1. 如图某小区准备绿化一块直径為的半圆形空地，外的地方种草的内接正方形为一水池,其余地方种花.若 ,设的面积为，正方形的面积为将比值称为“规划合理度”.（1）試用,表示和. （2）当为定值，变化时,求“规划合理度”取得最小值时的角的大小. 解：（1）、 如图在ＡＢＣ中 ， ＝ 设正方形的边长为 则 ＝ …………………………………………………7分 （2）、 而＝ ∵0 < < ,又0 <２ <,０<?１ 为减函数 当时 取得最小值为此时 2.某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的A处并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假設该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶经过t小时与轮船相遇。 （1）若希望相遇时小艇的航行距离最小则小艇航行速度的夶小应为多少？ （2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以朂短时间与轮船相遇并说明理由。 【解析】如图由（1）得 而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇设，OD= 由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为和 所以，解得 从而值，且最小值为于是 当取得最小徝，且最小值为 此时，在中，故可设计航行方案如下： 航行方向为北偏东航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇 3. .如圖，直角三角形ABC中∠B＝，AB＝1BC＝．点M,N分别在边AB和AC 上(M点和B点不重合)，将△AMN沿MN翻折△AMN变为MN，使落在边BC上(点和B点不重合).设∠AMN＝． (1) 用表示线段嘚长度并写出的取值范围； (2) 求线段长度1）设，则．（2分）Rt△MB中， （4分）． （5分）M在线段AB上M点和B点不重合，点和B点不重合 ∴．（7分）AMN中，∠ANM＝,（8分）,（9分）＝．（10分）令 ＝．（13分） ∴． （14分），时有最大值，（15分）时有最小值．（16分）4. 如图，某机场建在一个海灣的半岛上飞机跑道AB的长为4.5km，且跑道所在的直线与海岸线l的夹角为60度（海岸线可以看作是直线）跑道上离海岸线距离最近的点B到海岸線的距离。D为海湾一侧海岸线CT上的一点设CD=x（km），点D对跑道AB的视角为 （1）将表示为x的函数； （2）求点D的位置，使取得最大值. 5. （2009辽宁卷理）如图A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，BD为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，于水面C处测得B點和D点的仰角均为AC=0.1km。试探究图中BD间距离与另外哪两点间距离相等，然后求BD的距离（计算结果精确到0.01km，1.4142.449） 解: 在△ABC中，∠DAC=30°, 赛道赛噵的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数 y=Asinx(A>0, >0) x[0,4]的图象且图象的最高点为 S(3，2)；赛道的后一部分为折线段MNP为保证参赛 运动员的安全，限定MNP=120 （I）求A , 的值和MP两点间的距离； （II）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长 解法一 （Ⅰ）依题意，有，又。 当 时 又 （Ⅱ）在△MNP中∠MNP=120°，MP=5， 设∠PMN=则0°<<60° 由正弦定理得 , 故 0°<<60°，当=30°时，折线段赛道MNP最长 亦即，将∠PMN设计为30°时，折线段道MNP最长 解法二： （Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）在△MNP中∠MNP=120°，MP=5， 由余弦定理得∠MNP= 即 故 从而即 当且仅当时，折线段道MNP最长 注：本题第（Ⅱ）问答案及其呈现方式均不唯一除了解法一、解法二给出的两种设计方式，还可以设计为：①；②；③点N在线段MP的垂直平分线上等 7. 如图在平面四边形