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1高中数学数列练习题及解析
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你可能喜欢高中数学思考之---数列
作为高中数学的一大难点--数列--因为证明和计算往往涉及归纳法,使得很多学生因为表达的严密性而恐惧.既然高中的数列总是联系到等比或等差两种,那么就有固定模式来解决了.
数列的问题无论是求通项,求和,还是证明收敛,其实都关心一个问题:就是前n项和是什么?由于数列收敛没有充分必要条件判定,我们都是用一个熟悉的数列来控制未知的数列,即用不等式放缩.常用的就两种方法:裂项相消法和乘公比相减法.
裂项相消法:就是先放大到一个可以把通项分裂为两项相减的方法.例如:证明1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+...&
1+(1*1/2)+(1/2 *1/3)+(1/3 *1/4)+...
=1+(1- 1/2)+(1/2 - 1/3)+(1/3 - 1/4)+...=2
特点是:分裂的两项通分后与原来的通项只差一个倍数(上面例子这个倍数是 1)
乘公比相减法:这用来解决同项可以写成一个等差和一个等比的乘积的数列.例如:
2+3*2^2+5*2^3+...+(2n-1)*2^n
令上式为Sn,用2Sn-Sn就可以得到答案.
注意:通项常用an=Sn-S(n-1)来联系和,所以对和(看作新数列)用等差或等比也是可以的.当然一定要掌握归纳法,几乎是证明这类问题的万能方法.
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高中数学数列知识点总结(经典)讲解
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··········
··········
数列基础知识点和方法归纳
1. 等差数列的定义与性质
定义：（为常数），
等差中项：成等差数列
性质：是等差数列
（1）若，则
（2）数列仍为等差数列，仍为等差数列，公差为；
（3）若三个成等差数列，可设为
（4）若是等差数列，且前项和分别为，则
（5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）
的最值；或者求出中的正、负分界项，即：，解不等式组可得达到最大值时的值.
当，由可得达到最小值时的值.
(6)项数为偶数的等差数列，有
（7）项数为奇数的等差数列，有
2. 等比数列的定义与性质
定义：（为常数，），.
等比中项：成等比数列，或.
前项和：（要注意！）
性质：是等比数列
（1）若，则
（2）仍为等比数列,公比为.
注意：由求时应注意什么？
3．求数列通项公式的常用方法
（1）求差（商）法
①—②得：，∴，∴
［练习］满足，求
注意到，代入得；又，∴是等比数列，
（2）叠乘法中，，求
解 又，∴.
（3）等差型递推公式
，求，用迭加法
时，两边相加得
［练习］中，，求（）
（4）等比型递推公式
为常数，）
可转化为等比数列，设
令，∴，∴是首项为为公比的等比数列
（5）倒数法，求
由已知得：，∴
∴为等差数列，，公差为，∴，
公式法、利用、累加法、累乘法.构造等差或等比或、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法
4. 求数列前n项和的常用方法
(1) 裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.
是公差为的等差数列，求
（2）错位相减法为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项和，可由，求，其中为的公比.
时，，时，
（3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.
［练习］，则
a.用倒序相加法求数列的前n项和
如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。
.用公式法求数列的前n项和
对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。
.用裂项相消法求数列的前n项和
裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。
.用错位相减法求数列的前n项和
错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。
.用迭加法求数列的前n项和
迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an ，从而求出Sn。
.用分组求和法求数列的前n项和
所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。
.用构造法求数列的前n项和
所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。
4.在等差数列{an}中，a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20=(
5.在等差数列{an}中，已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6=(
6.记等差数列的前n项和为Sn，若S2=4，S4=20，则该数列的公差d=（
7.等差数列{an}的公差不为零，首项a
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