对应的函数值 f ( x ) 都满足不等式 f ( x)
A & ε ,那么常数 A 就叫做函数 f ( x ) 当 x → x0 时的 极限 , 记作 lim f ( x) = A 或 f ( x ) → A (当 x → x0 ).x → x0Definition 1 Let f ( x ) be a function defined on some neighborhood of x0 , maybe not at x0 itself. If there exists a constant A , such that for any given positive numberε , there exists a positive number δ , such that if0 & x
x0 & δ , then f ( x)
A & ε . Then the constant A is called the limitof f ( x ) as x approaches x0 .Denoted by lim f ( x) = A or f ( x ) → A (as x → x0 ).x → x02. 自变量趋于无穷大时函数的极限 (Definition of Limit of Function (as x Tends to Infinity)) 定义 2 设函数 f ( x ) 当 x 大于某一正数时有定义.如果存在常数 A , 对于任意给定 的正数 ε , 总存在正数 X , 使得当 x 满足不等式 x & X 时, 对应的函数值 f ( x ) 都满足不 等 式 f ( x)
A & ε , 那 么 常 数 A 就 叫 做 函 数 f ( x) 当x → ∞ 时的极限 , 记作lim f ( x) = A 或 f ( x) → A (当 x → ∞ ) .x →∞Definition 2 Let f ( x ) be a function which is defined if x is greater than some positive number. If there exists a constant A ,such that for any given positive numberε , there is a positive number X ,such that if x & δ ,thenf ( x)
A & ε .Then the constant A is called the limit of f ( x) as x approaches∞ . Denoted bylim f ( x) = A orx →∞f ( x) → A (当 x → ∞ ).Function) 二,函数极限的性质 (Properties of the Limit of Function)定理 1( 函数极限的唯一性 ) 如果 lim f ( x) 存在 , 那么这极限唯一.x → x0(Uniqueness Theorem 1 (Uniqueness of Limit of Function) If lim f ( x) exists, then its limitx → x0is unique. 定理 2( 函数极限的局部有界性 ) 如果 lim f ( x) = A ,那么存在常数 M & 0 ,使得当x → x00 & x
x0 & δ 时 , 有 f ( x) ≤ M .Theorem2 (Locally Boundedness of the Limit of Function) If lim f ( x) = A , then there exists M & 0 ,such that 0 & x
x0 & δx → x0impliesf ( x) ≤ M .定理 3 如果 lim f ( x) = A 且 A & 0 (或 A & 0 ),那么存在常数 δ & 0 ,使得当x → x00 & x
x0 & δ 时 , 有 f ( x) & 0 ( 或 f ( x) & 0 ) .Theorem Theorem 3 If lim f ( x) = A ,and A & 0 (or A & 0 ), then there exists ax → x0constant δ & 0 ,such that whenever 0 & x
x0 & δ then f ( x ) & 0 (or f ( x ) & 0 ). 定理 4 ( 函数极限与数列极限间的关系 ) 如果极限 lim f ( x) 存在, {xn } 为函数x → x0f ( x) 的定义域内任一收敛于 x0 的数列 , 且满足 xn ≠ x0 ( n ∈ N + ), 那么相应的函数值列 { f ( xn )} 必收敛 , 且 lim f ( xn ) = lim f ( x) .n →∞ x → x0Theorem 4 (Relations between Limit of Function and Limit of Sequence) Ifx → x0lim f ( x) exists, {xn } is any sequence in the domain of f ( x) that converges tox0 ,and satisfies xn ≠ x0 ( n ∈ N + ),then the corresponding sequence of functionvalue{ f ( xn )} mustbe convergent, and lim f ( xn ) = lim f ( x) .n →∞ x → x0(Infinitesimal 1.4 无穷小与无穷大 (Infinitesimal and Infinity) 定义 1 如果函数 f ( x) 当 x → x0 ( 或 x → ∞ ) 时的极限为零 , 那么称函数 f ( x) 为 当 x → x0 或( x → ∞ ) 时的无穷小. Definition 1 If the limit of function is zero as x → x0 (or x → ∞ ), thenf ( x) is called an infinitesimal as x → x0 (or x → ∞ ).定义 2 设函数 f ( x ) 在 x0 的某一去心邻域内有定义 ( 或 x 大于某一正数时有定义 ) , 如果对于任意给定的正数 M ,总存在正数 δ ( 或正数 X ), 只要 x 适合不等式0 & x → x0 & δ ( 或 x & X ), 对应的函数值 f ( x) 总满足不等式 f ( x) & M ,则称函数f ( x) 为当 x → x0 (或 x → ∞) 时的无穷大.Definition 2 Let f ( x ) be a function defined on some neighborhood of x0 , maybe not at x0 itself (or is defined for x greater than some positive number), if for any given M & 0 , there exists δ & 0 (or X & 0 ) , such that whenever0 & x → x0 & δ (or x & X ),then f ( x) is called an infinity as x → x0 (or x → ∞) .极限运算法则 1.5 极限运算法则 (Operation Rule of Limit) 定理 1 有限个无穷小的和也是无穷小. Theorem 1 The sum of finite number of infinitesimal is an infinitesimal. 定理 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. Theorem 2 The product of a bounded function and an infinitesimal is an infinitesimal. 推论 1 常数与无穷小的乘积是无穷小. Corollary 1 The product of a constant and an infinitesimal is an infinitesimal. 推论 2 有限个无穷小的乘积是无穷小. Corollary 2 The product of finite number of infinitesimal is an infinitesimal. 定理 6( 复合函数的极限运算法则 ) 设函数 y = f [ g ( x )] 是由函数 y = f (u ) 与函数u = g ( x) 复 合 而 成 , f [ g ( x)] 在 点 x0 的 某 去 心 邻 域 内 有 定 义 , 若 lim g ( x) = u0 ,x → x0u →u0lim f (u ) = A ,且存在 δ 0 & 0 ,当 x ∈ U ( x0 , δ 0 ) 时 , 有 g ( x) ≠ u0 ,则x → x00lim f [ g ( x)] = lim f (u ) = Au →u0Theorem 6 (Operation Rule of Limits of Composite Functions) Suppose the function y = f [ g ( x )] is the composition of y = f (u ) and u = g ( x ) ,and f [ g ( x )] is defined on some neighborhood ofx0 (exceptpossiblyat0x0 ).Ifx → x0lim g ( x) = u0 , lim f ( x) = A , and there exists δ 0 & 0 , for x ∈ U ( x0 , δ 0 ) , weu →u0have g ( x ) ≠ u0 , thenx → x0lim f [ g ( x)] = lim f (u ) = Au →u01.6 极限存在准则两个重要极限 (Rule for the Existence of Limits Two ImportantLimits)准则 I 如果数列 {xn } , { yn } 及 {zn } 满足下列条件 : (1) yn ≤ xn ≤ zn ( n = 1, 2, 3L ), (2) lim yn = a , lim zn = a ,n →∞ n →∞那么数列 {xn } 的极限存在 , 且 lim xn = a .n →∞Rule I Suppose the sequences {xn } , { yn } and {zn } satisfy: (1) yn ≤ xn ≤ zn ( n = 1, 2, 3L ), (2) lim yn = a , lim zn = a ,n →∞ n →∞Then the limit of the sequence {xn } exists, and lim xn = a .n →∞准则Ⅰ 准则Ⅰ'如果 (1) 当 x ∈ U ( x0 , r ) ( 或 x & M ) 时 , g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) (2) lim g ( x ) = A , lim h( x ) = Ax → x0 x → x00( x →∞ )( x →∞ )那么 lim f ( x) 存在 , 且等于 A .x → x0( x →∞ )Rule Ⅰ' Suppose (1) for x ∈ U ( x0 , r ) (or x & M ), g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) (2) lim g ( x ) = A , lim h( x ) = Ax → x0 x → x00( x →∞ )( x →∞ )then lim f ( x) exists, and equals A .x → x0( x →∞ )准则 II 单调有界数列必有极限. Rule II Every bounded monotonic sequence has limit. II' 准则 II'设函数 f ( x ) 在点 x0 的某个左邻域内单调并且有界 ,则 f ( x ) 在 x0 的左极限f ( x0
) 必定存在.Rule II ' Suppose the functionf ( x) is bounded monotonic on some leftneighborhood of x0 , then the left-hand limit f ( x0 ) of f ( x ) exists. 1.7 无穷小的比较 (The Comparison of Infinitesimal) 定义 如果 limβ = 0 ,就说 β 是比 α 高阶的无穷小 , 记作 β = ο (α ) ; α β 如果 lim = ∞ , 就说 β 是比 α 低阶的无穷小; α β 如果 lim = c ≠ 0 , 就说 β 与 α 是同阶的无穷小; α β 如果 lim k = c ≠ 0 , k & 0 ,就说 β 是关于的 α 的 k 阶的无穷小; α β 如果 lim = 1 ,就说 β 与 α 是等阶无穷小;记作 α β ; αDefinition If limβ = 0 ,then β is called a higher order infinitesimal of α ,denoted αby β = ο (α ) ; If limα.β = ∞ ,then β is called a lower order infinitesimal of α . α β If lim = c ≠ 0 ,then β is called an infinitesimal of the same order as α β = c ≠ 0 , k & 0 ,then β is called an infinitesimal of the k th αk β = 1 ,then β is called an equivalent infinitesimal of α , denoted αIf lim order asα.If lim by αβ;定理 1β 与 α 是等阶无穷小的充分必要条件为 β = α + ο (α ) . β and α are equivalent infinitesimals if and only ifTheorem 1β = α + ο (α ) .定理 2 设 αα′ , ββ ′ ,且 limβ′ β β′ 存在,则 lim =lim . α′ α α′Theorem 2 Let αα′ , ββ ′ ,and limβ′ β β′ exists, then lim =lim . α′ α α′1.8 函数的连续性与间断点 (Continuity of Function and Discontinuity Points) 函数的连续性 (Continuity of Function) 定义 设函数 y = f ( x) 在点 x0 的某一邻域内有定义 , 如果x → 0lim y = lim f ( x0 + x)
f ( x0 ) = 0 ,那么就称函数 y = f ( x) 在点 x0 连续.x → 0Definition Suppose the function y = f ( x) is defined on some neighborhood ofx0 ,if lim y = lim f ( x0 + x)
f ( x0 ) = 0 , then we call that y = f ( x) isx → 0 x → 0continuous at the point x0 . 1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性 (Operation of Continuous Functions and Continuity of Elementary Functions) 连续函数的和, , 商的连续性 (Continuity of the Sum, Difference, Product 一,连续函数的和,差 积, and Quotient of Continuous Functions) 定理 1 设函数 f ( x ) 和 g ( x ) 在点 x0 连续 , 则它们的和 (差) f ± g , 积 fg 及商f g ( 当 g ( x0 ) ≠ 0 时) 都在点 x0 连续.Theorem 1 Let the function f ( x ) and g ( x ) are continuous at x0 , then their sum (difference) f ± g ,product fg and continuous at x0 . 二,反函数与复合函数的连续性 (Continuity of the Inverse Function and Composite Function) 定理 2 如果函数 y = f ( x) 在区间 I x 上单调增加 ( 或单调减少 ) 且连续 , 那么它 的反函数 x = f 1 ( y ) 也在对应的区间 I y = y y = f ( x ), x ∈ I x 上单调增加 ( 或单调减 少 ) 且连续. Theorem 2 If the function y = f ( x) is continuous and increasing (or decreasing) quotient f g (providedg ( x0 ) ≠ 0 )are{}on the interval I x , then its inverse function x = f 1 ( y ) is also continuous and increasing (or decreasing) on the corresponding interval I y = y y = f ( x ), x ∈ I x .{}定理 3 设函数 y = f [ g ( x )] 是由函数 y = f (u ) 与函数 u = g ( x ) 复合而成 ,U ( x0 )
D f o g .若 lim g ( x) = u0 , 而函数 y = f (u ) 在 u = u0 连续 , 则x → x0 x → x0οlim f [ g ( x)] = lim f (u ) = f (u0 )u → u0Theorem3Supposeοthefunction .y = f [ g ( x)] is the composition ofIf lim g ( x) = u0 , andx → x0y = f (u ) and u = g ( x) , U ( x0 )
D f o gx → x0y = f (u ) iscontinuous at u = u0 , then lim f [ g ( x)] = lim f (u ) = f (u0 ) .u → u0定 理 4 设 函 数 y = f [ g ( x)] 是 由 函 数 y = f (u ) 与 函 数 u = g ( x) 复 合 而 成 ,U ( x0 )
D f o g .若函数 u = g ( x) 在 x = x0 连续 , 且 g ( x0 ) = u0 ,而函数 y = f (u ) 在u = u0 连续 , 则复合函数 y = f [ g ( x)] 在 x = x0 也连续.Theorem 4 Suppose the function y = f [ g ( x)] is the composition of y = f (u ) andοu = g ( x) , U ( x0 )
D f o g . If u = g ( x) is continuous at x = x0 , g ( x0 ) = u0 , and y = f (u ) is continuous at u = u0 , then the composite function y = f [ g ( x)] is alsocontinuous at x = x0 . 三,初等函数的连续性 (Continuity of the Elementary Functions) 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的. Basic elementary functions are continuous on their domain. 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. Every elementary function is continuous on its well-defined intervals. of 1.10 闭区间上连续函数的性质 (Properties of Continuous Functions on a Closed Interval) Max一,有界性与最大值最小值定理 (Boundedness and Max-min Theorem) 定理 1 ( 有界性与最大值最小值定理 ) 在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一 定能取得它的最大值和最小值. maxTheorem 1 (Boundedness and max-min theorem) If f ( x) is a continuous function on a closed interval, then f ( x) has an absolute maximum and an absolute minimum on the interval. In particular, f ( x) must be bounded on the interval.ο二,零点定理与介值定理 (The Intermediate Value Theorem) 定理 2 设函数 f ( x ) 在闭区间 [ a, b] 上连续 , 且 f ( a ) 与 f (b) 异号 ( 即f (a )
f (b) & 0 ), 那么在开区间 (a, b) 内至少有一点 ξ 使 f (ξ ) = 0 .Theorem 2 Let f ( x ) be a continuous function on the interval [ a, b]and f ( a )
f (b) & 0 , then there is a ξ ∈ ( a, b) , such that f (ξ ) = 0 . 定理 3 ( 介值定理 ) 设函数 f ( x ) 在闭区间 [ a, b] 上连续 , 且在这区间的端点取不 同的函数值 f (a ) = A 及 f (b) = B , 那么 C ,对于 A 与 B 之间的任意一个数 C , 在开区 间 (a, b) 内至少有一点 ξ 使 f (ξ ) = C . Theorem 3 (The Intermediate Value Theorem) Let f ( x ) be a continuous function on the interval [ a, b] and let C be a number between f (a ) = A and f (b) = B , then there is at least one number ξ ∈ ( a, b) , such that f (ξ ) = C ( a & ξ & b ). 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值 m 之间的任何值. Coro Corollary Let f ( x ) be a continuous function on a closed interval, then f ( x ) can obtain any number between its absolute maximum M and its absolute minimumm.' 第二章导数与微分 Chapter 2 Derivative and Differential 2.1 导数概念 (The Concept of Derivative) 一,引例 (Introduction) 1. 直线运动的速度 velocity of rectilinear motion 2. 切线问题 tangent line problem Derivative) 二,导数的定义 (Definition of Derivative) 函数在一点处的导数与导函数 (The Derivative at a Point and the Derivative as a Function) 定义 设函数 y = f ( x) 在点 x0 的某个邻域内有定义 , 当自变 量 x 在 x0 处取得增量x ( 点 x0 + x 仍在该邻域内) 时 , 相应地函 数 y 取得增量 y = f ( x0 + x)
f ( x0 ) ;如果 y 与 x 之比当 x → 0 时的极限存在 , 则称函数 y = f ( x) 在点 x0 处可导 , 并称 这个极限为函数 y = f ( x) 在点 x0 处的导数 , 记为 f ′( x0 ) , 即f ′( x0 ) = lim也可记作 y′ x = x ,0f ( x0 + x)
f ( x0 ) y = lim x → 0 x x → 0 x或x = x0dy dxdf ( x) . dx x = x0Definition Let f ( x ) be a well-defined function on some neighborhood of x0 , if the value of the independent variable x changes from x0 to x0 + x , the corresponding change in the dependent variable, y , will be y = f ( x0 + x )
f ( x0 ) ; if the limit of the ratio y x exists as x → 0 , then we say that f ( x ) is differentiable at x = x0 ,i.e.f ′( x0 ) = limf ( x0 + x)
f ( x0 ) y = lim x → 0 x x → 0 xand we call this limit the derivative of f ( x ) at x = x0 , denoted by f ′( x0 ) ory′ x = x ,0dy dx,orx = x0df ( x) . dx x = x0三,导数的几何意义 (The Geometric Meaning of Derivatives) 函数可导性与连续性的关系 四,函数可导性与连续性的关系 (Continuity and Derivability of Functions) 2.2 函数的求导法则 (Rules for Finding Derivatives) 一,函数的和,差,积,商的求导法则 (Rules for Finding Derivatives of the Sum, 函数的和, Difference, Product, Quotient of Two Functions) 定理 1 如果函数 u = u ( x) 及 v = v ( x ) 都在点 x 具有导数, 那么它们的和,差,积, 商( 除分母为零的点外 )都在点 x 具有导数 , 且 (1) [u ( x ) ± v ( x)]′ = u ′( x ) ± v′( x ) ; (2) [u ( x )v ( x )]′ = u ′( x )v ( x ) + u ( x )v′( x ) ; (3) [u ( x ) v ( x )]′ = [u ′( x )v ( x )
u ( x )v′( x )] v 2 ( x) ( v( x ) ≠ 0 )Theorem 1 If the function u = u ( x) and v = v ( x ) are differentiable at x , thenthe sum, difference, product and quotient ( v( x ) ≠ 0 ) of the two functions are differentiable at x . and (1) [u ( x ) ± v ( x)]′ = u ′( x ) ± v′( x ) ; (2) [u ( x )v ( x )]′ = u ′( x )v ( x ) + u ( x )v′( x ) ; (3) [u ( x) v( x)]′ = [u ′( x)v( x)
u ( x)v′( x)] v 2 ( x) ( v( x) ≠ 0 ).二,反函数的求导法则 (Rule for Derivative of Inverse Functions) 定理 2 如果函数 x = f ( y ) 在区间 I y 内单调,可导且 f ′( y ) ≠ 0 , 则它的反函数y = f 1 ( x) 在区间 I x = x x = f ( y ), y ∈ I y 内也可导 , 且{}[ f 1 ( x)]′ = 1 f ′( y ) , dy dx = 1 (dx dy ) .Theorem 2 If the function x = f ( y ) is monotonic, differentiable on theinterval I y and f ′( y ) ≠ 0 ,then its inverse function y = f 1 ( x ) is differentiable on the interval I x = x x = f ( y ), y ∈ I y{}and [ f 1 ( x )]′ = 1 f ′( y ) , dy dx = 1 ( dx dy )三 , 复 合 函 数 的 求 导 法 则 一 链 式 法 则 (Rule for Derivative of Composite FunctionsFunctions-Chain Rule) 定理 3 如果 u = g ( x ) 均在点 x 可导 , 而 y = f (u ) 在点 u = g ( x ) 可导 , 则复合函数y = f [ g ( x)] 在点 x 可导, 且其导数为dy dy dy du = f ′(u )
g ′( x) 或 =
dx dx du dxTheorem 3 Let y = f (u ) and u = g ( x ) . If g ( x ) is differentiable at x and f (u ) is differentiable atu = g ( x) , then the composite function dy dy dy du = f ′(u )
g ′( x) or =
dx dx du dxy = f [ g ( x)] isdifferentiable at x and四 , 基本求导法则与导数公式 (Basic Rules for Finding Derivatives and the Derivative Formulas) 常 数 和 基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式 (The Derivative Formulas of the Constant Function and the Basic Elementary Functions) (Higher2.3 高阶导数 (Higher-order Derivatives) 2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 (Derivatives of ImplicitDetermined Functions and Functions Determined by Parametric Equation and Correlative Change Rate) 一,隐函数的导数 (Derivatives of Implicit Functions) 由参数方 二,由参数方程所确定的函数的导数 (Derivatives of Functions Determined by Parametric Equation) 三,相关变化率 (Correlative Change Rate) 2.5 函数的微分 (Differential of a Function) 一,微分的定义 (Definition of differential) 定义 设函数 y = f ( x) 在某区间内有定义, x0 及 x0 + x 在这区间内 , 如果函数的 增量 y = f ( x0 + x)
f ( x0 ) 可表示为 y = Ax + ο ( x) ,其中 A 是不依赖于 x 的常 数 , 那么称函数 y = f ( x) 在点 x0 是可微的 , 而 Ax 叫做函数 y = f ( x) 在点 x0 相应 于自变量增量 x 的微分 , 记作 dy , 即 dy = Ax . Definition Lety = f ( x) be a function defined on some intervalI , x0 ∈ I , x0 + x ∈ I , if the increment of the dependent variabley = f ( x0 + x)
f ( x0 ) can be expressed as y = Ax + ο (x) , where A is aconstant which is independent of x , then we say that f ( x ) is differentiableat x0 , and Ax is called the differential of y = f ( x) at x0 corresponding to the increment x of the independent variable, denoted by dy , i.e. dy = Ax . 微分的几何 二,微分的几何意义 (The Geometric Meaning of Differential) 三,基本初等函数的微分公式与微分运算法则(The Differential Formulas of the Basic 基本初等函数的微分公式与微分运算法则 Elementary Functions and the Rules for Differentiation) Elem 1. 基本初等函数的微分公式 (The Differential Formulas of the Basic Elementary Functions) 2. 函 数 的 和 , 差 , 积 , 商 的 微 分 法 则 (The Differentiation Rules of the Sum, Functions) Difference, Product, Quotient of Functions) 3. 复合函数的微分法则 (The Differentiation Rule of Composite Functions) Approxim 四,微分在近似计算中的应用 (Application of Differential in Approximation) 1. 函数的近似计算 (Approximation of Functions) 2. 误差估计 (Error Estimate) 第三章 微分中值定理与导数的应用 Mean Value Theorem of Differentials and the Application ofChapter 3Derivatives 3.1 微分中值定理 (The Mean Value Theorem) 一,罗尔定理 (Rolle's Theorem) 费马引理 (Fermat Lemma) 设函数 f ( x ) 在点 x0 的某邻域 U ( x0 ) 内有定义 , 并且在 x0 处可导 , 如果对任意 的 x ∈ U ( x0 ) , 有 f ( x ) ≤ f ( x0 ) ( 或 f ( x ) ≥ f ( x0 ) ), 那么 f ′( x0 ) = 0 . Let f ( x ) be defined on the open interval ( x0
δ , x0 + δ ) for some δ . If f ( x ) is differentiable at x0 , and for any x in ( x0
δ , x0 + δ ) , (or f ( x ) ≥ f ( x0 ) )then f ′}